第03讲集合间的关系（4大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第03讲集合间的关系（4大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断集合的子集（真子集）的个数 典型例题二 求集合的子集（真子集） 典型例题三 子集的概念 典型例题四 判断两个集合的包含关系 典型例题五 根据集合的包含关系求参数 典型例题六 根据两个集合相等求参数 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【典型例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例2】．已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 1．若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 4．已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 5．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 6．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 7．满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 8．若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【典型例题二 求集合的子集（真子集）】 【例1】．满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】．若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 1．若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则可能的取值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 5．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【典型例题三 子集的概念】 【例1】．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】．设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 3．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 6．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．    7．设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【典型例题四 判断两个集合的包含关系】 【例1】．下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【例2】．下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 1．（多选题）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 2．（多选题）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 4．（多选题）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 5．（多选题）已知集合M，N为全集U的子集，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则    6．（多选题）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 8．（多选题）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 【典型例题五 根据集合的包含关系求参数】 【例1】．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【例2】．已知全集，集合是的子集，且满足，则符合题意的有序集合组的个数为 ． 1．已知集合，，则集合的真子集个数为 . 2．下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 3．已知集合，若集合满足⫋，则集合 . 4．已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 5．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 6．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 7．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 8．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 【典型例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】．已知集合，，若，则 . 【例2】．已知，若集合，则 . 1．已知集合，其中，若，则 ． 2．已知集合，若，则实数的值是 . 3．已知集合，则 ． 4．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 6．已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 7． 确定整数，使. 8． 设集合，是否存在实数，使？ 一、单选题 1．已知集合，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 3．对于集合，，若一个集合为另一个集合的子集时，则称这两个集合，之间构成“全食”；当集合，且互不为对方子集时，则称集合､之间构成“偏食”.对于集合，，若集合，构成“全食”或构成“偏食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．32 B．4 C．5 D．31 二、填空题 5．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 6．已知集合，若，则实数的值为 . 7．选用适当的符号填空： （1）若集合，，则 ， ， ， （2）若集合，则 ， ， ， ； （3）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 8．满足的集合有 个． 9．已知集合，则集合A的真子集个数为 ． 10．交集由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成，即 ．如图． 11．已知全集U＝R，集合A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x－a≤0}，若，则实数a的取值范围是 12．真子集： （1）一般地，如果集合A是集合B的 ，并且B中 元素不属于A，那么集合A称为集合B的 ，记作： (或 )，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). （2）性质：对于集合A，B，C，如果，且，那么 . 13．设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则 14．子集： （1）一般地，如果集合A的 元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的 ，记作： （或 ），读作“A包含于B”或（“B包含A”） （2）规定： 是任意一个集合的子集，即 . （3）性质：对于集合A，B，C，如果，且，那么 . 15．子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 集合A中 元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有 ，称集合A是集合B的子集 A B（或B⊇A）    16．设S＝{r1，r2，…，rn}⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意两数之和不能被7整除，则n的最大值为 . 三、解答题 17．设，． (1)写出集合A的所有子集； (2)若B为非空集合，求a的值． 18． 已知集合，，且，求集合A. 19．已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 20．已知集合，集合，试证明． 21．已知集合A={4，a2+4a+2}，B={-2，7，2-a}． （1）若A∩B={7}，求A∪B； （2）若集合A⊆B，求A∩B． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲集合间的关系（4大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断集合的子集（真子集）的个数 典型例题二 求集合的子集（真子集） 典型例题三 子集的概念 典型例题四 判断两个集合的包含关系 典型例题五 根据集合的包含关系求参数 典型例题六 根据两个集合相等求参数 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【典型例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】结合“好子集”的定义，分三种情况即可. 【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 【例2】．已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 1．若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 3．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 4．已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 5．已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 6．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 7．满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 8．若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系写出集合，即可得答案. 【详解】由，则或. 故选：A 【典型例题二 求集合的子集（真子集）】 【例1】．满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 【例2】．若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可 【详解】若，则， 若，则， 若，则， 则为伙伴关系集合， 共7个 故选：B 1．若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 2．已知，则可能的取值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，得到得情况，即可得到答案. 【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得， 所以为或或； 当时，由知，， 所以为或； 当，则，所以为综上，共有8种取值． 故选：D． 3．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，转化为方程只有一个解，分和，两种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 4．已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】由于，,故, 故选：B 5．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 7．若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用交集的定义与子集定义即可得到结果. 【详解】因为，所以,又，所以, 故,即，由上分析得，，集合A一定不是集合C的子集， 故选：D 8．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 【典型例题三 子集的概念】 【例1】．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 【例2】．设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两个集合的形式统一，即通分后分母都为，问题即转化为讨论分子所构成的两个集合之间的关系. 【详解】， ， 因为奇数集，为整数集， 则，故. 故选：B 2．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 3．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 4．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 5．已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 6．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 7．设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 8．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 【典型例题四 判断两个集合的包含关系】 【例1】．下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 【例2】．下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 1．（多选题）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【分析】根据子集个数知集合中有2个元素，即对应方程有两个不同实根，进而求参数a的范围. 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 2．（多选题）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】，，，，， 可以是、和. 故选：ABC. 3．（多选题）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据已知条件，利用集合相等或包含关系的条件，分别研究各选项，从而做出正确选择． 【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 4．（多选题）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解. 【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 5．（多选题）已知集合M，N为全集U的子集，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用补集的定义判断A；由图结合补集的定义判断B；由图结合补集的定义以及集合的包含关系判断CD. 【详解】对于A，当时，显然成立，故A正确； 对于B，若，则由图1可得M不可能是的子集，故B错误； 对于C，若，则由图2可得成立，故C正确； 对于D，若，则由图3可得成立，故D正确.    故选：ACD. 6．（多选题）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【详解】当时，满足，此时； 当时，，此时， 因为，所以或， 即；或 综上所述，或或， 故选：BCD. 7．（多选题）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 8．（多选题）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】ACD 【分析】先求得集合，分类讨论，确定集合，根据，确定实数的值，得到答案. 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 【典型例题五 根据集合的包含关系求参数】 【例1】．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 【例2】．已知全集，集合是的子集，且满足，则符合题意的有序集合组的个数为 ． 【答案】192 【分析】利用韦恩图和集合之间的基本关系，计算得出结果. 【详解】作出韦恩图如图．由题意可得1，5可填充在区域Ⅱ，Ⅲ中，有种情况． 3可填充在区域Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，有3种情况． 2，4可填充在区域中，有种情况， 所以有序集合组的个数为． 故答案为：192. 1．已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 2．下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【分析】利用集合的相关概念及子集的意义判断命题①②③；利用推出符号的意义判断命题④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 3．已知集合，若集合满足⫋，则集合 . 【答案】 【分析】用列举法表示集合，根据集合间的基本关系得到集合. 【详解】由题意得，. ∵⫋，∴. 故答案为：. 4．已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 5．.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可. 【详解】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 6．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 7．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 【答案】1 【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解. 【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为， 所以，，即， 则，即或， 当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾， 故，， . 故答案为：1． 【典型例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】．已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【例2】．已知，若集合，则 . 【答案】2 【分析】根据集合相等的性质可得，从而可得结果 【详解】因为，所以，于是可得或， 由得，而无解，所以， 所以=2. 故答案为：2 1．已知集合，其中，若，则 ． 【答案】 【分析】根据元素的互异性即可求解. 【详解】，即，又，所以， 解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以． 时，符合要求， 故答案为： 2．已知集合，若，则实数的值是 . 【答案】 【分析】根据集合相等求解即可. 【详解】由于，所以， 所以. 故答案为： 3．已知集合，则 ． 【答案】 【分析】由两集合相等可得，，再利用集合中元素的互异性求出，代入从而可求出的值. 【详解】易知．∵， ∴，即， ∴，． 又由集合中元素的互异性，知， ∴， 故． 故答案为： 4．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 5．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 6．已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 7．确定整数，使. 【答案】， 【分析】根据集合相等的定义进行求解. 【详解】由集合相等的定义得，即； 或，即. 因为是整数，所以. 8．设集合，是否存在实数，使？ 【答案】存在 【分析】利用元素的互异性，直接分类讨论或列式间接分析，从而得解. 【详解】方法一（直接法） 由集合元素的互异性知，且，从而或． 当时，．由知． 此时，符合． 当时，，于是，即与矛盾． 综上，存在，使得． 方法二（间接法） 由，得，即 因为中或都与元素的互异性矛盾，故（Ⅰ）中只有， 代入，只有． 此时，，符合． 因此存在， 一、单选题 1．已知集合，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由先求出且，对照四个选项即可得到答案. 【详解】解：因为，且集合， 所以且， 根据选项情况，由此可以判定只能选择C． 故选：C 2．已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真子集的定义一一判断即可. 【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 3．对于集合，，若一个集合为另一个集合的子集时，则称这两个集合，之间构成“全食”；当集合，且互不为对方子集时，则称集合､之间构成“偏食”.对于集合，，若集合，构成“全食”或构成“偏食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合新定义，按照、分类，即可得解. 【详解】当时，，，符合题意； 当时，， 若集合，之间构成“全食”，则，解得； 当集合､之间构成“偏食”，则，解得； 所以的取值集合为. 故选：C. 4．已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．32 B．4 C．5 D．31 【答案】D 【分析】由条件确定集合A的元素个数，再求集合A的真子集个数. 【详解】∵ ∴为12的正约数，又， ∴ ，4，3，2，0 ∴集合， ∴ 集合A的真子集个数为31， 故选：D. 二、填空题 5．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【答案】 【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 【详解】因为，；，； ，；，； 这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集． 所以满足条件的集合的个数为， 故答案为：. 6．已知集合，若，则实数的值为 . 【答案】0 【分析】解方程即得解. 【详解】解：因为，所以（舍去）或， 所以. 故答案为：0 7．选用适当的符号填空： （1）若集合，，则 ， ， ， （2）若集合，则 ， ， ， ； （3）是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 【答案】 【分析】（1）求出集合，，由此能求出结果．（2）求出集合，由此能求出结果．（3）利用菱形与平行四边形的关系和等腰三角形与等边三角形的关系进行求解． 【详解】（1）∵集合， ∴．故答案为：． （2）∵集合，∴，故答案为：． （3）是菱形是平行四边形；是等边三角形是等腰三角形}．故答案为：． 8．满足的集合有 个． 【答案】7 【分析】根据非空子集的定义求解. 【详解】由题意可知与的非空子集的并集， 而的非空子集有有个， 所以满足条件的有7个， 故答案为：7. 9．已知集合，则集合A的真子集个数为 ． 【答案】3 【分析】根据集合A，写出其真子集，即可得答案. 【详解】因为集合， 所以集合A的真子集为、、， 所以集合A在真子集个数为3. 故答案为：3 10．交集 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成，即 ．如图． 【答案】集合与集合的交集. 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】交集是既属于集合，又属于集合的元素组成的集合. 故答案为：集合与集合的交集. 11．已知全集U＝R，集合A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x－a≤0}，若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】利用不等式的解法即可化简集合，，再利用集合的运算即可． 【详解】解：集合或，， ． ， ． 实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算性质，属于基础题． 12．真子集： （1）一般地，如果集合A是集合B的 ，并且B中 元素不属于A，那么集合A称为集合B的 ，记作： (或 )，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). （2）性质：对于集合A，B，C，如果，且，那么 . 【答案】 子集 至少有一个 真子集 【分析】略 【详解】略 13．设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则 【答案】 【分析】列举出集合的所有非空真子集，根据题意可求得的值. 【详解】集合的所有非空真子集为：、、、、、， 由题意可得，解得. 故答案为：. 14．子集： （1）一般地，如果集合A的 元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的 ，记作： （或 ），读作“A包含于B”或（“B包含A”） （2）规定： 是任意一个集合的子集，即 . （3）性质：对于集合A，B，C，如果，且，那么 . 【答案】 任意一个 子集 空集 【分析】略 【详解】略 15．子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 集合A中 元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有 ，称集合A是集合B的子集 A B（或B⊇A）    【答案】 任意一个 包含关系 ⊆ 【分析】略 【详解】略 16．设S＝{r1，r2，…，rn}⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意两数之和不能被7整除，则n的最大值为 . 【答案】23 【解析】根据S＝{r1，r2，…，rn}⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意两数之和不能被7整除，将中各数除以7的余数分为7类，进而分析出集合S中元素的最大个数，得到结果. 【详解】可将S集合分为6组 S0＝{7，14，21，28，35，42，49}，则card（S0）＝7 S1＝{1，8，15，22，29，36，43，50}，则card（S1）＝8 S2＝{2，9，16，23，30，37，44}，则card（S2）＝7 S3＝{3，10，17，24，31，38，45}，则card（S3）＝7 S4＝{4，11，18，25，32，39，46}，则card（S4）＝7 S5＝{5，12，19，26，33，40，47}，则card（S5）＝7 S6＝{6，13，20，27，34，41，48}，则card（S6）＝7 S中的任何两个数之和不能被7整除，故S1和S6，S2和S5，S3和S4中不能同时取数，且S0中最多取一个 所以最多的取法是取S1，S2（或S5），S3（或S4），和S0中的一个 故card（S）max＝8+7+7+1＝23 故答案为：23 【点睛】关键点点睛：将中各数除以7的余数将数分为7类，进而分析出集合S中元素的最大个数是本题的关键. 三、解答题 17．设，． (1)写出集合A的所有子集； (2)若B为非空集合，求a的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）求解即可得； （2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可. 【详解】（1）由解得或，则， 故集合A的子集为：； （2）B为非空集合，得或或， 由或代入可得，故a的值为3. 18．已知集合，，且，求集合A. 【答案】 【分析】先由集合相等得出等量关系式，求解未知量并结合集合中元素的互异性进行检验即可得解. 【详解】因为集合，，且， 所以或，解得或， 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，不符合， 当、时，，符合题意， 所以集合. 19．已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，，当时，． 又，所以，此时，满足． 所以当时，的取值集合为． （2）解：当时，，不成立； 当时，，，成立； 当且时，，，由，得，所以． 综上，的取值集合为． 20．已知集合，集合，试证明． 【答案】证明见解析 【分析】证明且，即得证. 【详解】证明：设，则存在，使得，因为，所以，因此，故． 设，则存在，使得，因为，所以，因此，故． 综上，． 21．已知集合A={4，a2+4a+2}，B={-2，7，2-a}． （1）若A∩B={7}，求A∪B； （2）若集合A⊆B，求A∩B． 【答案】（1）{-2，1，4，7}（2）{-2，4} 【分析】（1）由A∩B={7}可得出7∈A，从而得出a2+4a+2=7，解出a，并验证是否满足集合B，然后求出A，B，再求并集即可； （2）根据A⊆B即可得到2-a=4，从而求出a，再求出集合A，B，进行交集的运算即可． 【详解】（1）∵A∩B={7}； ∴7∈A； ∴a2+4a+2=7； 解得a=-5，或1； ①若a=-5，则2-a=7，不符合题意； ②若a=1，则A={4，7}，B={-2，7，1}； ∴A∪B={-2，1，4，7}； （2）∵A⊆B； ∴2-a=4； ∴a=-2； ∴A={4，-2}，B={-2，7，4}； ∴A∩B={-2，4}． 【点睛】本题考查列举法表示集合的定义，元素与集合的关系，子集的定义，以及交集和并集的运算，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$