第06讲充要条件及反证法（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第06讲充要条件及反证法（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断命题的充分不必要条件及求参数 典型例题二 充分条件的判定及性质 典型例题三 判断命题的必要不充分条件及求参数 典型例题四 必要条件的判定及性质 典型例题五 充要条件的证明 典型例题六 探索命题为真的充要条件 典型例题七 根据充要条件求参数 典型例题八 既不充分也不必要条件 典型例题九 反证法的概念及辨析 典型例题十 反证法证明 知识点01.充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点02.反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 知识点03.从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 【典型例题一 判断命题的充分不必要条件及求参数】 【例1】．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【例2】．已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 8．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典型例题二 充分条件的判定及性质】 【例1】．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 3．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 4．记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 5．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6．设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典型例题三 判断命题的必要不充分条件及求参数】 【例1】．设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【例2】．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 3．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【典型例题四 必要条件的判定及性质】 【例1】．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【例2】．函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 1．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“成等比数列”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 8．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典型例题五 充要条件的证明】 【例1】．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】．已知，设命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．设集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 4．（多选题）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 5．（多选题）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 7．（多选题）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 8．（多选题）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典型例题六 探索命题为真的充要条件】 【例1】．（多选题）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（多选题）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 1．下列命题中，真命题是（    ） A．函数的最小值为3 B．“”是“”的充分不必要条件； C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“”； D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件； 2．下列有关命题的叙述：其中正确的是（   ） A．若为假命题，则为真命题 B．空集是任何集合的真子集 C．命题：，则 D．命题：“”是“”的充要条件 3．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分条件 4．下列说法中正确的有（    ） A．命题“”，则命题的否定是“” B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“”是假命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 5．下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件        6．设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 7．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 8．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【典型例题七 根据充要条件求参数】 【例1】．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【例2】．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 1．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 2．已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 3． 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 4． 5． 若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 6． 设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有 (填序号) 7． 关于的方程的解为的充要条件是 ． 7．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 8．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【典型例题八 既不充分也不必要条件】 【例1】．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【例2】．在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 1．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 2． 已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 3． 设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 4．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 5．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 6．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题： 已知集合， (1)若且，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得是的__________条件.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 8．已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【典型例题九 反证法的概念及辨析】 【例1】．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【例2】．用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 1．设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 2．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 3．已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 4．利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 5．用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 6．用反证法证明命题：“设x，．若，则或”时，假设的内容应该是 ． 7．用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设 ． 8．用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 【典型例题十 反证法证明】 【例1】．已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【例2】．已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 1．（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 2． 设，证明：“”不是“”的必要条件. 3．已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 4．（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 5．（1）设，证明：的充要条件为． （2）设，求证：至少有一个为负数． 6．设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 7．（1）已知，试比较与的大小． （2）已知，．试用反证法证明至少有一个不小于． 8．若是成立的充分条件，则是成立的必要条件．( ) 一、单选题 1．集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．以下三个命题中，正确的个数是 ①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数在上有零点，则一定有. A． B． C． D． 二、填空题 5．若��是��的必要非充分条件，��是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是��的 条件，γ是��的 条件． 6．“”是“”的 条件．（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分又非必要”） 7．已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 8．下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 9．已知命题：方程无实数根，命题：；那么是的 条件.（用充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要填空） 10．已知，，若是的必要条件，则范围是 . 11．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 12．已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列．其中正确结论的序号是 ． 13．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 14．已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是 . 15．命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命题q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 . 16．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?“若p，则q”的命题满足上面条件，你能用数学语言概括出来吗? 18．设全集，集合，非空集合，其中． （1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 19． 设.证明：若是奇数，则n是奇数. 20．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 21．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲充要条件及反证法（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断命题的充分不必要条件及求参数 典型例题二 充分条件的判定及性质 典型例题三 判断命题的必要不充分条件及求参数 典型例题四 必要条件的判定及性质 典型例题五 充要条件的证明 典型例题六 探索命题为真的充要条件 典型例题七 根据充要条件求参数 典型例题八 既不充分也不必要条件 典型例题九 反证法的概念及辨析 典型例题十 反证法证明 知识点01.充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点02.反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 知识点03.从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 【典型例题一 判断命题的充分不必要条件及求参数】 【例1】．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 【例2】．已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且，可得，所以是的充分条件； 如，故是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 1．设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】若四边形ABCD为矩形，则它一定是平行四边形， 反之，若四边形ABCD为平行四边形，则它不一定是矩形. 故甲是乙的充分非必要条件． 故选：A. 2．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故． 3．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断. 【详解】由可知，或，，此时， 即“”“”； 但当时，取，，此时， 即“” “”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断. 【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到； 当时，若，就不能得到. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 7．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据点和圆的位置关系可得选项A错误；举例可说明选项B错误；根据等腰三角形和等边三角形的关系可得选项C错误；举例可说明选项D正确. 【详解】A. “点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，选项A错误. B. 若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等， 由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，选项B错误. C.由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，选项C错误. D.若，则，为无理数，但是有理数， 若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数， 故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，选项D正确. 故选：D. 8．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集即可求解. 【详解】，， 即“”是“” 必要不充分条件. 故选：B. 【典型例题二 充分条件的判定及性质】 【例1】．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 【例2】． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件. 1．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由得图： 或 对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于，故④错误.所以与等价的有①③，共2个. 2．下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题． 3．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 4．记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 5．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 6．设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分必要条件与集合的关系即可得解. 【详解】要使得选项中的条件是的一个必要不充分条件， 即集合是选项中的对应的集合的真子集， 对于A，不是的真子集，故A错误； 对于B，不是的真子集，故B错误； 对于C，不是的真子集，故C错误； 对于D，是的真子集，故D正确； 故选：D. 7．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．已知，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接利用充分和必要条件定义判断即可. 【详解】由，可得， 但若，不一定可得，也可能. 所以，但， 所以是的必要条件. 故选：B 【典型例题三 判断命题的必要不充分条件及求参数】 【例1】．设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合条件间的推出关系判断充分、必要关系. 【详解】当时，满足，但不满足且，充分性不成立； 当且时，必有，必要性成立； 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 【例2】．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 1．“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分类讨论求解，即可判断． 【详解】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 2．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 3．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 4．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5．“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断结合一元二次方程的根的情况可判断. 【详解】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 6．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 7．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】，故，得到答案. 【详解】因为， 所以， 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 8．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 【典型例题四 必要条件的判定及性质】 【例1】．设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 【例2】．函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】函数的图象的对称轴为直线， 函数的图象关于直线对称的充要条件是，即. 故选：B. 1．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 2．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 3．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举反例和可得出. 【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 6．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．“”是“成等比数列”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】据等比数列及充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】充分性：若，a或b为0时，，但此时不能构成等比数列，充分性不成立； 必要性：若成等比数列，则，即，必要性不成立. 故选：D. 8．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【典型例题五 充要条件的证明】 【例1】．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据可得，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得，所以充分性成立； 由，得，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【例2】．已知，设命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值判断充分性、必要性即可得解. 【详解】取，满足，但，充分性不成立， 取，满足，但，必要性不成立． 故p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D 1．设集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】应用特殊值法分别判断既不充分条件及不必要条件即可. 【详解】因为集合，， 所以但，故充分性不成立； 但，故必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用必要、充分条件的定义判断即可． 【详解】，推不出，例如：此时推不出“”， 反之，，推不出，例如：此时推不出“”， 所以是既不充分也不必要条件. 故选：D 3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 4．（多选题）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 5．（多选题）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 6．（多选题）下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，写出命题的否定，即可判断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误； 故选：BC. 7．（多选题）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 8．（多选题）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 【典型例题六 探索命题为真的充要条件】 【例1】．（多选题）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 【例2】．（多选题）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【答案】AB 【分析】分类讨论即可判断A；根据空集和交集的定义即可判断B；根据充分条件和必要条件的判定即可判断C；根据表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，即可判断D． 【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． 1．下列命题中，真命题是（    ） A．函数的最小值为3 B．“”是“”的充分不必要条件； C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“”； D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件； 【答案】BC 【分析】举反例判断A，D，利用充分不必要条件的定义判断B，利用充要条件的定义判断C即可. 【详解】对于A，令，则， 则函数的最小值不可能为3，故A错误， 对于B，对于充分性，当时，成立，则充分性成立， 对于必要性，令，满足，不满足，则必要性不成立， 得到“”是“”的充分不必要条件，故B正确， 对于C，对于充分性，将代入中， 得到，故充分性成立， 对于必要性，当时，则， 代入方程中，得到， 则，显然是方程的一个根，即必要性成立，故C正确， 对于D，令，， 满足，此时化为， 解得，故， 此时可化为， 解得，故，显然， 则“”不可能是“”的充要条件，故D错误. 故选：BC 2．下列有关命题的叙述：其中正确的是（   ） A．若为假命题，则为真命题 B．空集是任何集合的真子集 C．命题：，则 D．命题：“”是“”的充要条件 【答案】AC 【分析】由命题及其否定真假相反可判断A，由空集的概念可判断B，由特称命题的否定为全称命题可判断C，通过可得判断D; 【详解】对于A，由命题及其否定一定一真一件可知，故正确； 对于B：空集不是空集的真子集，故错误； 对于C：，则，故正确； 对于D，若，时，则不成立，故错误； 故选：AC 3．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分条件 【答案】AD 【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，D，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C． 【详解】命题“”的否定是“”，A对； 当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错； 当时，，C错； 由可得，所以是的充分条件，D对. 故选：AD. 4．下列说法中正确的有（    ） A．命题“”，则命题的否定是“” B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“”是假命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C；利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】对于A：命题的否定是，，故A正确； 对于B：不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C：当时，，故C正确； 对于D：关于的方程有一正一负根， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 5．下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误.   对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.   对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误.   对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.   故选：ABC. 6．设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【详解】 若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确． 7．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 8．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 【典型例题七 根据充要条件求参数】 【例1】．已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 【例2】．已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 1．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 2．已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【答案】2 【详解】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2． 4．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 5．设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有 (填序号) 【答案】③ 【分析】根据各项中集合的交并补关系判断的包含关系即可得答案. 【详解】由、、，均等价于， 由，等价于， 所以的充要条件的有③. 故答案为：③ 6．关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 7．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 8．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【详解】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 【典型例题八 既不充分也不必要条件】 【例1】．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 【例2】．在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，利用交集概念求出答案； （2）选①②，得到，进而得到不等式，求出；选③，需满足或，求出答案. 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以； （2）若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或 1．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 2．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 3．设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 4．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 5．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 6．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 7．在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题： 已知集合， (1)若且，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得是的__________条件.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】由于且， 可得或，求解即可得到答案. 利用中的集合对①②③中的三个条件分别进行判断即可得. 【详解】（1），且， 可得或， 所以或， 故， 所以实数的取值范围为. （2）若选①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集， 因为，集合， 所以且前两个不等式等号不能同时成立， 所以， 所以实数的取值范围是； 若选②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 因为，集合， 所以且等号不能同时成立，所以， 所以实数的取值范围是； 若选③，即是成立的充要条件，集合等于集合， 因为，集合， 所以，方程组无解， 所以满足题意的不存在. 8．已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 【典型例题九 反证法的概念及辨析】 【例1】．用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 【例2】．用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除 【分析】根据反证法的步骤填写即可. 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 1．设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 2．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【答案】或 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 3．已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【答案】m、n不都是奇数 【分析】根据题意结合反证法即可得结果. 【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”， 利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 4．利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【答案】或 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 5．用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 【答案】x、y两个都大于0 【分析】根据反证法证明命题的特征，否定命题的结论即可. 【详解】依题意，给定命题的结论是：x、y中至多有一个大于0，其否定为：x、y两个都大于0. 故答案为：x、y两个都大于0 6．用反证法证明命题：“设x，．若，则或”时，假设的内容应该是 ． 【答案】且 【分析】根据给定条件，利用反证法直接写出结论的否定即可. 【详解】依题意，假设的内容应该是：且. 故答案为：且 7．用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设 ． 【答案】、、至少有一个为 【分析】利用反证法的概念可得出结论. 【详解】用反证法证明命题“若，则、、都不为”时, 应假设、、至少有一个为. 故答案为：、、至少有一个为. 8．用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 【答案】三角形内所有角均小于 【分析】根据反证法证明的规则求解即可. 【详解】根据反证法证明的规则，假设的内容是：三角形内所有角均小于. 故答案为：三角形内所有角均小于. 【典型例题十 反证法证明】 【例1】．已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故； （2）取，此时，符合； （3）当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 【例2】．已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由指数函数的单调性即可求解不等式； （2）先假设都小于，然后求得解集为，从而可得假设不成立，即可证明. 【详解】（1）由可得，即. （2）证明：假设都小于，即， 所以，即，解集为， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 中至少有一个大于或等于． 1．（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 2．设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明见解析 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 3．已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用三角形的性质，列出不等式组，即可求解； （2）假设，得到，求得，结合反证法，即可得证. 【详解】（1）解：在中，因为， 由三角形的性质，可得，解得， 所以第三条边长度的所有可能值组成的集合为. （2）解：假设，因为，所以， 所以，所以，这与为锐角三角形相矛盾， 所以假设不成立，所以. 4．（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先假设均大于等于，则，再根据基本不等式推出，与假设矛盾，即可证明； （2）先根据已知条件求出，再假设中都小于，求出的范围与已知矛盾，即得证. 【详解】解：（1）假设均大于等于， 则， 则， 且互不相同， ， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 这与均大于等于矛盾， 故假设不成立， 则且互不相同时， 中至少有一个小于． （2）， ， ， ， 则， 故， 假设中都小于， 即，，， 即与矛盾， 故中至少有一个不小于． 5．（1）设，证明：的充要条件为． （2）设，求证：至少有一个为负数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）分别证明充分性和必要性即可. （2）方法一：采用反证法，先假设，对两边平方并整理，根据假设的的范围分析得到与题干矛盾的结论，从而假设错误，结论得证. 方法二：采用反证法，先假设，根据可得，从而得到，相加得到，与题干条件矛盾，从而假设错误，结论得证. 【详解】（1）充分性：若，则， ， ，， ． 必要性：若， 则，， ， ． （2）方法一：假设， ， ， ， ， ， ，与矛盾， 至少有一个为负数． 方法二：假设， ， ， ， ， 与矛盾， 至少有一个为负数． 6．设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据求解，即可证明； （2）利用反证法，即可证明. 【详解】（1）假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故. （2）假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 7．（1）已知，试比较与的大小． （2）已知，．试用反证法证明至少有一个不小于． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）通过作差法比较代数式的大小； （2）假设都小于，得到，而通过计算的式子可得，两者相互矛盾，从而得证. 【详解】（1）解：由题意，知 因为，所以，，， 所以，即． （2）假设都小于，即 则有① 而② ①与②矛盾，故至少有一个不小于． 8．若是成立的充分条件，则是成立的必要条件．( ) 【答案】正确 【分析】根据充分、必要条件的定义分析判断. 【详解】若是成立的充分条件，则是成立的必要条件． 故答案为：正确. 一、单选题 1．集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合,解不等式或即得解. 【详解】解：，． 因为“”是“”的充分条件，即当时，成立， 所以或，即． 故选：C． 2．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】依题意可得（等号不同时成立），求出的范围，再检验端点值是否符合题意. 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件定义判断即可. 【详解】由题意，但不能得出， 是的必要不充分条件. 故选：B. 4．以下三个命题中，正确的个数是 ①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数在上有零点，则一定有. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于①，利用否命题的定义直接写出，举反例判断出命题错误；对于②，在中，利用正弦定理判断出命题正确；对于③，举反例得出命题错误． 【详解】对于①，命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是周期函数，则不是三角函数”，举反例：函数是三角函数，不具有周期性，①错；对于②，在中，当时，由正弦定理有，由大边对大角有；当时，，由正弦定理有，所以“”是“”成立的充要条件，②正确；对于③，举反例：函数在上有零点，但不符合.只有个正确， 故选：B. 二、填空题 5．若��是��的必要非充分条件，��是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是��的 条件，γ是��的 条件． 【答案】 充分不必要 充分不必要 【分析】先由已知条件，转化为相互间的推出关系，利用充分必要条件的定义，判断得出结论． 【详解】由是的必要非充分条件，得，不能推出； 由是的充要条件，得； 由是的必要非充分条件，得，不能推出； 因此，不能推出，， 不能推出， 因此是的充分不必要条件，是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要；充分不必要 6．“”是“”的 条件．（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分又非必要”） 【答案】充分非必要 【分析】利用定义法直接判断. 【详解】由“”可以推出“”.故充分性满足； 当时，满足“”，但是不满足“”，故必要性不满足. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 7．已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为，，因为是的必要不充分条件， 所以. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 8．下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 【答案】（2） 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件． （2）由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件． 故答案为：（2） 9．已知命题：方程无实数根，命题：；那么是的 条件.（用充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要填空） 【答案】充分非必要 【解析】利用充分非必要条件的定义求解即可． 【详解】命题：，解得 命题： 那么是的充分非必要条件 故答案为：充分非必要 10．已知，，若是的必要条件，则范围是 . 【答案】 【分析】先求得集合，把是的必要条件，转化为，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 因为是的必要条件，即，可得，可得， 所以实数范围是. 故答案为：. 11．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 【答案】 【分析】条件，条件，根据p是q的必要条件，可得．因此，或，．分类讨论即可得出． 【详解】解：条件， 条件， 是的必要条件，． ，或，． 时，满足题意． 时，若，则，解得． 若，则，解得． 综上可得：的取值集合是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】首先利用基本不等式求得，然后分类讨论的取值范围，由此证得的公比为.利用反证法证得，同时求得，由此得出正确正确结论. 【详解】因为， 所以①，下证等比数列的公比. 若，则，则当时，，此时，与①矛盾； 若，则，则当时，此时，与①矛盾. 故，故.下证，若，则，于是， 由得，所以中至少有两项相同，矛盾. 所以，所以， 所以正确的序号是①③④. 【点睛】本小题主要考查基本不等式的运用，考查分类讨论的思想方法，考查反证法等知识，属于难题. 13．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】解一元二次不等式求得，根据是的必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】由，解得. 所以. 由于是的必要不充分条件，所以， 解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据必要不充分条件求参数，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 14．已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】先依题意判断集合B是集合A的真子集，再讨论集合B是否空集求参数m的取值范围即可. 【详解】因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集. 当时即，集合A的真子集，符合题意； 当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故； 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的应用，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 15．命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命题q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】m≥1或m≤﹣7 【解析】先求出命题p和命题q中不等式的解，再根据必要不充分条件列不等式求解. 【详解】解：由x2+3x﹣4＜0得﹣4＜x＜1， 由（x﹣m）2＞3（x﹣m）得（x﹣m﹣3）（x﹣m）＞0， 即x＞m+3或x＜m， 若p是q的必要不充分条件， 则1≤m或m+3≤﹣4， 即m≥1或m≤﹣7， 故答案为：m≥1或m≤﹣7. 【点睛】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题. 16．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 三、解答题 17．已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?“若p，则q”的命题满足上面条件，你能用数学语言概括出来吗? 【答案】答案见解析 【分析】根据充分条件及必要条件判断即可. 【详解】因为p：整数a是6的倍数，则该整数a一定是2和3的倍数，故p是q的充分条件， 又因为q：整数a是2和3的倍数，则该整数a是6的倍数，故p是q的必要条件. 数学语言概括：，即. 18．设全集，集合，非空集合，其中． （1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）化简集合，根据 “”是“”的必要条件， 由B⊆A，结合集合是非空集合求解； （2）根据命题“，”是真命题，由求解. 【详解】（1）不等式，即为，且，解得， 所以， 因为“”是“”的必要条件，所以B⊆A，又集合是非空集合， 所以，解得； （2）由（1）知：， 因为命题“，”是真命题，所以， 所以，解得. 19．设.证明：若是奇数，则n是奇数. 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法，结合奇数与偶数的性质即可得解. 【详解】假设不是奇数，则是偶数，设，，则， 因为，则， 所以是偶数，即为偶数，这与已知为奇数矛盾， 所以假设不成立，即是奇数. 20．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【详解】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 21．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由q是p的必要不充分条件，可得p、q对应集合A、B的包含关系BA，再求出A的集合，即可求参数a的范围 【详解】q是p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA 由p：x2－5ax＋4a2<0，得(x－4a)(x－a)<0 ∵a > 0 ∴A＝(a,4a)，又B＝(2,5] 则a≤2且4a>5，解得<a≤2. ∴实数a的取值范围为 【点睛】本题考查了利用必要条件得到对应集合的包含关系，进而求参数的范围，注意两个否命题的充分或必要关系，与原命题的充分或必要关系是相反的 学科网（北京）股份有限公司 $$