精品解析：江苏省南通市如皋市2024-2025学年下学期七年级数学期中考试试卷

2024~2025学年度第二学期七年级期中学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列解是二元一次方程解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“如果，那么”，下列能说明该命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在和之间整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图所示，∠1是直角，量出下列角的度数后仍无法判断直线a与直线b平行的是( ) A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 8. 《九章算术》是我国成书于东汉初年的一部数学经典著作．《九章算术》里记载这样一道题：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十，今并买一顷，价钱一万，问善、恶各有几何？”意思是：现在有一亩好田价值钱，一亩坏田价值钱，合买好田和坏田共顷，价值钱，问好田、坏田各有多少亩？已知顷等于亩，若设好田有亩，坏田有亩，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的网格图中建立平面直角坐标系，若点A的坐标是，则点B平移到原点的路径可以是（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 10. 若表示不大于x的最大整数，如，，，则方程组的解的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 9的算术平方根是________． 12. 点到轴的距离是________． 13. 已知方程，用含x的式子表示y为y=________． 14. 将一个直角三角尺与直尺如图放置，若，则________． 15. 跨海大桥建造时将桥墩垂直于海床，这样能使材料更节省，理由是________． 16. 若是二元一次方程组的解，则的值为________． 17. 一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于的平分线垂直于，若，则的度数为________． 18. 将一张长方形纸片按照如图所示的方式进行折叠，若长方形的宽为2，那么该长方形的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组： （1）； （2）． 21. 阅读下列文字，并完成证明． 已知，且． 求证：． ∵（已知）， ∴________（________________）． ∵（已知）， ∴________________（等式的基本性质）． ∴（________________）． 22. 南通蓝印花布图案朴素优美、吉祥如意，它是中国传统的手工印染工艺品，是中国国家地理标志产品．现有一块长、宽之比为的长方形蓝印花布，其面积为． （1）求蓝印花布的周长； （2）染坊的师傅想要把蓝印花布裁出一块面积为的完整正方形花布，她能裁出来吗？请说明理由． 23. 如图，直线相交于点，垂足都为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，点的对应点分别是． （1）在平面直角坐标系中画出并写出点的坐标； （2）线段上有一点坐标是，则平移后对应点的坐标为________； （3）若点在轴上，且的面积与的面积相等，直接写出点的坐标． 25. 苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废时候磨损程度为1． （1）该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； （2）假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； （3）当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 26. 综合与实践：七年级某学习小组围绕“与平行线有关的‘拐角’”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，，直线与直线分别交于点，点分别在直线上，且都在直线的右侧．点是射线上一点，连接． 【特例初探】 （1）如图1，点在线段上（不与点重合），若，则度数为________； 【猜想再探】 （2）如图2，点在线段上（不与点重合），的角平分线与的角平分线交于点，若，试用含的式子表示； 【综合应用】 （3）若的角平分线所在的直线与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期七年级期中学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是无理数，故本选项符合题意； C．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握各个象限点的坐标特征．根据第二象限点的坐标特征是：横坐标为负数，纵坐标为正数，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点位于第二象限， 故选：B． 3. 下列解是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键．分别把每个选项的数值代入，计算即可得答案． 【详解】A．当，时，，故该选项不符合题意， B．当，时，，故该选项不符合题意， C．当，时，，故该选项符合题意， D．当，时，，故该选项不符合题意， 故选：C． 4. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及对顶角相等的性质；由对顶角相等得，再由平行线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5. 对于命题“如果，那么”，下列能说明该命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．将四个中的值代入验证即可． 【详解】解：A、，，则此时不但不满足，也不满足不成立，故不符合题意； B、，，则，且，满足“”和“”，故不能说明命题假命题，故不符合题意； C、，，则，且，此时不满足，满足成立，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； D、，，则，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“如果，那么”不能成立，故符合题意． 故选：D． 6. 在和之间的整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，根据，得，所以在和之间的整数有，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和之间整数有，即有4个整数 故选：D 7. 如图所示，∠1是直角，量出下列角的度数后仍无法判断直线a与直线b平行的是( ) A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐一分析测量每个角后能否判断直线与直线平行，平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解： A：是直角，与组成平角， ，仅知道的度数，无法依据平行线判断定理判断直线与直线是否平行； B：与是同位角，若量出，因为，根据“同位角相等，两直线平行”，可判断； C：的对顶角与是同位角，的对顶角也是，若是出，根据“同位角相等，两直线平行”，可判断； D：的对顶角与是同旁内角，的对顶角为，若量出，则的对顶角与互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断. 故选：A． 8. 《九章算术》是我国成书于东汉初年的一部数学经典著作．《九章算术》里记载这样一道题：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十，今并买一顷，价钱一万，问善、恶各有几何？”意思是：现在有一亩好田价值钱，一亩坏田价值钱，合买好田和坏田共顷，价值钱，问好田、坏田各有多少亩？已知顷等于亩，若设好田有亩，坏田有亩，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解题目数量关系，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，好、坏田共100亩，即，好田1亩300钱，则好田的费用为钱，坏田1亩50钱，所以坏田的费用为，共计费用10000钱，即，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设好田为x亩，坏田为y亩， ∴， ∵好田1亩300钱，则好田的费用为钱，坏田1亩50钱，所以坏田的费用为，共计费用10000钱，即， ∴，   故选： A． 9. 在如图所示的网格图中建立平面直角坐标系，若点A的坐标是，则点B平移到原点的路径可以是（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意建立平面直角坐标，进而得出，进而确定平移方式，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点A的坐标是，则 ∴点B平移到原点的路径可以是向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 故选：D． 10. 若表示不大于x的最大整数，如，，，则方程组的解的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，不等式组与二元一次方程组的解，理解新定义是解题的关键；根据表示不大于的最大整数，先由第一个方程得出关于的表达式，再代入第二方程，通过为整数)，结合的取值范围来确定的值，进而得到方程组的解． 【详解】解：，可得， 把代入方程中，得到， 即． 设为整数)因为， 则， 解得： 为整数， ，， 当时， 当时，，， 方程组的解的个数个． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 9的算术平方根是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的计算是关键． 若一个正数平方等于，即，则这个正数为a的算术平方根，由此即可求解． 【详解】解：9的算术平方根是， 故答案为： ． 12. 点到轴的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握距离的计算方法是关键． 根据点到坐标轴的距离的计算方法计算即可．点到轴的距离为，点到轴的距离为． 【详解】解：点到轴的距离是， 故答案为： ． 13. 已知方程，用含x的式子表示y为y=________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 将一个直角三角尺与直尺如图放置，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据图示，， 故答案为： ． 15. 跨海大桥建造时将桥墩垂直于海床，这样能使材料更节省，理由是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查垂线段的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短的性质填写即可． 【详解】解：跨海大桥建造时将桥墩垂直于海床，这样能使材料更节省，理由是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 16. 若是二元一次方程组的解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解得到关于的二元一次方程组，解方程组，并把字母的值代入计算即可． 【详解】解：把代入得到 解得， ∴， 故答案为：． 17. 一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于的平分线垂直于，若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是关键． 根据题意得到，根据平行线性质，角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∵，且的平分线垂直于的平分线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 18. 将一张长方形纸片按照如图所示的方式进行折叠，若长方形的宽为2，那么该长方形的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质可得， ，则可证明，则可以看做是以的长为边长的正方形的面积的四分之一，据此可得，代入数值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由折叠的性质可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴可以看做是以的长为边长的正方形的面积的四分之一， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴长方形的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，立方根，算术平方根的计算，掌握其运算法则是关键． （1）根据实数的计算法则计算即可； （2）分别计算立方根，算术平方根，绝对值的结果，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是： （1）根据代入消元法求解即可； （2）先把原方程化简，然后根据加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组化简为， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 21. 阅读下列文字，并完成证明． 已知，且． 求证：． ∵（已知）， ∴________（________________）． ∵（已知）， ∴________________（等式的基本性质）． ∴（________________）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等, 两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 根据平行线的性质与判定分析推理，即可解题． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本性质）． ∴（内错角相等， 两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等， 两直线平行． 22. 南通蓝印花布图案朴素优美、吉祥如意，它是中国传统的手工印染工艺品，是中国国家地理标志产品．现有一块长、宽之比为的长方形蓝印花布，其面积为． （1）求蓝印花布的周长； （2）染坊的师傅想要把蓝印花布裁出一块面积为的完整正方形花布，她能裁出来吗？请说明理由． 【答案】（1）蓝印花布的周长为； （2）她能裁出来，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根计算，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设长为，宽为，由此列式求解得到长方形的长，宽，结合周长的计算即可求解； （2）根据题意得到正方形的边长，根据无理数的比较即可判定． 【小问1详解】 解：长、宽之比为的长方形， ∴设长为，宽为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴长为，宽为， ∴蓝印花布的周长为； 【小问2详解】 解：她能裁出来，理由如下， 面积为的完整正方形的边长为， ∵， ∴她能裁出来． 23. 如图，直线相交于点，垂足都为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，掌握互余互补的概念及计算是关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据题意得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，点的对应点分别是． （1）在平面直角坐标系中画出并写出点的坐标； （2）线段上有一点坐标是，则平移后对应点的坐标为________； （3）若点在轴上，且的面积与的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】（1）作图见详解， （2） （3）点或 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，平移确定点的坐标，网格求三角形面积，掌握平移直角坐标系中图形的变换是关键． （1）根据平移的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标； （2）根据平移的性质得到点的坐标； （3）根据题意得到，则，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵将平移，使点与点重合， ∴平移规律是：向右平移2个单位，向上平移3个单位， ∴平移后对应的点； 【小问2详解】 解：由（1）可得，平移规律是：向右平移2个单位，向上平移3个单位， ∴线段上有一点坐标是，则平移后对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴点到轴的距离为， 设， ∴， 解得，， ∴点或． 25. 苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． （1）该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； （2）假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； （3）当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】（1） （2） （3）万公里 【解析】 【分析】本题主要二元一次方程组的应用： （1）根据“汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，”即可得到答案； （2）根据用汽车行驶x万公里之后前轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后前轮的磨损程度为1，即可求解； （3）根据用汽车行驶x万公里之后后轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后后轮的磨损程度为1，再结合（2）中的方程，得到方程组即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得：， 【小问3详解】 解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 26. 综合与实践：七年级某学习小组围绕“与平行线有关的‘拐角’”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，，直线与直线分别交于点，点分别在直线上，且都在直线的右侧．点是射线上一点，连接． 【特例初探】 （1）如图1，点在线段上（不与点重合），若，则的度数为________； 【猜想再探】 （2）如图2，点在线段上（不与点重合），的角平分线与的角平分线交于点，若，试用含的式子表示； 【综合应用】 （3）若的角平分线所在的直线与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）； （2）； （3）与的数量关系为：或． 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作，可得，由，即可求解； （2）根据题意得到，根据角平分线的定义得到，由四边形内角和定理得到，由此代入计算即可求解； （3）根据题意，分成点在线段上，点分别在上方、和中间、下方时以及点在上方，点分别在上方、和中间、下方时，结合图形，根据平行线的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和进行讨论即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）根据（1）可得， ∵， ∴ ， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （3）如图所示，当点在线段上，点在和之间时， 由（2）的计算得到，， 如图所示，当点在线段上，点在上方时，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵的角平分线所在的直线与的角平分线所在的直线相交于点， ∴，， ∴ ， 由（2）可得，， ∴， ∴； 如上图所示，当点在线段上，，点在下方处时，过点作， 同理可得； 如图所示，当点在上方，点在和之间时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ； 如图所示，当点在上方，点在上方时，作， ∴， ∴ ， 同理，， ∴， ∴ 如上图所示，当点在上方，点在下方时，过点作， 同理可得，； 综上所述，若的角平分线所在的直线与的角平分线所在的直线相交于点，与的数量关系为：或． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角和性质，四边形内角和定理，角平分线的定义等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想的综合运用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$