1.1菱形的性质与判定（第2课时 菱形的判定）（导学案）数学北师大版九年级上册

1.1菱形的性质与判定 导学案 第2课时 菱形的判定 1.理解并掌握矩菱形的定义及其它两个判定方法. 2.能运用菱形的判定方法进行有关的论证和计算. 学习重点：菱形的判定方法； 学习难点：菱形判定定理的证明及灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： （1） 菱形的定义是什么？ （2） 菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的一般性质外，还有哪些独特性质？” 新知自研：自研课本第2--5页的内容． 【学法指导】 自研课本P5-7页的内容，思考： ●探究一：菱形的定义 1.菱形的定义： （菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的 方法.） 2.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵ ， ∴四边形ABCD是菱形. ●探究二：菱形的判定定理1 ◆小组活动1：我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ ◆得到猜想： ◆验证猜想： 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD. 求证:□ABCD是菱形. 证明： ◆得到定理：请你总结菱形的判定定理；（完成在随堂笔记处） 定理几何语言表示： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且 ∴ 练一练： 1.下列结论正确的是（ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线垂直且平分的四边形是菱形 C.对角线互相平分的平行四边形是菱形 D.对角线垂直且相等的四边形是菱形 ●探究三：菱形的判定定理2 ◆小组活动2： 议一议：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 小刚的方法：如图，分别以 A，C为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形 ABCD看上去是菱形. 你是怎么做的？你认为小刚的作法正确吗？与同伴进行交流. ◆得到猜想： ◆验证猜想： 已知:如图,在四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA. 求证: ◆菱形的判定定理2：四边相等的四边形是菱形. 几何语言：∵在四边形ABCD中， ， ∴四边形ABCD是菱形. 练一练 2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ 　） A. AC⊥BD,AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD ◆小组活动3： 做一做：能用折纸的办法得到一个菱形吗？动手试一试. 你能说说小颖这样做的道理吗？ 【例题导析】 自研例1和例2的内容，回答问题： 典例分析: 例1　已知，如图，在□ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. （1）【分析】要证明□ABCD是菱形，可以先证明它的一组邻边相等或对 ，由题中的条件可判定△AOB是 ，从而得出 ,即可解答. . （2）请在下面写出完整的解答过程. 【解答】 例2　如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F， 求证：四边形AFCE是菱形. （1）【分析】因为EF⊥AC，所以要证明四边形AFCE是菱形，只需要证明可以先证明它是 ，由题中的条件可知 AO＝OC，只需证明证明 ，即可解答. . （2）请在下面写出完整的解答过程. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A、猜想并证明菱形判定的两种方法； B、总结归纳菱形的判定方法； C、交流例题和典例的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，形成展示策略预案. D、相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列命题中正确的是(　 ) A.对角线相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交点于O，则图中的菱形共有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 3.如图，下列条件能使□ABCD是菱形的是(　 ) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC. A.①③　　 B.②③　 　C.③④ 　　D.①③④ 4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(　 　) A.菱形 B.长方形 C.正方形 D.以上都不对 (2题) (3题) (4题) 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AF＝DB； （2）求证：四边形ADCF是菱形. 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形. 题型一：添加一个条件判定是菱形 1．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，中，D为上一点，，．增加下列哪个条件能判定四边形为菱形的是（   ） A．点D在的平分线上 B． C． D．点D为的中点 3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明． 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 题型二：菱形的判定的证明---一组邻边相等的平行四边形是菱形 6．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 7．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 题型三：菱形的判定的证明---四边相等的四边形是菱形. 9．（2024•恩施市校级模拟）如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE，AF．求证：四边形AECF是菱形． 10．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 题型四：菱形的判定的证明---对角线互相垂直的平行四边形是菱形 11．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．求证：四边形AECF是菱形． 12．（2024•娄星区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形． 13、如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形． 菱形的判定方法： 1．定义：有 的 四边形叫菱形（可作性质、判定运用）. 2． 平行四边形是菱形. 3． 四边形是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1菱形的性质与判定 导学案 第2课时 菱形的判定 1.理解并掌握矩菱形的定义及其它两个判定方法. 2.能运用菱形的判定方法进行有关的论证和计算. 学习重点：菱形的判定方法； 学习难点：菱形判定定理的证明及灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： （1） 菱形的定义是什么？ 一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2） 菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的一般性质外，还有哪些独特性质？” 边：四条边相等； 对角线：互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）. 新知自研：自研课本第2--5页的内容． 【学法指导】 自研课本P5-7页的内容，思考： ●探究一：菱形的定义 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．（菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.） 2.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. ●探究二：菱形的判定定理1 ◆小组活动1：我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ ◆得到猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ◆验证猜想： 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD. 求证:□ABCD是菱形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ 直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴ BA＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义). ◆得到定理：请你总结菱形的判定定理；（完成在随堂笔记处） 定理几何语言表示： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ， ∴ 四边形ABCD是菱形. 练一练： 1.下列结论正确的是（ B ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线垂直且平分的四边形是菱形 C.对角线互相平分的平行四边形是菱形 D.对角线垂直且相等的四边形是菱形 ●探究三：菱形的判定定理2 ◆小组活动2： 议一议：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 小刚的方法：如图，分别以 A，C为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形 ABCD看上去是菱形. 你是怎么做的？你认为小刚的作法正确吗？与同伴进行交流. ◆得到猜想：四条边相等的四边形是菱形. ◆验证猜想： 已知:如图,在四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA. 求证: 四边形ABCD是菱形. 证明:∵ AB＝CD,AD＝BC ， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义). ◆菱形的判定定理2：四边相等的四边形是菱形. 几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 练一练 2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ C　） A. AC⊥BD,AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD ◆小组活动3： 做一做：能用折纸的办法得到一个菱形吗？动手试一试. 你能说说小颖这样做的道理吗？ 小颖通过折纸和裁剪得到的图形四条边相等，满足菱形的判定条件，所以这个图形是菱形。 【例题导析】 自研例1和例2的内容，回答问题： 典例分析: 例1　已知，如图，在□ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. （1）【分析】要证明□ABCD是菱形，可以先证明它的一组邻边相等或对角线互相垂直，由题中的条件可判定△AOB是直角三角形，从而得出 AC⊥BD ,即可解答. . . （2）请在下面写出完整的解答过程. 【解答】证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形） 例2　如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F， 求证：四边形AFCE是菱形. （1）【分析】因为EF⊥AC，所以要证明四边形AFCE是菱形，只需要证明可以先证明它是平行四边形，由题中的条件可知 AO＝OC，只需证明证明EO=FO，即可解答. . . （2）请在下面写出完整的解答过程. 【解答】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC（平行四边形的对边平行）， ∴ ∠EAC＝∠FCA. ∵ EF垂直平分AC， ∴ AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE ≌△COF（ASA）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 又∵ EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A、猜想并证明菱形判定的两种方法； B、总结归纳菱形的判定方法； C、交流例题和典例的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，形成展示策略预案. D、相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列命题中正确的是(　D ) A.对角线相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交点于O，则图中的菱形共有（ B ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 3.如图，下列条件能使□ABCD是菱形的是(　D ) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC. A.①③　　 B.②③　 　C.③④ 　　D.①③④ 4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(　 A 　) A.菱形 B.长方形 C.正方形 D.以上都不对 (2题) (3题) (4题) 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AF＝DB； （2）求证：四边形ADCF是菱形. 【解答】证明：（1）∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DBE. ∵ △ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， ∴ AE＝DE，BD＝CD. 在△AFE和△DBE中， ∠AFE＝∠DBE, ∠FEA＝∠BED,AE＝DE， ∴ △AFE≌△DBE, ∴ AF＝BD. （2）由（1）知，AF＝BD, ∵ BD＝CD, ∴ AF＝CD. ∵ AF∥BC， ∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∵ ∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ AD＝DC， ∴ 四边形ADCF是菱形. 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形. 【解答】证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC， ∴AE=FE， ∵∠ACE=∠ECF， ∴△AEC≌△FEC， ∴AC=FC. ∵CG=CG， ∴△ACG≌△FCG， ∴∠CAG =∠CFG =∠B， ∴GF∥AE. ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AG∥EF， ∴四边形AGFE是平行四边形 又∵AG=GF（或AE=EF）， ∴平行四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）. 题型一：添加一个条件判定是菱形 1．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：当添加①时，无法证明四边形是菱形； 当添加②时，无法证明四边形是菱形； 当添加③时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 当添加④时，无法证明四边形是菱形； 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，中，D为上一点，，．增加下列哪个条件能判定四边形为菱形的是（   ） A．点D在的平分线上 B． C． D．点D为的中点 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 如图，连接， ∴三角形和三角形的面积相等， ∴当点D在的平分线上，点D到的距离相等， ∴， ∴平行四边形是菱形； B，C，D不能得平行四边形是菱形． 故选：A． 3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明． 【分析】（1）由平行四边形的性质知，AD＝BC，AD∥BC，得到∠ADF＝∠CBE，又有BE＝DF，故由SAS证得△ADF≌△CBE； （2）平行四边形的性质知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根据平行四边形的判定得到四边形AECF是平行四边形，由AC⊥EF可得平行四边形AECF是菱形． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CBE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）； （2）解：补充的条件是：AC⊥BD． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形． 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ADBD， ∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD； ∴四边形AFBD为菱形． 题型二：菱形的判定的证明---一组邻边相等的平行四边形是菱形 6．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，再结合已知条件，得到，先证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 7．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟记相关结论即可． 证明，可得，从而得到，继而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，角平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先证得平分，由角平分线的性质可得，再由平行四边形的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，进而证得结论． 【详解】证明：，，垂足分别为点E、F，且， 点在的角平分线上， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． 题型三：菱形的判定的证明---四边相等的四边形是菱形. 9．（2024•恩施市校级模拟）如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE，AF．求证：四边形AECF是菱形． 【分析】证明△AED≌△CFD（AAS），得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形． 【详解】证明：∵D是AC的中点，DE⊥AC， ∴AE＝CE，AD＝CD， ∵CF∥AB， ∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED， 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴AE＝CF， ∵EF为线段AC的垂直平分线， ∴FC＝FA， ∴EC＝EA＝FC＝FA， ∴四边形AECF为菱形． 10．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 【分析】根据直角三角形的性质得到BM＝DMAC，根据等腰三角形的性质得到∠BMN＝∠DMN，由平行线的性质得到∠BNM＝∠DMN，等量代换得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝DM，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M为对角线AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵MN⊥BD， ∴∠BMN＝∠DMN， ∵BN∥DM， ∴∠BNM＝∠DMN， ∴∠BMN＝∠BNM， ∴BM＝BN， ∴BN＝DM＝BM＝DN， ∴四边形BNDM是菱形． 题型四：菱形的判定的证明---对角线互相垂直的平行四边形是菱形 11．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．求证：四边形AECF是菱形． 【分析】由等腰三角形的性质得到AD＝CD，BD⊥AC，再由菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD， ∵DE＝DF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵BD⊥AC，即EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 12．（2024•娄星区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形． 【分析】连接AC，交BD于点O，证明平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，再证明EO＝FO，则四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：如图，设AC交BD于点O， ∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形AFCE是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 13、如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形． 【分析】根据AD平分∠BAC得出∠BAD=∠ACD，根据EF⊥AD得出∠AOE=∠AOF=90°，从而说明△AEO和△AFO全等，得到EO=FO，根据对角线互相平分得出平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形得出答案. 【解答】证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD 又∵EF⊥AD， ∴∠AOE=∠AOF=90° ∵在△AEO和△AFO中 ， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴EO=FO 又∵A点与D点重合， ∴AO=DO， ∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵点A与点D关于直线EF对称， ∵EF⊥AD， ∴平行四边形AEDF为菱形． 菱形的判定方法： 1．定义：有 一 组邻边相等的 的 平行 四边形叫菱形（可作性质、判定运用）. 2．对角线互相垂直的 平行四边形是菱形. 3．四条边相等 四边形是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$