专题01 认识三角形（5知识点+12大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题01 认识三角形 （5知识点+12大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】设，因为，所以，，根据三角形内角和为进行列式即可解答． 【详解】解：设， 因为， 所以，， 在中，， 即， 解得， 那么，，， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和为，难度较小． 2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 3．（21-22八年级·浙江·阶段练习）如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；在△AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ． 【答案】 ∠BCE/∠ECB CE/EC ∠ACE/∠ECA △ABD，△ABC，△ACE 【分析】根据的边、角的定义，即可求解． 【详解】解：在△BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE； 在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC； ∠A为内角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE． 故答案为：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE 【点睛】本题考查了三角形的知识，掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角是解题的关键． 知识点2：三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 5．（23-24八年级上·浙江丽州·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 6．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 知识点3：三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【答案】 等腰 锐角 直角 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）已知中，，则是 （填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”） 【答案】钝角三角形 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由三角形的内角和为，再乘以各个内角的占比，即可求出每个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． 【答案】为钝角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出，，根据三角形内角和是，列出方程，求出的度数，即可得出和的度数，根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形即可求解． 【详解】解：∵是的倍，比大， 故，， 即， ∵， 即， 解得：， 故， ， 所以为钝角三角形． 知识点4：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【即时训练】 10．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵三角形三边的长度分别为，，， ∴， ∴， ∴第三边长不可能是2． 故选：A． 11．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系列出不等式求解，分情况进行求三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得， 即， ∵边长为偶数， ∴或， ∴当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 12．（24-25八年级上浙江宁波·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为偶数， ∴第三边是，，，， 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 知识点4：三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 【即时训练】 13．（2025·浙江·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 14．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【题型1 三角形的识别与有关概念】 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 2．如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 4．如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 6 / 【分析】本题考查了三角形的认识，涉及三角形的个数问题，三角形外角的定义及性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】图中三角形的个数为6个，分别是； 以为外角的三角形是； 在中，边的对角是； 在中，的对边是； 故答案为：6；；；． 5．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【答案】 4 B、G，E / E / 【分析】本题考查三角形相关概念： （1）写出图中的三角形即可； （2）根据顶点，边，角的定义，作答即可； （3）根据对边，对角的定义，作答即可； （4）根据内角，外角，对边的定义，作答即可． 【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：， 故答案为：4，； （2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是； 故答案为：B、G，E；；； （3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是； 故答案为：，； （4）是的内角，是的外角，的对边是； 故答案为：，，． 【题型2 三角形的分类】 6．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：D． 7．三角形按边可分为（   ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形．按三角形的分类标准逐选项分析. 【详解】钝角三角形属于按角分类，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形，故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形和只有两边相等的三角形故本选项不符合题意； 三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 8．已知a、b、c为三角形的三边，且则，则三角形的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先把所给等式左右两边同时乘以2，然后利用完全平方公式得到，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，非负数的性质，正确得到是解题的关键． 9．已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 【答案】锐角 【分析】根据题意设，则，根据三角形内角和定理求得,进而求得的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：， 设，则， 解得 是锐角三角形． 故答案为：锐角． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 10．在中，，． (1)求，，的度数； (2)按边分类，属于 三角形，按角分类，属于 三角形． 【答案】(1)；； (2)等腰；直角 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求解即可； （2）按照三角形的分类标准分类即可； 【详解】（1）解：在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴按边分类，属于等腰三角形； ∵， ∴按角分类，属于直角三角形； 故答案为：等腰，直角． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的分类；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 【题型3 三角形的稳定性】 11．三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 12．如图是国庆黄金周期间珍珍去河北某景点看到的户外秋千椅子，其侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据题意可直接得到答案． 【详解】解：户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 13．如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的 ． 【答案】不稳定性 【分析】本题主要考查四边形具有不稳定性，根据四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得，这是利用了四边形的不稳定性， 故答案为：不稳定性． 14．要使一个六边形框架稳固且不活动，至少要钉 根木条． 【答案】3 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．过同一顶点作对角线把木架分割成三角形，解答即可． 【详解】解：如图所示，至少要钉上3根木条． 故答案为：3． 15．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【分析】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【详解】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 【题型4 构成三角形的条件】 16．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边．对各选项逐一验证，仅需检查最大边是否小于另两边之和即可． 【详解】解：A：最大边10，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． B：最大边8，，且，均满足条件，能构成三角形． C：最大边12，，不满足条件，不能构成三角形． D：最大边13，，不满足条件，不能构成三角形． 故选：B 17．满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； C、当，，时，，符合三角形的三边关系，故能构成三角形； D、，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形． 故选：C． 18．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 19．用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 【答案】12 【分析】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 可把三角形的周长看作24，再根据三角形的三边关系可得出结论． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边， 只能有12种答案，即① 2、11、11；② 3、10、11；③ 4、9、11；④ 4、10、10；⑤ 5、8、11；⑥ 5、9、10；⑦ 6、7、11；⑧ 6、8、10；⑨ 6、9、9；⑩ 7、7、10；⑪ 7、8、9；⑫ 8、8、8． 故答案为：12． 20．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系： （1）可以构成三角形； （2）不能构成三角形； （3），可以构成三角形； （4），可以构成三角形； 故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形． 【题型5 三角形三边关系】 21．一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形第三边的长为， 这个三角形的两边长分别是，， 则由三角形的三边关系可得，，即， 它的第三边的长可能是． 故选：C． 22．现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 23．已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，8， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为，，，，， ∴满足条件的值的和为， 故答案为：． 24．已知的三边分别为a、b、c，且满足，那么第三边 c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，构成三角形的条件，非负数的性质，根据完全平方公式可得，则由非负数的性质可得，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 25．仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值； （2）用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b，进而根据三角形三边关系且为最长边，即可求解； （3）先把代入，得到关于和的式子，再仿照（1）（2）题求解得出，进而即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，； ∵、、是的三边， ∴即 又∵为最长边 ∴； （3）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【题型6 与三角形的高有关的计算问题】 26．如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为 12 ， ， ∵是的高线，， ∴，则， 故选：D． 27．如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ， ∵平分， ， ∵为边上的高， ， ， ， 故选：C． 28．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 29．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 30．如图，在中，为边上一点，，垂足分别为点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】考查了三角形的面积，连接，根据的面积的面积的面积，以及，即可得到． 【详解】解：连结． ∵， ∴． ， ． 【题型7 根据三角形中线求长度、面积】 31．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 32．如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：分别是的中点，， ， ，， ， ， 故选：B． 33．如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 34．如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由，，得，又点为中点，则，，设，从而有，解出即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：12． 35．如图，在中，，，于D，，于E，是边上的中线． (1)求及； (2)求的长． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质． （1）利用三角形面积公式可求得，利用三角形中线的性质即可求解； （2）利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：； ∵是边上的中线， ∴． ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【题型8 三角形内角和定理】 36．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 37．定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论． 【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴． ①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意； ②@表示，故②正确，符合题意； ③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意； 综上：正确的有②④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 38．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 39．如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理．根据垂直的定义得出，即可判断①，根据角平分线的性质得出，根据，得出，即可判断，得出②正确；根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，即可判断③，根据三角形内角和定理可得，再根据，得到，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的说法有①②③． 故答案为：①②③． 40．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 【题型9 三角形折叠中的角度问题】 41．已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 42．在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】如图1中，①当    由折叠得， ②当时，如图2 ， 由折叠得， ∴的度数为或； 故选：B． 43．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 44．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， 则， 故答案为： 45．（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 【题型10 三角形内角和定理的应用】 46．如图，的一边为平面镜，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得，结合得，由三角形内角和定理求出，再由邻补角互补求出． 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 故选：A． 47．将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，直尺上边缘经过三角尺的顶点和边上一点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可求出的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 48．定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键． 根据三角形内角和等于，如果一个“倍角三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，根据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可． 【详解】解：当的角是另一个内角的2倍时， 三个角分别为：，，；　 当一个内角是的角的2倍时，三个角分别为：，，； 当另外两个角是两倍关系时， 设这两个角分别是，， 则， 解得， ∴， ∴三个角分别为：，， ； 因此，这个三角形中最大的内角度数为或或． 故答案为：或或． 49．把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ． 【答案】25° 【分析】本题考查了平行线的公理及性质,平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， ， 故答案为：． 50．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，小明和小颖将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起． (1)操作判断 若，则_________； 若，则_________； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)拓展应用 当且点在直线的上方时，如果这两个三角尺存在一组边互相平行，则的度数为：__________________（写出所有可能的结果） 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3)或或或或 【分析】（1）根据和的度数，求得的度数，再根据和求得的度数； （2）根据∠，以及，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得的度数 【详解】（1）解：，， ， ， ； ， ． 故答案为：； （2）猜想 证明：， 又， ， 即 （3）当时， ∴， ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴， ∴ 当时， ∴ 故答案为：或或或或． 【题型11 直角三角形的两个锐角互余】 51．如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（    ） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形高的定义，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义求出，再求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 52．如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解． 【详解】解：平分， ， 是边上的高， ， ． 故选：C． 53．如图，在中，，若，，则的度数是 【答案】 【分析】由题意易得∠DBA+∠EAB=180°，∠CBA+∠CAB=90°，进而问题可求解． 【详解】解：∵BD∥AE， ∴∠DBA+∠EAB=180°， ∵∠C=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∵∠EAB=∠CAE+∠CAB，∠DBA=∠DBC+∠CBA，， ∴∠CAE=180°-90°-20°=70°； 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 54．如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】94° 【分析】由得，从而求得，根据三角形外角的性质可求得，再根据角平分线的定义可求得，从而根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂直的定义，角平分线，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 55．如图，在中，D为上一点，为的高，为的角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角性质. 先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数. 【详解】解：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∵为的高， ∴， ∴. 【题型12 利用网格求三角形面积】 56．如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积，根据网格的特点，结合三角形面积计算公式找到底为1，高为2或底为2，高为1的即可得到答案． 【详解】解：C点所有的情况如图所示， 故选：D． 57．如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为： 58．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可． 【详解】解：如图，作长方形， ∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1， ∴，，，，，，， ∴． 故答案为： 59．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图． （4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：过点B作的平行线，如图所示： （4）解：依题意，， ∵线段， ∴点C到直线的距离． 故答案为：． 60．先画图再解决问题：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点都在正方形顶点上，将三角形先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到三角形，请你画出平移后的三角形，则与的关系为 ；三角形的面积为 ． 【答案】作图见详解；平行且相等； 【分析】本题主要考查了平移变换，平移的性质，三角形面积的计算，正确掌握基本作图方法是解题关键． 利用平移的性质得出对应点位置顺次连接即可作图，根据平移的性质可得与的关系，然后利用割补法求出面积即可． 【详解】解：如图，，即为所求作的三角形． 与的关系为平行且相等， 如图构造矩形，由网格图可知， ， 故答案为：平行且相等，． 【拓展训练一 与三角形高有关计算综合】 61．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 62．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 63．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 64．如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形中，，可得 ，，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：32． 65．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 【拓展训练二 根据三角形中线求解综合】 66．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴与的周长之差为 ， 故选：C． 67．已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ． 【答案】11或4 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， 将的周长分为10和15两部分，分2种情况： ①， 则：， ∴， ∴， ∴； ②， 则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：11或4． 68．如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6 69．如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为__________． (2)若，是角平分线，求__________． (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由是的中线，得到，再分别求出和的周长，求差即可； （2）由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质求出，即可求解； （3）由是的高，得到，从而得到，根据平分，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴的周长， 的周长， ∴的周长的周长， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：是的高， ， ， ，即， 平分， ，即， ∴． 70．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①；②作图见解析部分；（2）①；②；（3）． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： 【拓展训练三 三角形的折叠问题】 71．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分图1，图2，图3，图4四种情况，根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 72．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 73．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'，，最后计算出 ； （2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ． 【详解】解：（1）如图1所示， ， ，， 又'， '， 又'， ， 又， ， 故答案为：； （2）如图2所示， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 74．在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）当两种情况画图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：，， ∴ ∴， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，设与相交于点G， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴； 如图，设直线交于点G， ， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 75．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 【拓展训练四 三角形内角和综合】 76．如图，，点在直线上，和都在直线上，且在点左侧，，点在直线上，交直线于点，平分交直线于点，设 (1)如图，当点在点右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①当点在点右侧时，；②当点在点右锯，点左侧时，；③当点在点左侧时， 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，分类讨论是解题的关键； （1）①首先根据平行线的性质求出，进而求出的度数，然后再由平行线内错角相等得出，即可求解； ②由角平分线的性质得出，然后由内错角相等证得，再由已知条件即可证明结论． （2）根据点的位置进行分类讨论：①点在点右侧；②点在点和点之间；③点在点左侧．然后分别结合平行线的性质、角平分线的性质，三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ， ； ②证明：平分， ， ， ， ， ； （2）①当点在点右侧时，如图： ， ，， ，． 平分， ， ； ②当点在点和点之间时，如图，点在点左侧． ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ； ③当点在点左侧时，如图，，点在点左侧． ， ，即， 在中，由②知，， ， ． 综上，与的数量关系为：或或． 77．在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则________； （2）如图2，，，则与有什么数量关系，并证明； 得出结论：两个角的两边分别平行，则这两个角________． 应用结论：（3）在图3中，五边形，点、分别在、上，将沿翻折得到，，，，，求的度数． 拓展应用：（4）在图4中，，，，，平分，点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数________． 【答案】（1）；（2），证明见解析；相等或互补；（3）；（4）或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键． （1）利用平行线的性质和等量代换可得答案； （2）利用平行线的性质和等量代换可得答案，写出结论即可； （3）证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案； （4）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，∵，， ∴，， 则； 故答案为； （2），证明如下： 如图2，∵，， ∴，， 则， 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； 应用结论 （3）∵ ，， ∴， ∵， 由（1）的结论可得：， ∵， ∴ ． 拓展应用：（4）过B作， ∵ ， ∴， ∵ 同理可得：， ∴， ∵， 同理可得：， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵中有两个相等的角， 当时，则， ∴； 当时，则， 当时，． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 78．在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． (1)如图1，①若，则___________； ②若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2)①见解析；②或或或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则可求出，由垂直的定义得到，则；②由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，，由三角形外角的性质可得； （2）①由角平分线的定义得到，则，由角平分线的定义得到，则，即可证明；②由平行线的性质得到，则，再分当时，当时， 当时， 当时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 79．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)①，② (2)，理由见解析 (3)、、、、 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，三角形内角和定理，角的和差计算． （1）①由角的和差运算求解即可；②由角的和差运算求解即可； （2）由角的和差运算求解即可； （3）分五种情况讨论，根据平行线的性质，三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：①，， ， ， ， 故答案为：； ②，， ， ， 故答案为：； （2）解：猜想：， 理由如下：， 又， ， 即； （3）解：的度数为、、、、． 理由：当时，如图1所示： ， ； 当时，如图2所示： ； 当时，如图3所示： ， ； 当时，如图4所示： ， ； 当时，延长交于，如图5所示： ， ，， ， ． 综上：所有满足条件的的度数为、、、、． 80．在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再结合已知条件可证； （2）如图，延长交于K．设，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长交于K，延长交于N．设，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是定值，理由如下： 如图，延长交于K．设． ∵，平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵（三角形的外角的性质）， ∴， ∴，即， ∴是定值； （3）解：如图，延长交于K，延长交于N．设． 同（2）法可证：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，角度的和差计算等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 1．若是锐角三角形，且，则可能的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了锐角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵ 是锐角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 2．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角的概念求出三角形的总数，再根据直角三角形和钝角三角形的个数，即可求解． 【详解】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 3．若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴a的值可以是5． 故选：D． 4．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， 故选D． 5．如下图，将三角形的边延长1倍到，的边延长2倍到，边延长1倍到．如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是（   ） A．10 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了三角形等高三角形面积比等于底边之比，连接，，，根据作图可得各三角形面积进而求解. 【详解】解：连接，，， ∵ ∴ ∴， ∴， 同理可得：，， ∴ 6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，，D是延长线上一点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；连接，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴A、B间的距离可以是5、6、7等等； 故答案为：5（答案不唯一）． 9．如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得，利用三角形内角和定理得出的度数，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 10．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，．三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转．当 时，． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，三角形内角和，角的和差．当时，即，结合三角形内角和得，由旋转性质得，再根据角的和差关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图， ∵三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转，且， ∴， ∵，． ∴，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转75度， 即， 故答案为：． 11．在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．若是“亚直角三角形”，且，则中最小锐角的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设中另外两个内角的度数分别为，根据三角形内角和定理可得，根据“亚直角三角形”的定义可得，据此列方程组求解即可． 【详解】解：设中另外两个内角的度数分别为， ∵是“亚直角三角形”， ∴， 由题意得，， 解得， ∴中最小锐角的度数为， 故答案为：． 12．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键． 由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 【答案】(1)的取值范团是 (2)为6，8，10，12 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）根据三角形的三边关系定理得出，再求出的取值范围即可； （2）根据周长为奇数得出为偶数，根据的范围求出即可． 【详解】（1）解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， ∴，即， ∴的取值范围是； （2）解：∵的周长为奇数， ∴为偶数， ∵， ∴为6，8，10，12． 14．如图，的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将向上平移2格，得到（点A、B、C的对应点分别是） (1)请在图中画出平移后的； (2)连接，它们的关系是 ； (3)若1格的边长为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)12.5 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键； （1）先画出点A、B、C的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质即可得出结论； （3）利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：平移后的如图所示： （2）解：如上图，根据平移的性质可得：，； （3）解：的面积． 15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点均在格点上． (1)过点作直线与平行． (2)将平移后得到，其中点与点对应，点与点对应． (3)连接，，则的面积为______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查平行线的判定、平移性质、网格中求三角形的面积，熟系网格特点是解答的关键． （1）根据平行线的判定画平行线即可； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可得到； （3）利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：如图，的面积为． 16．【概念学习】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． 【概念理解】 （1）判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． （2）若，求证：为“智慧三角形”． 【概念应用】 （3）当为“智慧三角形”时，求出的度数． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再证明即可； （2）求出的度数，得到即可求证； （3）由可得，再分，，，，，，六种情况解答即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“智慧三角形”； （2）∵，， ∴， ∴， ∴为“智慧三角形”； （3）∵， ∴， 当为“智慧三角形”时，分以下几种情况讨论： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时， 则， ∴， ∴； ④当时， ∴， ∴， ∴； ⑤当时， ∴， ∴； ⑥当时， 则， ∴， ∴此种情况不存在； 综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或． 17．如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解：猜想， 理由如下：，， ． 18．已知的三边长是． (1)若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简：． 【答案】(1)4或6 (2)0 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值， 对于（1），根据三角形三边关系确定c的取值范围，再根据三角形周长的范围可知答案； 对于（2），根据三角形三边关系可知，，再去绝对值即可． 【详解】（1）解：是的三边，，， . 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； （2）解：是的三边， ，， ∴． 19．（1）如图1，，点P在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点P作． 小菲：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，E，F分别是射线，上一点，G是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点H，与相交于点T，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）小强的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论； 小菲的方法：先由得，再根据三角形的外角定理得，据此即可得出结论； （2）先根据三角形的外角定理得，再根据得，然后根据平行线的判定可得出结论． （3）设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，得，由此解出，设，则，再根据得，进而得，然后根据在（2）的条件下得，则，由此得，据此求出即可得到的度数． 【详解】解：（1）小强的证明如下： 过点作， ， ， ， ， 即； 小菲的证明如下： 延长交于点， ， ， 是的一个外角， ， 即； （2）是的一个外角， ， ， ， ； （3）平分，， ， 设， ， ， 在（2）的条件下， ， ， 解得：， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 在（2）的条件下， ， ， 即， 解得：， ． 20．如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点P在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点M在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 认识三角形 （5知识点+12大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 3．（21-22八年级·浙江·阶段练习）如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；在△AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ． 知识点2：三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江丽州·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 6．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 知识点3：三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）已知中，，则是 （填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”） 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． 知识点4：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【即时训练】 10．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 11．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 12．（24-25八年级上浙江宁波·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 知识点4：三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 【即时训练】 13．（2025·浙江·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 15．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【题型1 三角形的识别与有关概念】 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 3．如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    4．如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ． 5．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【题型2 三角形的分类】 6．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 7．三角形按边可分为（   ） A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形 C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形 8．已知a、b、c为三角形的三边，且则，则三角形的形状是 ． 9．已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 10．在中，，． (1)求，，的度数； (2)按边分类，属于 三角形，按角分类，属于 三角形． 【题型3 三角形的稳定性】 11．三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边 12．如图是国庆黄金周期间珍珍去河北某景点看到的户外秋千椅子，其侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 13．如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的 ． 14．要使一个六边形框架稳固且不活动，至少要钉 根木条． 15．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【题型4 构成三角形的条件】 16．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13 17．满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 18．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 19．用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 20．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【题型5 三角形三边关系】 21．一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（   ） A． B． C． D． 22．现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 23．已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 24．已知的三边分别为a、b、c，且满足，那么第三边 c的取值范围为 ． 25．仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 【题型6 与三角形的高有关的计算问题】 26．如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 27．如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 28．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 30．如图，在中，为边上一点，，垂足分别为点．试说明：． 【题型7 根据三角形中线求长度、面积】 31．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 32．如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 34．如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，则 ． 35．如图，在中，，，于D，，于E，是边上的中线． (1)求及； (2)求的长． 【题型8 三角形内角和定理】 36．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 37．定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 38．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 39．如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 40．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【题型9 三角形折叠中的角度问题】 41．已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 43．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 44．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，． 45．（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【题型10 三角形内角和定理的应用】 46．如图，的一边为平面镜，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，直尺上边缘经过三角尺的顶点和边上一点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 48．定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 49．把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ． 50．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，小明和小颖将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起． (1)操作判断 若，则_________； 若，则_________； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)拓展应用 当且点在直线的上方时，如果这两个三角尺存在一组边互相平行，则的度数为：__________________（写出所有可能的结果） 【题型11 直角三角形的两个锐角互余】 51．如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（    ） A．10° B．15° C．20° D．25° 52．如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 53．如图，在中，，若，，则的度数是 54．如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交的延长线于点E．若，，求的度数． 55．如图，在中，D为上一点，为的高，为的角平分线．若，，求的度数． 【题型12 利用网格求三角形面积】 56．如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 57．如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 58．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 59．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 60．先画图再解决问题：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点都在正方形顶点上，将三角形先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到三角形，请你画出平移后的三角形，则与的关系为 ；三角形的面积为 ． 【拓展训练一 与三角形高有关计算综合】 61．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 62．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 63．如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 64．如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为 ． 65．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【拓展训练二 根据三角形中线求解综合】 66．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 67．已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ． 68．如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则 ， ． 69．如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为__________． (2)若，是角平分线，求__________． (3)若，是高，求的度数． 70．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【拓展训练三 三角形的折叠问题】 71．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 72．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 73．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 74．在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 75．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【拓展训练四 三角形内角和综合】 76．如图，，点在直线上，和都在直线上，且在点左侧，，点在直线上，交直线于点，平分交直线于点，设 (1)如图，当点在点右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系． 77．在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则________； （2）如图2，，，则与有什么数量关系，并证明； 得出结论：两个角的两边分别平行，则这两个角________． 应用结论：（3）在图3中，五边形，点、分别在、上，将沿翻折得到，，，，，求的度数． 拓展应用：（4）在图4中，，，，，平分，点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数________． 78．在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． (1)如图1，①若，则___________； ②若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数． 79．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 80．在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 1．若是锐角三角形，且，则可能的度数是（   ） A． B． C． D． 2．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 3．若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如下图，将三角形的边延长1倍到，的边延长2倍到，边延长1倍到．如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是（   ） A．10 B．8 C．9 D．11 6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，D是延长线上一点．若，则的度数是 ． 8．如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 9．如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 10．将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，．三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转．当 时，． 11．在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．若是“亚直角三角形”，且，则中最小锐角的度数为 ． 12．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 13．已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 14．如图，的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将向上平移2格，得到（点A、B、C的对应点分别是） (1)请在图中画出平移后的； (2)连接，它们的关系是 ； (3)若1格的边长为1，求的面积． 15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点均在格点上． (1)过点作直线与平行． (2)将平移后得到，其中点与点对应，点与点对应． (3)连接，，则的面积为______________． 16．【概念学习】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． 【概念理解】 （1）判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． （2）若，求证：为“智慧三角形”． 【概念应用】 （3）当为“智慧三角形”时，求出的度数． 17．如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 18．已知的三边长是． (1)若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简：． 19．（1）如图1，，点P在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点P作． 小菲：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，E，F分别是射线，上一点，G是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点H，与相交于点T，若，，，求的度数． 20．如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$