第1节 四则运算-【一本】2025年小学数学知识大盘点

第二章 第1节 四则运算 数的运算 盘 知识结构 加、减法的意义 加、减法的法则 25加、减法 加、减法的关系>减法是加法的逆运算 加、减法的验算 加、减法的估算 乘、除法的意义 乘、除法的法则->0不能作涂效 26 乘、除法 乘、除法的关系>除法是乘法的逆运算 乘、除法的验算 四则运算 乘、除法的估算 27 有关“0”与 “1”的运算 同级运算 28 四则运算的 运算顺序 两级运算>“先乘除，后加减” 带有括号的运算 算盘 29 计算工具的 认识 计算器 ◆029◆ 盘 核心考点 25加、减法 22.5-17.28=5.22 ①加、减法的意义 22.5网>依据小数的 -17,28性质 (1)把两个数合并成一个数的运算，叫作加 5.22 法。相加的两个数叫作加数，加得的数叫 00元 作和。 在小数加、减法中，如果两个小数的小数位数 (2)已知两个加数的和与其中的一个加数， 不同，一定要注意保证小数点对齐，而不是未 求另一个加数的运算，叫作减法。在减法 尾对齐。 巾，已知的和叫作被减数，其中的一个加数 (3)分数加、减法的法则 叫作减数，求得的另·个加数叫作差。 ①问分母分数相加、减，分丹不变，分子相 2加、减法的法则 加、减。 (1)整数加、减法的法则 ②异分母分数相加、减，先通分，中按照同分 ①相同数位对齐。 母分数相加、减的法则进计算。 ②从低位算起。 ③结果要化成最简分数。 ③加法中满十就向前一位进1：减法中不够 分子相加 最简分敏 减时，就从前一位退1当10，与该位上的数 加在一起中减。 4=4 例258十344=602 约分 258 +3414 最备-”-品-六 602 最小公停盛是24 1563-687=876 ③加、减法的关系 1563、退1当10 687>16-1-8=7 (1)加法各部分间的关系 876 加数十加数=和 (2)小数加、减法的法则 加数=和一另一个加数 ①相同数位对齐（小数点对齐）。 (2)减法各部分间的关系 ②从低位算起。 被减数一减数一差 ③按整数加、减法的法则进行计算。 被减数=差十减数 ④差的小数点和被减数、减数的小数点 减数=被减数一差 对齐。 (3)减法是加法的逆运算 例156.3+79.8=236.1 ④加、减法的验算 1563 (1)加法的验算 +1798小数点对齐 2361 ①用加法验算：交换加数的位置再加一遍， ◆030◆ 看所得结果是否和原来一样，若·样，则计 26乘、除法 算正确。 里乘、除法的意义 例238脸算：567 +567 +23,8 (1)乘法的意义 805 805 ①整数乘法：求几个相同加数的和的简便 ②用减法验算：用和减去任意一个加数，看 运算。 结果是否等于另一个加数，若相等，则计算 ②小数乘法：小数乘整数与整数乘法的意义 正确。 相同：一个数乘小数，就是求这个数的十分 网238验算：805 805 之几、百分之几、千分之几…是多少。 +567 -238或-567 805 567 238 ③分数乘法：分数乘整数与整数乘法的意义 (2)减法的验算 相同；一个数乘分数，就是求这个数的几分 ①用加法验算：用计算所得的差与减数相 之几是多少。 加，看结果是否等于被减数，若相等，则计算 (2)除法的意义 正确。 除法是已知两个因数的积与其中·个因数， 例923 验算：567 求另一个因数的运算。 -567 +3,5,6 356 923 2乘法的法则 ②用减法验算：用被减数减去所得的差，看 (1)整数乘法的法则 结果是否等于减数，若相等，则计算正确。 ①从个位乘起，依次州第二个因数每一位上 例923 验算：923 的数去乘第一个因数。 -567 -356 ②用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的 356 567 末位就和第二个因数的那一位对齐。 ⑤加、减法的估算 ③最后把几次乘得的结果加起来。 加、减法计算不要求得到精确值时，可以 例435×67=29145 用已知数的近似数来计算它们的和或差。 435 (1)对整数加、减法进估算时，一般把其中 ×67 3045 一个或两个数看作接近的整十、整百或整 2610 29145 千数。 (2)小数乘法的法则 (2)对小数加、减法进行估算时，则把其中的 ①按整数乘法的法则求出积。 一个或两个小数看作接近的整数进行计算。 ②看因数中共有几位小数，就从积的右边起 网(1)3878十4317的结果约是多少？ 数出几位点上小数点，位数不够时，用0补 3878+4317≈8200 四舍五入 足。积的小数部分末尾有0时，耍把0去掉。 3900+4300=8200 例0.24×1.5=0.36 (2)100一48.5的结果约是多少？ 0.24 当作整数进 100一48.5≈51100-48.5≈50 ×15 行数位对齐 四舍五入 或 120 24 100-49=51100-50=50 0.360 ◆031◆ (3)分数乘法的法则 例25.8÷43=0.627.3÷1.3=21 ①分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的 0.6 2 4325.8 13233 积作分子，分母不变。 258 0 依据商不变 ②分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分 的性质 0 母相乘的积作分母。 ③有带分数的，通常先把带分数化成假分 易借是示 数，相乘。 计算小数除法时应注意的问题： 1 (1)计算时，被除数的小数点移动的位数一定 5454 5和15约分， 2*53*5 9 4和12约分 要和除数的小数点移动的位数相同，而不是把 33 两者的小敏点都直接去掉。 (4)因数与积的大小关系6 (2)除不尽时，一般根据要求取近似值，先除到 ①一个数(0除外)乘大于1的数，积比这个 比需要保留的小数位数多一位，再用“四舍五 数大。 入”法取近似值。 ②一个数(0除外)乘小于1的数，积比这个 (3)分数除法的法则 数小。 甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的 ③除法的法则 倒数，再按照分数的乘法法则进计算。 (1)整数除法的法则 倒数 ①从被除数的高位除起，除数是几位数，就 14=4☒ 70 95 93 先看被除数的前儿位，如果不够除，就要多 看一位。除到哪一位就要把商写在那一位 (④商和被除数的大小关系始 的上面。 ①一个数(0除外)除以大于1的数，商比这 ②如果哪一位不够商1，就在那一位上写0 个数小。 占位。每次除得的余数必须比除数小。 ②一个数(0除外)除以小于1的数，商比这 例325÷14=23…3 个数大。 23 14325 (5)试商的方法 28 57余敏4比14小 在求商时，有时不能·次得出准确的商，需 42 要调整商，商大了要调小，商小了要调大，这 三.余数3比14小 个过程叫作试商或调商。 (2)小数除法的法则 试商的 ①除数是整数时，按整数除法的法则进行计 具体内容 举例 方法 算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。 368÷29,除数 ②除数是小数时，先移动除数的小数点，使 当除数接近整 29可看作30试 “四舍 它变成整数，再把被除数的小数点向右移动 十、整百数时常 除；174÷41，除 人”法 相同的位数（位数不够的用0补足），然后按 用此法试商 数41可看作40 照除数是整数的除法法则进矿计算。 试除 ◆032◆ 续表 (2)除法各部分间的关系哈 试阁的 具体内容 举例 ①没有余数的除法 方法 被除数÷除数=商 把除数按照“去 121÷21,除数 尾”法看作整十、 被除数=商×除数 21可看作20试 “去尾”法 整百数试除。用 除数=被除数÷商 除，初商6过 此方法，初商有 ②有余数的除法 大，应改商5 时会过大 被除数÷除数=商…余数 把除数按照“进 被除数=商×除数十余数 245÷47,除数 一”法肴作整十、 除数=（被除数一余数）÷商 47可看作50试 “进一”法 整百致试除。用 (3)除法是乘法的逆运算 除，初商4过 此方法，初商有 小，应改商5 5乘、除法的验算 时会过小 (1)乘法的验算 115÷29,可以 ①用乘法验算：交换两个因数的位置再乘一 把被除数看作 遍。如果所得结果和原来一样，那么计算 120,把除数看 止确」 把被除数和除数 作30（同人），然 “同舍同 ②用除法验算：用积除以其中一个因数。如 起“舍”或 后试除，也可以 入”法 “入”，然后试除 把被除数看作 果商等于另一个因数。那么计算正确。 110,把除数看 例156 ×43 作20（同金），然 468 后试除 624 6708 2136÷24,被除 验算：436708 156 43 当被除数与除数 1566708 数前两位是21， 43 624 首位上的数相同 或 468 “同头无 与除数24同是 468 (同头)，仙不够 除”法 二十儿，但比24 除（无除）时，一 0 小，初商可用9， 般可以商9,8,7 (2)除法的验算 8,7米试除 ①用乘法验算：根据除法是乘法的逆运算， 1665÷32,被除 当被除数的前两 把除数和商相乘。如果乘得的积与被除数 数的前两位相 位数接近除数的 相同，那么计算正确。 “折半”法 当于除数的一 半时，可用5 例 验算： 71 半，初商可用5 5841 58 或4来试商 或4米试除 568 355 ④乘、除法的关系 4118 (1)乘法各部分间的关系 ②用除法验算：根据除法各部分间的关系， 因数×因数=积 用被除数除以商。如果所得的结果等于除 因数=积÷另一个因数 数，那么计算正确。 ◆033 5848 71 验算71 58 例46+4-15 170-5×8÷20 =50-15 =170-40÷20 38 =35 =170-2 ③有余数的除法的验算：根据“被除数=除 =168 (3)在有括号的算式里，要先算括号里血的， 数X商十余数”进行验算。 再算括号外面的。若含有中括号，要先算小 例 164 验算： 164 142298 14 括号里面的，再算中括号里面的，最后算中 656 括号外面的。 164 2296 例240×[(5+5)÷2] 2 2298 =240×[10÷2] =240×5 6乘、除法的估算 =1200 计算乘、除法，有时不要求得到精确结果，可 2脱式计算 以用已知数的近似数来估算积或商。 在四则混合运算中，为了保证计算结果的准 例求38X29、917÷28的结果约是多少？ 确性，通常都按运算顺序逐级进行计算，每 38×29≈1200 917÷28≈30 计算一步，就写出一个等式，直至求出最后 四舍五入 的得数，这样的等式叫作递等式。这种脱离 40×30=1200 900÷30=30 竖式的计算叫作脱式计算。 27有关“0”与“1”的运算 例650+(40×12-100)÷19 ①有关“0”的运算 =650+(480-100)÷19 =650+380÷19 a十0=a a-0=a a-a=0 =650+20 a×0=0 0÷a=0(a不为0) =670 2有关“1”的运算 29计算工具的认识 a×1=a a÷1=a 算盘的认识及计数方法 a÷a=1(a不为0) 1÷a=1a不为0) (1)算盘的认识 顶珠 28四则运算的运算顺序66 上珠 ①运算顺序 (1)四则运算分为两级。加、减法是一级运 底珠 (2)算盘的计数方法 算，乘、除法是二级运算。 算盘上每一档代表一个数位，计数前要先确 (2)在没有括号的算式里，如果只含有同级 定哪一档作个位，然后从右往左依次是个 运算，那么要从左往右依次进行计算：如果 位、十位、百位、千位…计数时，把算珠拨 含有两级运算，那么要先算二级运算，再算 到靠梁位置才表示该数位上有数。每一档 一级运算，即“先乘、除，后加、减”。 的1个上珠表示5,1个下珠表示1。 ◆034 号0自0元 (2)M+、MR、MC的用途 计数时，“5”一般不用5额下珠表示，而用1颗 ①州计算器计算吋，如果遇到要重复用一个 上殊表示；“10”用十位上的1颗下珠表示，这 数，可以先把这个数用M十存起来，需要时 与十进制计数法是一致的。 用MR提取，不需要时用MC清除掉。 2计算器的认识及使用 ②有的计算器MR、MC合用一个键 (1)计算器的认识 存储运算键 显示屏 MRC。如果是MRC,按第·下就会把所 分数运算键 开机及清除拼键 括号键 存储符号键 存的数调出来，按第二下就会把所存的数清 数字键甜 运算符号键 除掉。 小数点键 等号键 典型例题 考点1》四则运算各部分间的关系 代换 命典型例题1 245-125=120 120:÷4=30 已知☆一△=○，口×◇=⊙（☐、◇均不为 (245-125)÷4=30 0),下面算式错误的是()。 180÷30=6代换 A.☆-○=△ B.○-△=☆ 180÷[(245-125)÷4]=6 C.⊙÷□=◇ D©÷◇=□ 答案180÷[(245-125)÷4]=6 解析根据☆一△=○和减法各部分间的 关系可以推出：☆一○=△，○十△一☆。 方击哈 根据口X◇=©和乘法各部分间的关系可 等量代换法 以推出：@÷□=◇，O÷◇=☐。因此B 等量代换法是指用一种量（或一种量的一 部分)来代替和它相等的另一种量（或另一种 选项错误。 量的一部分) 答案B 考点2 四则运算的运算顺序 考点3有关“0”的计算 金典型例题3 ©典型例题2 已知O和△是非袋自然数，且○<△，下面 把下面的三个算式改与成·个综合算式。 算式中，结果是0的有( )个。 245-125=120120÷4=30180÷30=6 ①（△-△）×(O+△) 解析观察三个算式发现，第一个算式的差 ②（△-△）+(O+△) 是第二个算式的被除数，第二个算式的商是 ③（○+△）-（△-△） 第三个算式的除数。可以通过等量代换法 ④（△-△）÷（△+○） 来解决此问题。 A.1 B.2 C,3 D.4 ◆0354 解析一个非零的数和0相乘，仍得0；一个非 得到的结果比正确结果()。 零的效加上或减去0，还得原数；0除以一个非 A.多72 B.少72 零的数，仍得0：因此算式①④的结果是0。 C.少66 D.多66 答案B 解析12×（☐一6）=12×☐一72,12X 考点4错中求解 ☐一6一(12×☐-72)=66，即得到的结果 金典型例题4 比正确结果多66。 方方把12×（☐一6）借算成了12×☐一6， 答案D 盘 考试真题 9 46 基础练 …( )×( )=( 一、填空。 )×( )=( 1.从43.2里连续减去( )个2.4，结果 …( )( )=( 为0。 二、选择。 )=( )×0.2= 1.a是大于1的白然数，下面算式计算结果 最大的是( ）。 3.5-( )=1 34米增加是( Aa号 B.a÷0.2 )米：( )米诚少 25%是4米。 ca+号 D.a+0.2 4.在计算2965÷31吋，一般把除数看作 2.如果a×b=0,那么( ( )来试商，这个算式的商是() A.a=0 位数。 B.b=0 5计算-×（分+）时，应该先算 C.a、b都不为0 D.u、b中至少有个为0 ( )法，再算( )法，最后算( 3.7.65÷0.85的商的最高位是()。 法，结果是( A.个位 B.十位 6.若★-☐=37，则（★十6）一（☐一5）的结 C.十分位 D.百分位 果是()。 4.6.98×5.2的积约是( )。 7.把5.7+2.8=8.5、0.7×8.5=5.95、15.47÷ A.30 B.35 C.42 D.50 5.95=2.6这三个算式写成一个综合算式 是( ) 6如果aX号b÷音c(a6c均不为0 8.在☐÷9=16…△这个算式中，被除数 那么a、b、c三个数按从大到小的顺序排 最大是()。 列是()。 ◆036◆ A.a>c B.a>c>b 9÷)× C.c>b>a D.无法确定 6下面四畅图能正确表示号×专的是 3列式计算。 (1)5.6与3.8的和乘它们的差，积是多少？ D 7.7.38除以0.21的商是35，余下的数是 ()。 3 1 2 (2)24个8的和比4的5多多少 A.0.003 B.0.03 C.0.3 D.3 B如果。和6互为倒数，那么÷号的离是 ()。 A曾 B.30 c 5a D.h 三、计算。 4计算分÷时，明明是这样微的（如图>， 1.口算。 明明做得对吗？请说明理由。 +号= 1÷25%= }(x5:传xx5:1=X5= 3.14×5 }*8 24 Q75x号×2) 226×11≈ 643÷21≈ 能力练 2脱式计算。 四、有一道除法算式，被除数、除数、商和余 7375+884÷26×25 数的和是100，商是12，余数是5。求被 除数。 2.9×(3.8-）+(2.375-3 ◆037423÷9-分剂 【解析】因为整数部分越小，这个数就越小，所 以先把整数郎分是1的小数全部列出来，分别 答：这列动车平均行1千米带要分钟。 是1.234,1.243,1.324,1.342,1.423,1.432。 可以发现整数部分分别是1,2,3,4的三位小 40-0*8-品1-6-器 数各有6个，根据13÷6=2（组）…1（个）可 答：这个分数是需 以得出，排在第13位的小数应该是整数部分 是3的最小的三位小数，即3.124。 四、24÷3=88十1-98-1=7 P026 化成的带分数可能是？，8了或9号，则这个 。7 一、1.方向盘向左转90°2.一1 3.驾车向北行驶5千米15 假分数可能是号，智驾 二、1.B2.A 爷：这个假分数可能是，召支得。 三、 -1.5-子+15 -2-101+2 【解析】由题意可知，三个连续的自然数的和 >< 是24，则24÷3一8是三个连续自然数的中间 四、6+2+5十3-(3+1+4+2)=6（位） 那个数，据此求出另外两个自然数，进而求出 带分数，最后化成假分数即可。 答：该超市内有6位顾客。 五、40-5×2-3030÷(3+2)-6 【解析】求8分钟后该超市内的顾客人数，就 2_2×61212+517 是用这8分钟内进入超市的总人数减去走出 33×61818+523 超市的总人数。霄注意的是，负号表示走出， 爷：这个显简分数是品 不需要代入计算。 五、(9+2-1)×3=30（米） p022 27÷3-2+1=8(层) -、1.五点零八0.01508 答：电梯下聯了30米。到了第8层。 2.0,36.5,1.621.62 3.2.135900 p027 4.195.0.7846.5 1.C2.B3.C4.D5.B 二、1.C2D3.C p028 P023 6.D7.×/X××/ 4.D5.D 8.A9.AX419910.C11.B 6.C【解析】一个三位小数精确到百分位约 是3.84，如果这个三位小效百分位上的数字是 p036 3,那么它的千分位上的数字一定大于或等于 -、1.828 11 7 52.53.516 3 5,最小是5，此时这个三位小数最小，是3.835。 7.A8.B 430两5加乘减1 80 6.48 三、1.(1)0.347(2)4.730 (3)30.74(答案不唯一) 7.15.17÷「0.7×(5.7+2.8)1=2.6 2.答：原来的小数是450.01。【解析】四万五 8.152【解析】当余数驳大时，被除数也最大。 千零一写作45001。因为原小数只读一个零， 因为除数是9，所以余数最大是8，此时赦除数 所以小数部分只有一个0，因此原来的小数是 是9×16+8=152。 450.01。 9.146 ×15 四、整数部分分别为1,2,3,4的二位小数各有 730.(146)×(5)-(730) 6个。 146 …(146)×(10)=(1460) 13÷6=2(组)…1（个） 2190…(730)+(1460)=(2190) 答：排在第I3位的小数是3.124。 二、1.B2.D3.A4.B5.B ◆194◆ p037 p044 6.B7.B8.B 1.C2.D 三号 415.7 1 9 20.75230032 3.B 【解析】①20÷(160+20)-日：@10÷(10+ 2.82259.4516 3.(1)(5.6+3.8)×(5.6-3.8)=16.92 10)-i7③30÷(240+30)-)：④6÷(80+6)- 24×g-×号-8 6 行·比较可知，果汁含量相同的是①和③。 4明明做得对。 4.B5.D 理出：被除数和除数同时乘一个不为0的数， P045 商不变。 6.D7.C 四、100-12-5=83 8.(50-20)÷(2.5×3)=4(天) 除数：(83-5)÷(12+1)=6 答：红红吃了4天感冒药。 被除数：83一6-77 9.(1)55÷(1.5×1.5)≈24.424.4>24.2 答：被除数是77。 答：他的身体质量指数属」肥胖。 【解析】根据被除数、除数、商和余数的和是 (2)硅议强强每天坚持体育锻炼，多吃绿色蔬菜， 100,商是12，余数是5，可以求出被除数与除 保证充足的睡眠。（答案不唯一，合理即山） 数的和：根据题意可以推出被除致比除效的 P050 12倍还多5，由此可求出徐数和被除数。 -、1,6.051.470354,23450480 P042 124004082.2310.0142600 -、1.37680.2516 2.2008年、2020年 2.2.541.22.542.50.8 3.8:007:0011【解析】20：00转化为停 二、1.A【解析】A选顷去掉括号为a÷b÷c÷ 通计时法是跪上8：00；7：00转化为普通计时 d,与m不相等 法是早上7：00.24时一20时一4时，一共可 2.C【解析】(a+5)+(h-4)=a+b+(5 以免数停车4十7=11（时）。 4)-23+1-24 4.千米升克元厘米秒 3.B4.B5.C 二、1.A2.C3B4C 三、70878.74850 36521108 P051 5.D P043 6.A【解析】下午6时是18时，所以芳芳妈妈 6 1 408.756.51 99990000 一天的工作时间是18时一9时一1时一8时。 2025 三、1.6元5角=6.5元 2048 10元4角=10.4元 1234+4567×7890 四、1.原式=(4567+1)×7890-6656 50-14.5-6.5-10.4=18.6(元) 1234+4567X7890 答：应找回18.6元 4567×7890+7890-6656 2.20+5+20=45(分) 1234+4567×7890 11时15分-45分=10时30分 1234+4567×7890 答：这场比赛是10：30开始的。 =1 3这则告不其实。理巾： 2.原式=406×(405×1001)一405X(406×1001) 该小区住宅楼总面积：80×10×100一80000 -406×405×1001-405×406×1001 (平方米) =0 80000平方米=8公顷8+2+6=16（公顷） ◆195◆