专题11 整式的加减-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题11.整式的加减 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、同类型的辨别 4 题型2、利用同类型的概念求参数 4 题型3、去括号与添括号 5 题型4、合并同类项 6 题型5、整式的加減运算 7 题型6、整式的化简求值 9 题型7、整式的比较大小 10 题型8、整式的加减（不含某项与遮挡问题） 12 题型9、整式加减的新定义 14 题型10、整式加减的实际应用 16 基础通关 21 拓展提优 26 1. 了解同类项的定义；掌握合并同类项的步骤 2. 掌握整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 3. 掌握整式比较大小的方法； 4. 掌握整式在实际中的应用。 【思考1】青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段. 列车在冻土地段的行驶速度是 100km/h，在非冻土地段的行驶速度可以达到120km/h，请根据这些数据回答下列问题: 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h，如果列车通过冻土地段要t h，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少km？ 【思考2】下面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ ③④是我们小学的简便运算，通过计算这两个题，大家有什么发现吗？ ①100t+120(t－0.5) ②100t－120(t－0.5) ③928-439-261 ④888+347-247 【思考1】如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： . 交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加： . 在上面的问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？ 【思考2】一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元. 小红买这种笔记本4本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本2本，买圆珠笔4支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 【整式加减的历史与发展】整式加减作为数学代数学中的基本运算之一，经历了漫长的历史演进。整式加减的演进与数学符号的发展密切相关。随着印度阿拉伯数学的传入，十进制系统开始广泛应用，数学符号也得到了扩充和改进。十进制系统的出现使整式加减有了更动完备的表达方式，同时也推动了整式加减的发展。符号代数学的崛起和整式加减的规范化随着符号代数学的崛起，整式加减逐渐从实际问题中独立出来，成为一种独立的数学概念。符号代数学的发展为整式加减提供了更加规范和标准的表示方法，使整式加减的计算和运用更加方便和高效。 整式加减在现代数学的各个领域都有广泛的应用。在代数学和数学分析中，整式加减被广泛应用于多项式运算、方程求解、函数分析等方面。在应用数学中，整式加减被应用于统计学、金融学和工程学等领域。整式加减的广泛应用使得它成为快速解决问题的有效工具。 1. 合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。例：5ab2：与-13ab2 -9x2y3与5x2y3。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式。 合并同类项：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项； 同类项合并的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 2. 去（添）括号法则 1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面的符号都不改变； 2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面的符号都要改变； 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 4）添括号和去括号是互逆运算，若需要添括号，可以借助去括号法则逆向运算即可。 3.整式的加减 整式的加减运算就是利用合并同类项与去括号法则的运算，具体步骤为：①若有括号先去掉括号；②再将同类项找出，并置与一起；③最后合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 题型1、同类型的辨别 【解题技巧】同类项的定义：含有字母相同，相同字母的指数也相同的单项式为同类项。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）写出单项式的一个同类项： ． 变式1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列整式中，不是同类项的是（   ） A．与 B．1与 C．和 D．与 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 题型2、利用同类型的概念求参数 【解题技巧】利用同类型的概念‌，通过分析代数式的结构特征（字母相同、指数相等等），建立方程求解参数值‌。 例1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若单项式与是同类项，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）若单项式与是同类项，则n的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若关于x，y的单项式与和是一个单项式，则a的值为 ． 题型3、去括号与添括号 【解题技巧】去括号法则：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘；再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号。 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验． 例1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·江苏·期末）（ ）． 题型4、合并同类项 【解题技巧】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项； 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列各式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·湖北·期中）合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（22-23七年级上·广西南宁·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法．如果把看作一个整体，合并的结果是（    ） A． B． C． D． 题型5、整式的加減运算 【解题技巧】多项式相加减的本质是‌合并同类项‌，关键在于：‌符号处理‌：减法转化为加法（取反后相加）；‌对齐同类项‌：按相同字母及指数分组合并；‌结果形式‌：结果仍为多项式，次数不超过原多项式的最高次数。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）化简： (1)；(2)． 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知两个多项式M和N都是六次多项式，那么为（   ） A．六次多项式 B．不高于六次的多项式 C．不低于六次的多项式 D．不高于六次的整式 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）化简： (1) (2) 变式3．（2024·陕西西安·七年级统考期中）若A是一个四次多项式，B也是一个四次多项式，则是一个（　　） A．八次多项式 B．四次多项式 C．次数不超过四次的多项式 D．次数不超过四次的代数式 题型6、整式的化简求值 【解题技巧】整式化简求值一定注意是先化简再代入给定数值计算，注意运算顺序和符，切记避免直接代入未化简的复杂式子导致计算错误。整式化简求值的核心在于‌规范去括号‌与‌精准合并同类项。 例1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 变式1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 变式2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值：求的值，其中． 题型7、整式的比较大小 【解题技巧】整式比较大小的核心在于‌灵活选择方法‌，优先作差法，结合赋值验证或代数变形简化分析，同时需注意符号处理和结果的完整性。（切记赋值验证法常用于找反例，不具有完整性）。 例1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？ 例如：比较与的大小，我们可以这样做： 因为，又因为，所以． 【尝试】比较代数式与的大小，说明理由． 例2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）在数学活动课上，潘老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，四张卡片分别代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： (1)经过的顺序所得的运算结果是________； (2)①经过的顺序所得的结果记为，则________； ②经过的顺序所得的结果记为，则________； (3)在（2）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 变式1．（24-25·广西河池·七年级统考期末）若，，则A、B的大小关系（    ） A． B． C． D．不能确定 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读下面材料并解决问题 对任意两个代数式，比较大小，我们可以用“作差法”：若时，则；若时，则；若时，则．例如：因为，所以． (1)比较大小：_______（填“”，“”或“”）； (2)比较代数式与的大小； (3)对于任意的有理数，，请比较与的大小． 题型8、整式的加减（不含某项与遮挡问题） 【解题技巧】解题核心是‌精确合并同类项‌并‌通过系数为0建立方程‌，注意符号处理和多条件联立是难点。 注意：解出参数后建议代入原式验证，确保化简后确实不含目标项。 逆向推导法‌：根据已知的运算结果和未被遮挡的部分，逆向还原被遮挡的整式或参数。 比较系数法‌：遮挡部分为多项式中的特定项时，通过结果与原式同类项系数的差值求解。 遮挡问题的核心是‌逆向逻辑与代数变形能力‌，需结合合并同类项、符号修正和方程思想，通过对比系数精准还原缺失部分。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）若关于x的多项式的值与x无关，则的值为 ． 例2．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）关于的代数式化简后不含有项和常数项(1)求和的值．(2)若，求：代数式的值． 例3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化简的代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断：此操作 （填写“能”或“不能”）使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 变式1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如果关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知：，． (1)计算；(2)若的值与x的取值无关，求y的值． 题型9、整式加减的新定义 【解题技巧】拆解定义要素‌：明确新定义中符号、运算规则的数学含义，提炼核心操作步骤。 ‌符号对应转换‌：将新定义中的特殊符号转化为常规整式运算（加减乘除）。 新定义问题的核心是‌定义转化与代数建模‌，通过拆分定义要素、严格符号转化和多维度验证，可系统解决此类题型。几何图形关联的整式运算需结合面积公式展开验证。 例1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足 (1)当，化简；(2)如果化简的结果与无关，求的值． 例2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值；(2)计算． 变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）（1）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，．例如：．求的结果． （2）先化简，再求值：，其中：． 变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 题型10、整式加减的实际应用 【解题技巧】整式的实际应用需掌握‌代数建模、联立方程与几何转化‌三大核心能力。通过几何图形展开验证公式、经济模型参数化分析、动态物理问题整式化，可系统提升问题解决效率。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，将大长方形分割为8小块，除两块阴影M，N外，其余6块是形状，大小完全相同的小长方形．若的长为，小长方形的宽为，则图中两块阴影M，N的周长的和为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段（以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度．①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 变式1．（24-25七年级上·河南周口·期末）某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种促销活动，某一天的线上销售情况统计如下： 单件利润／元 销量／件 第单 第单 第单 (1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少元，这天线下的销售总利润多少元？(2)若线下销售的总件数比线上的总件数少件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多多少元？ 变式2．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包． (1)图①中打包带的总长_______________；（用含、、的代数式表示，并化简） 图②中打包带的总长__________________；（用含、、的代数式表示，并化简） (2)已知一个箱子的长，宽，高，若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长． (3)根据你的分析，试判断打包方式____________所用打包带更短． 变式3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长；(3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）用黑白两色棋子按如图所示方式摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·江苏南通·期末）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，两类长方形的部分长、宽数据如图所示．则图中的两个阴影小长方形的周长之和等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）关于一次式，说法错误的是（ ） A．的一次项是，，， B．的常数项是2 C．和是同类项 D．和是同类项 7．（24-25·广东广州·七年级校考期末）一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（    ） A．十次六项式 B．十次三项式 C．六次二项式 D．四次二项式 8．（22-23七年级上·江西抚州·开学考试）小马虎计算时，错写成了，这样所得的结果比原式(　　) A．多 B．少 C．少 D．少 9．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）计算：（ ）． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）若单项式与是同类项，则 ． 11．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 12．（2025·江苏无锡·二模）计算： ． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）多项式中不含有项，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，且的值与x的取值无关，则y的值 ． 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：．其中． 16．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 17．（24-25·山西大同·七年级校考期末）疫情期间，亮亮的父母只要有时间就陪孩子一起完成家庭作业，在某天晚上，亮亮准备完成作业：化简时发现“”处系数“ ”印刷不清楚．(1)他把“ ”猜成3，请你帮亮亮化简：； (2)爸爸说：“你猜错了，我们看了标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明来帮助亮亮得到原题中“ ”是几． 1．（2024·河北保定·一模）若代数式是五次二项式，则常数m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·河北·七年级统考期末）已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有依次排列的2个整式：，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，就可以产生第1个整式串：，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法： ①第2个整式串为：，，a，，； ②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为； ③第2025个整式串中，所有整式的和为． 其中正确的个数是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（n＝1，2，3，…）的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如果单项式与的差仍然是一个单项式，则 ． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）【阅读与理解】能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．偶数可以用表示，奇数可以用表示，其中n为整数． 我们可以用说理的方法说明任意一个偶数与一个奇数的和为奇数，解答过程如下： 解：设任意一个偶数为，一个奇数为，其中m，n为整数，则它们的和为． 因为m，n为整数，所以为整数．所以为奇数，即任意一个偶数与一个奇数的和为奇数． 【迁移与应用】仿照上面的方法，试说明三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 观察图案可得：第一个图案正三角形有4个．六边形有1个，第二图案正三角形有6个，六边形有3个． (1)第4个图案中，三角形有 个，六边形有 个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形有 个，六边形有 个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.整式的加减 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、同类型的辨别 4 题型2、利用同类型的概念求参数 4 题型3、去括号与添括号 5 题型4、合并同类项 6 题型5、整式的加減运算 7 题型6、整式的化简求值 9 题型7、整式的比较大小 10 题型8、整式的加减（不含某项与遮挡问题） 12 题型9、整式加减的新定义 14 题型10、整式加减的实际应用 16 基础通关 21 拓展提优 26 1. 了解同类项的定义；掌握合并同类项的步骤 2. 掌握整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 3. 掌握整式比较大小的方法； 4. 掌握整式在实际中的应用。 【思考1】青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段. 列车在冻土地段的行驶速度是 100km/h，在非冻土地段的行驶速度可以达到120km/h，请根据这些数据回答下列问题: 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h，如果列车通过冻土地段要t h，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少km？ 【思考2】下面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ ③④是我们小学的简便运算，通过计算这两个题，大家有什么发现吗？ ①100t+120(t－0.5) ②100t－120(t－0.5) ③928-439-261 ④888+347-247 【思考1】如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： . 交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加： . 在上面的问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？ 【思考2】一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元. 小红买这种笔记本4本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本2本，买圆珠笔4支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 【整式加减的历史与发展】整式加减作为数学代数学中的基本运算之一，经历了漫长的历史演进。整式加减的演进与数学符号的发展密切相关。随着印度阿拉伯数学的传入，十进制系统开始广泛应用，数学符号也得到了扩充和改进。十进制系统的出现使整式加减有了更动完备的表达方式，同时也推动了整式加减的发展。符号代数学的崛起和整式加减的规范化随着符号代数学的崛起，整式加减逐渐从实际问题中独立出来，成为一种独立的数学概念。符号代数学的发展为整式加减提供了更加规范和标准的表示方法，使整式加减的计算和运用更加方便和高效。 整式加减在现代数学的各个领域都有广泛的应用。在代数学和数学分析中，整式加减被广泛应用于多项式运算、方程求解、函数分析等方面。在应用数学中，整式加减被应用于统计学、金融学和工程学等领域。整式加减的广泛应用使得它成为快速解决问题的有效工具。 1. 合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。例：5ab2：与-13ab2 -9x2y3与5x2y3。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式。 合并同类项：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项； 同类项合并的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 2. 去（添）括号法则 1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面的符号都不改变； 2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面的符号都要改变； 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 4）添括号和去括号是互逆运算，若需要添括号，可以借助去括号法则逆向运算即可。 3.整式的加减 整式的加减运算就是利用合并同类项与去括号法则的运算，具体步骤为：①若有括号先去掉括号；②再将同类项找出，并置与一起；③最后合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 题型1、同类型的辨别 【解题技巧】同类项的定义：含有字母相同，相同字母的指数也相同的单项式为同类项。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：单项式的一个同类项为，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）下列整式中，不是同类项的是（   ） A．与 B．1与 C．和 D．与 【答案】D 【详解】A、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，不符合题意； B、1与是常数，是同类项，不符合题意； C、和所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，不符合题意； D、与所含字母不相同，不是同类项，符合题意．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、与是同类项，此选项符合题意； B、与字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D、与相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．故选：A． 题型2、利用同类型的概念求参数 【解题技巧】利用同类型的概念‌，通过分析代数式的结构特征（字母相同、指数相等等），建立方程求解参数值‌。 例1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若单项式与是同类项，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：单项式与是同类项，，，，故选C． 变式1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）若单项式与是同类项，则n的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵单项式与是同类项，∴，故选：C． 变式2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若关于x，y的单项式与和是一个单项式，则a的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵单顼式与和是一个单项式，∴与是同类项，∴．故答案为：3． 题型3、去括号与添括号 【解题技巧】去括号法则：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘；再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号。 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验． 例1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，变形正确，故此选项不符合题意； B、，变形正确，故此选项不符合题意； C、，变形错误，故此选项符合题意； D、，变形正确，故此选项不符合题意；故选：C． 变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A项错误；B．，故B项错误； C．故C项错误；D．，故D项正确．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意；故选B． 变式3．（24-25七年级上·江苏·期末）（ ）． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 题型4、合并同类项 【解题技巧】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项； 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列各式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意；故选：B． 例2．（23-24七年级上·湖北·期中）合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【详解】解： ，故选B． 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，故符合题意；故选：D 变式3．（22-23七年级上·广西南宁·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法．如果把看作一个整体，合并的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故B正确．故选：B． 题型5、整式的加減运算 【解题技巧】多项式相加减的本质是‌合并同类项‌，关键在于：‌符号处理‌：减法转化为加法（取反后相加）；‌对齐同类项‌：按相同字母及指数分组合并；‌结果形式‌：结果仍为多项式，次数不超过原多项式的最高次数。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）化简： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解: , , （2）, , , 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知两个多项式M和N都是六次多项式，那么为（   ） A．六次多项式 B．不高于六次的多项式 C．不低于六次的多项式 D．不高于六次的整式 【答案】D 【详解】解：∵两个多项式M和N都是六次多项式，∴为不高于六次的整式，故选：D． 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 变式3．（2024·陕西西安·七年级统考期中）若A是一个四次多项式，B也是一个四次多项式，则是一个（　　） A．八次多项式 B．四次多项式 C．次数不超过四次的多项式 D．次数不超过四次的代数式 【答案】D 【详解】解：若A是一个四次多项式，且B也是一个四次多项式， 则一定是不高于四次的多项式或单项式．故选：D． 题型6、整式的化简求值 【解题技巧】整式化简求值一定注意是先化简再代入给定数值计算，注意运算顺序和符，切记避免直接代入未化简的复杂式子导致计算错误。整式化简求值的核心在于‌规范去括号‌与‌精准合并同类项。 例1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【详解】解： ， 当时，原式． 变式1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；2 【详解】解： ， ，， 原式． 变式2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值：求的值，其中． 【答案】，72 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 题型7、整式的比较大小 【解题技巧】整式比较大小的核心在于‌灵活选择方法‌，优先作差法，结合赋值验证或代数变形简化分析，同时需注意符号处理和结果的完整性。（切记赋值验证法常用于找反例，不具有完整性）。 例1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？ 例如：比较与的大小，我们可以这样做： 因为，又因为，所以． 【尝试】比较代数式与的大小，说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：．理由如下：， 因为，所以，所以． 例2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）在数学活动课上，潘老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，四张卡片分别代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序． 根据以上规则，解答下列问题： (1)经过的顺序所得的运算结果是________； (2)①经过的顺序所得的结果记为，则________； ②经过的顺序所得的结果记为，则________； (3)在（2）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)3(2)①；②(3)，见解析 【详解】（1）解：；故答案为：3． （2）解：①，故答案为：． ②，故答案为：． （3）解：，理由如下， 由（2）得，，，， 对于任意的都有，，，． 变式1．（24-25·广西河池·七年级统考期末）若，，则A、B的大小关系（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：， ∵，∴，∴，即，故选：A． 变式2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读下面材料并解决问题 对任意两个代数式，比较大小，我们可以用“作差法”：若时，则；若时，则；若时，则．例如：因为，所以． (1)比较大小：_______（填“”，“”或“”）； (2)比较代数式与的大小； (3)对于任意的有理数，，请比较与的大小． 【答案】(1)；(2)； (3)当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：； （2）解：， ∵，∴，∴，∴； （3）解： 当时，，则，此时， 当时，，则，此时，； 当时，，则，此时，． 题型8、整式的加减（不含某项与遮挡问题） 【解题技巧】解题核心是‌精确合并同类项‌并‌通过系数为0建立方程‌，注意符号处理和多条件联立是难点。 注意：解出参数后建议代入原式验证，确保化简后确实不含目标项。 逆向推导法‌：根据已知的运算结果和未被遮挡的部分，逆向还原被遮挡的整式或参数。 比较系数法‌：遮挡部分为多项式中的特定项时，通过结果与原式同类项系数的差值求解。 遮挡问题的核心是‌逆向逻辑与代数变形能力‌，需结合合并同类项、符号修正和方程思想，通过对比系数精准还原缺失部分。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）若关于x的多项式的值与x无关，则的值为 ． 【答案】7 【详解】， 由题意得：，由，解得，由，解得．则．故答案为∶7． 例2．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）关于的代数式化简后不含有项和常数项(1)求和的值．(2)若，求：代数式的值． 【答案】(1)，(2)5 【详解】（1）解：， 因代数式中不含项与常数项，，，，； （2）解：∵，，，，∴，解得， ． 例3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化简的代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断：此操作 （填写“能”或“不能”）使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：； ∵的常数项为8，而小颖卡片上代数式中的常数项为， ∴小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式不等于小颖卡片上的代数式． ∴游戏不能成功． （2）解：小颖卡片上的代数式为：． ∴小颖卡片上的代数式为． 变式1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴； ∴；故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如果关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 【答案】/ 【详解】 因为差不含二次项，所以二次项的系数为0，即，由，解得， 由，移项可得，解得， 将代入得：．故答案为： 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知：，． (1)计算；(2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， 的值与的取值无关，，解得：． 题型9、整式加减的新定义 【解题技巧】拆解定义要素‌：明确新定义中符号、运算规则的数学含义，提炼核心操作步骤。 ‌符号对应转换‌：将新定义中的特殊符号转化为常规整式运算（加减乘除）。 新定义问题的核心是‌定义转化与代数建模‌，通过拆分定义要素、严格符号转化和多维度验证，可系统解决此类题型。几何图形关联的整式运算需结合面积公式展开验证。 例1．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：满足 (1)当，化简；(2)如果化简的结果与无关，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ， ； （2）解：原式， 化简的结果与无关，， 当时，原式． 例2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值；(2)计算． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）（1）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，．例如：．求的结果． （2）先化简，再求值：，其中：． 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）根据题中的新定义得： ； （2） ． 当时 原式 ． 变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 【答案】(1)①不是；理由见解析  ②是；(2)(3) 【详解】（1）① 不是，理由： ∵，不是单项式， ∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；， ②是，∵，是单项式， ∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为 （2）∵与互为“孪生多项式”， ∴，且， ∴，故； （3）∵，∴， ∴， ∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关， ∴，且，∴，∵，∴，∴． 题型10、整式加减的实际应用 【解题技巧】整式的实际应用需掌握‌代数建模、联立方程与几何转化‌三大核心能力。通过几何图形展开验证公式、经济模型参数化分析、动态物理问题整式化，可系统提升问题解决效率。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，将大长方形分割为8小块，除两块阴影M，N外，其余6块是形状，大小完全相同的小长方形．若的长为，小长方形的宽为，则图中两块阴影M，N的周长的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，小长方形的长为， 通过对图形的理解，图中两块阴影M，N的周长的和为大长方形的周长， 即大长方形的长为，则，故选：B 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段（以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度．①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 【答案】(1)①；②节约电费元(2)小安家要开通峰谷 【详解】（1）解：①根据题意得：（元）， ∴若未开通峰谷，需缴交电费元，故答案为：； ②根据题意得：（元）， ∴小明家月份能节约元电费； （2）小安家要开通峰谷． 理由： （元）， ∵，∴，∴开通峰谷全年可节省元，∴小安家要开通峰谷． 变式1．（24-25七年级上·河南周口·期末）某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种促销活动，某一天的线上销售情况统计如下： 单件利润／元 销量／件 第单 第单 第单 (1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少元，这天线下的销售总利润多少元？ (2)若线下销售的总件数比线上的总件数少件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多多少元？ 【答案】(1)这天线下的销售总利润为元 (2)这天线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多元 【详解】（1）解：依题意，得：， ∴这天线下的销售总利润为元； （2）依题意，得： ∴线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多元． 变式2．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包． (1)图①中打包带的总长_______________；（用含、、的代数式表示，并化简） 图②中打包带的总长__________________；（用含、、的代数式表示，并化简） (2)已知一个箱子的长，宽，高，若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长． (3)根据你的分析，试判断打包方式____________所用打包带更短． 【答案】(1)，(2)(3)②；理由见解析 【详解】（1）解：图①中打包带的总长， 图②中打包带的总长； （2）解：∵一个箱子的长，宽，高，∴； （3）解：，所以按照方式②的打包带更短． 变式3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长；(3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 【答案】(1)①②③(2)(3)阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由见详解 【详解】（1）解：正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③，即③遮住了②①，②遮住了①，∴三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是①②③，故答案为：①②③； （2）解：如图所示， ∵正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，∴， 设，∴，∴，， ∴阴影部分的面积， ，整理得，， ∴，解得，，∴； （3）解：阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由如下， 阴影部分的周长， 其中，，，，∴原式， ∴阴影部分的周长与正方形的边长无关． 1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）下列各式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与是同类项的特点为含有字母a，b，且对应a的指数为2，b的指数为1，只有A选项符合； 故选：A 2．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号错误，故该选项不符合题意； ．，原添括号正确，故该选项符合题意； ．，原去括号错误，故该选项不符合题意；故选：C 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，原式计算错误，故本选项不符合题意； C、，原式计算正确，故本选项符合题意； D、，原式计算错误，故本选项不符合题意；故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）用黑白两色棋子按如图所示方式摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1图形，黑色棋子有个；第2图形，黑色棋子有个； 第3图形，黑色棋子有个；……第n个图形，黑色棋子个，故选：A． 5．（23-24七年级上·江苏南通·期末）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，两类长方形的部分长、宽数据如图所示．则图中的两个阴影小长方形的周长之和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ，故选：C． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）关于一次式，说法错误的是（ ） A．的一次项是，，， B．的常数项是2 C．和是同类项 D．和是同类项 【答案】B 【详解】解：A．的一次项是，，，，故A正确，不符合题意； B．的常数项是，，故B错误，符合题意； C．和是同类项，故C正确，不符合题意； D．和是同类项，故D正确，不符合题意．故选：B． 7．（24-25·广东广州·七年级校考期末）一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（    ） A．十次六项式 B．十次三项式 C．六次二项式 D．四次二项式 【答案】D 【详解】解：∵合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变， ∴一个五次三项式，加一个五次三项式，所得整式的次数不可能高于五次，故A，B，C不正确，D正确， 如：．故选D． 8．（22-23七年级上·江西抚州·开学考试）小马虎计算时，错写成了，这样所得的结果比原式(　　) A．多 B．少 C．少 D．少 【答案】D 【详解】解：，与相比少了个，．故选：D． 9．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）计算：（ ）． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，，解得：，，∴，故答案为：． 11．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【详解】解：依题意这个多项式为：， 故答案为：． 12．（2025·江苏无锡·二模）计算： ． 【答案】 【详解】解：故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）多项式中不含有项，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意可知，多项式， ∵不含项，∴，解得：，故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，且的值与x的取值无关，则y的值 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， 由结果与x取值无关，得到，解得：．故答案为：2． 15．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：．其中． 【答案】（1），（2）， 【详解】解：（1），，； （2），，， 把代入，原式=． 16．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 【答案】(1)分配律 (2)二；去括号后，括号内的第二项没有变号； (3)化简结果，求值结果为 【详解】（1）解：的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解： ········第一步 ·········第二步 ．··············第三步 ∴是从第二步开始出错的，错误的原因是去括号时没有变号； （3）解： ． 当，，原式． 17．（24-25·山西大同·七年级校考期末）疫情期间，亮亮的父母只要有时间就陪孩子一起完成家庭作业，在某天晚上，亮亮准备完成作业：化简时发现“”处系数“ ”印刷不清楚．(1)他把“ ”猜成3，请你帮亮亮化简：； (2)爸爸说：“你猜错了，我们看了标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明来帮助亮亮得到原题中“ ”是几． 【答案】(1)；(2)6． 【详解】（1）解：（1）原式； （2）设看不清的数字为a，则原式 ； 因为结果为常数，所以，解得：， 即原题中的数为6． 1．（2024·河北保定·一模）若代数式是五次二项式，则常数m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当时，， 此时代数式是五次二项式， ∴当时，， 此时代数式是五次二项式，综上可知，常数m的值是或．故选：D 2．（2024·河北·七年级统考期末）已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴，故选A． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有依次排列的2个整式：，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，就可以产生第1个整式串：，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法： ①第2个整式串为：，，a，，； ②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为； ③第2025个整式串中，所有整式的和为． 其中正确的个数是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴第2个整式串为：，，a，，，故①正确； 根据题意得：第3个整式串为：，，，，a，，，，， 第4个整式串从左往右第2个整式为：，从右往左第2个整式为， ∴第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为 ，故②正确； 根据题意得：第1个整式串所有整式的和为； 第2个整式串所有整式的和为； 第3个整式串所有整式的和为， ……，第n个整式串所有整式的和为， ∴第2025个整式串中，所有整式的和为，故③错误．故选：C 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（n＝1，2，3，…）的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题知，展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 所以 所以的展开式中第二项是．故选：B． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴； ∴；故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如果单项式与的差仍然是一个单项式，则 ． 【答案】1或3/3或1 【详解】解：∵单项式与的差仍然是一个单项式， ∴与是同类项，则，解得或3，故答案为：1或3． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ．故答案为： 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）【阅读与理解】能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．偶数可以用表示，奇数可以用表示，其中n为整数． 我们可以用说理的方法说明任意一个偶数与一个奇数的和为奇数，解答过程如下： 解：设任意一个偶数为，一个奇数为，其中m，n为整数，则它们的和为． 因为m，n为整数，所以为整数．所以为奇数，即任意一个偶数与一个奇数的和为奇数． 【迁移与应用】仿照上面的方法，试说明三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 【答案】见解析 【详解】解：设三个连续奇数分别为，，，其中n是整数， 它们的和为：， 由于是整数，所以三个连续奇数的和是3的倍数，即能被3整除， 同时，由于是奇数，所以三个连续奇数的和也是奇数． 因此，三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 观察图案可得：第一个图案正三角形有4个．六边形有1个，第二图案正三角形有6个，六边形有3个． (1)第4个图案中，三角形有 个，六边形有 个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形有 个，六边形有 个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4(2)，(3)没有，理由见解析 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个；故答案为：10，4； （2）解：由图可知：第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个，第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个，故答案为：，； （3）解：没有，理由如下：∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$