第2节 平面图形-【一本】2025年小学数学知识大盘点

五、1.(+1)×m 三、1.} 2观察图形，列得方程： 120°（间法不唯一） x-2+10x号3x-1 2.(1)(2)如图所示。 x=0.2 六、22【解析】如图： 4 6 p095 每多一个点就多剪出2个三角形，以此类推， 四边形内有10个，点时，最多可以剪出4十2× 总僧道 (10-1)=22(个)三角形. ·楼房 P086 说明：从直线外一点到这条直线上的所有线段 11 中，垂直线段最短，所以从楼房到总管道作垂 1.(1)35 48 (2)1020 345号 5 直线段最节约材料。 2.23 3.C4.B 图1 图2 图3 5.(1)610 (图1、图3画法不唯一) p087 5.∠1=180°-130°=50 (2)2128 ∠3=180°-50°-20°=110 (3)任意一个“正方形数”都可以拆成两个相邻 ∠4=180°-130°=50° 的“三角形数”的和。 四、我同意文文的说法。 6由图二的规律可知，每增加一个三角形，需要增 理出：∠A十∠B+∠ACB=180 加2根小棒，因此10个三角形需要： ∠1+∠ACB=1809 3+(10-1)×2-21(根) 所以∠1+∠ACB-∠A十∠B+∠ACB. 答：至少需要21根小棒。 等号两边同时减去∠A(CB,得∠1=∠A十∠B, 7.215n+140 即∠1-30°+50°-80°，所以我同意文文的 8.(1)183042126(2)12n十6 说法。 (3)解：设捆红这个竹排用了x根竹材。 五、7+6+5+4+3+2+1-28（个） 12x+6=498 答：图巾有28个锐角。 x=41 P103 答：捆扎这个竹排用了1根竹材。 P093 一、1.三角平行四边梯 2.16【解析】根据三角形的特征，两边之和 -、1.ab2.103.906或18 大于第三边，两边之差小于第三边，检验得出 4.754530【解析】钟面上一大格对应的 边长为8厘米的边不能为腰，则和它不相等的 角为30°，半个大格是15°。因为下午3时30 一条边的长是(40一8)÷2=16（厘米）. 分时，时针指向3和4的中间，分针指向6，所以 3.三角平行四边（第2空答案不唯一） 时针和分针所成的较小角是2×30°十15°=75°。 430【解析】涂色部分四个三角形的周长之 5.36【解析】因为∠1+∠2=∠AOB=90°， 和等于长方形的周长。 ∠2+∠3=∠C=90°，所以∠1=∠3=36°。 5.6【解析】圆规两脚之间的距离等于固的 二、1.B2.C 半径。 P094 3.D4.B5.B6.B7.A8.C9.D10.B 6.45:2:37.278.314925 ◆200◆ 10.18.8421.98 里面正方形的面积：40×20÷2×2=800（平方 二、1.C 厘米) p104 答：外面正方形的周长是160厘米，面积是 2.A 1600平方厘米。甲面正方形的面积是800平 3B【解析】三角形具有稳定性。 方厘米。 4.C5.B6.D7.B8.B9.A 3 10.B【解析】 6.24×3+4+5 =6(cm) 4 cm 24×3+1+5=8(cm） 5 -20cm 24×3+4+5-10(cm) 如图所示，涂色部分①、②与空白部分③、④的 因为∠A=∠B+∠C,所以∠Λ-180°÷2-90°， 面积相等，将涂色部分①、②移到空白部分③、 三角形ABC是直角三角形。 ④的位置，涂色部分的面积就变成了原来等腰 6×8÷2-24(cm) 直角三角形的面积的一半，即20×(5×2)× 答：三角形ABC的面积是24cm。 11 2×2=50(cm2). 五、连接DB。 三17×4-2)×3=3em2) 2(8+12)×(8÷2)÷2-2×3.14×(8÷2)2 B 14.88(cm2) 出于CF的长度是DF的2倍，DE与EA的 四、1.13×5-8×3-41（平方厘米） 长度相等，所以S角形x=2S三角DFB 答：东东的脚丫长大了41平方厘米。 S=%形AR=S=角形器。 (答案不唯一) 1 P105 S三德影0B=2X4=2(平方米) 2.(1)(35-10)×10÷2=125(m3) S三角形ABE=S三角形五匹=6一2=4（平方米） 答：菜园的面积有125m。 答：二角形ABE的而积为4平方米。 (2)125-10×10÷2=75(m2) 六、36×2÷3=24（平方厘米） 答：玉米地的面积是75m2。 答：平行四边形EBCD的面积是24平方 3.EC的长度：72÷6-8=4（厘米） 厘米。 4×6÷2=12(平方厘米) 【解析】如图，S村v歧形D=S长方形证= 答：三角形ECD的面积是12平方厘米。 4.半圆的面积： 3S美指A你G 3.14×(16÷2)2÷2=100.48(cm2) AB的长度： (100.48-4.48)×2÷16-12(cm) 答：AB的长度为12cm。 【解析】甲区城的面积比乙区城的面积大 4.48cm2,就是半圆的面积比直角三角形ABC 的面积大4.48cm2。 P112 5.圆的直径：20×2=40（厘米） -、1.352.2323.9160 外面正方形的周长：40×4=160（厘米） 4.100500【解析】原来长方体的长、宽、高 外面正方形的面积：40×40=1600（平方厘米） 分别是10cm、10cm、5cm. ◆201第七章 第2节 平面图形 图形的认识与测量 盘 知识结构 长方形 四边形的定义 正方形 64四边形 常见的四边形 各种四边形的关系 平行四边形 梯形 三角形的定义及各部分名称 三角形的底和高 三角形的特征 65三角形 三角形的分类 技角分 ,转化 三角形的周长 按边分 平面图形 三角形的面积 圆的认识 圆的特征 圆的画法 66圆 圆周率…>无限不熊环小数 圆的周长及面积 圆环 扇形 组合图形的定义 67组合图形 组合图形面积的计算 估算不规则图形的面积 盘 核心考点 64四边形 2 常见的四边形 6 重四边形的定义 (1)长方形 在同一平面内，由不在同一条直线上的四条 ①定义 线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作四 有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。 边形。 ◆096 ②周长 高（宽 长方形的周长=（长十宽）×2，用字母表示 为C=2(a+b)。 底 底 底（长） 观察发现：长方形的长等于平行四边形的 底，长方形的宽等于平行四边形的高，即平 ③面积 行四边形的面积=底高，用字母表示为 长方形的面积=长×宽，用字母表示为 S=ah. S=ab。 (4)梯形 (2)正方形 ①定义 ①定义 只有组对边平行的四边形叫作梯形。 四条边都和等、四个角都是直角的四边形叫 ②梯形的各部分名称及周长 作正方形。 梯形中平行的两条边分别叫作梯形的上底 ②周长 和下底，不平行的两条边叫作腰。从上底的 正方形的周长=边长×A,用宁母表示为 任意一点向下底引一条垂线，这一点到垂足 C=4a。 间的线段叫作梯形的高。梯形的周长用字 丹表示为C=a十b十c十d。 a(上底) ③面积 (腰gh(高d(腰) 正方形的面积=边长×边长，州宁母表示为 h(下底) S=a2。 ③梯形的分类 (3)平行四边形 梯形可分为一般梯形、特殊梯形（直角梯形 ①定义 和等腰梯形)。一条腰垂直于底的梯形叫作 两组对边分别平行的四边形叫作平行四 直角梯形。两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 边形。 ④面积计算公式及其推导过程 ②平行四边形的底和高及周长 用两个完全相同的梯形拼成一个平行四 从平行四边形一条边的一点到对边引一条 垂线，这·点到垂足之间的线段叫作平行四 边形。 边形的高。平行四边形有无数条高。垂足 十底 平行四边形的底 所在的边叫作平行四边形的底。平行四边 高 形的周长用字母表示为C=2(a十b)。 下底 下底上底 规察发现：拼成的平行四边形的底等于梯形 的上底加下底的和，平行四边形的高等于梯 ③面积计算公式及其推导过程 形的高，梯形的面积是平行四边形面积的一 把平行四边形沿着高剪开，拼成一个长 半，即梯形的面积=（上底十下底）×高÷2，用 方形。 含有字母的式子表示为S-(a十b)h÷2。 ◆0974 (5)常见四边形的特征 2三角形的底和高 名称 图形 特征 从三角形任意一个顶点到它的对边或对边 的延长线作一条垂线，这个顶点到垂足之间 两组对边分别 长方形 宽 平行且相等，4 的线段叫作三角形的高，这个顶点所对的边叫 个角都是直角 作三角形的底。任意一个三角形都有三条高。 两组对边分别 平行，4条边 正方形 锐角三角形 直角三角形 都相等，4个 饨角三角形 边长 角都是直角 ③三角形的特征 (1)三角形的内角和等于180°。 平行四 两组对边分别 (2)三角形的任意两边之和大于第三边，任意 边形 平行且相等 两边之差小于第三边。 底 只有一组对边 上底 平行，直角梯 腰 高 腰 梯形 形有2个直 a一b(两边之差)<c(第三边)<a十b(两边 角，等腰梯形 之和) 下底 的两腰相等 (3)三角形具有稳定性。 4三角形的分类 ③各种四边形的关系 (1)按角分 四边形 名称 图形 特征 平行四边形 梯形 长方形 角 锐角 三个角都是 正方形 梯形 三角形 锐角 直角 有一个角是 65三角形 二角形 直角 ①三角形的定义及各部分名称 在同一平面内，由不在同一条直线上的三条 钝角 有一个角是 线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三 三角形 钝角 角形。周成三角形的三条线段叫作三角形 (2)按边分 的三条边；每两条边的交点叫作三角形的顶 名称 图形 特征 点；相邻两条边所组成的角叫作三角形的角。 顶点 不等边 三条边各个 边/角边 三角形 相等 顶点4角 角顶点 边 ◆098◆ 续表 (2)半径 名称 图形 特征 连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆的 顶角 半径，半径通常用字丹r表示 等腰 (3)直径 腰 腰 两腰相等 三角形 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作圆 底角4 底角 底 的直径，直径通常用字母d表小。 2圆的特征 从00金 (1)在问一个圆里，有无数条半径，所有半径 等边三角形（正三角形）的三条边都相等，是特殊 长度都相等。 的等腰三角形：它的三个角都相等，每个角都 (2)在同·个圆里，直径长度等于半径长度的 是60°。 5三角形的周长 2倍，半径长度等于直径长度的2，用字母表示 三角形三条边的长度和叫作三 角形的周长，用字母表示为C= 为d=2r-号 a+b+c. (3)圆心决定圆的中心位置，半径决定圆的 三角形的面积计算公式及其推导过程 大小。 用两个完全相同的三角形拼成一个平行四 (4)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 边形 线都是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴。 3圆的画法 根据圆心到圆上任意一点的距离（半径）都 观察发现：拼成的平行四边形的底等于三角 相等，我们可以用圆规来画圆。 形的底，高等于三角形的高，每个三角形的 (1)把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离 面积是平行四边形面积的一半。即三角形 的面积=底×高÷2，用字母表示为S= (即定半径)。 ah÷2. (2)把有针尖的·只脚固定在·点上（即递 及000 圆心)。 (3)把装有笔的一只脚旋转一周，就画出了 梯形的面积公式也被称为“万能公式”，因为求 一个圆。 长方形、正方形、平行四边形、三角形的面积也 适用。具体如下： 长方形的面积=（长十长）×宽÷2 正方形的面积一（边长十边长）X边长：2 平行四边形的面积一（底十底）X高÷2 三角形的面积=(0十底)X高÷2 ④圆周率 66圆始 圆的周长与它的直径的比值叫作圆周率，圆 圆的认识 周率用π表示。π的值是·个无限不循环 (1)圆心 小数，计算时一般取近似值3.14。 圆中心的一点叫作圆心，圆心 通常用字母O表示。 我比3.14大一点哦！ ◆0994 5圆的周长 分叫作弧，读作弧AB。像∠AOB这样，顶 (1)·个圆一周的长度叫作圆的周长 点在圆心的角叫作圆心角。 (2)圆的周长=直径×圆周率=2×半径× 圆周举，用字母表示为C=πd一2r。 易错提示 当半径相同时，國周长的一半和半圆的周长不 (2)在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形 相等。 的圆心角的大小相关。扇形的圆心角是多 圆周长的一半 半国周长 少度，其面积就是相同半径的圆面积的三方 多出的长度 六十分之多少，即扇形的圆心角为n°时， 6 圆的面积计算公式及其推导过程 S形 360Xπr2。 把圆沿着半径分成若干等份（偶数份），拼成 367组合图形 一个近似的长方形。 组合图形的定义 半径r 由两种或两种以上的基本图形组合而成的 图形叫作组合图形。一包含长方形、正方 形、三角形、平行四边形、梯形、圆等。 周长的一半2 2 2组合图形面积的计算 观察发现：近似长方形的长相于圆周长的 计算组合图形的面积时，可以把组合图形转 半，用表示；觉相当于圆的半径，用， 化为已学过的基木图形，常见的方法有： 表示。因为长方形的面积=长X宽，圆的面 (1)分割法：将图形分割成几个基本图形，几 积计算公式用字母表示为S=r2。 个基本图形的面积和就是组合图形的面积。 7圆环 (2)添补法：将图形所缺部分进行添补，组成 (1)两个半径不等的圆，当圆心重合时，两圆 一个基木图形。这个基木图形的血积减去 之间的部分叫作圆环。图巾的涂色部分就 添补图形的面积就是组合图形的面积。 是一个圆坏。 二组合图形面积=基本图形面积一添补图 八外圆，半径 形面积 用R表示 (3)割补法：把原来图形的一部分分割下来 内圆，半径 补在图形的另一·部分上使之成为基本图形， 用r表示 (2)圆坏面积=外圆面积一内圆面积，州字 中计算面积。 母表示为S=元R8一πr2=π(R2一r2)。 ③估算不规则图形的面积 8扇形 在方格纸中，不规则图形的面积可以通过数 (1)一条弧和经过这条弧两端的两条半径所 方格来估算，先数整格，再数半格，不满一格 用成的图形叫作扇形。图中的涂色部分就 的按半格算；如果它接近规则图形，还可以 是一个扇形。圆上A、B两点之间的曲线部 将它看成规则图形，利用面积公式估算。 ◆100 盘 典型例题 考点1>平面图形的认识 解析如图，通过平移，可以 金典型例题1 将不规则图形转化成规则的 有2厘米、5闻米长的小棒各2根，选其中 长方形。 的3根小棒围成一个三角形，这个二角形的 长方形的宽为2十1=3（分米），长为5分 周长是( 米。根据长方形周长的计算方法，即可求出 解析根据三角形的特征和题意可知，固成 它的周长。 的图形有两种可能，如下： 答案2+1=3（分米） ① 5 (5十3)×2=16（分米） 2V3 答：这个洞的周长是16分米。 这不是三角形哦！ 因为三角形任意两边之和大于第三边，所以 方法总雪 要围成三角形只能选②，周长是2十5十5 平移法求周长 12(厘米)》 在计算不规则图形的周长时，可通过将一些边 答案12厘米 进行平移等操作，将原图形转化成规则图形， ©典型例题2 再计算它的周长。 在一块长6分米、宽1分 ®典附例题4 米的长方形木板上锯下一 将·个正方形分割成4个相同的小长方形， 块最大的圆形木板，圆形 木板的半径是多少分米？ 周长增加了18厘米，原来这个正方形的边 在图中画一画。 长是多少厘米？ 解析要使长方形木板中锯出的圆形木板 解析 最大，需要使圆形木板的直径最大。当圆形 木板的直径等于长方形木板的宽时，圆形木 板的直径最大，國形木板也最大。 如图，分割后的周长增加了6条正方形的边 答案4÷2=2（分米） 长，即18厘米，则正方形的边长=18÷6 答：圆形木板的半径是2分米。 3(厘米)。 答案(4-1)×2=6（条） 18÷6=3(厘米) 答：原来这个正方形的边长是3厘米。 考点2平面图形的周长 金典型例题3 方a0国 你听过《亡羊补牢》的故事 单位：分米 画图法解决平面图形拼切问题 吗？如图所小，羊圈破了 通过画图碗定原图形与分割后的图形的边的 一个洞，请求出这个洞的 长度关系，即将图形分割n次或拼接n次时， 周长。 图形的周长增加2n条或减少2n条边长。 ◆101◆ 考点3>平面图形的面积 国典型例题7 金典型例题5 如图，涂色部分的面积是40cm,AE=ED, 在一个周长为25.12厘米的圆内画-个最 BD=2CD,则三角形ABC的面积是多少？ 大的正方形，求这个正方形的面积。 解析将正方形分割成两个完全一样的等 腰三角形如图。 正方形的面积等于两个三 解析 角形的面积之和，且三角形 根据条件AE=ED可得， 的底等于圆的直径，三角形 三角形①和②等底等高 E 的高等于圆的半径，所以只 所以面积相等；由此可 B 知三角形ACD的面积： 要求出圆的半径，即可求出这个正方形的 面积。 根据条件BD=2CD可得，三角形ABD的底是三角 形ADC的2倍，又由图可知三角形ABD和三角形 答案圆的半径： ACD的高相等，因此三角形ABD的面积也是三角 形ACD的2倍。由此推出三角形ABC的面积 25.12÷3.14÷2=4(厘米) 止方形的面积： 答 2×4×4÷2X2=32(平方厘米) 三角形ACD的面积：40×2=80(cm) 答：这个正方形的面积是32平方厘米。 三角形AB℃的面积：80×2+80=240(cm2) 典型例题6 答：三角形ABC的面积是240cm2。 求下面图形的面积。（单位：cm) 方法尼角 等高模型的运用方法 两个三角形等高时，它们面积的倍数关系（比） 450<459 等于底的倍数关系（比） 8 考点4>组合图形的面积 解析本题利用“整体代入”法直接求出梯 国典型例题8 形上底和下底的和进行解答。如下图所示： 求下图中涂色部分的面积。（单位：厘米）》 在两个直角三角形中都有 45°的角，可这两个三角 45° 45 形都是等腰直角三角形， 8 ”两条直角边的长度相等。 M 6 8 B 6 C 梯形的高=梯形的上底十 解析本题可以利用“分割法”和“等积变 459 梯形的下底，即上底十下 459 底=8(cm) 形”的方法进行解答。方法如下： 最后，将上底和下底的和，整体代入梯形的 分割法：先将四边形ACDE分割成直角三 面积公式求解即可。 角形ABE和梯形BCDE,这样可以先求出 答案8X8÷2=32(cm2) 四边形ACDE的面积。涂色部分的面积= ◆102 四边形ACDE的面积一三角形ACD的面 等，因此求出三角形ABE的面积就是涂色 积，即： 部分三角形ADE的面积。 A 8B 6 C A 8 B 6C A 8 B6 C A 8 B 6C 等积变形：连接BD,此时BD∥AE(两个相 答案 邻正方形同一方向上的对角线平行)，根据 分割法：S=角彩证E=8X8÷2+(6十8)X6÷ 平行线之间的距离处处相等可知，以AE为 2-6×(6+8)÷2=32(平方厘米) 底，三角形ADE和三角形ABE的高相等， 等积变形：S角形AE=S箱形AF=8X8÷2= 文因为这两个三角形同底，所以面积也相 32(平方厘米) 考试真题 ● 基础练 三个二角形的面积比是( 2cm 3cm 一、填空。 丙 1.一个平行四边形可以剪成两个相同的 甲 ( )形，也可以剪成两个相同的 7.在个长9厘米、宽6厘米的长方形内画 )形，还可以剪成两个相同的 一个最大的三角形，这个三角形的面积是 )形 ()平方厘米。 2.一个等腰三角形的周长是40厘米，其中 8把一个圆分成若干等份（偶数份），拼成一 一条边的长是8厘米，和它不相等的一条 个近似的长方形，周长比原来增加了20 边的长是( )厘米。 厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 3.梯形的上底逐渐缩小到一个点时，梯形 就转化成了( )形：当梯形的上底扩 9.若一个三角形的底增加到原来的5，高减 大到与下底相等时，梯形就转化成了 ( )形。 少到原来的，则减少的面积是原来面积 4把一张长9厘米、宽6厘米 的( )。 的长方形纸，按图中所示方 10.一个圆形花坛的直径是6米，这个花坛 式折一折，则涂色部分四个 的周长是( )米。如果在这个花坛 三角形的周长之和是( )厘米。 的外围修一条宽1米的小路，那么这条 5.用圆规画·个周长是37.68厘米的圆，圆 小路的面积是( )平方米。 规两脚之间的距离是( )厘米。 二、选择。 6.如图，平行四边形的面积是20cm,涂色 1从边长为1分米的正方形纸片的四个角 部分的面积是()cm,图中甲、乙、丙 各剪一个边长为1厘米的正方形后，所 ◆103 得图形的周长与原来相比，(）。 8.个二角形二个内角的度数比为2：1：3， A.增加8厘米 B.增加4厘米 这个三角形是( C.和原来一样 D.减少4厘米 A锐角三角形 B.直角三角形 2半圆的周长和圆周长的·半（它们的直径 C钝角三角形 D,无法确定 相等)相比，( )。 9.下面是4个完全相同的长方形，4个图形 A半圆的周长更长 中涂色部分的面积相比，( B圆周长的一半更长 C.一样长 D.无法比较 A,都相等 B,都不相等 3.下图分别是木工师傅做的4扇门，( C.只有3个相等 D.只有2个相等 最牢固。 10图中右一个圆和一个等腰直角三角形， 涂色部分的面积是( )cm2。 B cm 20 cm 4.在一个长14厘米、宽6厘米的长方形中 A.25 B.50 画一个最大的圆，这个圆的( )。 C.75 D.100 A.直径是14厘米B.半径是14厘米 三、计算下图中涂色部分的面积。（单位：c) C.直径是6厘米 D.半径是6厘米 1. 5.下图中三角形的周长可能是( )厘米。 5厘米 7厘米 A.14 B.16 C.24 D.30 12 6.如图，梯形ABCD中共有( )对面积 四、解决问题。 相等的三角形。 1.下面两幅图分别是乐乐一岁和两岁时脚 丫的大小，请你估算一下，东东的脚丫长大 了多少？（每个小正方形的边长是1厘米） A.0 B.1 C.2 D.3 7.一个等腰三角形两个内角的度数比是 1:2,它的顶角可能是( ）。 A.60°或90 B.36°或90 C.60°或120 D.45°或90° ◆104 2.如图，爷爷用35m的篱笆围出-个梯形6.把根24cm长的小棒按3：4：5的长 菜园。 度比截成3段，再首尾相连围成三角形 (1)菜园的面积有多大？ ABC。已知∠A=∠B十∠C,三角形 ABC的面积是多少？ 土米地 寺菜地/10m (2)沿着图巾的虚线将菜园分成两块等腰 三角形菜地，求玉米地的面积。 能力练 五、如图，已知CF的长度是DF的2倍， DE与EA长度相等，三角形BCF的面 3.如图，已知长方形ABCD的面积是72平 积为4平方米，四边形BEDF的面积为 方厘米，AB=6厘米，BE=8厘米。求三 6平方米。求三角形ABE的面积。 角形ECD的面积。 D 4.如图，在直角三角形ABC中，BC长 16cm,甲区域的面积比乙风域的面积大 4.48cm2,求AB的长度. 六、如图，AF=2FB,FD=2EF,直角三角 y 形ABC的面积是36平方厘米，求平行 四边形EBCD的面积。 5.半径为20厘米的圆的外面和里面各有一 个正方形（如图）。外面正方形的周长和 面积分别是多少？里面正方形的面积是 多少？ ◆1054