2.1.1等式的性质与方程的解集 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1.1等式的性质与方程解集 人教B版（2019）必修第一册 第二章 等式与不等式 学习目标 掌握等式的基本性质，学会利用等式的性质进行等式的基本边形 01 了解恒等式的定义，掌握恒等式的证明方法 02 了解方程的解、解集的定义，会求方程的解 03 探索新知 等式的性质 我们已经学习过等式的性质： （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 探索新知 尝试与发现 用符号语言和量词表示上述等式的性质： （1）如果 a＝ b，则对任意 c，都有 ； （2）如果 a＝ b，则对任意不为零的c，都有 . a+ c＝b+ c ac＝ bc 因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立. 探索新知 尝试与发现 补全下列 (1)(2) 中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： （1）a2－b2＝ __________________ (平方差公式)； （2）(x＋ y)2＝ _________________(两数和的平方公式)； （3）3x－6＝ 0； （4）(a＋b)c＝ ac＋bc； （5）m(m－1)＝ 0； （6）t3＋1＝ (t＋1)(t2－t＋1). (a＋b)＝(a－b) x2＋ 2xy＋ y2 探索新知 尝试与发现 （1）a2－b2＝(a＋b)＝(a－b)； （2）(x＋y)2＝ x2＋ 2xy＋ y2； （3）3x－6＝ 0； （4）(a＋b)c＝ ac＋bc； （5）m(m－1)＝ 0； （6）t3＋1＝ (t＋1)(t2－t＋1). 如果从量词的角度来对以上 6 个等式进行分类的话，可以知道，等式______________对任意实数都成立，而等式________只是存在实数使其成立. 例如 3x－6＝0 只有 x＝2 时成立， x 取其他数时都不成立. (1) (2) (4) (6) (3) (5) 探索新知 恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一. 例如，因为(x＋y)2＝ x2＋2xy＋y2 对任意 x，y 都成立，所以可用其他代数式去替换其中的 x，y，等式仍会成立，若用－z 替换其中的 y，则 (x－z)2＝x2＋2x(－z)＋(－z)2＝x2－2xz＋z2， 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式. 例 1 化简 (2x＋1)2 － (x －1)2. 典型例题 解：（方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即 例 1 化简 (2x＋1)2 － (x －1)2. 典型例题 （方法二）可以将 2x＋1 和 x－1 分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即 探索新知 下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有 (x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. 这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可. 可以利用这个恒等式来进行因式分解. 给定式子 x2＋Cx＋D，如果能找到 a 和 b，使得 D＝ab 且C＝a＋b，则 x2 ＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b). 探索新知 为了方便记忆，已知 C 和 D，寻找满足条件的 a 和 b 的过程，通常用下图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 例如，对于式子 x2＋5x＋6 来说，因为 2×3＝6 且 2＋3＝5，所以 x2＋5x＋6＝____________. (x＋2)(x＋3) 探索新知 尝试与发现 证明恒等式 (ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd. 并由此探讨 Ex2＋Fx＋G 的因式分解方法. 例如，对于 3x2＋11x ＋10来说，因为1×3＝3，2×5＝10，1×5＋3×2＝11，如图所示，所以 3x2＋11x＋10＝(x＋2)(3x＋5). 上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可. 据此也可进行因式分解. 探索新知 方程的解集 我们知道，方程的解 (或根) 是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集. 例如，对于方程 3x＋5＝－1 来说，首先在等式两边同时加上－5，可得 __________， 然后在上述等式两边同时乘以 ，则得 x＝－2，因此可知方程 3x＋5＝－1的解集为{－2}. 3x＝-6 不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集. 探索新知 从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果 ab＝0，则 a＝0或 b＝0. 利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集. 例如，由方程 (4x＋1)(x－1)＝0 可知 4x＋1＝0 或 x－1＝0， 从而 x＝－ 或 x＝1， 因此方程 (4x＋1)(x－1)＝0 的解集为{－，1}. 例 2 求方程 x2－5x＋6＝0的解集． 典型例题 解：因为 x2－5x＋6＝0＝(x－2)(x－3)， 所以原方程可以化为 (x－2)(x－3)＝0， 从而可知 x－2＝0 或 x－3＝0， 即 x＝2 或 x＝3，因此所求解集为{2，3}． 本例说明：如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为 (x－x1)(x－x2)= 0的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了. 探索新知 想一想 一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？ 一元二次方程的解集中不一定有两个元素． 对于方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）， 当Δ＝b2－4ac＝0时， 解集中有一个元素； 当Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实根，解集中没有元素． 当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根 解集中有两个元素； 例 3 求关于 x 的方程 ax＝2 的解集，其中 a 是常数． 典型例题 尝试与发现 例 3 求关于 x 的方程 ax＝2 的解集，其中 a 是常数． 典型例题 当堂检测 当堂检测 B 当堂检测 D 当堂检测 6 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 1.等式的性质； 2.恒等式； 3.方程的解集 感谢观看 祝同学新学期新气象 $$