专题04 三角形全等的判定（5知识点+15大题型+5大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题04 三角形全等的判定 （5知识点+15大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：15大核心考点精准练+5大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，，结合即可证明，即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 【详解】解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 3．（2025·浙江宁波·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 知识点2：全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】根据，，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件． 【详解】解：∵， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 知识点3：全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、∵， 不能画出，故本选项不符合题意； B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证； 【详解】解：当时， 在和中， ， ∴， ∴当时，可证， 故答案为：； 9．（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点4：全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【即时训练】 10．（2025·浙江湖州·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【答案】(1)36 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 11．（2025·浙江杭州·二模）如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再证明，即可利用，证明； （2）先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 知识点5：判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【即时训练】 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，构成三角形的条件，根据全等三角形的判定定理即可判断A、B、C，根据构成三角形的条件即可判断D． 【详解】解：A、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 B、由可以证明三角形全等，能确定三角形的形状和大小，符合题意； C、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 D、由不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 15．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是： ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，依据是公共边，依据或可证明． 【详解】解：在与中， ， ∴， 可以去掉； 在与中， ， ∴， 可以去掉； 故答案为：或． 【题型1 用SAS证明三角形全等】 1．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 2．如图，，，则的判定依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据，，即可证明，得到解答． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：B 3．如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可． 【详解】解：补充， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．如图，已知，，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 5．如图，，，，点在边上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；先证明，进而根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在，中， ∴ 【题型2 全等的性质与SAS综合】 6．在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 7．如图，中，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键． 先证明，可得，再由三角形内角和定理，可得，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 8．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形的方法有是解题的关键．本题中根据证明，即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 9．如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不想邻的两个内角的和等知识，设交于点G，由得，证明，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，点，，，在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形外角的性质： （1）先由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）先根据全等三角形对应角相等得，再由三角形外角求出的度数，再即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 【题型3 用ASA证明三角形全等】 11．如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选C． 12．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学的知识画出了一个与书上完全一样的三角形．他画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，据图可知没有污染的地方存在两个完整的角和两个角的夹边，根据，即可画出一个与书上完全一样的三角形． 【详解】解：由图可知，没有污染的地方存在两个完整的角和两个角的夹边， 利用，即可画出一个与书上完全一样的三角形； 故选B． 13．如图，，相交于点O，，当添加条件 时，可由“角边角”判定． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键． “角边角”是指两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．我们已知，因为对顶角相等，所以．根据“角边角”判定定理，要使，还需要与的夹边和与的夹边相等，即． 【详解】解∶ ，， 由“角边角”判定，需要添加条件是∶． 故答案为：． 14．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型4 全等的性质与ASA综合】 16．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 17．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 18．如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】由全等三角形的性质得，，得到是的面积的两倍，然后用等面积法求得和的关系，进而得到的长．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线与面积，解题的关键是熟练应用等面积法求高． 【详解】解：∵于点D，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 19．如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明得，从而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：3.2 20．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5 用AAS证明三角形全等】 21．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于，当平分时，图中相等的线段有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键． 利用垂直平分线得到，，根据角平分线的性质和判定三角形全等的得到，根据全等三角形的性质得到，，再利用等量代替得到即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ，，． 平分， ． ，， ， ，， ． 故图中相等的线段有组． 故选：D． 22．如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判断，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中： ， ∴； 故选B． 23．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 24．如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理． （1）根据全等三角形的判定定理得出即可； （2）根据全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：（1）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：． 25．如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【答案】(1)36 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 【题型6 全等的性质与AAS综合】 26．如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用角平分线的定义得，再结合，，得，可求得，再利用线段和差即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 27．如图，，垂足分别为．若，则的长（    ） A．2 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 28．如图，在中，，，，，垂足分别为点，．若，，，则在中，边上的高为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 可先证明，可求得，，，结合条件可求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴则在中，边上的高， 故选：A． 29．如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）    A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，在上截取，连接，先证明，即可说明①；再由①知，根据线段的和差可判断②；然后根据三角形面积之间的关系可判断②④． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴，又， ∴， ∴， ∴． 所以①正确； ∵， ∴， ∴． 所以②正确； 根据已知条件无法说明． 所以③不正确； ∵， ∴， ∴， 即． 所以④正确． 其中正确的是． 故选：C．    30．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【详解】（1）证明：点E是边的中点， ∵ ； （2），， ， 【题型7 用SSS证明三角形全等】 31．如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． 32．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， 就是的平分线， 故选：A． 33．如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和及全等， 理由是：∵根据图形可知， 在和中， ∴， 根据图形可知， 在和中， ∴， 故答案为：，． 34．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握证明全等三角形的判定定理．根据已知条件结合公共边，即可根据“”证明两三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 35．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 【题型8 全等的性质与SSS综合】 36．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 37．如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三边对应相等的两个三角形全等是解题关键． 由已知可知，然后根据全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：C． 38．如图，在和中，，，，则的度数为 ． 【答案】/23度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先利用判定，得出，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得，再结合，，即可证明； （2）由全等三角形的对应角相等得，再根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． 40．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是45，求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质； （1）利用三边对应相等证明，得到即可； （2）根据角平分线的性质可知点P到的距离等于，求出，进而计算出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是的平分线； 理由：在和中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解： ∵平分，， ∴点P到的距离等于， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型9 灵活选用判定方法证全等】 41．根据下列条件，能画出唯一一个的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、，，，能画出唯一一个，故本选项符合题意； B、因为，所以不能画出；故本选项不符合题意； C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意， D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意． 故选：A． 42．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：． 43．如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 44．学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是： ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，依据是公共边，依据或可证明． 【详解】解：在与中， ， ∴， 可以去掉； 在与中， ， ∴， 可以去掉； 故答案为：或． 45．如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【题型10 全等证明常见辅助线—倍长中线】 46．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解题的关键． 如图所示，，，是边上的中线，设，延长至E，使，则，证明，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到x的取值范围． 【详解】解：如图所示 ：，，是边上的中线，则，    延长至E，使，则， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：A． 47．如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 48．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 49．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 50．如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 【题型11 全等证明常见辅助线—一线三等角】 51．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 52．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）选第一个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； 选第二个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 53．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 54．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 55．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）50；（3）①见解析，②40 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于．    由【模型呈现】可知，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 【题型12 全等证明常见辅助线—手拉手】 56．（手拉手）如图，在和中，，，，，连结，交于点．连结．证明下列结论：①；②；③平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． ①先证，由SAS证明得出； ②由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出； ③作于，于，如图所示，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分． 【详解】证明：①， ，即， 在和中， ， ∴， ； ②由可知，，， 由三角形的外角性质得：， ， ③作于，于，如图所示，    则， 在和中， ， ， ， ∴平分． 57．（1）如图1，在和中，,．将绕点A顺时针旋转，连接．当点E落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是________________，的度数为________； （2）如图2，在和中，，．将绕点A逆时针旋转，连接．当点在同一条直线上时，请判断线段和的关系，并说明理由． 【答案】（1）；； （2）且，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用证明，由全等三角形对应角相等的性质可得，再根据三角形内角和为，即可得； （2）角的和差即可得，从而根据证明，即可得，再根据角的和差可得，从而证明． 【详解】解：（1）∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）且，     理由：∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴，     ∵， ∴， 即∠， ∴， 即． 58．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)他们的猜想正确，证明见解析； (3)． 【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 59．【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 60．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：______； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法为解题的关键． 初步把握：利用证出，即可解答； 深入研究：利用证出，再利用角的等量代换解答即可； 拓展延伸：利用证出，再利用角的等量代换解答即可． 【详解】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴； 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴． 【题型13 全等证明常见辅助线—旋转】 61．已知：如图，与有一个公共顶点，将绕点旋转如图位置，如果，，，那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明即可得到． 【详解】解：，证明如下： ， ， 即， 又，， ， ． 62．如图，画，并画的平分线．    (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、（如图①），则 ；（填“”“ ”或“”） (2)把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与、交于点E、F，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)= (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质： （1）利用角平分线的性质即可求解； （2）过作于，于，利用角平分线的性质及可得，进而可求解； 熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，，， ， 故答案为：． （2），理由如下： 过作于，于，如图②所示：    则， ，平分， ， ， ， ， ， 由（1）得，， 在和中， ， ， ． 63．如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E； (1)当直线绕点A旋转到图1的位置时，（如图1所示）求证：； (2)当直线绕点A旋转到图2的位置时，（如图2所示），其他条件不变，则具有怎样的等量关系？写出等量关系，并证明． (3)当直线绕点A继续旋转时，其他条件不变，则具有怎样的等量关系？（不同于上述两种情况外）请画出图形，直接写出等量关系，不需证明。 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）由题中条件可得，再由线段之间的关系写出最终结论即可； （2）由条件得出，进而得出，再由线段之间的转化即可得出结论； （3））由条件得出，进而得出，再由线段之间的转化即可得出结论；． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）关系： 证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，， 由（2）可得， ∴， ∴； 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有，，等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握． 64．如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键． 65．已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的数量关系仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题． （1）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题． 【详解】（1）解： ． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图①， 则． 因为为的平分线， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为与互补， 所以， 所以， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． （2）解：（1）中的数量关系仍然成立． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图②， 则， 又因为，与互补， 所以， 所以，即． 因为平分， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 故（1）中的数量关系仍然成立． 【题型14 全等证明常见辅助线—半角】 66．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 67．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 68．阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质， （1）根据可得答案； （2）延长至点G，使，连接，再证明，可得，进而证明，根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）将旋转至，可知，可证明，接下来可证，即可得出答案. 【详解】（1）解：. 故答案为：； （2）解：结论：.理由如下： 延长至点G，使，连接， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴； （3）解：将旋转至， 可知， ∴，， ∴， ∴， ∴. 69．【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ∵， ， ，， ∵，， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中， ∵， ， ，， ， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ， ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 70．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 【题型15 全等证明常见辅助线—k字型】 71．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 72．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 【答案】D 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可． 【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，    ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中 ， ∴△FEA≌△MAB（AAS）， ∴AM=EF=6，AF=BM=3， 同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14， ∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC = =32． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 73．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 74．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 75．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 【拓展训练一 全等三角形的判定与性质综合】 76．如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断④；由全等三角形的性质可得，，进而可判断③． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，故④正确； 连接，，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ，故③错误， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理，平行线的判定与性质．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 77．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 78．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 又， ； （3），，， ， ， ， ， 又， ， ，， ，，， ． 【拓展训练二 全等三角形的辅助线添加综合】 79．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 80．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 81．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 【拓展训练三 全等三角形的动点问题】 82．如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)，证明见解析 【分析】（1）由题意，可知，平分与y轴交于D点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过D作于N点，可证明、，因此，，所以，，即可得的长； （3）在x轴的负半轴上取，可证明、，因此，所以，即可证明所得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：过D作于N点，如图， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 证明：同（2）可得， 在x轴的负半轴上取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，有一定难度，正确作出辅助线是解决问题的关键． 83．如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． (1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)的值不发生改变，等于9，理由见详解； 【分析】（1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后，依据可证明，得出，从而得出点P的坐标； （2）过O分别作于M点，作于N点，利用证明，得出，再根据角平分线得到判定即可得出平分，从而求出；（3）连接，易证，从而有，由此可得； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵C的坐标为， ∴； （2）证明：过O分别作于M点，作于N点， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （3）解：的值不发生改变，等于9，理由如下： 如图：连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 84．（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当的值为4时，； ②当点在边上时，    此时不可能为等边三角形； 当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时，   ， 为等腰三角形， 当时，，    ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时，   上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ②    由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． 【拓展训练四 全等三角形的新定义问题】 85．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3;（2）;（3）①180；②，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 86．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与为积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 87．定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 【答案】（1）存在，“半角三角形”为，证明见解析；（2）或 【分析】（1）延长到，使得，根据边角关系证出，得出，即可证明为“半角三角形”． （2）由（1）可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况. 【详解】（1）存在，“半角三角形”为， 证明：延长到，使得，连接． ， ，即 ， 在和中， ，． ， ． 为“半角三角形” （2）或. ①延长到点，使得，连接BF, ∵，， ∴△≌△.    过点分别作于点， 于点, 可得. ∴. ②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的． 可知：. 综上所述，这三个角之间的关系有两种， 或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．正确理解题意，使用分类讨论思想是解决本题的关键． 【拓展训练五 全等三角形的综合】 88．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3） 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 89．【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 【答案】（1）①见解析；②； （2）①见解析；②见解析； （3），画图见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，余角的性质等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用同角的余角相等得，则由即可证明； ②由得，由三角形面积公式即可求解； （2）①由，即可得； ②延长与的延长线于点E，证明，则，易得，由预备知识得，则结论可证明； （3）过点C作交的延长线于点M，连接；设，由预备知识得；证明，则，，得；利用，可求得x的值，即求得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，延长与的延长线于点E， 由①知，， ∴，； ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）②知，， ∴； ∵， ∴由预备知识得， ∴； （3）解：，画图如下： 如图，过点C作交的延长线于点M，连接；设； ∵， ∴， ∴由预备知识得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴ 即． 90．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到，求出的面积，结合图形计算． 【详解】（1）解：延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）解：，， 理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 延长交于，如图所示： ， ， ， ， ，即； （3）①证明：延长，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， ； ②解：由①可知，， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据，可以知道，再用邻补角定义求解即可． 【详解】如图 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∵， 故选：A． 2．小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题词关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、． 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 3．小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故选C． 4．如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．这四个条件中再选一个使，符合条件的有（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加①，可以用判定； 添加③，可以用判定； 添加④，可以用判定； 添加②不能判定三角形全等． 故选C． 5．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等． 利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到的垂线段长度，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：在上取一点， 使，连接， ， ， ， ， 则最小值时垂直， 这时，，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：D． 7．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为18，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而可得． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， ，的周长为18， ， ， 故答案为：12． 8．如图，在2×2的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 °. 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 证明，得出，即可得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 9．如图，在中，于于D， ． 【答案】2 【分析】根据可以证明，则，从而求解．此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴ ∴ 故答案为：2． 10．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 °． 【答案】30 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：30． 11．如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．作，交的延长线于H，证明，得到，，则，证明，得到，由，设，则，得到，解得，得到． 【详解】解：作，交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； 依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：且 由外角定理可得， 又， ∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ． ，， ，， ， 的面积为，， ， ， ∴ 的面积是 故答案为：， ． 13．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．如图，已知． (1)与是否全等？说明理由； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ； （2）由（1）可知，， ， ． 15．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用判定定理证明，进而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明： 在和中 16．如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理等； （1）由平行线的性质得，由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明（1）∵， ， ， ∴， ， 在和中， ， （）． （2）解：∵， ， ． 17．小甬按如图方式测量旗杆高度，将处的绳子笔直拉至地面处，使，间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在处放置一块直角三角板，使直角顶点落在处，边与绳子重合，随后小甬后退至处直立，使眼睛与点，在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 【答案】认同，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．证，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：认同． 理由：，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 18．已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可． （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答； （2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵是边上的中线， ， ， ． 19．如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从，中任选一个作为条件，使得结论“”成立 (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据全等三角形的判定定理求解即可； （）根据角平分线定义及三角形外角性质求出，根据全等三角形的性质及邻补角定义求出，再根据角的和差求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）∵平分， ∴， 选择， 在和中， ， ∴； 选择， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形全等的判定 （5知识点+15大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：15大核心考点精准练+5大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 3．（2025·浙江宁波·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 知识点2：全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 知识点3：全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 9．（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 知识点4：全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【即时训练】 10．（2025·浙江湖州·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 11．（2025·浙江杭州·二模）如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 知识点5：判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【即时训练】 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 15．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是： ． 【题型1 用SAS证明三角形全等】 1．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，，则的判定依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 4．如图，已知，，，，求证： 5．如图，，，，点在边上，求证：． 【题型2 全等的性质与SAS综合】 6．在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，，若，求的度数． 8．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 9．如图，D、E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 10．如图，点，，，在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【题型3 用ASA证明三角形全等】 11．如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 12．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学的知识画出了一个与书上完全一样的三角形．他画图的依据是（   ） A． B． C． D． 13．如图，，相交于点O，，当添加条件 时，可由“角边角”判定． 14．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 15．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型4 全等的性质与ASA综合】 16．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 17．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 18．如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为 ． 19．如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 20．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型5 用AAS证明三角形全等】 21．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于，当平分时，图中相等的线段有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 22．如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 24．如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 25．如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【题型6 全等的性质与AAS综合】 26．如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 27．如图，，垂足分别为．若，则的长（    ） A．2 B．5 C．8 D．10 28．如图，在中，，，，，垂足分别为点，．若，，，则在中，边上的高为（   ） A． B．5 C． D． 29．如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）    A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③ 30．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型7 用SSS证明三角形全等】 31．如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 32．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是(　　) A． B． C． D． 33．如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是 ． 34．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是 ． 35．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【题型8 全等的性质与SSS综合】 36．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 37．如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 38．如图，在和中，，，，则的度数为 ． 39．如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 40．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是45，求的长． 【题型9 灵活选用判定方法证全等】 41．根据下列条件，能画出唯一一个的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 42．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 43．如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 44．学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是： ． 45．如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【题型10 全等证明常见辅助线—倍长中线】 46．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 48．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 49．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 50．如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【题型11 全等证明常见辅助线—一线三等角】 51．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 52．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 53．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 54．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 55．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 【题型12 全等证明常见辅助线—手拉手】 56．（手拉手）如图，在和中，，，，，连结，交于点．连结．证明下列结论：①；②；③平分． 57．（1）如图1，在和中，,．将绕点A顺时针旋转，连接．当点E落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是________________，的度数为________； （2）如图2，在和中，，．将绕点A逆时针旋转，连接．当点在同一条直线上时，请判断线段和的关系，并说明理由． 58．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 59．【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 60．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：______； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【题型13 全等证明常见辅助线—旋转】 61．已知：如图，与有一个公共顶点，将绕点旋转如图位置，如果，，，那么与相等吗？证明你的结论． 62．如图，画，并画的平分线．    (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、（如图①），则 ；（填“”“ ”或“”） (2)把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与、交于点E、F，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 63．如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E； (1)当直线绕点A旋转到图1的位置时，（如图1所示）求证：； (2)当直线绕点A旋转到图2的位置时，（如图2所示），其他条件不变，则具有怎样的等量关系？写出等量关系，并证明． (3)当直线绕点A继续旋转时，其他条件不变，则具有怎样的等量关系？（不同于上述两种情况外）请画出图形，直接写出等量关系，不需证明。 64．如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 65．已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【题型14 全等证明常见辅助线—半角】 66．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 67．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 68．阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 69．【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 70．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【题型15 全等证明常见辅助线—k字型】 71．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 72．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 73．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 74．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 75．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【拓展训练一 全等三角形的判定与性质综合】 76．如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 77．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 78．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【拓展训练二 全等三角形的辅助线添加综合】 79．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 80．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 81．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【拓展训练三 全等三角形的动点问题】 82．如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 83．如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． (1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 84．（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    【拓展训练四 全等三角形的新定义问题】 85．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 86．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 87．定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 【拓展训练五 全等三角形的综合】 88．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 89．【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 90．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 1．如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 3．小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．这四个条件中再选一个使，符合条件的有（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 7．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为18，则的长为 ． 8．如图，在2×2的正方形网格中，线段、的端点为格点，则 °. 9．如图，在中，于于D， ． 10．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 °． 11．如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ． 12．如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 13．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 14．如图，已知． (1)与是否全等？说明理由； (2)如果，求的度数． 15．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 16．如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求． 17．小甬按如图方式测量旗杆高度，将处的绳子笔直拉至地面处，使，间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在处放置一块直角三角板，使直角顶点落在处，边与绳子重合，随后小甬后退至处直立，使眼睛与点，在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 18．已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 19．如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从，中任选一个作为条件，使得结论“”成立 (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 20．如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$