第03讲 实数的运算（2知识点+4大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第03讲 实数的运算（2知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点02：科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【题型1 实数的混合运算】 【例1-1】（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】根据实数的运算可进行求解． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键． 【例1-2】计算： ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】根据积的乘方法则，平方差公式即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了实数的运算，积的乘方法则，平方差公式，会逆用积的乘方法则是本题的关键． 【例1-3】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先根据算术平方根、立方根、绝对值的定义计算，再合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，掌握运算法则是解题的关键． 类比乘法对加法的分配率对根号前的数字先合并即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-2】计算∶． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、实数的混合运算、运用平方差公式进行运算、零指数幂 【分析】根据零指数幂，完全平方公式和平方差公式进行化简，求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了零指数幂，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算性质． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算实数的乘法，再计算实数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型2实数的大小比较】 【例2-1】（22-23七年级下·上海青浦·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据，即，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例2-2】）比较与的大小（参考数据：）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据得，，再根据两个负数比较大小其绝对值大的反而小得，进而可得结论． 【详解】解：， ． 因为， 所以， 所以． 【例2-3】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，即可求解； （2）作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为5． （2）解：， ， ， ， ． 【变式2-1】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： 10．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查的是实数大小比较，先对两个数进行平方计算，然后再进行大小比较即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：＜． 【变式2-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）比较大小： （填“＞”，“＝”，“＜”）． 【答案】< 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较被开方数的大小，然后根据两个负数的大小比较即可求解． 【详解】解：∵，， ∵ ∴，即， 故答案为：<． 【变式2-3】将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．先对各数化简，对无理数取近似值，再借助近似值在数轴上确定它们的大至位置即可．然后根据数轴上的数从左到右逐渐增大排列大小． 【详解】解：，， 如图所示： ∴ 【变式2-4】利用，比较与的大小． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ，即． 又， ． 【题型3 实数运算的应用】 【例3-1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 【例3-2】（23-24七年级下·上海闵行·期中）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 【答案】624 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键．由的定义为不大于的最大整数，624进行两次操作后变为4，625进行两次操作后变为5，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴对624进行两次操作后可变为4， 又∵，， ∴进行两次操作后可变为4的所以整数中，最大的是624， 即的最大值为624． 故答案为：624． 【例3-3】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【知识点】实数运算的实际应用、 阴影部分的周长和面积 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 【例3-4】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【知识点】实数运算的实际应用、有理数除法的应用 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 【变式3-1】（22-23七年级下·上海闵行·期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴第个式子为， ∴第个式子为 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键． 【变式3-2】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【知识点】实数的大小比较、实数运算的实际应用 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式3-3】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【知识点】算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 【变式3-4】小兰同学参加了“大美赣州，醉美欧潭”的绘画比赛．她在一张面积为的正方形图纸上绘了《翠浪塔》打算投稿，现有一个长方形信封，长、宽之比为，面积为． (1)小兰的绘画作品的边长为______． (2)小兰能将作品不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． (3)已知，，请你计算长方形信封的长．（结果精确到0.01） 【答案】(1)16 (2)小兰能将这张贺卡不折叠就放入此信封 (3)长方形信封的长约为 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，实数比较大小，熟知算术平方根的计算方法是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长方形信封的长和宽，再比较出长方形信封的宽与正方形边长的大小关系即可得到答案； （3）根据，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形图纸的面积为， ∴这个正方形图纸的边长为，即小兰的绘画作品的边长为； （2）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ， ，， ， ， ， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小兰能将这张贺卡不折叠就放入此信封． （3）解：∵， ∴， ， ∴长方形信封的长约为． 【题型4 科学记数法】 【例4-1】（2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示大于10的数，解题关键是掌握科学记数法的表示方法，将大于10的数写成的形式，其中，n等于原数的整数位数减去1． 【详解】解：∵亿； 故答案为： ． 【例4-2】（23-24七年级下·上海普陀·期末）用科学记数法表示0.00369，结果保留两个有效数字约为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．按照科学记数法的规则表示，然后保留两个有效数字即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4-3】用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． （1）将原数写成的形式，即可求解； （2）将原数写成的形式，即可求解； （3）将原数写成的形式，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）． （3） 【例4-4】某种缨小蜂体长约为，质量只有约． (1)用科学记数法表示上述两个数据； (2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？ 【答案】(1)， (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数、一元一次方程的应用，解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数和根据题意列出方程． （1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据“缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等”列方程求解即可． 【详解】（1）解：用科学记数法表示为， 用科学记数法表示为； （2）解：设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得 ， 解得， 答：只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等． 【变式4-1】2023年1月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰．已知该病毒的直径长120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】绝对值小于的负数也可以用科学记数法表示，一般形式为，其中根据题意，该病毒的直径长120纳米，即可用科学记数法表示． 【详解】依题意得：米． 故选： 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中熟练掌握科学记数法是解此题的关键． 【变式4-2】下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】将一个表示成科学记数法的数还原即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查科学记数法的还原，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键. 【变式4-3】某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米． （1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）； （2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？ （3）如果一粒沙子体积大约是0.036mm3，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？ 【答案】（1）3.334 5×1013m3；（2）1.90×104m；（3）9.26×1023 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】【分析】（1）首先把3 3345km3换算成33 345 000 000 000m3，再写成科学记数法． （2）沙漠的体积÷撒哈拉沙漠的长度÷沙层的深度＝撒哈拉沙漠的宽度． （3）沙漠的体积÷一粒沙子体积＝沙漠沙子的粒数． （1）33 345km3＝33 345 000 000 000m3＝3.334 5×1013m3； （2）3.334 5×1013m3÷4800000m÷366m≈1.90×104m． 答：沙漠的宽度是1.90×104m． （3）3.334 5×1013m3＝3.334 5×1022mm3， 3.3345×1022mm3÷0.036mm3＝9.26×1023（粒）． 答：沙漠中有9.26×1023粒沙子． 一、单选题 1．化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的性质去绝对值化简即可； 【详解】解：； 故选择：B 【点睛】本题考查了绝对值的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题的关键． 2．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，无理数的估算，化简绝对值，根据，化简绝对值合并同类项即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 3．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． 根据题目所给的定义，求解即可． 【详解】解：． 故选C． 二、填空题 4．已知和计算的值 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】解： 故答案为：． 5．比较大小： ．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较方法，用平方比较法或小数估算法来处理根号的比较题，平方比较法是解题的关键．先将两个数平方，根据被开方数越大，算术平方根越大的规律比较即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，涉及立方根、绝对值运算，先计算立方根和化简绝对值，再加减运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海普陀·期末）比较大小： ．（填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键． 先将写成，将写成，可得，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较它们的相反数即可得解． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：>． 8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查零指数幂、有理数的乘方，根据有理数的乘方和零指数幂的计算方法，可以解答本题． 【详解】解： ， 故答案为：0． 9．（23-24七年级下·上海·阶段练习）数轴上，表示的点到表示的点之间的距离是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴．用即可求解． 【详解】解：，数轴上，表示的点到表示的点之间的距离是： ， 故答案为：． 10．有一个如图的数值转换器，当输入的数是64时，输出的数是 ． 【答案】 【分析】根据实数的性质及算术平方根的定义即可求解． 【详解】输入64时，取算术平方根为=8，为有理数； 再去算术平方根为=，为无理数，故输出 故答案为：． 【点睛】此题主要考查程序的计算，解题的关键是熟知实数的性质及算术平方根的定义． 11．已知，是有理数，且，则 ． 【答案】 【分析】将等式的左边展开，根据，是有理数求得a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，且，是有理数， ∴a=﹣1，b=1， ∴ab=（﹣1）×1=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查实数的运算、代数式的求值，掌握实数的运算法则是解答的关键． 12．对于任意实数，可用表示不超过的最大整数．如，．现对进行如下操作：．这样对只需进行次操作后变为．类似的：对数字进行了次操作后变为，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算，算术平方根的运用，掌握算术平方根的计算是关键． 根据定义，由算术平方根的计算判定即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：4 ． 三、解答题 13．计算：. 【答案】 【分析】先根据去括号法则进行化简，然后根据实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握去括号法则、实数的加减运算是解题的关键． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求算术平方根，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用求算术平方根的计算方法计算即可； （2）先计算乘法、化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 15．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是实数的混合运算：二次根式性质、完全平方公式、零指数幂，解题关键是熟练掌握实数的相关运算． 根据二次根式性质、完全平方公式、零指数幂进行运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．（23-24七年级下·上海松江·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算：熟练掌握平方根的性质、立方根和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键． 先根据负整数指数幂、立方根、零指数幂和平方根性质计算，然后把化简后合并即可． 【详解】解： ． 17.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法的表现形式以及同底数幂的除法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据科学记数法的概念解答即可； （2）用橘子的质量除以一粒澳大利亚出水浮萍果实的质量即可求解． 【详解】（1）解：，，； （2）解：（个）， 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 18．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答． 【详解】解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算． 19．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)_______； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（）根据实数的新定义直接解答即可； （）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （）根据实数的新定义分别求出、和的值，进而代入计算即可求解； 本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴整数的值为，； （3）解：∵， ∴，， ∴，，， ∴原式 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 实数的运算（2知识点+4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样，我们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同样适用. 若a、b、c为实数，则有 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，实数混合运算的顺序为:先乘方和开平(立)方，再乘除，最后加减 对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简。 对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五人法”，按照所要求的精确度取近似值. 知识点02：科学记数法 把一个数表示成 a×(1≤|a|<10，a 是整数或小数，n 是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法，当a=1或a=-1时,“1”常省略不写如 0.000 000 001=，-1000 000=- 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便，对于绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如3.2×有六个整数位.对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个非零数字之间0的个数，如1.23×的小数点与左起第一个非零数字1之间有三个0. 【题型1 实数的混合运算】 【例1-1】（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）计算： 【例1-2】计算： ． 【例1-3】计算： (1)； (2) 【变式1-1】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）计算 【变式1-2】计算∶． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【题型2实数的大小比较】 【例2-1】（22-23七年级下·上海青浦·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【例2-2】）比较与的大小（参考数据：）． 【例2-3】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即 例如：比较与6的大小． 解： ，即， (1)直接写出的整数部分 (2)请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小． 【变式2-1】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： 10．（填“>”、“=”或“<”） 【变式2-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）比较大小： （填“＞”，“＝”，“＜”）． 【变式2-3】将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【变式2-4】利用，比较与的大小． 【题型3 实数运算的应用】 【例3-1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【例3-2】（23-24七年级下·上海闵行·期中）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 【例3-3】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【例3-4】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【变式3-1】（22-23七年级下·上海闵行·期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 【变式3-2】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【变式3-3】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【变式3-4】小兰同学参加了“大美赣州，醉美欧潭”的绘画比赛．她在一张面积为的正方形图纸上绘了《翠浪塔》打算投稿，现有一个长方形信封，长、宽之比为，面积为． (1)小兰的绘画作品的边长为______． (2)小兰能将作品不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． (3)已知，，请你计算长方形信封的长．（结果精确到0.01） 【题型4 科学记数法】 【例4-1】（2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 【例4-2】（23-24七年级下·上海普陀·期末）用科学记数法表示0.00369，结果保留两个有效数字约为 ． 【例4-3】用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 【例4-4】某种缨小蜂体长约为，质量只有约． (1)用科学记数法表示上述两个数据； (2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？ 【变式4-1】2023年1月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰．已知该病毒的直径长120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-2】下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ 【变式4-3】某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米． （1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）； （2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？ （3）如果一粒沙子体积大约是0.036mm3，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？ 一、单选题 1．化简的结果是（    ） A． B．1 C．2 D． 2．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 3．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 二、填空题 4．已知和计算的值 ．（结果精确到） 5．比较大小： ．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 6．计算： ． 7．（23-24七年级下·上海普陀·期末）比较大小： ．（填“＞”，“=”或“＜”） 8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 9．（23-24七年级下·上海·阶段练习）数轴上，表示的点到表示的点之间的距离是 ． 10．有一个如图的数值转换器，当输入的数是64时，输出的数是 ． 11．已知，是有理数，且，则 ． 12．对于任意实数，可用表示不超过的最大整数．如，．现对进行如下操作：．这样对只需进行次操作后变为．类似的：对数字进行了次操作后变为，那么的值为 ． 三、解答题 13．计算：. 14．计算： (1) (2) 15．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 16．（23-24七年级下·上海松江·期末）计算： 17.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 18．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 19．【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)_______； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$