专题09 字母表示数和代数式的概念-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题09 字母表示数和代数式的概念 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、用字母表示数 4 题型2、代数式的概念 5 题型3、代数式的书写规范 6 题型4、代数式的实际意义 7 题型5、列代数式 8 题型6、用代数式表示探究图形规律 10 题型7、代数式求值（已知字母和式子的数值） 13 题型8、程序框图与代数式求值 14 题型9、代数式求值（整体思想） 16 题型10、代数式求值（整体思想之赋值法） 17 题型11、代数式求值（实际应用） 18 基础通关 21 拓展提优 26 1. 会利用字母表示数表示简单的数量关系，体会字母表示数的优越性； 2. 掌握字母与数一起参与运算时的正确书写； 3. 了解代数式的概念；会用代数式表示简单的数量关系和数学规律、解决简单的实际问题； 4. 理解代数式的值的概念；会求代数式的值； 5. 培养学生养成良好的习惯，适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想；初步体会对应思想和整体思想。 【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。（1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ （2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 【思考2】椐某报纸报道，父母身高预测子女成年后的身高公式是：儿子身高是父母身高的和的一半；再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2。（该公式是根据遗传原理和欧洲人身高增长速度推算出来的） （1） 已知父亲身高是a米，母亲身高是b米，请你用代数式表示儿子和女儿的身高； （2） 女生索菲亚的父亲身高是1.84米，母亲身高是1.66米；男生乔治的父亲身高是1.82米，母亲身高是1.64米，试预测索菲亚和乔治成年后的身高。（结果保留两位小数） 【代数式的发展历史】在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，古老的算术就必须进行改进和发展，未知数x等符号的引人，使算术学科变成了代数学科。有了符号体系，数学的书写比在算术阶段更紧凑、更有效、更抽象，也更能反映一般规律，于是，也就有了更广泛的应用。从算术到代数，经历了漫长的历史时代，许多国家、许多民族都做出过贡献。代数式概念的形式与发展经历了一个漫长的历史发展过程，13世纪，斐波那契（Fibonacci,L.）就开始采用字母表示运算对象，但尚未使用运算符号，韦达（Viete,F.）于 1584-1589年间，引入数学符号系统，使代数成为关于方程的理论，因而人们普遍认为他是代数式的创始人，笛卡儿（Descartes,R.）对韦达的字母用法作了改进，用拉丁字母表中前面的字母 a,b,c,... 表示已知数，用末尾的一些字母 x，y，z... 表示未知数，莱布尼茨（Leibniz,G,W.）对各种符号记法进行了系统研究，发展并完善了代数式的表示方法。 【代数式求值的中国元素】秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就。由他提出的一种多项式求值的简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。 用字母表示数，字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性。 例：加法交换律可用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子就叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 如：10a ，8a+8b ， ，等。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值。 整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。 题型1、用字母表示数 【解题技巧】用字母表示数，可以使问题中的数量关系表示得更简明，更具有一般性。 核心作用‌：简化复杂数量关系，为实际问题建立数学模型。 例1．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1)(2)(3)(4)，(5)(6) 【详解】（1）解：加法结合律：，故答案为：； （2）解：乘法结合律：，故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：，故答案为：； （4）解：长方形的宽是：，周长是：， 面积是：，故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：，故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是，故答案为：． 例2．（24-25七年级上·河北唐山·开学考试）如果用表示自然数，那么偶数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：表示自然数，则偶数可以表示为，故选B 变式1．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）一支铅笔的价格是a元，一块橡皮的价格是b元，买2支铅笔和7块橡皮应付 元． 【答案】/ 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元， 买2支铅笔和块橡皮应付元．故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）一件运动衣的成本价为元，先按成本提高后标价，再按标价的折出售，这件运动衣的售价是 元． 【答案】 【详解】解：由题意可得：运动衣先按成本提高后的标价为：， 再按标价的折出售的售价是：， ∵，答：这件运动衣的售价是元．故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若四月份增长率为，五月份增长率为，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，四月份的销售量是，五月份的销售量为，故选：B． 题型2、代数式的概念 【解题技巧】代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式。 例1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列式子：中，代数式的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：在中， 代数式有，共有5个；故选：B． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是 ．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【答案】①④⑤ 【详解】解：是代数式的是①；④π；⑤．故答案为：①④⑤． 变式2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【详解】解：是单独的一个数，是代数式；是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式；是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式；0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ．∴代数式共5个，故选：B． 题型3、代数式的书写规范 【解题技巧】代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式；（4）在代数式前系数为1时，系数可省略不写，当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“－”；（5）后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列式子，符合书写规范的是（　　） A． B．人 C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ，符合代数式书写格式，故选项符合题意； B. 人，式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意；C. ，字母与数字相乘，乘号应该省略，数字要写在前面，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意；D. ，带分数与字母相乘一定要写成假分数，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意；故选：． 变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：．符合代数式书写规范，故该选项符合题意； ．中没有省略，应写为，故该选项不符合题意； ．出现除号，应写为，故该选项不符合题意； ．是带分数形式，应写为故该选项不符合题意；故选：A． 变式2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.正确的书写格式为，故此选项不符合题意；     B. 正确的书写格式为，故此选项不符合题意；    C. 书写正确，故此选项符合题意；     D. 正确的书写格式为，故此选项不符合题意；故选：C． 题型4、代数式的实际意义 【解题技巧】代数式的实际意义需通过语言表述，将字母和运算符号转化为具体情境中的对象与逻辑。 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题的数量或数量关系。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）对于代数式的意义，表述正确的是（   ） A．与的差的平方 B．与的2倍的差 C．的平方与的差 D．与的平方的差 【答案】D 【详解】解：代数式的意义应表述为“与的平方的差” ．故选：D． 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数．故选：B． 变式1．（24-25七年级上·福建福州·期末）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【答案】C 【详解】解：A、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，正确，故此选项不符合题意； B、若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量，正确，故此选项不符合题意； C、若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数，原说法，故此选项符合题意； D、若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程，故此选项不符合题意．故选：C． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是a的2倍与3的和 B．的意义是a与b的积的5倍 C．的意义是a与b的和的平方 D．的意义是a的平方与1的差 【答案】C 【详解】解：A． 的意义是的意义是a的2倍与3的和，故本选项说法正确，不符合题意； B． 的意义是a与b的积的5倍，故本选项说法正确，不符合题意； C． 的意义是a与b的平方的和，故本选项说法错误，符合题意； D． 的意义是a的平方与1的差，故本选项说法正确，不符合题意；故选：C． 题型5、列代数式 【解题技巧】列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式。代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。特别注意代数式的书写要规范。 例1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）某电厂有煤吨，计划每天用煤吨，实际每天用煤节约了吨，节约后可多用（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】C 【详解】解：某电厂有煤吨，计划每天用煤吨，节约前可用天， 实际每天用煤节约了吨，节约后每天用煤吨， 节约后可用天，节约后可多用天，故选：． 例2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图、、、分别是长方形的四个顶点长，宽，以点为圆心为半径画圆弧，再以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵扇形的面积，半圆的面积，长方形的面积，∴扇形的面积（长方形的面积半圆的面积） ，故选：． 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家10月用水量为立方米，则水费是 元．（用含a的代数式表示，并化简） 【答案】 【详解】解：每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，∴（元），故答案为： ． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）从1～9这九个数字中选择三个不同的数字，由这三个数字可以组成六个两位数．先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和． (1)小明按照上述要求，取了1，3，5三个数字，这6个两位数，然后把这6个两位数相加得到和为，然后用．请你取不同的三个数字，也操作2次，并写下你的过程，从结果中你发现了什么？(2)假设你选择的三个数字分别为a，b，c三个不同的数字，请把所组成的六个两位数用a，b，c表示出来，并解释其中的道理． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：取2、3、4三个数字，组成这6个两位数， ∵，∴由上可得最后的结果都为． （2）解：若选择的三个数字分别为a，b，c三个不同的数字， 则组成的六个两位数是， 则， ∴从1～9这九个数字中选择三个不同的数字，由这三个数字可以组成六个两位数．先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和．最后得到的结果都是． 题型6、用代数式表示探究图形规律 【解题技巧】规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。 例1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有1个白色正方形，图②中有4个白色正方形，图③中有7个白色正方形，图④中有10个白色正方形，…，按此规律，图⑩中白色正方形的个数是（    ） A．32 B．29 C．28 D．26 【答案】C 【详解】解：图①中有白色正方形个数：，图②中有白色正方形个数：， 图③中有白色正方形个数：，图④中有白色正方形个数：，… 第个图中白色正方形的个数为：，当时，；故选：C． 例2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，用形状和大小一样的四边形图案摆出下列一组图形：    (1)摆出第1个图形要用4个四边形图案，摆出第2个图形要用______个四边形图案，摆出第3个图形要用________个四边形图案． (2)按照这种方式摆下去，第n个图形要用_____________（用含n的代数式表示）个四边形图案组成． (3)摆出第2024个图形要用多少个四边形图案？ 【答案】(1)7；10(2)(3)6073 【详解】（1）解：根据图形可得：第1个图形要用个四边形图案， 第2个图形要用个四边形图案，第3个图形要用个四边形图案； （2）解：第1个图形：，第2个图形：， 第3个图形：，第4个图形：，；第n个图形：； （3）解：第2024个图形中，即：时， 四边形图案的个数为（个），则第2024个图形要用6073个四边形图案. 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑩个图形有 个点． 【答案】 【详解】解：由题意知，第①个图中共有个点， 第②个图中共有个点，第③个图中共有个点，…， ∴可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为个点， ∴第⑩个图中共有点的个数为个点，故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在课本第三章的章头活动中有一个用火柴棒搭“小鱼”的问题，具体搭建的方式如下图．小明认真观察后发现：第1条“小鱼”用8根火柴棒，后面每增加1条“小鱼”增加6根，那么搭n条“小鱼”就需要根火柴棒．同班同学小华说“我有不一样的想法”，小华发现第1条“小鱼”由鱼尾2根和其他6根火柴棒搭成，后面每增加1条“小鱼”就多6根，那么站在小华的视角，搭n条“小鱼”共需根火柴棒的根数为 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，得出运算规律解决问题．根据图形可得后一个图形中火柴数量是前一个图形火柴数量加6，根据题意，求出搭n条小鱼需要用根火柴棒可得答案． 【详解】解：∵第一个小鱼需要根火柴棒，第二个小鱼需要根火柴棒， 第三个小鱼需要根火柴棒， ∵每个小鱼比前一个小鱼多用6根火柴棒，∴搭n条小鱼需要用根火柴棒；故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ； 若第n个图形中白色正方形的个数记为，计算：＝ ． 【答案】 【详解】解：第1个图形：小正方形的总个数是； 第2个图形：小正方形的总个数是； 第3个图形：小正方形的总个数是； 第4个图形：小正方形的总个数是；…… 以此类推：第n个图形中小正方形的总个数是：； ∵第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴…… 以此类推：第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ ．故答案为：． 题型7、代数式求值（已知字母和式子的数值） 【解题技巧】代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。 例如：当x=20时，代数式x-7的值是13。 注意：求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果。 例1．（2025·江苏南通·一模）当时，代数式的值是（   ） A． B．3 C．10 D．11 【答案】D 【详解】解：当时，，故选D． 例2．（2025·江苏常州·二模）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知，则的值是 ． 【答案】0 【详解】解：∵， ∴；故答案为：0． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）代数式中，当取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如表： … 0 1 2 … … 1 3 5 … 则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题图可知，当时，，故答案：． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：，， 故答案为：． 题型8、程序框图与代数式求值 【解题技巧】解题思路:‌ 1）‌确定运算顺序与规则‌：根据程序框图的符号（如处理框、判断框）明确运算优先级和条件分支； 2）‌周期性规律的快速定位‌：若输出值出现重复序列，可直接通过余数确定第 n 次结果。 通过结合程序框图的逻辑分析与代数式化简技巧，可高效解决动态运算问题，提升计算准确性与速度。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果为215，则输入的x值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如果输入的数经过一次运算就能输出结果，则解得， 如果输入的数字经过两次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是71，于是，解得， 如果输入的数字经过三次运算才能输出结果，则第2次计算后的结果是53，第1次计算后的结果是17， 于是， 解得， 如果输入的数字经过四次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是5，于是，解得， 如果输入的数字经过五次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是1，此时不是正整数， 综上所述，输入的的值可能是7，23，71，故选：B． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在生活中，密码的应用很广泛，电子支付，密码认证等，小丽编制了一种密码规则：将26个英文字母A，B，C，．．．，Z依次对应自然数，对于密文，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数（为正整数）满足，明文对应相应英文字母，当密文中的数满足时，按照以下计算程序输出： 若小丽设置的明文是“”，则密文不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.明文是“”，对应的数分别为，，， 则密文可以是，故A选项不符合题意； B.若密文 ，则明文为，故符合题意； C. 若密文 ，其中， 30偶数，则，对应的明文为 为偶数，则输出，对应的明文为 则密文 对应的明文是“”，故C不符合题意， D. 对应密文 ，，43都大于且都是奇数， ∴，输入，则，对应的明文为 ，输入，则输出，对应的明文为 则密文 对应的明文是“”，故D不符合题意，故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】19 【详解】解：输入，∴ 所以应将7再重新输入计算程序进行计算，即．故答案为：19． 题型9、代数式求值（整体思想） 【解题技巧】整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。将已知代数式或所求代数式变形，整体替换成已知值。 当代数式中‌奇次项的系数互为相反数‌时（如 x与 −x、x3 与 −x3），可利用变量替换或配对法简化求值，步骤如下：‌识别对称性‌：观察代数式中奇次项是否成对出现且符号相反；‌整体代入‌：将已知条件转化后整体代入求值即可。通过灵活运用奇次项特性，可大幅简化复杂代数式的求值过程。 例1．（2025·江苏苏州·一模）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，即．故答案为：． 例2．（2025·江苏徐州·二模）若，则的值为 ． 【答案】20 【详解】解：∵，∴，故答案为：20． 例3．（24-25七年级上·重庆江北·期中）当时，代数式的值是18，则代数式的值为 ． 【答案】22 【详解】解：当时，代数式的值是18， ，，．故答案为：22． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知，则代数式 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得； ；故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若代数式的值是，则多项式的值是 ． 【答案】 【详解】解：，，故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）当时，，则当时，多项式的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：把代入已知等式得：，即， 则当时，原式．故选：A． 题型10、代数式求值（整体思想之赋值法） 【解题技巧】赋值法与整体思想结合，可高效解决复杂代数式求值问题，关键在于灵活选择赋值点并合理简化表达式。 例1.（24-25·山东七年级期末）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则（1）取时，直接可以得到；（2）取时，可以得到； （3）取时，可以得到；（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：已知． 求：（1）的值；（2）的值；（3）的值． 【答案】（1）4；（2）8；（3）0． 【详解】解：（1）当时， （2）当时，可得 （3）当时，可得① 由（2）得② ②①得：，，． 例2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 【答案】392 【详解】解：令，得：①； 令，得②， 得：， 即， 令，得，则， ∴，故答案为：392． 变式1．（24-25邗江区期中）若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=　　． 【答案】528 【解析】∵（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，令x=﹣1，有﹣32=﹣a+b﹣c+d﹣e+f① 令x=1，有1024=a+b+c+d+e+f② 由②﹣①有：1056=2a+2c+2e，即：528=a+c+e． 变式2．（24-25·山西忻州·七年级校考期中）若：． （1）当时， ；（2） ． 【答案】 1 【详解】解：（1）将代入得： ，即，故答案为：； （2）将代入得： 即，故答案为：1 题型11、代数式求值（实际应用） 【解题技巧】赋值法与整体思想结合，可高效解决复杂代数式求值问题，关键在于灵活选择赋值点并合理简化表达式。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知摄氏温度与华氏温度之间的转换关系为或(表示摄氏温度，表示华氏温度)．某天纽约的最高气温是，上海的最高气温是，则这一天两地的最高气温（    ） A．上海高 B．纽约高 C．一样高 D．无法比较 【答案】C 【详解】解：由得出纽约的气温是， 又上海的最高气温是，两地的气温一样高，故选：C． 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）鲁班锁是我国古代传统建筑的固定接合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图1），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图2所示． (1)用含字母的式子表示图2所示的面积（用含有a，b，c，d的式子表示）； (2)当，，，时，求图2所示的面积． 【答案】(1)(2)23 【详解】（1）解：图2所示的面积为：； （2）解：把，，，代入得：． 变式1．（2025·江苏扬州·一模）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则，当时，U的值为 ． 【答案】220 【详解】解：当时， ；故答案为：220． 变式2．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成． (1)若用200个山楂穿冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)若有个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，恰好穿了串冰糖葫芦，请用含，的代数式表示每串冰糖葫芦的山楂的个数．当，时，求每串冰糖葫芦的山楂个数． 【答案】(1)反(2)，8个 【详解】（1）解：∵每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数的乘积为，是定值， ∴每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成反比例关系． （2）解：每串冰糖葫芦的山楂个数个， 当，时， （个）． ∴每串冰糖葫芦的山楂个数为8个． 1．（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁．故选：D 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列式子，符合代数式书写规范的是（   ） A．元 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A正确的书写格式是元，选项B正确， 选项C正确的书写格式是，选项D正确的书写格式为，故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏·期末）下列式子是代数式的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：①，表示左右两边的式子相等关系，不是代数式； ②是数5与字母t的乘积，符合代数式的定义，是代数式； ③，表示左右两边式子的不等关系，是不等式，不是代数式； ④，表示左右两边式子的不等关系，是不等式，不是代数式； 综上可知，是代数式的有②， 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．，，，的积用代数式表示为 B．是代数式，1不是代数式 C．的意义是的2倍与的差的 D．与两数的平方和用代数式表示为 【答案】D 【详解】解：A、，，，的积用代数式表示为，故选项错误，不符合题意； B、是代数式，1是代数式，故选项错误，不符合题意； C、的意义是的2倍与的的差，故选项错误，不符合题意； D、与两数的平方和用代数式表示为，故选项正确，符合题意；故选D． 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，故选：C 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）代数式“”的意义是 ． 【答案】的倍与的差 【详解】解：代数式“”的意义是的倍与的差，故答案为：的倍与的差． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明、小亮从同一地点同时反向绕环形跑道跑步，小明的速度为，小亮的速度为，经过ts两人第一次相遇．这条环形跑道的周长是 ． 【答案】 【详解】解：这条环形跑道的周长是米，故答案为：米． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）若含的代数式，满足当时，代数式的值为．请你写出一个符合条件的代数式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：若含的代数式，满足当时，代数式的值为， 则这个代数式可以为：，故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）某商品原价每件a元，实际销售时先打8.5折，然后每件再降价10元，此时该商品的售价为每件 元．（用含a的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意知，将原价每件a元的商品打8.5折后的售价为元， 再降价10元后的售价为元．故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，根据前3个“列竖式”的速算方法，则第4个的两位数的个位数字y用十位数字x可表示为 ． 【答案】 【详解】解：由规律得，,故答案为：. 11．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则 ． 【答案】9 【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：9． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若，则的值为 ． 【答案】12 【详解】当时，原式=，故答案为：12． 13．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第10 个图案中小五角星有 颗．    【答案】31 【详解】解：第个图案中，小五角星有个，第个图案中，小五角星有个， 第个图案中，小五角星有个，第个图案中，小五角星有个，， ∴第个图案中，小五角星有个，∴第个图案中小五角星有个．故答案为：31． 14．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：若每户每月用水不超过15立方米，按每立方米a元计费；若超过15立方米，则超过部分按每立方米b元计费． (1)小明家上月用水如果为10立方米，应交水费 元，如果用水为20立方米，应交水费 元（用含a、b的代数式表示）；(2)若，时，且小红家上月用水24立方米，求应交水费． (3)在（2）的条件下，小华家上月用水x立方米，求应交水费． 【答案】(1)，(2)57元 (3)当时，应交水费为元；当时，应交水费为元 【详解】（1）解：因为10立方米立方米，所以应交水费为元； 因为20立方米立方米，所以应交水费为（元）；故答案为：，． （2）解：因为24立方米立方米，所以应交水费为（元）， 将，代入得：（元），答：应交水费为57元． （3）解：由题意得：当时，应交水费为（元）， 当时，应交水费为（元）， 答：当时，应交水费为元；当时，应交水费为元． 15．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知，其中a表示的是的系数，b表示的是x的系数，c为常数项．当时，．(1)取，则可知 ；(2)求的值． 【答案】(1)1(2)9 【详解】（1）解：当时，，即； （2）解：当时，，即． 16．（24-25七年级上·广东广州·期中）物理学家阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识-杠杆原理（如图所示），即“阻力阻力臂＝动力动力臂”． 张师傅欲用撬棍撬动一箱重物，已知阻力和阻力臂分别为（：力的单位）和． (1)设动力为，动力臂为，用式子表示与的关系，并说明与的比例关系： (2)当动力臂为时，则撬动这块石头至少需要的动力是多少N？ 【答案】(1)，与是反比例关系；(2)撬动这块石头至少需要的动力是． 【详解】（1）解：由题知，因为“阻力阻力臂动力动力臂”且阻力和阻力臂分别为和， 所以，即，所以与是反比例关系． （2）当时，，所以撬动这块石头至少需要的动力是． 17．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）某窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长和半圆的半径均为．计算： (1)用含a的式子表示窗户的面积；(2)用含a的式子表示制作这种窗户所需材料的总长度（重合部分忽略不计）；(3)若，求这种窗户所需材料的总长度（取3）． 【答案】(1)(2)(3)这种窗户所需材料的总长度为 【详解】（1）窗户的面积：； （2）所需材料的总长度为：． （3）∵∴ ∴这种窗户所需材料的总长度为． 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中每相邻两条竖线间，有几条横线，运算符号“、、、”在竖线与横线上运动．它们在运动的过程中按自上而下，逢横线必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“”中，将连接起来，构成一个算式．如：“”号根据规则就应该沿图中箭头方向运动，最后向下进入“”中．其余3个运算符号分别按规则运动到“”中后，就得到算式．如图②所示，计算当，时所写算式的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意确定各符号的位置，此时的算式为 ，当，时，，故选：B． 2．（24-25七年级上·广东阳江·期中）“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有14个小正方形，第2个图形共有19个小正方形，第3个图形共有24个小正方形，……，依此规律，第7个图形中小正方形的总个数为（    ） A．39 B．44 C．64 D．69 【答案】B 【详解】解：第一个图形可以看作是个正方形，第二个图形可看作是个正方形， 第三个图形可看作是个正方形；∴第个图形的小正方形数量为：个； ∴时，（个）．故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为．故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式（代数式中a换成b，b换成a，代数式保持不变）．下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是 ． 【答案】②③/③② 【详解】解：①中a换成b，b换成a得，故①不是完全对称式； ②中a换成b，b换成a得， 同理可得和互换时，代数式都不变，故②是完全对称式； ③中a换成b，b换成a得， 同理可得和互换时，代数式都不变，故③是完全对称式； ∴是完全对称式的有②③，故答案为：②③． 5．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x． ​ (1)图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 3 4 … 各边上格点的个数和x 4 5 6 … 请完成表格并直接写出S与x之间的关系式； (2)如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为：　 　． 【答案】(1)，，(2)①见解析；② 【详解】（1）解：图②的面积为， 根据2，，3，对应4，5，6，可知和的关系为，当时，；故答案为：，8，． （2）①如图，分别画出两个格点多边形⑦⑧，其内部都只有两个格点． ②图⑤中，，图⑥中，，图⑦中，，图⑧中，，通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即，故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)；(2)． 【答案】(1)243 (2)122 【详解】（1）解：当时，左边，右边， ∴； （2）解：∵，， ∴，∴． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）【回归课本】下面图1中的（1）~（3）是课本中的一道习题： 请根据下面的图示，用a的代数式分别表示图1中的①（1）~（3）中阴影部分的面积． 图（1）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（2）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（3）中阴影部分的面积是______；（请用a的代数式表示） （2）【联系实际】亮亮和聪聪在做完课本中的习题后，觉得这个问题很有意思，发现生活中就有这样的实际问题：公园绿化维护人员要对一块长满的草坪进行日常保养，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率为；s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．某公司准备对一块边长为12m的正方形草坪（如图2）安装自动喷洒装置．（取近似值） ①若在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，喷洒装置所占面积忽略不计，该方案的喷洒覆盖率______； ②两人继续思考，若按图1中的（2）在该草坪内设计安装4个半径为的自动喷洒装置，如图1中的（3）在该草坪内计安装9个半径为的自动喷洒装置，…，以此类推，设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置．与图2的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． 【答案】（1），，；（2）①；②增加装置个数且减小喷洒半径的方案，对提高喷洒覆盖率起不到作用． 【详解】解：（1）图（1）中阴影部分的面积是， 图（2）中阴影部分的面积是， 图（3）中阴影部分的面积是； （2）①当喷洒半径为时，喷洒的圆的面积为， 正方形的面积为，∴该方案的喷洒覆盖率； ②设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置，∴喷洒的圆的面积为， 而正方形的面积始终为，∴该方案的喷洒覆盖率； ∴这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，对提高喷洒覆盖率起不到作用． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4(2)2，1 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时，第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：；第三次输出的数是：；第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时，第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：；第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：；第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：；第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：；第九次输出的结果是：；…， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2，所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1．故答案为：2，1． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫做三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】(1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 【答案】(1)见详解(2)①结论正确，理由见详解；②，理由见详解 【详解】（1）解：截得的四棱台，四棱锥的平面直观图如图所示： （2）解：依题意， 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 5 6 7 … 棱数（E） 9 12 15 … 顶点数（V） 6 8 10 … ①结论正确，理由如下：结合上表，得出三棱台有个顶点，个棱，个面， 四棱台有个顶点，个棱，个面， 五棱台有个顶点，个棱，个面，依次类推…… 棱台有个顶点，个棱，个面，故． 解：②，理由如下：依题意，如图所示： 三棱锥 四棱锥 五棱锥 … 面数（F） 4 5 6 … 棱数（E） 6 8 10 … 顶点数（V） 4 5 6 … 结合上表，得出三棱锥有个顶点，个棱，个面， 四棱锥有个顶点，个棱，个面， 五棱锥有个顶点，个棱，个面，依次类推…… 棱锥有个顶点，个棱，个面，则，故． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 字母表示数和代数式的概念 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、用字母表示数 4 题型2、代数式的概念 5 题型3、代数式的书写规范 6 题型4、代数式的实际意义 7 题型5、列代数式 8 题型6、用代数式表示探究图形规律 10 题型7、代数式求值（已知字母和式子的数值） 13 题型8、程序框图与代数式求值 14 题型9、代数式求值（整体思想） 16 题型10、代数式求值（整体思想之赋值法） 17 题型11、代数式求值（实际应用） 18 基础通关 21 拓展提优 26 1. 会利用字母表示数表示简单的数量关系，体会字母表示数的优越性； 2. 掌握字母与数一起参与运算时的正确书写； 3. 了解代数式的概念；会用代数式表示简单的数量关系和数学规律、解决简单的实际问题； 4. 理解代数式的值的概念；会求代数式的值； 5. 培养学生养成良好的习惯，适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想；初步体会对应思想和整体思想。 【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。（1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ （2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 【思考2】椐某报纸报道，父母身高预测子女成年后的身高公式是：儿子身高是父母身高的和的一半；再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2。（该公式是根据遗传原理和欧洲人身高增长速度推算出来的） （1） 已知父亲身高是a米，母亲身高是b米，请你用代数式表示儿子和女儿的身高； （2） 女生索菲亚的父亲身高是1.84米，母亲身高是1.66米；男生乔治的父亲身高是1.82米，母亲身高是1.64米，试预测索菲亚和乔治成年后的身高。（结果保留两位小数） 【代数式的发展历史】在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，古老的算术就必须进行改进和发展，未知数x等符号的引人，使算术学科变成了代数学科。有了符号体系，数学的书写比在算术阶段更紧凑、更有效、更抽象，也更能反映一般规律，于是，也就有了更广泛的应用。从算术到代数，经历了漫长的历史时代，许多国家、许多民族都做出过贡献。代数式概念的形式与发展经历了一个漫长的历史发展过程，13世纪，斐波那契（Fibonacci,L.）就开始采用字母表示运算对象，但尚未使用运算符号，韦达（Viete,F.）于 1584-1589年间，引入数学符号系统，使代数成为关于方程的理论，因而人们普遍认为他是代数式的创始人，笛卡儿（Descartes,R.）对韦达的字母用法作了改进，用拉丁字母表中前面的字母 a,b,c,... 表示已知数，用末尾的一些字母 x，y，z... 表示未知数，莱布尼茨（Leibniz,G,W.）对各种符号记法进行了系统研究，发展并完善了代数式的表示方法。 【代数式求值的中国元素】秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就。由他提出的一种多项式求值的简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。 用字母表示数，字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性。 例：加法交换律可用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子就叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 如：10a ，8a+8b ， ，等。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值。 整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。 题型1、用字母表示数 【解题技巧】用字母表示数，可以使问题中的数量关系表示得更简明，更具有一般性。 核心作用‌：简化复杂数量关系，为实际问题建立数学模型。 例1．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 例2．（24-25七年级上·河北唐山·开学考试）如果用表示自然数，那么偶数可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）一支铅笔的价格是a元，一块橡皮的价格是b元，买2支铅笔和7块橡皮应付 元． 变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）一件运动衣的成本价为元，先按成本提高后标价，再按标价的折出售，这件运动衣的售价是 元． 变式3．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若四月份增长率为，五月份增长率为，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（   ） A． B． C． D． 题型2、代数式的概念 【解题技巧】代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式。 例1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列式子：中，代数式的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是 ．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 变式2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 题型3、代数式的书写规范 【解题技巧】代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式；（4）在代数式前系数为1时，系数可省略不写，当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“－”；（5）后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列式子，符合书写规范的是（　　） A． B．人 C． D． 变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 题型4、代数式的实际意义 【解题技巧】代数式的实际意义需通过语言表述，将字母和运算符号转化为具体情境中的对象与逻辑。 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题的数量或数量关系。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）对于代数式的意义，表述正确的是（   ） A．与的差的平方 B．与的2倍的差 C．的平方与的差 D．与的平方的差 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 变式1．（24-25七年级上·福建福州·期末）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是a的2倍与3的和 B．的意义是a与b的积的5倍 C．的意义是a与b的和的平方 D．的意义是a的平方与1的差 题型5、列代数式 【解题技巧】列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式。代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。特别注意代数式的书写要规范。 例1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）某电厂有煤吨，计划每天用煤吨，实际每天用煤节约了吨，节约后可多用（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 例2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图、、、分别是长方形的四个顶点长，宽，以点为圆心为半径画圆弧，再以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为和，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家10月用水量为立方米，则水费是 元．（用含a的代数式表示，并化简） 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）从1～9这九个数字中选择三个不同的数字，由这三个数字可以组成六个两位数．先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和． (1)小明按照上述要求，取了1，3，5三个数字，这6个两位数，然后把这6个两位数相加得到和为，然后用．请你取不同的三个数字，也操作2次，并写下你的过程，从结果中你发现了什么？(2)假设你选择的三个数字分别为a，b，c三个不同的数字，请把所组成的六个两位数用a，b，c表示出来，并解释其中的道理． 题型6、用代数式表示探究图形规律 【解题技巧】规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。 例1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有1个白色正方形，图②中有4个白色正方形，图③中有7个白色正方形，图④中有10个白色正方形，…，按此规律，图⑩中白色正方形的个数是（    ） A．32 B．29 C．28 D．26 例2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，用形状和大小一样的四边形图案摆出下列一组图形：    (1)摆出第1个图形要用4个四边形图案，摆出第2个图形要用______个四边形图案，摆出第3个图形要用________个四边形图案．(2)按照这种方式摆下去，第n个图形要用_____________（用含n的代数式表示）个四边形图案组成．(3)摆出第2024个图形要用多少个四边形图案？ 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑩个图形有 个点． 变式2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在课本第三章的章头活动中有一个用火柴棒搭“小鱼”的问题，具体搭建的方式如下图．小明认真观察后发现：第1条“小鱼”用8根火柴棒，后面每增加1条“小鱼”增加6根，那么搭n条“小鱼”就需要根火柴棒．同班同学小华说“我有不一样的想法”，小华发现第1条“小鱼”由鱼尾2根和其他6根火柴棒搭成，后面每增加1条“小鱼”就多6根，那么站在小华的视角，搭n条“小鱼”共需根火柴棒的根数为 ．（用含有n的代数式表示） 变式3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ； 若第n个图形中白色正方形的个数记为，计算：＝ ． 题型7、代数式求值（已知字母和式子的数值） 【解题技巧】代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。 例如：当x=20时，代数式x-7的值是13。 注意：求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果。 例1．（2025·江苏南通·一模）当时，代数式的值是（   ） A． B．3 C．10 D．11 例2．（2025·江苏常州·二模）若，则 ． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知，则的值是 ． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）代数式中，当取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如表： … 0 1 2 … … 1 3 5 … 则的值为 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若，则的值是 ． 题型8、程序框图与代数式求值 【解题技巧】解题思路:‌ 1）‌确定运算顺序与规则‌：根据程序框图的符号（如处理框、判断框）明确运算优先级和条件分支； 2）‌周期性规律的快速定位‌：若输出值出现重复序列，可直接通过余数确定第 n 次结果。 通过结合程序框图的逻辑分析与代数式化简技巧，可高效解决动态运算问题，提升计算准确性与速度。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果为215，则输入的x值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在生活中，密码的应用很广泛，电子支付，密码认证等，小丽编制了一种密码规则：将26个英文字母A，B，C，．．．，Z依次对应自然数，对于密文，给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数（为正整数）满足，明文对应相应英文字母，当密文中的数满足时，按照以下计算程序输出： 若小丽设置的明文是“”，则密文不可能是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 题型9、代数式求值（整体思想） 【解题技巧】整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。将已知代数式或所求代数式变形，整体替换成已知值。 当代数式中‌奇次项的系数互为相反数‌时（如 x与 −x、x3 与 −x3），可利用变量替换或配对法简化求值，步骤如下：‌识别对称性‌：观察代数式中奇次项是否成对出现且符号相反；‌整体代入‌：将已知条件转化后整体代入求值即可。通过灵活运用奇次项特性，可大幅简化复杂代数式的求值过程。 例1．（2025·江苏苏州·一模）若，则 ． 例2．（2025·江苏徐州·二模）若，则的值为 ． 例3．（24-25七年级上·重庆江北·期中）当时，代数式的值是18，则代数式的值为 ． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知，则代数式 ． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若代数式的值是，则多项式的值是 ． 变式3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）当时，，则当时，多项式的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 题型10、代数式求值（整体思想之赋值法） 【解题技巧】赋值法与整体思想结合，可高效解决复杂代数式求值问题，关键在于灵活选择赋值点并合理简化表达式。 例1.（24-25·山东七年级期末）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则（1）取时，直接可以得到；（2）取时，可以得到； （3）取时，可以得到；（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：已知． 求：（1）的值；（2）的值；（3）的值． 例2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 变式1．（24-25邗江区期中）若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=　　． 变式2．（24-25·山西忻州·七年级校考期中）若：． （1）当时， ；（2） ． 题型11、代数式求值（实际应用） 【解题技巧】赋值法与整体思想结合，可高效解决复杂代数式求值问题，关键在于灵活选择赋值点并合理简化表达式。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知摄氏温度与华氏温度之间的转换关系为或(表示摄氏温度，表示华氏温度)．某天纽约的最高气温是，上海的最高气温是，则这一天两地的最高气温（    ） A．上海高 B．纽约高 C．一样高 D．无法比较 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）鲁班锁是我国古代传统建筑的固定接合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图1），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图2所示． (1)用含字母的式子表示图2所示的面积（用含有a，b，c，d的式子表示）； (2)当，，，时，求图2所示的面积． 变式1．（2025·江苏扬州·一模）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则，当时，U的值为 ． 变式2．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成． (1)若用200个山楂穿冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)若有个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，恰好穿了串冰糖葫芦，请用含，的代数式表示每串冰糖葫芦的山楂的个数．当，时，求每串冰糖葫芦的山楂个数． 1．（23-24七年级上·河北秦皇岛·开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列式子，符合代数式书写规范的是（   ） A．元 B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏·期末）下列式子是代数式的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．，，，的积用代数式表示为 B．是代数式，1不是代数式 C．的意义是的2倍与的差的 D．与两数的平方和用代数式表示为 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）代数式“”的意义是 ． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明、小亮从同一地点同时反向绕环形跑道跑步，小明的速度为，小亮的速度为，经过ts两人第一次相遇．这条环形跑道的周长是 ． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）若含的代数式，满足当时，代数式的值为．请你写出一个符合条件的代数式 ． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）某商品原价每件a元，实际销售时先打8.5折，然后每件再降价10元，此时该商品的售价为每件 元．（用含a的代数式表示） 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，根据前3个“列竖式”的速算方法，则第4个的两位数的个位数字y用十位数字x可表示为 ． 11．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则 ． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第10 个图案中小五角星有 颗．    14．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：若每户每月用水不超过15立方米，按每立方米a元计费；若超过15立方米，则超过部分按每立方米b元计费． (1)小明家上月用水如果为10立方米，应交水费 元，如果用水为20立方米，应交水费 元（用含a、b的代数式表示）；(2)若，时，且小红家上月用水24立方米，求应交水费． (3)在（2）的条件下，小华家上月用水x立方米，求应交水费． 15．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知，其中a表示的是的系数，b表示的是x的系数，c为常数项．当时，．(1)取，则可知 ；(2)求的值． 16．（24-25七年级上·广东广州·期中）物理学家阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识-杠杆原理（如图所示），即“阻力阻力臂＝动力动力臂”． 张师傅欲用撬棍撬动一箱重物，已知阻力和阻力臂分别为（：力的单位）和． (1)设动力为，动力臂为，用式子表示与的关系，并说明与的比例关系： (2)当动力臂为时，则撬动这块石头至少需要的动力是多少N？ 17．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）某窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长和半圆的半径均为．计算： (1)用含a的式子表示窗户的面积；(2)用含a的式子表示制作这种窗户所需材料的总长度（重合部分忽略不计）；(3)若，求这种窗户所需材料的总长度（取3）． 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中每相邻两条竖线间，有几条横线，运算符号“、、、”在竖线与横线上运动．它们在运动的过程中按自上而下，逢横线必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“”中，将连接起来，构成一个算式．如：“”号根据规则就应该沿图中箭头方向运动，最后向下进入“”中．其余3个运算符号分别按规则运动到“”中后，就得到算式．如图②所示，计算当，时所写算式的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东阳江·期中）“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有14个小正方形，第2个图形共有19个小正方形，第3个图形共有24个小正方形，……，依此规律，第7个图形中小正方形的总个数为（    ） A．39 B．44 C．64 D．69 3．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式（代数式中a换成b，b换成a，代数式保持不变）．下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是 ． 5．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x． ​ (1)图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 3 4 … 各边上格点的个数和x 4 5 6 … 请完成表格并直接写出S与x之间的关系式； (2)如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为：　 　． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)；(2)． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）【回归课本】下面图1中的（1）~（3）是课本中的一道习题： 请根据下面的图示，用a的代数式分别表示图1中的①（1）~（3）中阴影部分的面积． 图（1）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（2）中阴影部分的面积是______，（请用a的代数式表示） 图（3）中阴影部分的面积是______；（请用a的代数式表示） （2）【联系实际】亮亮和聪聪在做完课本中的习题后，觉得这个问题很有意思，发现生活中就有这样的实际问题：公园绿化维护人员要对一块长满的草坪进行日常保养，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率为；s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．某公司准备对一块边长为12m的正方形草坪（如图2）安装自动喷洒装置．（取近似值） ①若在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，喷洒装置所占面积忽略不计，该方案的喷洒覆盖率______；②两人继续思考，若按图1中的（2）在该草坪内设计安装4个半径为的自动喷洒装置，如图1中的（3）在该草坪内计安装9个半径为的自动喷洒装置，…，以此类推，设计安装个喷洒半径为的自动喷洒装置．与图2的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…；(2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫做三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】(1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$