第05讲命题（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第05讲命题（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 命题的概念及真假 典型例题二 写出原命题的否命题及真假判断 典型例题三 写出原命题的逆命题及真假判断 典型例题四 写出原命题的逆否命题及真假判断 典型例题五 逆否命题在证明中的应用 典型例题六 原命题与逆否命题等价性的应用 典型例题七 已知命题的真假求参数 知识点01. 命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 知识点02. 命题的真假 1 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【典型例题一 命题的概念及真假】 【例1】．（多选题）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【例2】．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 1．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 3．下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 5．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 6．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 7．已知命题；命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 8．命题“若，则”的否命题是（    ） A．“若，则” B．“若，则” C．“若，则” D．“若，则” 【典型例题二 写出原命题的否命题及真假判断】 【例1】．“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 【例2】．陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 1．已知，，则命题“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则或 C．若且，则 D．若或，则 2．“若两直线平行，则同位角相等”的逆命题是（    ） A．若同位角相等，则两直线不平行 B．若两直线平行，则内错角相等 C．若内错角相等，则两直线不平行 D．若同位角相等，则两直线平行 3．命题p：“若a<b，则a3<b3”的逆命题为q，则p与q的真假性为（    ） A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 4．下列命题是真命题的是（    ） A．函数是幂函数； B．命题“是的倍数或是的倍数”是真命题； C．若命题，则； D．“若为的极值点，则”的逆命题为真命题. 5．在下列命题中，真命题是（    ） A．“时，”的否命题 B．“若，则”的逆命题； C．若，则 D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 6．有下列四个命题： ①“若，则互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 7．下列判断中不正确的是（　　） A．命题“若，则”的逆否命题为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知a，b，，若，则”的逆命题是真命题 D．“若，则”是假命题 8．设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（    ） A．若方程有实根，则 B．若方程没有实根，则 C．若方程有实根，则 D．若方程没有实根，则 【典型例题三 写出原命题的逆命题及真假判断】 【例1】．命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】．有下列三个命题：①“若，则互为相反数”的否命题；②“若，则”的否命题；③“若或，则”的逆否命题.其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 1．下列命题中，真命题是（    ） A．命题“若a>b，则ac2>bc2” B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题 C．命题“当”的否命题 D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题 2．已知命题：若，则，在命题与其逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 3．命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆否命题是（    ） A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数 B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数 C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数 D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数 4．下列说法中正确的个数是（    ） ①若为真命题，则均为真命题； ②设，命题“若，则”的否命题是真命题； ③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”. A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列关于命题的说法错误的是 A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 C．命题“，使得”的否定是“，均有” D．“若为的极值点，则”的逆命题为真命题 6．有下列四个命题（1）“若，则”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题．其中真命题为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（1）（2）（3） 7．若命题“如果p,那么q”为真,则(　　) A．q⇒p B．p⇒q C．q⇒p D．q⇒p 8．有下列四个命题： ①“若，则互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若，则有实数解”的逆否命题； ④“若，则”的逆否命题. 其中真命题为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【典型例题四 写出原命题的逆否命题及真假判断】 【例1】．已知均为正数，且，甲、乙两位同学作出如下判断： 甲说：中至少有一个数小于4； 乙说：若，则a，b，c中至少有一个数不大于1 则关于甲、乙两位同学的判断正确的是（    ） A．甲错误、乙错误 B．甲错误、乙正确 C．甲正确、乙错误 D．甲正确、乙正确 【例2】．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 1．有下列四个命题： ①“若，则互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若，则有实数解”的逆否命题; ④“若，则”的逆否命题． 其中真命题为（    ） A．①② B．②③ C．④ D．①②③ 2．已知命题“若，则”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（    ） A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖 C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒 4．已知命题“若，则”，在它的逆命题､否命题､逆否命题中，真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列命题中的真命题是（    ） ①“若，则、不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若，则有实根”的逆否命题； ④“若，则是无理数”的逆否命题． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 6．（多选题）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 7．（多选题）下列命题：其中真命题的序号为（    ） A．“若，则”的否命题； B．“若，则的解集为”的逆否命题； C．“周长相等的圆面积相等”的逆命题； D．“若为有理数，则为无理数”的逆否命题. 8．（多选题）下列有关命题的说法正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题是真命题； B．命题“若，则”的否命题是“若，则” C．命题“，都有”的否定是“，使得” D．若为假命题，则、都为假命题 【典型例题五 逆否命题在证明中的应用】 【例1】．陈述句或，则的否定形式： 【例2】．“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的否命题是 ． 1．命题：若，则，则其否命题是 . 2．“若，则”的否定形式为 ． 3．“且”的否定形式为 . 4．命题“若，则”的否命题是 ． 5．命题p：已知n∈Z，“若是奇数，则n是奇数”的逆命题为 ． 【典型例题六 原命题与逆否命题等价性的应用】 【例1】．命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为 . 【例2】．命题“若，则不都小于1”的逆否命题为 ． 1．下列命题中为真命题的是 ．（填序号） ①命题“若，则”的否命题； ②命题“若，则”的逆命题； ③命题“若，则”的否命题； ④命题“若，则”的逆否命题． 2．有下列四个命题： ①“若，则，互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则有实根”的逆命题； ④“等边三角形的三个内角相等”的逆否命题； 其中真命题的序号是 . 3．以下关于命题的说法正确的有 （填写所有正确命题的序号）． ①“若，则”是真命题； ②命题“若，则”的否命题是“若，则”； ③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若，则”与命题“若，则”等价． 4．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 5．给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值： ； . 6．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 7．证明：若，则. 8．证明：“已知、，若，则.”为真命题. 【典型例题七 已知命题的真假求参数】 【例1】．求证:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 【例2】．判断命题“若与的积不是有理数，则至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由. 1．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 2．已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 3．已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 4．已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 5．命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 6．已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 7．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 8．已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 一、单选题 1．设命题，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．对“是不全相等的正数”，给出下列判断： ①；②与及中至少有一个成立； ③不能同时成立，其中判断正确的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知命题，总有，则为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 5．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 6．已知，命题“若，则”是 命题(填“真”或“假”). 7．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 . 8．设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题： ①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量； ②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量； ③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是 ． 9．设为正实数，现有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的编号） 10．命题：“，”的否定是 . 11．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①已知，“且”是“”的充分条件； ②已知平面向量，，“且”是“”的必要不充分条件； ③已知，“”是“”的充分不必要条件； ④命题：“，使且”的否定为“，都有且”． 12．已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 . 13．甲､乙､丙三人参加数学知识应用能力比赛,他们分别来自A､B､C三个学校,并分别获得第一､二､三名:已知:①甲不是A校选手;②乙不是B校选手;③A校选手不是第一名;④B校的选手获得第二名;⑤乙不是第三名.根据上述情况,可判断出丙是 校选手,他获得的是第 名. 14．下列命题中正确命题的序号是 ． ①若，则； ②设，且，则的最大值为9； ③数列首项为1，A、B、C三点共线，且，则数列为等差数列； ④对任意，都有的否定为：存在，使得． 15．已知命题，则命题的否定是 ． 16．已知命题，则该命题是 （填“真命题”或“假命题”）. 三、解答题 17．已知命题p：函数的值域为，命题q：，使得不等式． (1)若p为真，求实数a的取值范围； (2)若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围． 18．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值集合． 19．命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 20．（1）若四边形的对角线将四边形分成面积相等的两个三角形，证明：直线必平分对角线； （2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？ 21．设命题p：实数x满足，其中；命题q：． 若，且为真，求实数x的取值范围； 若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲命题（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 命题的概念及真假 典型例题二 写出原命题的否命题及真假判断 典型例题三 写出原命题的逆命题及真假判断 典型例题四 写出原命题的逆否命题及真假判断 典型例题五 逆否命题在证明中的应用 典型例题六 原命题与逆否命题等价性的应用 典型例题七 已知命题的真假求参数 知识点01. 命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 知识点02. 命题的真假 1 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【典型例题一 命题的概念及真假】 【例1】．（多选题）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 【例2】．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 【答案】D 【分析】先分析甲乙去过的城市数，然后根据甲乙的说法进行判断即可. 【详解】由题意可判断出甲去过两个城市，乙去过一个城市， 因为甲没去过B城市，所以甲去过A和C城市， 又因为乙没去过C城市且和甲去过同一城市，所以乙一定去过A城市， 故选：D. 1．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2．下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 3．下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则不成立，故A错误；对于B，当时，恒成立，故B正确；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，若，则不成立，故D错误. 4．下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 5．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 6．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C 7．已知命题；命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】B 【分析】代入具体数值可判断命题和的真假，即可得到和的真假. 【详解】因为当时，成立，故命题为真命题，为假命题； 当时，，故命题为假命题，为真命题. 故选：B. 8．命题“若，则”的否命题是（    ） A．“若，则” B．“若，则” C．“若，则” D．“若，则” 【答案】D 【分析】根据四种命题的定义，准确改写，即可求解. 【详解】根据题意，结合四种命题的定义，可得： 命题“若，则”的否命题是“若，则”. 故选：D. 【典型例题二 写出原命题的否命题及真假判断】 【例1】．“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 【答案】A 【分析】由否命题的定义判断． 【详解】条件结论都加以否定得否命题， 若，则或”的否命题是：若，则且， 故选：A． 【例2】．陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【答案】C 【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】“或”的否定形式是：且. 故选：C 1．已知，，则命题“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则或 C．若且，则 D．若或，则 【答案】A 【分析】根据命题“若，则”的否命题是“若，则”，直接写出它的否命题即可. 【详解】命题“若，则或”的否命题是 “若，则且”. 故选：A. 2．“若两直线平行，则同位角相等”的逆命题是（    ） A．若同位角相等，则两直线不平行 B．若两直线平行，则内错角相等 C．若内错角相等，则两直线不平行 D．若同位角相等，则两直线平行 【答案】D 【分析】根据逆命题的定义判断. 【详解】若两直线平行，则同位角相等的逆命题为若同位角相等，则两直线平行. 故选：D. 3．命题p：“若a<b，则a3<b3”的逆命题为q，则p与q的真假性为（    ） A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 【答案】A 【分析】利用函数的单调性即可作出判断. 【详解】∵在上为增函数， ∴， ∴p与q均为真命题. 故选：A. 4．下列命题是真命题的是（    ） A．函数是幂函数； B．命题“是的倍数或是的倍数”是真命题； C．若命题，则； D．“若为的极值点，则”的逆命题为真命题. 【答案】B 【分析】对于：由幂函数的定义，可判断是否正确； 对于：令命题为：47是7的倍数，是假命题，命题为：49是7的倍数，是真命题，由复合命题的真假判断原则，可判断是否正确； 对于：若命题，则或，可判断是否正确； 对于：“若为的极值点，则”的逆命题为“若，则为的极值点”是假命题，比如，可判断是否正确． 【详解】解：对于：函数的系数不是1，所以不是幂函数，故错误； 对于：令命题为：47是7的倍数，是假命题，命题为：49是7的倍数，是真命题， 所以命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，故正确； 对于：若命题，则或，故错误； 对于：“若为的极值点，则”的逆命题为“若，则为的极值点”是假命题， 比如，导数为，由，但不为的极值点，故错误． 故选：B． 5．在下列命题中，真命题是（    ） A．“时，”的否命题 B．“若，则”的逆命题； C．若，则 D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【答案】D 【分析】A、写出其否命题,然后再举反例作判断； B、写出其逆命题，即可判断； C、恒成立,进行判断； D、根据原命题与逆否命题之间的关系进行判断. 【详解】A. “时，”的否命题为“x≠2时, ”,因为当x=1时,∴A错误； B. “若，则”的逆命题:“若,则”,∵可解得：,故B错误； C. 若，则.∵恒成立,故C错误； D.∵根据相似三角形的性质,其对应角相等,是真命题,再由于原命题和其逆否命题的关系可知“相似三角形的对应角相等”的逆否命题也是真命题,故D正确. 故选:D. 6．有下列四个命题： ①“若，则互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用逆命题的定义判断①和④，利用否命题的定义判断②，由原命题和逆否命题的关系判断③． 【详解】①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题； ②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题； ③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题； ④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形” 故选：C 7．下列判断中不正确的是（　　） A．命题“若，则”的逆否命题为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知a，b，，若，则”的逆命题是真命题 D．“若，则”是假命题 【答案】C 【分析】A中,根据题意判断原命题的真假性即可; B中,写出原命题的否命题,再判断它的真假性; C中,写出原命题的逆命题,再判断它的真假性; D中,举例说明该命题是假命题即可 【详解】对于A：时， ，此时，是真命题，∴它的逆否命题也为真命题，故A正确； 对于B：“矩形的两条对角线相等”的否命题是如果四边形不是矩形,则它的对角线不相等,它是假命题,如等腰梯形的对角线相等,∴B正确； 对于C：,若,则,它的逆命题是:若,则,它是假命题,因为m=0时不成立,∴C错误； 对于D：若,则x=1时, ，所以是假命题,D正确. 故选：C 8．设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（    ） A．若方程有实根，则 B．若方程没有实根，则 C．若方程有实根，则 D．若方程没有实根，则 【答案】B 【分析】由逆否命题的定义判定即可. 【详解】原命题的逆否命题是将条件与结论互换并分别否定， 即命题“若，则方程有实根”的逆否命题是“若方程没有实根，则”. 故选：B 【典型例题三 写出原命题的逆命题及真假判断】 【例1】．命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用逆否命题的定义求解. 【详解】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”. 故选：D 【例2】．有下列三个命题：①“若，则互为相反数”的否命题；②“若，则”的否命题；③“若或，则”的逆否命题.其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据否命题的定义写出①②中命题的否命题并判断真假，根据原命题和逆否命题的真假性关系可得③的真假性. 【详解】对于①，“若，则互为相反数”的否命题为“若，则不互为相反数”；由相反数定义可知原命题的否命题为真命题； 对于②“若，则”的否命题为“若，则”， 当，时，，原命题的否命题为假命题； 对于③，当，时，，即原命题为假命题，其逆否命题为假命题； 综上所述：真命题的个数为. 故选：B. 1．下列命题中，真命题是（    ） A．命题“若a>b，则ac2>bc2” B．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题 C．命题“当”的否命题 D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题 【答案】D 【分析】根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项． 【详解】A．当时，不成立，A错； B．命题“若，则”的逆命题是若，则，错误，也可能是； C．命题“当时，”的否命题是若，则，错误，时，也有； D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，逆否命题也是真命题． 故选：D． 2．已知命题：若，则，在命题与其逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用反例法逐个判断即可，其中原命题与逆否命题同真假. 【详解】当时，满足，但不成立，所以命题是假命题，则命题的逆否命题也是假命题； 命题的否命题是：若，则，当时，满足，但不成立，所以命题的否命题是假命题； 命题的逆命题是：若，则，当时，满足，但不成立，所以命题的逆命题是假命题， 综上，在命题与其逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中，真命题的个数是0. 故选：A. 3．命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆否命题是（    ） A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数 B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数 C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数 D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数 【答案】D 【分析】否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件， 得到的命题是原命题的逆否命题. 【详解】命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆否命题 是：“若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数”. 故选：D. 4．下列说法中正确的个数是（    ） ①若为真命题，则均为真命题； ②设，命题“若，则”的否命题是真命题； ③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】依次判断各个命题即可得答案. 【详解】解：①若为真命题，则至少有一个为真命题，均为真命题不一定成立，故错误； ②设，命题“若，则” 否命题是“若，则”，为真命题，故正确； ③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确. 所以，说法中正确的个数是2个. 故选:C 5．下列关于命题的说法错误的是 A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 C．命题“，使得”的否定是“，均有” D．“若为的极值点，则”的逆命题为真命题 【答案】D 【分析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案. 【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确； B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确； C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是" ，均有,所以C正确； D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若为的极值点，则”的逆命题为假命题, 故选D. 【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识. 6．有下列四个命题（1）“若，则”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题．其中真命题为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】分别写出命题的逆命题、否命题、逆否命题判断（1），（2），（3）；由互为逆否命题的两个命题共真假判断（4）． 【详解】（1）的逆命题：“若，则”是真命题; （2）的否命题：“面积不相等的三解形不是全等三角形”是真命题； （3）的逆否命题：“若没有实数解，则m>1”是真命题； 命题（4）是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A={1，2，3，4，5}，B={4，5}，显然是错误的，故选D． 【点睛】在判断四种命题之间的关系时，首先要清楚命题的条件和结论，确定一个命题为原命题，就相应的有了它的“逆命题”，“否命题”，“逆否命题”；互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性． 7．若命题“如果p,那么q”为真,则(　　) A．q⇒p B．p⇒q C．q⇒p D．q⇒p 【答案】C 【详解】分析：和原命题等价的命题是逆否命题，所以直接写出逆否命题即可. 详解：互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们具有相同的真假性， 原命题的逆否命题为若q，则p， q⇒p. 故选：C. 点睛：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 8．有下列四个命题： ①“若，则互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若，则有实数解”的逆否命题； ④“若，则”的逆否命题. 其中真命题为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据四种命题之间的关系逐一判断即可. 【详解】①“若，则互为倒数”的逆命题为“若互为倒数，则”是真命题，故①正确； ②“面积相等的三角形全等”的否命题为“面积不相等的三角形不全等” 是真命题，故②正确； ③有实数解，则，解得，所以“若，则有实数解”的逆否命题为“若没有实数解，则”是真命题，故③正确； ④因为，则，故原命题为假命题，所以 “若，则”的逆否命题为假命题，故④错误. 故选：C 【典型例题四 写出原命题的逆否命题及真假判断】 【例1】．已知均为正数，且，甲、乙两位同学作出如下判断： 甲说：中至少有一个数小于4； 乙说：若，则a，b，c中至少有一个数不大于1 则关于甲、乙两位同学的判断正确的是（    ） A．甲错误、乙错误 B．甲错误、乙正确 C．甲正确、乙错误 D．甲正确、乙正确 【答案】D 【分析】对于甲同学的命题可以从反面考虑，对于乙同学的命题可以考虑其逆否命题是否正确. 【详解】对于甲同学的话，均为正数，假设都不小于4，则，与已知矛盾，即甲正确； 对于乙同学的话，不妨考虑其逆否命题的正确性，假设均大于1， 设，，，即 ，则 ， 与已知矛盾，即乙正确． 故选：D． 【例2】．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原命题和它的逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可. 【详解】原命题：若，则是真命题，它的逆否命题为真命题， 逆命题为：若，则为假命题．否命题为假命题， 所以在三个命题中真命题的个数是， 故选：B． 1．有下列四个命题： ①“若，则互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若，则有实数解”的逆否命题; ④“若，则”的逆否命题． 其中真命题为（    ） A．①② B．②③ C．④ D．①②③ 【答案】D 【分析】写出命题①的逆命题，再判断真假； 写出命题②的否命题，再判断真假； 判断出命题③是真命题，得到③的逆否命题也是真命题； 判断出命题④是假命题，得到④的逆否命题也是假命题. 【详解】①的逆命题为：“若x，y互为倒数，则”,显然是真命题； ②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”，为是真命题； 命题③：当时，，则有实数解， 故③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题； 命题④：若，则，故④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题． 故选：D． 2．已知命题“若，则”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】首先要判断原命题和逆命题的真假，然后由原命题与逆否命题和逆命题与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同，从而获得解答. 【详解】对于原命题“若，则”，故原命题为真命题； 又因为逆命题为“若，则”，当时，显然有，所以逆命题是假命题. 又由原命题与逆否命题和逆命题与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同. 所以原命题与逆否命题都是真命题，逆命题与否命题都是假命题. 故逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，只有逆否命题是真命题. 故选：B. 3．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（    ） A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖 C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒 【答案】C 【分析】根据原命题和其逆否命题同真假即可解. 【详解】“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”. 故选：C. 4．已知命题“若，则”，在它的逆命题､否命题､逆否命题中，真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】由原命题可判断逆否命题真假，写出逆命题，可判断逆命题､否命题真假. 【详解】由原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真同假可知，原命题“若，则”显然为真，故逆否命题为真；逆命题为：“若，则”，逆命题为假，则否命题也为假，故真命题个数为1个. 故选：B 5．下列命题中的真命题是（    ） ①“若，则、不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若，则有实根”的逆否命题； ④“若，则是无理数”的逆否命题． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题可根据原命题得出逆命题和否命题，然后判断它们的真假，也可通过原命题与逆否命题的真假性相同来判断. 【详解】①：“若，则、不全为零”的否命题是“若，则、全为零”，是真命题； ②：“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，是假命题； ③：，“若，则有实根”是真命题， 故其逆否命题也是真命题； ④：“若，则是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题， 故选：B. 6．（多选题）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 7．（多选题）下列命题：其中真命题的序号为（    ） A．“若，则”的否命题； B．“若，则的解集为”的逆否命题； C．“周长相等的圆面积相等”的逆命题； D．“若为有理数，则为无理数”的逆否命题. 【答案】ABC 【分析】A中写出否命题，判断真假，B和D直接判断原命题的真假得逆否命题的真假，C写出逆命题再判断真假． 【详解】“若，则”的否命题是：若，则，是真命题； 命题“若，则的解集为”，时，．恒成立，是真命题，因此其逆否命题是真命题； “周长相等的圆面积相等”的逆命题是：面积相等的圆的周长相等，圆面积相等，则半径相等，周长必相等，是真命题． “若为有理数，则为无理数”，时，是有理数，但也是有理数，原命题是假命题，其逆否命题是假命题． 故选：ABC． 8．（多选题）下列有关命题的说法正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题是真命题； B．命题“若，则”的否命题是“若，则” C．命题“，都有”的否定是“，使得” D．若为假命题，则、都为假命题 【答案】AC 【分析】利用四种命题的关系，全称命题的否定形式，复合命题的真假判断，判断选项 【详解】A正确，原命题与其逆否命题同真同假，命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题是真命题； B错误，命题“若，则”的否命题是“若，则”，不正确； C正确，命题“，都有”的否定是“，使得”； D错误，若为假命题，则、至少有一个为假命题． 故选：AC 【典型例题五 逆否命题在证明中的应用】 【例1】．陈述句或，则的否定形式： 【答案】 【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可. 【详解】由或，则. 故答案为： 【例2】．“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的否命题是 ． 【答案】若整数a能被2整除，则a是偶数 【分析】根据原命题写出否命题即可. 【详解】“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的否命题是“若整数a能被2整除，则a是偶数”. 故答案为：若整数a能被2整除，则a是偶数. 1．命题：若，则，则其否命题是 . 【答案】若，则 【分析】由否命题的定义求解即可. 【详解】命题的否命题为：若，则. 故答案为：若，则 2．“若，则”的否定形式为 ． 【答案】若，则或 【分析】根据命题的否定形式直接得出答案. 【详解】“若，则”的否定形式： 若，则或. 故答案为：若，则或. 3．“且”的否定形式为 . 【答案】或 【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论. 【详解】原命题的否定形式为：或， 故答案为：或. 4．命题“若，则”的否命题是 ． 【答案】“若，则” 【分析】直接求解原命题的否命题即可. 【详解】命题“若，则”的否命题是：“若，则”. 故答案为：“若，则”. 5．命题p：已知n∈Z，“若是奇数，则n是奇数”的逆命题为 ． 【答案】 若n是奇数，则是奇数 【分析】根据逆命题的含义即可写出答案. 【详解】已知，“若是奇数，则是奇数”的逆命题是：“若是奇数，则是奇数”. 故答案为：“若n是奇数，则是奇数”. 【典型例题六 原命题与逆否命题等价性的应用】 【例1】．命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为 . 【答案】如果，互为相反数，那么. 【分析】根据逆命题的定义即可求解. 【详解】命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为: 如果，互为相反数，那么， 故答案为：如果，互为相反数，那么. 【例2】．命题“若，则不都小于1”的逆否命题为 ． 【答案】若都小于1，则 【分析】根据命题逆否命题的形式，即可求解. 【详解】原命题的逆否命题要将原命题的条件和结论都否定后再将所得条件与结论对换， 所以命题的逆否命题是“若都小于1，则”． 故答案为：若都小于1，则 1．下列命题中为真命题的是 ．（填序号） ①命题“若，则”的否命题； ②命题“若，则”的逆命题； ③命题“若，则”的否命题； ④命题“若，则”的逆否命题． 【答案】② 【分析】根据题意，由四种命题之间的关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】①“若，则”的否命题为“若，则”，因为当时，，故为假命题； ②“若，则”的逆命题为“若，则”，因为当时， 当时，由可知，则，故为真命题； ③“若，则”的否命题为“若，则”，因为当时，，故为假命题； ④因为时，由，得不出，即“若，则”为假命题，所以它的逆否命题为假命题，故为假命题. 故答案为:② 2．有下列四个命题： ①“若，则，互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则有实根”的逆命题； ④“等边三角形的三个内角相等”的逆否命题； 其中真命题的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】①写出“若，则，互为相反数”的逆命题，再判断其真假即可； ②写出“全等三角形的面积相等”的否命题，再判断其真假即可； ③写出“若，则有实根”的逆命题，再分析、判断其真假即可； ④利用原命题与其逆否命题的真假性一致，可判断原命题的真假，从而得其逆否命题的真假. 【详解】①“若，则，互为相反数”的逆命题为“若，互为相反数，则”，正确，故①正确； ②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，错误，故②错误； ③有实根，，解得：， “若，则有实根”的逆命题“若有实根，则”正确，故③正确； ④等边三角形的三个内角相等，原命题正确，原命题与其逆否命题的真假性一致，其逆否命题也正确，故④正确； 综上所述，真命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 3．以下关于命题的说法正确的有 （填写所有正确命题的序号）． ①“若，则”是真命题； ②命题“若，则”的否命题是“若，则”； ③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若，则”与命题“若，则”等价． 【答案】②④ 【分析】对①，由对数函数性质可判断； 对②，由否命题定义可判断； 对③，写出逆命题判断即可； 对④，两个命题互为逆否命题，故等价. 【详解】对①，由对数函数性质，，故原命题为假命题，①错； 对②，命题“若，则”的否命题是“若，则”，②对； 对③，命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为“若是偶数，则，都是偶数”，两个奇数相加也为偶数，故为假命题，③错； 对④，命题“若，则”的逆否命题为命题“若，则”，故等价，④对. 故答案为：②④ 4．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 5．给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值： ； . 【答案】 （答案不唯一，满足且即可） 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】由，得到，即， 若，则是假命题，则有，即， 所以符合题意的一组的值为， 故答案为：；（答案不唯一，满足且即可） 6．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【详解】（1）若，则； 逆命题：若，则. （2）若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除． （3）若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 7．证明：若，则. 【答案】证明见解析 【解析】先写出原命题的逆否命题，判断逆否命题的真假，再由原命题和逆否命题同真假即得。 【详解】证明：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.由得.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题.故若，则. 【点睛】原命题的真假不易判断时，可通过判断其逆否命题的真假，来证明原命题的真假。 8．证明：“已知、，若，则.”为真命题. 【答案】证明见解析. 【分析】根据原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. 【详解】由原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. “已知、,若,则. 其逆否命题为“已知、,若,则. 证明如下:若 则 所以 “已知、,若,则.成立 即原命题“已知、,若,则.”为真命题 得证. 【点睛】本题考查了原命题与逆否命题的真假关系及简单应用,利用等价关系证明简单的命题,属于基础题. 【典型例题七 已知命题的真假求参数】 【例1】．求证:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 【答案】构造命题p:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 其逆否命题为:若a+b=1,则a2+2ab+b2+2a+2b-3=0, 下面证明逆否命题为真命题. 因为a+b=1, 所以a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a+b)2+2(a+b)-3=12+2-3=0. 即逆否命题成立,所以原命题为真命题. 【分析】根据命题求出逆否命题，结合完全平方公式即可证得逆命题的真假，从而得到原命题真假. 【详解】构造命题p:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 其逆否命题为:若a+b=1,则a2+2ab+b2+2a+2b-3=0, 下面证明逆否命题为真命题. 因为a+b=1, 所以a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a+b)2+2(a+b)-3=12+2-3=0. 即逆否命题成立,所以原命题为真命题. 【点睛】本题考查命题的证明，如果直接证明有难度，则可以选择证明其逆否命题，根据原命题与逆否命题同真同假即可证得原命题. 【例2】．判断命题“若与的积不是有理数，则至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由. 【答案】真命题，理由见解析. 【分析】转化为逆否命题来判断，若都是有理数，则与的积是有理数. 【详解】真命题，理由如下： 原命题的逆否命题：若都是有理数，则与的积是有理数. 由，则可设且， 则，即原命题的逆否命题是真命题，故原命题为真命题. 【点睛】本题考查了命题真假的判断，考查了原命题与逆否命题真假值相同的应用，属于基础题. 1．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 2．已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用判别式求解可得； （2）分和，根据集合关系讨论即可. 【详解】（1）若是真命题，则， 解得，则； （2）当，即时，，此时，满足； 当，即时，， 因为，所以，则或，解得. 综上，实数的取值范围为. 3．已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 4．已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，是真命题，即，可得的取值范围； （2）根据题意可得若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题，结合（1）的结论可解. 【详解】（1）根据为假命题，可得是真命题， 即方程有两个不相等的实数根， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是； （2）若命题为真命题， 由（1）可知此时必定为真命题，不符合题意； 所以若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题， 此时且，即，可得实数的取值范围是. 5．命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 6．已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【详解】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 7．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （3）由，根据集合交集的运算，列出等价不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）解：由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）解：因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 8．已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式与根与系数关系求解即可； （2）首先求出当两个命题是真命题时的取值范围， 再根据假真，列不等式求的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根， 则 ， 解得：， 故的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得：， 当假真时， ，解得：， 故的取值范围为. 一、单选题 1．设命题，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题， 所以命题p的否定为：，． 故选：B． 2．对“是不全相等的正数”，给出下列判断： ①；②与及中至少有一个成立； ③不能同时成立，其中判断正确的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】试题分析：由“是不全相等的正数”得：①中至少有一个不为0，所以是正确的； ②如：若，满足题意，所以与及中至少有一个成立是不正确的； ③如：若，所以，，能同时成立，所以是不正确的． 故选：B 考点：命题的否定与应用． 3．已知命题，总有，则为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用命题否定的定义求解即可. 【详解】由命题否定的定义得命题“， ”的否定是，，故D正确. 故选：D 二、填空题 5．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【分析】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可. 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 6．已知，命题“若，则”是 命题(填“真”或“假”). 【答案】假 【解析】由题意举反例即可判断. 【详解】当时，， 则命题“若，则”是假命题. 故答案为：假. 7．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围． 【详解】“，”是假命题， 则它的否定命题：“，”是真命题； 所以,，恒成立，所以， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 8．设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题： ①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量； ②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量； ③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】（1）若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确； （2）由题得围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确； （3）3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故 中的中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确． 故填②③. 9．设为正实数，现有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的编号） 【答案】 ①④ 【详解】试题分析：对于①,因为,由此可知,若这与矛盾,故有成立,所以①为真;对于②取知,所以②不真;对于③取成立,但不成立,所以③不真;对于④由得到:,又因为中至少有一个大于1（否则已知|a3-b3|=1不成立）,从而成立,故④为真;综上可知真命题有①④. 考点：不等式的性质. 10．命题：“，”的否定是 . 【答案】， 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案. 【详解】命题：“，”为全称命题， 它的否定为特称命题：，， 故答案为：， 11．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①已知，“且”是“”的充分条件； ②已知平面向量，，“且”是“”的必要不充分条件； ③已知，“”是“”的充分不必要条件； ④命题：“，使且”的否定为“，都有且”． 【答案】①③ 【分析】①，由不等式的性质判定；②，利用向量的加法法则判定；③，利用单位圆判定；④，“且”的否定是“或” 【详解】对于①，已知，“且”是“”的充分条件，正确； 对于②，向量的加法法则可知，“且”不能得到“”；“ ”，不能得到，“且”，故错； 对于③，在单位圆上或圆外任取一点，满足“”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“”，在单位圆内任取一点，满足“”，但不满足，“”，故正确； 对于④，命题“，使且”的否定为“，都有或”，故错． 故答案为：①③ 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质，考查向量的运算，考查命题的否定，属于中档题． 12．已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可 【详解】命题p：恒成立，若p是真命题， 则：， 命题q：，使得成立， 若命题q为真命题， 则. 所以命题q是假命题时，， 综上，参数a的取值范围为：， 即 故答案为： 13．甲､乙､丙三人参加数学知识应用能力比赛,他们分别来自A､B､C三个学校,并分别获得第一､二､三名:已知:①甲不是A校选手;②乙不是B校选手;③A校选手不是第一名;④B校的选手获得第二名;⑤乙不是第三名.根据上述情况,可判断出丙是 校选手,他获得的是第 名. 【答案】 A 三 【分析】根据②④⑤说明乙是第一名,根据③说明乙是C校选手,根据①说明甲是B校选手,即丙是A校选手,根据④说明甲是第二名,可得丙是第三名. 【详解】解:因为乙不是B校选手且B校的选手获得第二名, 所以乙不是第二名,又因为乙不是第三名,所以乙是第一名, 因为乙不是B校选手且A校选手不是第一名,所以乙是C校选手, 因为甲不是A校选手,所以甲是B校选手,故丙是A校选手, 因为B校的选手获得第二名,所以甲是第二名,故丙是第三名. 故答案为：A；三. 14．下列命题中正确命题的序号是 ． ①若，则； ②设，且，则的最大值为9； ③数列首项为1，A、B、C三点共线，且，则数列为等差数列； ④对任意，都有的否定为：存在，使得． 【答案】①③ 【分析】①根据同角三角函数基本关系与诱导公式，以及二倍角的正切公式，求出，即可判断①正确； ②利用基本不等式，根据题中条件，即可判断②错； ③根据、、三点共线及，即可判断③正确； ④根据全称命题的否定，即可判断④错. 【详解】①若，则，所以，故①正确； ②因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9；故②错； ③由、、三点共线，可知，所以数列是首项为公差也为的等差数列，故③正确； ④对任意，都有的否定为：存在，使得，故④错. 故答案为：①③. 15．已知命题，则命题的否定是 ． 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定形式可得. 【详解】由全称量词命题的否定形式可知， 命题的否定为. 故答案为： 16．已知命题，则该命题是 （填“真命题”或“假命题”）. 【答案】假命题 【分析】取，即可得出答案. 【详解】当时，，所以命题为假命题. 故答案为：假命题. 三、解答题 17．已知命题p：函数的值域为，命题q：，使得不等式． (1)若p为真，求实数a的取值范围； (2)若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）    根据题意，设，由对数函数的性质可得，解可得答案； （2）根据题意，分析p、q为真时a的取值范围，又由复合命题的真假关系可得p、q一真一假，即可得关于a的不等式组，解可得答案． 【详解】（1）根据题意，命题p：函数的值域为R， 设，必有，解可得， （2）对于q，，使得不等式，即在区间[1，2]上有解， 设，在区间[1，2]上为减函数，则有， 若q为真，必有， 若p∨q为真，p∧q为假，即p、q一真一假， 若p为真，q为假，必有； 若p为假，q为真，必有； 综合可得：a的取值范围为或． 18．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，然后利用交集知识从而求解. （2）根据集合并集的结果得到集合的包含关系，进而分类讨论，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以. （2）因为，所以， 当时，即，解得； 当时，，解得， 所以的取值集合为. 19．命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件； （2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得. 【详解】（1）由q真：，得或， 所以q假：； （2）p真：推出， 由和有且只有一个为真命题， 真假，或假真， 或， 或或. 20．（1）若四边形的对角线将四边形分成面积相等的两个三角形，证明：直线必平分对角线； （2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？ 【答案】（1）证明见解析，（2）见解析. 【分析】（1）设和交于点，要证明被平分，即证明，结合同底等高的三角形面积相等，再利用三角形全等可证得结论； （2）由两三角形全等可证得结论. 【详解】（1）证明：设和交于点，在中边上的高为，在中边上的高为， 因为和的面积相等， 所以， 所以， 因为， 所以≌， 所以， 所以直线必平分对角线； （2）解：逆命题：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成两个面积相等的三角形，这个逆命题是正确的，理由如下： 设和交于点，在中边上的高为，在中边上的高为， 因为，， 所以≌， 所以， 所以， 所以和的面积相等. 21．设命题p：实数x满足，其中；命题q：． 若，且为真，求实数x的取值范围； 若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可； 写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解． 【详解】解：(1)由，其中； 解得， 又，即， 由得：， 又为真，则， 得：， 故实数x的取值范围为； 由得：命题p：，命题q：， 由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件， A是B的真子集， 所以，即． 故实数m取值范围为：. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题． 学科网（北京）股份有限公司 $$