第04讲 二次根式及其性质（4知识点+4大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第04讲 二次根式及其性质 （4知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 知识点02：二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 知识点03：二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 知识点04：化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 【题型1 二次根式的概念】 【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【变式1-1】下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【变式1-2】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-3】下列各式中，二次根式的个数有 （ ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2二次根式有意义的条件】 【例2-1】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2） ． 【例2-2】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2） ． 【变式2-1】若有意义，则字母x的取值范围是(    ) A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 【变式2-2】代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式2-3】使有意义的自变量x的取值范围为 【变式2-4】指出下列各式有意义时的取值范围． (1)； (2)． 【变式2-5】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【题型3 求二次根式的值】 【例3-1】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8） ； （9）． 【例3-2】求下列二次根式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3-1】计算： ． 【变式3-2】化简： ． 【变式3-3】如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于 ． 【变式3-4】化简： ． 【题型4 化简二次根式】 【例4-1】已知，则二次根式化简后的结果为（    ）． A． B． C． D． 【例4-2】化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例4-3】化简： （1）； （2）． 【例4-4】把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变． （1）；（2）；（3）；（4）． 【变式4-1】当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】化简二次根式：= ． 【变式4-3】若 ，，则 ． 【变式4-4】化简： (1)； (2)； (3)． 【变式4-5】化简：． 【变式4-6】设分别是三角形三边的长，化简：． 【变式4-7】将x移到根号内，不改变原来的式子的值： （1）； （2）． 一、单选题 1．若等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 3．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）使二次根式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）下列式子中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·期中）若，则 ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 7．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简： ． 8．（24-25八年级上·上海·期末）已知，化简： ． 9．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简：＝ ． 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）使有意义的的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 12．（23-24八年级上·上海静安·期末）当时， . 13．（24-25八年级上·上海·期中）化简：（其中） ． 14．（24-25八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 15．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 三、解答题 16．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 17．下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 18．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 19．（22-23八年级上·上海·期中）化简： 20．已知实数满足，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式及其性质 （4知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 知识点02：二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 知识点03：二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 知识点04：化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 【题型1 二次根式的概念】 【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【变式1-1】下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：A、是二次根式，不符合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、2是二次根式，不符合题意； 【变式1-2】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中， 二次根式有：（x＞0），，，共3个． 【变式1-3】下列各式中，二次根式的个数有 （ ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B． 【解析】、、是二次根式，、、不一定是二次根式，当时就不是． 【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数． 【题型2二次根式有意义的条件】 【例2-1】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2） ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由；（2）由． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可． 【例2-2】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2） ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由； （2）由． 【总结】考查式子有意义的条件，式子有意义的时候式子的每一个部分都有意义． 【变式2-1】若有意义，则字母x的取值范围是(    ) A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 【答案】D 【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 【变式2-2】代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，且 解得， ∴ 【变式2-3】使有意义的自变量x的取值范围为 【答案】 【详解】根据题意， 解得： ①当时， 解得： 即： ①当时， 解得： 即： 故自变量x的取值范围为 【变式2-4】指出下列各式有意义时的取值范围． (1)； (2)． 【答案】(1) 且 (2)为一切实数 【详解】（1）解：要使有意义，则， 解得： 且 ， ∴的取值范围 且 ． （2）解：∵， 又∵， ∴， ∵要使有意义，则， ∴为任意实数时，都有意义， ∴的取值范围为一切实数． 【变式2-5】设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)且 【详解】（1）解：， 即， 故或， 解得或； （2）解：且， 即得， 解得； （3）解：由 解得且． 【题型3 求二次根式的值】 【例3-1】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8） ； （9）． 【答案】（1）18；（2）；（3）；（4）0；（5）14；（6）；（7）； （8）；（9）． 【解析】根据二次根式性质1即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方． 【总结】考查二次根式的性质1． 【例3-2】求下列二次根式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4；（2）5；（3）；（4）． 【解析】（1）；（2）； （3）；（4）． 【总结】考查二次根式的性质2，确保开方出来的结果非负． 【变式3-1】计算： ． 【答案】 【详解】． 【变式3-2】化简： ． 【答案】1 【详解】解：由数轴上点的位置可得：， ， 原式 ． 【变式3-3】如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于 ． 【答案】4 【详解】解：∵2、5、m为三角形三边， ∴， ∴原式， 【变式3-4】化简： ． 【答案】2 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴原式 ， 【题型4 化简二次根式】 【例4-1】已知，则二次根式化简后的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得： ∴ ∵ ∴ ∴ 【例4-2】化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）由二次根式非负性，可得， 原式=； （2）由二次根式非负性，结合，可得， 原式=； （3）原式=； （4）由二次根式非负性，即有，可得， 原式=． 【例4-3】化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）原式=； （2）原式，∴． 【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题． 【例4-4】把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变． （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）； （2）；（3）；（4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4） ． 【变式4-1】当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确 【变式4-2】化简二次根式：= ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 【变式4-3】若 ，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式4-4】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴原式=； （2）解：由二次根式非负性，即有，可得， 原式=； （3）解：原式=． 【变式4-5】化简：． 【答案】 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件得， ∴ ． 【变式4-6】设分别是三角形三边的长，化简：． 【答案】 【详解】解：∵分别是三角形三边的长， ∴，，， ∴原式 ． 【变式4-7】将x移到根号内，不改变原来的式子的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】（1）；（2）． 一、单选题 1．若等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】解：∵等式成立， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵x是整数， ∴或4或5， 原式或1， 故选：C． 3．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）使二次根式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式中被开方数不能是负数． 4．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）下列式子中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的概念进行分析判断． 【详解】解：A、中，，∴原式没有意义，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴原式一定是二次根式，故此选项符合题意； D、中，不一定是非负数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的定义，完全平方公式，理解二次根式的定义是解决问题的关键． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·期中）若，则 ． 【答案】3 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴要使成立，则需满足，即， ∴， ∴； 故答案为3． 6．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质进行化简即可，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了运用二次根式性质化简，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 8．（24-25八年级上·上海·期末）已知，化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次函数的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简：＝ ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是利用分母有理化和二次根式的性质进行化简． 先将被开方数的分子分母同乘分母进行分母有理化，再根据二次根式性质化简． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是理解二次根式有意义的条件：被开方数非负．根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：若有意义， 则有，解得． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，由题意可得，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海静安·期末）当时， . 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、不等式的性质 【分析】根据不等式的性质可得，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海·期中）化简：（其中） ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查化简二次根式，根据最简二次根式的定义，需将根式内的分母去掉，因此要根据的符号和被开方数的非负性判断出的符号，然后再化简． 【详解】解：，且， ， ． 三、解答题 16．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 【答案】(1)是二次根式 (2)根号下小于零，不是二次根式 (3)是三次根式，不是二次根式 (4)是二次根式 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式，正确把握定义是解题关键． （1）直接利用二次根式的定义得出答案． （2）直接利用二次根式的定义得出答案． （3）直接利用二次根式的定义得出答案． （4）直接利用二次根式的定义得出答案． 【详解】（1）是二次根式； （2），被开方数小于零，不是二次根式； （3），是三次根式，不是二次根式； （4）是二次根式． 17．下列各式有意义，求的取值范围． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)为任意实数 (3) (4)且 18．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：由二次根式非负性得， ∴， ∴； （3）解：由二次根式非负性得，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 19．（22-23八年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法，注意a、b取值范围是解题关键． 20．已知实数满足，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求整式的值，二次根式有意义的条件，二次根式的性质，由二次根式有意义的条件得，二次根式的性质得整理即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知： ， 解得：， ， ， ， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$