第3节 立体图形-【一本】2025年小学数学知识大盘点

第七章 第3节 立体图形 图形的认识与测量 盘 知识结构 观察具体实物 68 观察物体 观察立体图形 常见立体图 展开图> 有1山种不同的展开图 体图形 形的认识 特征 表面积、体积 70 和容积 长方体的表面积和体积计算公式 常见立体图形 正方体的表面积和体积计算公式 都可以用=S防 的表面积和体 计算体积 圆柱的表面积和体积计算公式 积的计算公式 圆锥的体积计算公式 盘 核心考点 68 观察物体 小优看到的是 小乐看到的是 ,小 观察具体实物 (1)从不同方向观察同·物体，看到的物体 君看到的是山，小翼看到的是 形状一般是不同的。 (2)从不同位置观察物体时，观察池同随观 例如图所示，小朋友们从不同的方向观察 絮点的变化而变化。观察点越高，观察范围 桌子上的物体。 越大：观察点越低，观察范围越小。离观察 小君 点越近被遮挡的池周越大；离观察点越远， 小乐 被遮挡的范用越小。 2观察立体图形 小优 (1)从不同方向观察一个用小正方体摆成的 ◆106 立体图形，观察到的图形的形状可能是不 (2)从立体图形的前面、侧面、上面这二个方 同的。 向观察，就会得到播述这个立体图形的三个 网如图，左边的图形是由小正方体摆成的 平面图，根据这三个平面图可以判断出立体 立体图形。从前面、左面、上面看到的图形 图形的形状。 各不相同。 及90e元 根据从一个方向或者两个不同方向观察到的 图形还原立体图形时，得到的立体图形可能是 不雌一的。根据从三个不同方向观察到的图 从前面希从左面希从上面看 形还原立体图形时，得到的立体图形是唯一的。 69 常见立体图形的认识 名称 图形 展开图 特征 长方体有6个面、12条棱、8个顶 点：6个面都是长方形（特殊情况下 长方体 长 有两个相对的面是止方形)；相对 的4条棱的长度都相等 正方体有6个而，12茶棱、8个顶 点：6个面是完全相同的正方形，它 正方体 们的而积都相等；12条棱的长度都 相等 圆柱的两个底而是完全相同的两 个圆，侧面是一个曲血，圆柱的侧 底面 而沿一条高展开可得到一个长方 圆柱 侧面 高 形（或正方形）；长方形一条边的长 底面 度等于圆柱的底面周长，另一条边 的长度等于圆柱的高；圆柱有无数 条高 顶点 圆锥的底面是一个圆，侧面是一个 曲面，侧面展开图是一个扇形：从 圆锥 圆锥的顶点到底面圆心的距离是 底面 圆锥的高；圆锥只有1条高 ◆1074 从08用0 例长方体，正方体的表面积是它本身6个 面的面积之和；圆柱的表面积是圆柱的侧面 (1)正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。 的面积和两个底面的面积之和。 (2)将一个正方体的表面展开，可以分为四种 类型，11种不同的展开图。 ②体积 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 1-4-1型 2-3-1型 2-2-2型 中 3容积 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通 3-3型 常叫作它们的容积。 吧 分00示 ,计算容积时，需要 70表面积、体积和容积 测量里面的数据 计算方 计算体积时，需要 法相阿 ①表面积 测漫外面的数据 物体表面的总面积叫作物体的表面积。 71 常见立体图形的表面积和体积的计算公式哈 面积计算公式 名称 图形 体积计算公式 侧（底）面积 表面积 Sa=2(a+b)h 长方体 S表-2(ab+ah+bh) V=abh S度-ab 长方体、正方体、 Sw=4a2 正方体 S表-6a2 V=a' 圆柱的体积都可 S席-a 以用底面积乘高 来表示，即V=S意五 1 S侧=Ch=2xh S=S+2Sx V=Si h 圆柱 h o S底=πr2 =2πrh十2πr2 =πr2h 圆锥 Sk=πr2 V-gSxh-gnih ◆108◆ 盘 典型例题 考点1>确定摆成立体图形所需的小正方 体的个数 26厘米 ®典型例题1 18厘米 用若干个同样的小正方体摆出一个几何体， 42厘米 从上面看到的图形是尸，从前面看到 A.18 B.24 C.25 D.50 解析该题捆扎用的丝带长度包含2条长、 的图形是士，摆这个几何体最少需要 2条宽、4条高及接头处，列式为(42十18)× 多少个小正方体？最多需要多少个小正 2十26×4十25=249（厘米），249厘米= 方体？ 24.9分米。在实际捆扎过程中，应多准备 解析先从已知信息入手推出所有符合条 少许丝带，所以选C比较合理。 件的几何体，再得出结论。 答案C ■■ 原几何体最下层小正方体排列 考点3>立体图形的切割问题 从上面看 为子加了 ®典型例题3 如图，把一个表面积是80平方厘米的长方 原几何体有两层，上层小正方体 休沿着虚线切三刀，切开后的表面积比原来 从前面看 的个数是1个或2个 增加了( )平方厘米。 综上可得，符合条件的几何体有3个，如下图。 解析根据题意可以将切的三刀拆解分析 观察上面3个儿何体可以得出摆这个几何 体最少和最多需要小正方体的个数。 (如图)。 答案摆这个几何体最少需要5个小正方 体，最多需要6个小正方体。 增加上、下 增加前、后 增加左、右 方陆总国 两个面 两个面 两个面 还原立体图形的方法 规察图形可知，共增加了六个面，相当于一 从上面看，可以确定几何体的行数和列数： 个长方体六个面的面积。所以，切开后的表 从前面看，可以确定几何体的列数和层数： 面积会比原来增加80平方厘米。 从左面看，可以确定几何体的行数和层数 答案80 考点2长方体的认识 典型例题2 将一个立体图形沿横截面切n刀，新增2：个 要用丝带捆扎种礼品盒（如图），接头处长 横藏面，表面积增加2个横戴面的面积。 25厘米，准各( )分米的丝带比较合理。 ◆109 考点4>立体图形的涂色问题 考点5立体图形的表面积和体积的计算 金典型例题4 金典型例题5 有一个正方休，它的表面全部被涂上了颜 下图是一个圆柱形油桶的用料图，涂色部分 色。如果把它切割成27个同样大小的小正 是制作油桶所用的铁皮，空白部分为边角 方体（如图），那么在小正方体中，一面涂色、 料，请你计算这个袖桶的表面积和容积。 (接头处不计，铁皮厚度不计，结果保留整数) 两面涂色、三面涂色的各有多少个？ -16.56dm 解析要想计算出油桶的表面积和容积，应 解析 一面涂色的在大正方 先确定油桶的底面周长和高。因图中大长 体的每个面的中间位 方形的宽等于2个圆的直径的和，即，而 置处，共有6×(3一 圆柱的底面周长应为2rr,2rr>4r,所以大 2)=6(个)。 长方形的宽不可能为圆柱的底面周长，故大 长方形的长为圆柱的底面周长与底面直径 两面涂色的在大正方体的每 的和，大长方形的宽为圆柱的高。 条棱的中间位置处，共有 答案底面半径：16.56÷(2×3.14+2)= 12×(3-2)=12(个)。 2(dm) 油桶的高：4×2=8(dm) 油桶的表面积：2×3.14×2×8+2×3.14× 三面涂色的在大正方体的顶 22≈126(dm2)》 点处，共8个。 袖桶的容积：3.14×22×8≈100(dm3) 答：这个油桶的表面积约是126dm2,容积 答案一面涂色的有6个，两面涂色的有12 约是100dm. 个，三面涂色的有8个。 考点6>组合图形的表面积和体积的计算 方困总写 @典型例题6 小正方体涂色的计算方法 求下面组合图形的表面积和体积。（单位：cm) 用表示大正方体的棱长，n表示切刻成的 小正方体（棱长为1）的个数，小正方体的涂色 规律可以表示如下： 三面涂色的小正方体个数一8（顶点个数） 两面涂色的小正方体个致一12(n一2)》 一面涂色的小正方体个数=6(n一2) 解析根据表面积的概念可知，组合图形的 没有涂色的小正方体个效=(n一2) 表面积为 ◆110 >圆柱的侧面积 301.44<401.92 组合图形 答：形成的立体图形的体积最大是401.92 的表面积 >正方体6个面的面积 立方厘米。 观察图形可知，组合图形由一个正方体和一 从6ee 个圆柱组成，由此可知， 直角三角形绕短直角边旋转形成的园雏，底面 半径大一些，体积也大一些。长方形绕一条长 组合图形 的体积 的体积十 边或短边旋转一周后形成的立体图形是圆柱， 绕短边旋转形成的园柱的体积会大一些。 一的体积。 考点8不规则物体的体积 答案表面积：3.14×6×3+8×8×6= ®典型例题8 440.52(cm2) 一个长方体鱼缸，从里面量长40cm,宽 体积：8×8×8+3.14×(6÷2)2×3 25cm,高15cm。把一块假山石放入鱼缸 596.78(cm) 内，假山石完全浸人水中，水面高度由10cm 考点7旋转后形成的立体图形 上升至10,75cm,假ll石的体积是多少？ ©典型例题7 解析依据题意可知，假山石完全浸入水 把下面的三角形绕一条直角边旋转一周，形 中，且水未溢出（如图，单位：cm)。求假山 成的立休图形的休积最大是多少立方厘米？ 石的体积： 方法一：假山石的体积=总体积一水的体积 8厘米 方法二：假山石的体积=水上升部分的体积 6厘米 10 10.751 解析直角三角形绕一条直角边旋转一周 40 90 后形成的立体图形是圆雏，且有两种不同的 答案方法·： 旋转方法，因此可以形成两种不同的圆锥 40×25×10.75-40×25×10=750(cm3) (如下图)。 方法二： 10.75-10=0.75(cm) 6屋米 4025×0.75=750(cm3) 答：假山石的体积是750cm3。 6厘米 8厘米 通过计算比较两种阃锥的体积大小即可。 方无总写 答案绕8厘米的直角边旋转： 排水法求体积 向盛有永的长方体或正方体容器中放入不规 1 3.14×62×8× =301.44(立方厘米)》 则物体，物体完全浸入水中（水未溢出）。 绕6厘米的直角边旋转： 漫没物体的体积一总体积一水的体积 浸没物体的体积一水上升部分的体积 a14×8×6× =401.92(立方厘米) 一容器底面积X水上升的高度 ◆111 盘 考试真题 基础练 个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面 的高度是( )cm。 一、填空。 1如果用4个同样的小正方体摆·个从上 面看和 一样的几何体，有( 种不同的摆法。如果在几何体 的 7.一个底面直径为4cm、高为7cm的圆柱， 它的体积是( )cm3。如图，把它切成 基础上添加1个小正方体，使从左面看到 两个相同的半圆柱，表面积比原来增加了 的图形保持不变，有()种不问的添法 )cm3. (小正方休之间至少有一个面接触)。 2.静静把一张K16cm、宽7cm的长方形纸 000 板沿着虚线对折，做出了长方体相邻的两 二、选择。 个面（如图），再用纸板做出其他四个面， 1将4个完全一样的长方体盒子包装成一 用成长方体，制作这个长方体至少还需要 包，每个长方体盒子长10cm,宽6cm,高 准备( )cm的纸板。（损耗忽略 1cm,下面3种包装方式，( )包装方 不计) 式最节省包装纸。 7 cm 16 cm 10cm 3.·个长方体的棱长总和是48cm,并且它 2下图中，甲的体积( )乙的体积，甲的 的长、觉、高的数值是三个连续的自然数， 表面积( )乙的表面积 这个长方体的表面积是( )cm,体积 是( )cm3. 4把两个同样大小的长方体拼成一个正方 A大于 B.小于 体，这个正方体的棱长是10cm,原来一个 C.等于 D.无法确定 长方体的表面积是( )cm,体积是 3.工厂要将一批长方体木块切割成长方体 ( )cm3。 小积木。如图，这样的块长方体木块最多 5把一块长7cm,宽5cm、高6cm的长方 可以切割出( )块小积木。（不能拼接） 休木块，削成一个最大的圆锥，这个圆锥 的体积是( )cm3。 6,有一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器 7 cm 木块 4 cm (如图)，圆柱的高是10cm,圆锥的高是 -7cm+ cm 6cm,容器内的液面高度是7cm。将这 A.2 B.3 C.4 D.5 ◆112 4.制作·个无盖的圆柱形水桶，有以下几种 三、解决问题。 铁皮可供搭配（如图），应选择( 1.王叔叔有一个园柱形茶杯，茶杯上有一圈 9.42dm 宽为10cm的防烫带（如图）。 12.56dm 2 dm 6 dm ① ② 20 cm 10 cm d=3dm r=4 dm ⊙ 6 cm ③ (1)这圈防烫带的面积是多少平方厘米？ A.①和③ B.②和④ C.②和③ 5.有一个圆柱，底面直径是10cm。若高增 加2cm,则侧面积增加( )cm2. (2)这个茶杯的容积是多少毫升？（茶杯 A.31.4 B.62.8 的厚度忽略不计) C.157 D.125.6 6有圆柱、圆锥各一个，圆柱与圆锥的底面 直径的比是2：3，圆柱与圆锥的高的比是 4:3,圆锥的体积是5.1m3,圆柱的体积 2.河里飘浮着一根长是10m、横截面的直 是( )m3。 径是4dm的圆柱形木头，正好有一半浮 A.3.2 B.4.8 出水面。（结果保留x) C.9.6 D.14.4 7.向一个长4dm、宽3dm、高2dm的长方 体容器中注满水，然后把一块长3dm、宽 (1)这根木头与水接触的面积是多少平 2dm、高5dm的长方体石块立着放人容 方米？ 器中，求溢山水的体积的算式是( A.4×3×2 B.3×2×5 C.3×2×2 D.3×2×(5-2) 8.下面选项中，与已知圆锥体积相等的是 ()。 (2)这根木头露出水面的体积是多少立 方米？ 12 cm 8 cm cm -4cm cm 16 cm 12 cm m A ◆113 (3)如果把这根木头削成·个最大的圆 能力练 锥，那么圆锥的体积是多少立方米？ 四、一个长方体，高缩短5cm后正好成为正 方体，表面积减少了1.2dm,求原长方 休的休积。 3.小明家要在卫生间的墙角处安装·扇弧 形玻璃门（两墙夹角为90°，如下图）。制 作这扇弧形玻璃门至少需要多少平方米 玻璃？（单位：m) 0.9 五、下面是一块棱长为12cm的止方体木 块，从它的上面、前面、右面的中间各凿 穿个底面边长为4cm的长方体洞，现 在木块的体积是多少立方厘米？ 4如图，长方休容器A是空的，长方体容器 B中的水深是2Acm。现在将容器B中的 水倒一部分给容器A,使两容器中的水深 相同，求此时的水深是多少 20 cm cm 30 cm 20c1m 40 cm 30 cm A B ◆11410.18.8421.98 里面正方形的面积：40×20÷2×2=800（平方 二、1.C 厘米) P104 答：外面正方形的周长是160厘米，面积是 2.A 1600平方厘米。里面正方形的面积是800平 3.B【解析】三角形具有稳定性。 方厘米。 4.C5.B6D7.B8.B9.A 3 10.B【解析】 6.24×3+4+5=6(cm) 4 24×3+4+5=8(cm) 5 20 cm- 24×3+4+5=10(cm) 如图所示，涂色部分①、②与空白部分③、④的 因为∠A=∠B+∠C,所以∠A=180°÷2=90°， 面积相等，将涂色部分①、②移到空白部分③、 三角形ABC是直角三角形。 ④的位置，涂色部分的面积就变成了原来等腰 6×8÷2=24(cm2) 直角三角形的面积的一半，即20×(5×2)X 答：三角形ABC的面积是24cm。 x =50(cm2)。 五、连接DB。 三、1.号×4-2)×3=3cm 2.(8+12)×(8÷2)÷22×3.14X(8÷2)2 B 14.88(cm2) 由于CF的长度是DF的2倍，DE与EA的 四、1.13×5一8×3=41（平方厘米） 长度相等，所以S三角形F=2S三角形DFm) 答：东东的脚丫长大了41平方厘米。 S三角形ABE=S三角形DEB。 (答案不唯一) P105 S三角形08=2X4=2(平方米) 2.(1)(35-10)×10÷2=125(m2) S三角思ABE=S三角彩DB=6-2=4(平方米) 答：菜园的面积有125m。 答：三角形ABE的面积为4平方米。 (2)125-10×10÷2=75(m2) 六、36×2÷3=24（平方厘米） 答：玉米地的面积是75m。 答：平行四边形EBCD的面积是24平方 3.EC的长度：72÷6-8=4（厘米） 厘米。 4×6÷2=12(平方厘米) 【解析】如图，S行四随D=S长方彩一 答：三角形ECD的面积是12平方厘米。 4.半圆的面积： 3S米*教A:。 3.14×(16÷2)2÷2=100.48(cm2) AB的长度： (100.48-4.48)×2÷16-12(cm) 答：AB的长度为12cm。 【解析】甲区域的面积比乙区域的面积大 4,48cm2,就是半圆的面积比直角三角形ABC 的面积大4.48cm2。 P112 5.圆的直径：20×2=40（厘米） -、1.352.2323.9460 外面正方形的周长：40×4=160（厘米） 4.400500【解析】原来长方体的长、宽、高 外面正方形的面积：40×40=1600（平方厘米） 分别是10cm、10cm、5cm。 ◆201◆ 5.47.1【解析】底面直径为6cm、高为5cm 体的长和宽。长方体的高比长多5cm,由此 的圆维，体积最大。 可求出原长方体的体积。 6.117.87.9256 五、12×12×12-4×4×12×3+4×4×4× 二、1.C【解析】当面积最大的面重合在一起时， 2=1280(cm3) 最节省包装纸。 答：现在木块的体积是1280cm3。 2.A C 3.C 【解析】现在木块的体积等于正方体木块的体 p113 积减去三个挖去的长方体洞的体积，再加上多 4.C5.B6.C7.C8.A 减去的两个棱长为4cm的正方体的体积。 三、1.(1)3.14×6×10=188.4(cm2) p115 答：这圈防烫带的面积是188.4cm2。 1.C2.D3.628608 (2)3.14×(6÷2)2×20=565.2(cm) 4.(1)105(2)∠3∠5 565.2cm3=565.2ml (3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 答：这个茶杯的容积是565.2mL。 角之和。 2.(1)4dm=0.4m 理由：因为三角形的内角和是180°，所以∠1十 (0.4÷2)2×π十0.4×π×10÷2=2.04x(m2) ∠2+∠3=180°。同时∠1+∠4=180°，所以综 答：这根木头与水接触的面积是2.04πm。 上可得，∠4=∠2十∠3，即三角形的一个外角等 【解析】圃柱形木头与水接触的面积是圆柱形 于和它不相邻的两个内角之和。 木头表面积的一半。 P116 (2)(0.4÷2)2×π×10÷2=0.2x(m3) (4)三角形的三个外角之和是三角形内角和的 答：这根木头露出水面的体积是0.2xm。 2倍。 P114 理由：根据第(3)题的结论可知，∠4=∠2十 (3)(0.4÷2)2×x×10×1=2 ∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2，所以 315r(m3) ∠4+∠5+∠6=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+ 答：圆维的体积是品c (∠1+∠2)=2×（∠1+∠2+∠3）=2×180°， 所以三角形的三个外角之和是三角形内角和的 3.20×2×3.14×0.9×2=2.826(m7 2倍。 5.答案不唯一，示例： 答：制作这扇弧形玻璃门至少需要2.826m 玻璃。 4.30×20×24÷(30×20+40×30)=8(cm) 答：此时的水深是8cm。 ①歌仔戏：(1+3)×4÷2=8(m2) 【解析】先求出水的体积，再用水的体积除以 ②答嘴鼓：(2十3)×4÷2=10(m2) 两个容器的底面积之和，就可以求出两容器中 ③厦门漆线雕技艺：3×4÷2=6(m2) 的水深相同时的水深。本题也可根据水的体 6.3.14×15×2×30=2826(厘米) 积不变，设此时的水深是xcm解答。 2826厘米=28.26米 四、1.2dm2=120cm 答：这口井的水面距井口有28.26米。 120÷4÷5=6(cm) 7.(1)3×9.152≈251(m2) 6×6×(6+5)=396(cm3) 答：中圈的占地面积约为251m。 答：原长方体的体积是396cm3。 【解析】高缩短5cm后正好成为正方体，说明 (2)3x1×2x号+1×2=3.5(m) 原长方体的长和宽相等，长和宽比高都短 答：角球区的周长约是3.5m 5cm。表面积减少1.2dm,减少的是四个以 (3)3×11×2=66(cm) 原长方体的长或宽为一条边，另一条边是 14m=1400cm1400÷66≈21（周） 5cm的长方形的面积和。进而可以求出长方 答：足球大约要滚动21周。 ◆202◆