专题03 全等三角形（2知识点+8大题型+2大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题03 全等三角形 （2知识点+8大题型+2大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+2大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ③如果，那么； ④两个三角形中，两边与及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等． 其中假命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据全等三角形的判定、实数的平方判断即可． 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项命题是假命题； ②顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题； ③如果，那么，故本选项命题是假命题； ④两个三角形中，两边与及其中一边的对角对应相等， 如图， 在和中，，而和不全等， 故本选项命题是假命题； 故选：C． 3．（22-23八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 知识点2：全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江丽州·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，若，，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【答案】的长度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 【题型1 图形的全等】 1．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根据全等形的定义即可得． 【详解】解：A、不是全等形，则此项不符合题意； B、不是全等形，则此项不符合题意； C、是全等形，则此项符合题意； D、不是全等形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．下列命题中，其中不正确的是（    ） A．两个图形是否全等，取决于图形形状、大小是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“2小于或等于3”，它是个真命题 【答案】B 【分析】此题主要考查了命题的概念，全等图形定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定．根据全等图形的定义可对选项A，B进行判断；根据等边三角形的性质及全等三角形的判定可对选项C进行判断，根据不等式的意义可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵两个图形的形状一样，大小一样时， ∴两个图形是全等的； ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵两个图形是否全等，与它们的位置是无关， ∴选项B说法不正确，符合题意； ∵等边三角形的三边都相等， ∴边长相等的两个正三角形是全等图形， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵“”式子的意义为“2小于或等于3”， ∴选项D说法正确，不符合题意， 故选：B． 3．小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（    ） ①面积相等的两个三角形一定全等    ②周长相等的两个三角形一定全等 ③直角边分别相等的两个直角三角形全等    ④全等三角形对应边上的中线相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握形状大小都完全相同的两个三角形全等，全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的定义，即可判断①②；根据全等三角形的判定定理，即可判断③；根据全等三角形的性质，即可判断④． 【详解】解：①面积相等的两个三角形不一定全等，故①不正确，不符合题意； ②周长相等的两个三角形不一定全等，故②不正确，不符合题意； ③直角边分别相等的两个直角三角形全等，故③正确，符合题意； ④全等三角形对应边上的中线相等，故④正确，符合题意； 综上：正确的有③④，共2个， 故选：B． 4．下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 5．下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是 ．（只填正确说法的序号） 【答案】②③/③② 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个大小、形状相同的图形称为全等图形，故原说法错误； ②边、角分别对应相等的两个多边形全等，故原说法正确； ③全等图形的形状、大小都相同，故原说法正确； ④面积相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误． 故答案为：②③ 【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同． 【题型2 将已知图形分割成几个全等图形】 6．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 7．请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 8．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 9．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 10．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】见解析 【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．    【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 【题型3 全等三角形的概念】 11．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 12．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 13．如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 【答案】和（或和，或和，或和） 【分析】此题主要考查了三角形面积公式应用及全等三角形的概念，根据已知得出三角形的高与底边是解题关键．根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案． 【详解】 解：四边形是长方形， ， 与，底边为，高为， ， ， 与，底边为，高为， ， 与，等底，等高， ，图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，即和，和，和，和， 故答案为：和（或和，或和，或和）． 14．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 15．如图，．有下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【题型4 利用全等三角形的性质求边长】 16．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 17．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 18．如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 19．如图，已知，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：20． 20．如图，，，三点在同一直线上，且． (1)若，请判断与的位置关系； (2)线段，，有怎样的数量关系？请说明理由； 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）根据全等三角形的性质得，则有，然后根据三角形的内角和定理得，从而求解； （）根据全等三角形的性质得，，然后由线段和差即可求解； 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【题型5 利用全等三角形的性质求角度】 21．如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角，根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 22．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出即可．能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 23．如图，，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握掌握全等三角形的对应角相等． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 24．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 25．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 【题型6 利用全等三角形的性质求面积】 26．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 27．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据的面积=长方形面积即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，，的面积=四边形面积 ， 四边形是长方形， ， ， 故答案为：． 28．如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 29．如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （2）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 本题考查了三角形内角和性质以及全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的面积相等． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 而， ； （2）解：，， ， ∵， ， ． 30．如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解本题的关键． （1） 利用全等三角形的性质可得答案； （2）利用全等三角形的性质证明，利用计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， 的周长． （2）解：， ，，． ， ． ． ． 【题型7 网格中的全等三角形问题】 31．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 32．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的定义画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．    33．如图，在的网格中，点都在格点（网格线的交点）上．若，则点与点 重合．（填“”“”或“”） 【答案】F 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点．根据全等三角形的性质得到，然后在网格中与点P对应的位置进行比对即可． 【详解】解：，， ， 如图， 在网格中与点P对应的点为F的位置， 故点P与点F重合， 故答案为：F． 34．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作图——轴对称变换，全等三角形的性质． （1）利用网格特点和轴对称的性质作出各顶点关于直线的对称点，，，依次连接即可解答； （2）是直角边长分别为5和3的直角三角形的斜边，由此通过网格特点构造与之全等的三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求．    （2）解：如图，点E为所求．    35．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． 【详解】（1）解：如图①所示，为所求； （2）解：如图②所示，为所求； （3）解：如图③所示，射线为所求． 【题型8 全等三角形的简单动点问题】 36．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解． 【详解】解：如图甲所示，当时，， 即，解得， 如图甲所示，当时， 即，解得， 故选：D． 图甲                                  图乙 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键． 37．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或秒． 38．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 39．如图，在长方形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，当与全等时，有两种可能，一种为，；另一种为，，结合三角形全等的性质和路程为时间速度之积的关系即可求的答案． 【详解】解：与全等时 当时，， ∵，， ∴，， ∵点A出发以的速度向点B运动， ∴运动时间为， ∵点Q以的速度由点B向点C运动，时间为2秒， ∴； 当，， 则，， ∵点A出发以的速度向点B运动， ∴运动时间为， ∵点Q以的速度由点B向点C运动，运动时间为秒，运动距离， ∴； 故答案为：2或． 40．如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当，，时；当，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示， 当，，时，， ∴， ∴点运动的时间为， ∴点运动的速度为； 如图所示， 当，时，， ∴， ∴点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 【拓展训练一 全等三角形的动点综合】 41．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 42．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 43．如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为 (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为 ． 【答案】 2或10 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质： （1）由题意得，，，再根据线段的和差关系求解即可； （2）分两种情况讨论，当点在射线上时，在上，当点在的反向延长线上，在延长线上时，根据全等三角形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时，在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故答案为：2或10. 44．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 45．在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 【答案】(1)6； (2)①；②t的值为； (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，点P在上，； 故答案为：6；； （2）解：①如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， 故答案为：， ②当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， t的值为； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 【拓展训练二 全等三角形的性质综合】 46．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 47．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′＋∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°＋40°＝100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 48．如图，在中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，熟练掌握全等三角形性质，平行线性质，三角形外角性质，是解题的关键， 延长交于点，交于点．根据全等三角形性质，得，，得，得．根据平行线性质得， 得．根据三角形外角性质得 ． 【详解】提示：如图，延长交于点，交于点． ， ，， ， ． ， ， ， ， ． ， ， 故答案为． 49．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则 ． 【答案】8 【分析】延长AD交BC与点E，证可得，由可得，进而即可求解； 【详解】解：如图，延长AD交BC与点E， ∵BD平分 ∴ ∵BD=BD ∴ ∴AB=BE ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AD=DE， ∴ ∴ 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 50．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键. 1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ∵两个三角形全等，与是对应角， ∴． 故选：D． 2．若，且的周长为15，，，则的长为（  ） A．4或5 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 先求出，根据全等三角形的性质得出即可得出选项． 【详解】解：如图， 的周长为15，，， ， ， 故选：D． 3．如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到，从而得到，求出，根据平行线的性质得到，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．由，得到，由三角形内角和定理求出，而，即可由求出． 【详解】解：，， ， 在中， ，， ， ， ． 故选：． 5．如图，已知，点在边上，与相交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即B选项正确； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D正确， 无法证明，故A错误，符合题意． 故选：A． 6．如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（  ） A．或 B． C．或14 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当时，列方程解得，可得；情况二：当时，列方程解得，可得． 【详解】解：∵点运动的速度之比为， ∴设，则， ∵与全等， 可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， ∴， 解得：， ； 情况二：当时， ∵， ， 解得：， ； 综上所述，或， 故选：C． 7．如图，，点D在边上，若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．如图，已知，，则 度． 【答案】55 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得，结合已知角可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：55． 9．如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，推出，，求出，由的周长求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 10．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等求出x、y，然后相加计算即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， ，， 故答案为： 11．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为 时，与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有，，， ∵， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， ∴， 解得：，即点的运动速度是； 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是； 综上所述，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 12．如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， 即； （2）解：满足时，， 理由是：， ， ， ． 14．如图，已知，点在同一直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）首先根据全等三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据全等三角形的性质可得，结合点是的中点可得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 15．沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 或 16．在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点作图、全等三角形： （1）利用格点作点B关于的对称点，即可求解； （2）等底等高的三角形面积相等，利用格点作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求．    17．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【分析】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） 18．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或2.4时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键. （1）根据路程速度时间，点的速度，表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 19．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 20．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质，全等三角形的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）设点Q的运动速度为，分，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）解：设点Q的运动速度为， ∵与全等，， ∴，或，， 当P在上，点Q在上时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 当点P在上，点Q在时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 综上所述：点Q的运动速度为或或或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形 （2知识点+8大题型+2大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+2大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ③如果，那么； ④两个三角形中，两边与及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等． 其中假命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    知识点2：全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江丽州·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 5．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，若，，，则的度数为 °． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【题型1 图形的全等】 1．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，其中不正确的是（    ） A．两个图形是否全等，取决于图形形状、大小是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“2小于或等于3”，它是个真命题 3．小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（    ） ①面积相等的两个三角形一定全等    ②周长相等的两个三角形一定全等 ③直角边分别相等的两个直角三角形全等    ④全等三角形对应边上的中线相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 5．下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是 ．（只填正确说法的序号） 【题型2 将已知图形分割成几个全等图形】 6．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 7．请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 8．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 9．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 10．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【题型3 全等三角形的概念】 11．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   12．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 13．如图， ，垂足为E，交于点F，连接．请写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 14．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    15．如图，．有下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 （填序号）． 【题型4 利用全等三角形的性质求边长】 16．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 17．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 19．如图，已知，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ． 20．如图，，，三点在同一直线上，且． (1)若，请判断与的位置关系； (2)线段，，有怎样的数量关系？请说明理由； 【题型5 利用全等三角形的性质求角度】 21．如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 22．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．如图，，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 24．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 25．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【题型6 利用全等三角形的性质求面积】 26．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ． 27．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 28．如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    29．如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 30．如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 【题型7 网格中的全等三角形问题】 31．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 33．如图，在的网格中，点都在格点（网格线的交点）上．若，则点与点 重合．（填“”“”或“”） 34．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 35．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【题型8 全等三角形的简单动点问题】 36．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 37．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 38．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 39．如图，在长方形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为 ． 40．如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【拓展训练一 全等三角形的动点综合】 41．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 42．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 43．如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为 (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为 ． 44．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 45．在中，，，，．现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A时停止，速度为，设运动时间为． (1)如图1，当时，_____；当时，_____（用含t的式子表示）． (2)如图1，当的面积等于的面积的一半时． ①若点P在上，则_____； ②若点P在上，求t的值． (3)如图2，在中，，，．在的边上，若有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A时停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好．求点Q的运动速度． 【拓展训练二 全等三角形的性质综合】 46．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 47．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 48．如图，在中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 49．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则 ． 50．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．若，且的周长为15，，，则的长为（  ） A．4或5 B．5 C．4 D．6 3．如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，点在边上，与相交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（  ） A．或 B． C．或14 D． 7．如图，，点D在边上，若，，则 ． 8．如图，已知，，则 度． 9．如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 10．一个三角形的三边为2、4、x，另一个三角形的三边为y、2、5，若这两个三角形全等，则 ． 11．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为 时，与全等． 12．如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 13．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 14．如图，已知，点在同一直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，点是的中点，求的长． 15．沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 16．在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 17．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 18．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$