精品解析：浙江省诸暨市浣东共同体2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题

2024学年第二学期期中阶段性测试 八年级数学学科试题卷 一、选择题(每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：是中心对称图形，故本选项符合题意； B.不是中心对称图形，故本选项不合题意； C.不是中心对称图形，故本选项不合题意； D.不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 2. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于或等于0列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 3. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 用配方法解一元二次方程，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求得答案即可． 【详解】 x2-4x=9 x2-4x+=9+ x2-4x+4=13 (x-2)2=13 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5. 一组数据1，1，1，3，4，7，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到结论． 【详解】解：A、原来数据的众数是1，加入一个整数a后众数仍为1，符合题意； B、原来数据的平均数是，加入一个整数a，平均数一定变化，不符合题意； C、原来数据的中位数是3，加入一个整数a后，如果a≠3中位数一定变化，不符合题意； D、原来数据的方差加入一个整数a后的方差一定发生了变化，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，故该选项不符合题意； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，错误，故该选项不符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故该选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题是考查了菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定．解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 7. 如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：∵两个相邻的正方形，面积分别为9和3， ∴两个正方形的边长分别为3，， ∴阴影部分的面积=×（3-）=3-3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正方形的性质，是基础题，熟记概念并求出两个正方形的边长是解题的关键． 8. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 9. 已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（ ） A. 方程一定有实数根 B. 当取某些值时，方程没有实数根 C. 方程一定有两个实数根 D. 方程一定有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义的公式化简x※（mx）=-1，分m=0和m两种情况讨论，分别得到方程x+1=0和mx2+（m+1）x+1=0，解方程或利用根的判别式求解即可判断． 【详解】解：∵a※b=ab+a+b， ∴x※（mx）=x•mx+x+mx=mx2+（m+1）x=-1， 由mx2+（m+1）x=-1得 mx2+（m+1）x+1=0， 当m时， Δ=b2-4ac=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0， ∴方程有两个实数根． 当m时，方程为x+1=0， x=-1， ∴方程有实数根为-1， 综上，方程一定有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别情况，关键是从定义出发得出一元二次方程进行根的判断． 10. 如图，在中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，延长和分别交和于点H和F，直线分别交和于点和．若四边形是正方形，的面积为，下列哪条线段的长度不能用来表示（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据勾股定理可得，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，根据等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理可得，，推得，根据平行四边形的面积可得；根据面积公式逐项分析即可． 【详解】解：设，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∵四边形是正方形， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， 在中，， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积为； ∵， 故，故选项B符合题意； ∵，，， 故，故选项C符合题意； ∵， 故，故选项D符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求出平行四边形的面积是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 化简：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据绝对值的性质计算得到结果． 【详解】解：． 12. 用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，进行作答即可． 【详解】解：用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设：； 故答案为：． 【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键． 13. 某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格=原价×（1-降价率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：400（1-x）2=288． 故答案为：400（1-x）2=288． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在处，折痕与，分别交于点，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 设，根据折叠的性质知：．在中，利用勾股定理列出关于x的方程并解答即可． 【详解】解：如图，在矩形中，，，． 设，则， 根据折叠的性质知：． 在中， 由勾股定理得：， 解得． 即的长为． 故答案是：． 15. 在中，、的平分线分别与边交于点E、F，若点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先证明， ，再分两种情况分别求解即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ①当点F在点E右侧时，如图， ∵点C、D、E、F相邻两点间的距离相等， ∴， 设，则， 设， ∴， ②当点F在点E的左侧时，如图， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴设， 同理可得：， ∴． ∴的值为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 16. 对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：若c是方程的一个根，则， ∴， ∴或，故①错误； 若方程有两个不相等的实根，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； 若，则，即： ∴，即：， ∴它有一根为，故③正确； 若，则， 即：， ∵，∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形． 三、解答题(第17-22题各6分，第23、24每题8分，共52分) 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题涉及二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）先分别计算乘法和化简根式，再合并同类二次根式． （2）先分别处理除法和分母有理化，再进行减法计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，常用的解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 利用直接开平方法解一元二次方程，可得：或，分别解两个一元一次方程即可求出一元二次方程的解； 利用十字相乘法分解因式，可得：，可得：或，分别解两个一元一次方程即可求出一元二次方程的解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 分解因式可得：， 或， 解得：，． 19. 我们把小正方形的顶点叫做格点，每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的方格纸中，点，均为格点，请画出符合要求的格点四边形． （1）在图1中画出一个以为边的矩形． （2）在图2中画出一个以为对角线的菱形． 【答案】（1）如图所示，矩形ABCD即为所求 （2）如图所示，菱形ACBD即为所求 【解析】 【分析】（1）直接利用网格结合矩形的性质分析得出答案； （2）直接利用网格结合菱形的性质分析得出答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握菱形与矩形的性质是解题关键． 20. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E、F． （1）求证：四边形AECF是菱形; （2）当BE=3，AF=5时，求AC的长． 【答案】 （1）证明：如图，连接AE，CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∵EF垂直平分AC， ∴AF=FC，AE=EC， ∴∠FAC=∠FCA， ∴∠FCA=∠ACB， ∵∠FCA+∠CFE=90°，∠ACB+∠CEF=90°， ∴∠CFE=∠CEF， ∴CE=CF， ∴AF=FC=CE=AE， ∴四边形AECF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）在Rt△ABE中，利用勾股定理可求得AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵四边形AECF是菱形，AF=5， ∴CE=AF=AE=5， 由∠B=90°， ∴在Rt△ABE中， AB=． ∵BC=BE+EC=8， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，_______，甲同学成绩的中位数是_________． （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是．请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 【答案】（1）40；60 （2）60；方差s乙2＝160 （3）乙同学的成绩更稳定 【解析】 【分析】（1）用甲的总成绩减去乙地1、2、3、5次的成绩可得a的值，根据中位数的计算方法即可求解； （2）根据平均数和方差的定义求解即可得答案； （3）根据方差的意义求解可得答案． 【小问1详解】 a＝（80+40+70+50+60）﹣（70+50+70+70）＝40， 将甲同学成绩从小到大排列为：40，50，60，70，80， ∴甲同学成绩的中位数是60， 故答案为：40，60； 【小问2详解】 乙同学的成绩平均数为（70+50+70+40+70）＝60， 方差s乙2[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160； 【小问3详解】 因为甲乙两位同学的平均数相同，s甲2＞s乙2， 所以乙同学的成绩更稳定． 【点睛】本题主要考查方差，平均数，中位数，众数，解题的关键是掌握方差、平均数、极差的定义和方差的意义． 22. 已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 （1）求证：四边形是正方形； （2）E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形，对角线与相交于点O， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2） 证明：四边形是正方形 ； ，，，， ，， ，垂足为， ，， ， ， 在和， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据菱形的性质可知，，，可得，再结合即可变换为，得到即可证得四边形是正方形； （2）根据正方形的性质易得，，再根据，可得，结合即可得到，证得，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【答案】（1）1050元 （2）50元 【解析】 【分析】（1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【23题详解】 解：（45-30）×[80-（45-40）×2]=1050（元）． 答：每天的销售利润为1050元． 【24题详解】 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件， 依题意，得：（x-30）[80-2（x-40）]=1200， 整理，得：x2-110x+3000=0， 解得：x1=50，x2=60（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图1，四边形和四边形都是菱形，其中点在的延长线上，点在的延长线上，点在边上，连结，，．已知，，． （1）求证：． （2）如图2，当为中点时，连结，求的长． （3）如图3，将菱形绕点逆时针旋转120°，使点在上，点在上，点在的延长线上，连结，．若，请求出的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得出EF=CE=BH可，然后利用SAS证明结论即可； （2）由AB=BC，∠ABC=60°，可证明△ABC是等边三角形，从而证明∠ AHB=90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE=∠AHB=90°，再得∠DPF=180°-∠HFE=90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的长； （3）作FM⊥BG于点M，当EH⊥BC时，可证明，从而求出 BM、FM的长，再由勾股定理求出BF的长． 【详解】（1）略 （2）如图，连结，设，交于点， ∵是中点， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ， ∴，是等边三角形，同理， 是等边三角形， ∴，， ∵，∴， ∴ 又∵，∴， ∴，， ∴， ∴． （3）过点画于点， ∵四边形是菱形，∴， ∵，∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴，得 ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题的关键是深入探究题中的隐含条件，正确地作出所需要的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中阶段性测试 八年级数学学科试题卷 一、选择题(每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据1，1，1，3，4，7，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 9. 已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（ ） A. 方程一定有实数根 B. 当取某些值时，方程没有实数根 C. 方程一定有两个实数根 D. 方程一定有两个不相等的实数根 10. 如图，在中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，延长和分别交和于点H和F，直线分别交和于点和．若四边形是正方形，的面积为，下列哪条线段的长度不能用来表示（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 化简：______． 12. 用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设______． 13. 某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在处，折痕与，分别交于点，，则的长为_____． 15. 在中，、的平分线分别与边交于点E、F，若点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，则的值为______． 16. 对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______． 三、解答题(第17-22题各6分，第23、24每题8分，共52分) 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 我们把小正方形的顶点叫做格点，每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的方格纸中，点，均为格点，请画出符合要求的格点四边形． （1）在图1中画出一个以为边的矩形． （2）在图2中画出一个以为对角线的菱形． 20. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E、F． （1）求证：四边形AECF是菱形; （2）当BE=3，AF=5时，求AC的长． 21. 甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，_______，甲同学成绩的中位数是_________． （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是．请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 22. 已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 （1）求证：四边形是正方形； （2）E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 23. 某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 24. 如图1，四边形和四边形都是菱形，其中点在的延长线上，点在的延长线上，点在边上，连结，，．已知，，． （1）求证：． （2）如图2，当为中点时，连结，求的长． （3）如图3，将菱形绕点逆时针旋转120°，使点在上，点在上，点在的延长线上，连结，．若，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $