精品解析：福建省福州市福清市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期八年级校内期中质量检测 数学学科试卷 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若中，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据，能作为直角三角形边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，点在数轴上，，，，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的实数是（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（ ） A. 10米 B. 11米 C. 12米 D. 13米 10. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _____． 12. 如图，在中，点、分别是边、的中点，，则______． 13. 如图，从一个大正方形中裁去面积为3和27的两个小正方形，则留下阴影部分面积的和为_____． 14. 如图，在正方形中，，为上的动点，为的中点，则的最小值为_____． 15. 如图，在网格上位置，则_____． 16. 如图，已知四边形为菱形，，，，则的长为_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 19. 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，AC⊥CD，求：四边形ABCD的面积. 20. 已知，，求的值． 21. 材料：如果平面直角坐标系内有两点，，那么这两点的横向（或纵向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示，即（或），那么根据勾股定理，其两点间的距离．例如：，，则． 解决问题： （1）如图，已知，，则两点的横向距离_____，纵向距离_____，根据勾股定理可得_____； （2）若点，点在轴上，，请根据上述材料，求点坐标； 22. 如图，在中，，，点为中点，以为边构造等边，连接并延长交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若四边形的面积为，求的长． 23. 如图，已知四边形为正方形，点在上，，点与点关于对称，连接． （1）求的度数； （2）连接，若，求长． 24. 某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． （1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作，交于点； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 25. 如图1，在矩形中，对角线，相交于点，点是上一点，，过点作于点，并延长交于点． （1）求的度数（用表示）； （2）如图2，连接，交于点． ①求证：； ②若，，求的长（用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级校内期中质量检测 数学学科试卷 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义，二次根式的被开方数必须是非负数 ∴， 解得． 2. 若中，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可求解． 【详解】解：∵平行四边形ABCD中，∠A=38°， ∴∠C=∠A=38°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键． 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．是最简二次根式，故本选项符合题意； D．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列各组数据，能作为直角三角形边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐个判断求解即可． 【详解】解：A、，故不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，故不能构成三角形，故不符合题意； C、，故不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，故能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 5. 如图，点在数轴上，，，，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的实数是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的长即可推出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点C， ∴， ∴点C表示的实数是， 故选：B． 6. 如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B、∵，， ∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、∵，， ∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意； D、∵，， ∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法，减法，乘法，除法，熟知二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法，乘法，除法进行计算即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 8. 已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 9. 学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（ ） A. 10米 B. 11米 C. 12米 D. 13米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为12米， 故选：C． 10. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，在中，点、分别是边、的中点，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点，， 是的中位线， ， 故答案为：2． 13. 如图，从一个大正方形中裁去面积为3和27的两个小正方形，则留下阴影部分面积的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：∵大正方形的边长， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，为上的动点，为的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称之最短路径问题及勾股定理，根据轴对称的性质确定出点E的位置是解答本题的关键． 先根据正方形的性质和轴对称的性质找出使取得最小值的点，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：正方形中，， ， 为的中点， ， 作关于的对称点为点，连接，交于点，连接交于点，连接， ， ， 当三点共线时， 有最小值为， ， 则的最小值为， 故答案为：． 15. 如图，在网格上位置，则_____． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了网络三角形．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性质，平移性质，是解题的关键． 平移到，连接，则，证明是等腰直角三角形，得，，在和中，根据，得． 【详解】解：如图，平移到，连接， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：45． 16. 如图，已知四边形为菱形，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点，使，连接、、作于点，由菱形的性质得，，，则和都是等边三角形，由，，推出，则，得CF=3，因为，推出，则，求得，则，证明得，，则，推出是等边三角形，得，再证明是等边三角形，进而证明，由，得，推出，即可得解． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接、、作于点， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的直角三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的比等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先化简各二次根式，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除法则求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 19. 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，AC⊥CD，求：四边形ABCD的面积. 【答案】36 【解析】 【分析】先运用勾股定理求出AC的长度,从而利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形,然后可将S四边形ABCD=S△ABC+S△AC进行求解. 【详解】∵AC⊥CD ∴AC==5， 故有AB2+BC2=32+42=52=AC2， ∴∠B=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×5×12=6+30=36． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的知识,比较新颖,解答本题的关键是判断出是直角三角形. 20. 已知，，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，灵活应用乘法公式变形，将已知式变形，是解题的关键． 直接将a，b代入求值比较麻烦，因此，可计算出 的值，将原式化为含有的式子，代入即可． 【详解】解：方法一： ； 方法二： ． 21. 材料：如果平面直角坐标系内有两点，，那么这两点的横向（或纵向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示，即（或），那么根据勾股定理，其两点间的距离．例如：，，则． 解决问题： （1）如图，已知，，则两点的横向距离_____，纵向距离_____，根据勾股定理可得_____； （2）若点，点在轴上，，请根据上述材料，求点坐标； 【答案】（1）；； （2）或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标间的距离，利用平方根解方程，实数的混合运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据题目所给两点间的距离公式求解即可． （2）设，根据点B的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴两点的横向距离，纵向距离，； 【小问2详解】 解：∵点在轴上， 设， ， ，即， 或， 或， ∴点坐标为或． 22. 如图，在中，，，点为中点，以为边构造等边，连接并延长交于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若四边形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， ，点为中点， ， 为等边三角形， ， ， 四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键； （1）根据30度角的直角三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，结合等边三角形的性质可得，即可证明结论； （2）连接，利用菱形的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质可得，勾股定理得出，然后根据建立方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 四边形为菱形， 垂直平分，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 23. 如图，已知四边形为正方形，点在上，，点与点关于对称，连接． （1）求的度数； （2）连接，若，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接，，根据对称的性质得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一的性质得出，根据正方形的性质可求出，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求出 ； （2）连接，过点作交于点，根据正方形的性质可得出 ，则点三点共线，则可得出，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出 ，可求，根据等角对等边得出，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 点与点关于对称 垂直平分 ， 四边形为正方形 ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，过点作交于点 四边形为正方形 ，， 点三点共线， ． 24. 某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． （1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作，交于点； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 【答案】（1） 如图所示，，即为所求; （2） 证明：如图所示，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，且点在上， ， ， ， 则四边形即为所求； （3） （方法不唯一，写出一种即可） 方法一：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ， 则即为所求做的分割线； 方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，连接交于点， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ， 则即为所求做的分割线． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，三角形的中线平分面积，平行四边形的判定及性质，熟练掌握以上知识点，画出适当的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义画出图形，作直线即可； （2）证明四边形是平行四边形，得到，进而通过即可完成证明； （3）方法一：作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；方法二：如图所示，作的中点，连接，过作交于，连接，则即为所求做的分割线；利用三角形中线平分面积和两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，完成证明（方法不唯一，写出一种即可）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图1，在矩形中，对角线，相交于点，点是上一点，，过点作于点，并延长交于点． （1）求的度数（用表示）； （2）如图2，连接，交于点． ①求证：； ②若，，求的长（用含，的式子表示）． 【答案】（1） （2） ①证明：取的中点，连接． 在矩形中，， ， ， ， ， ． ，， ，． ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据垂线定义得出，根据余角的性质得出； （2）①取的中点，连接，根据等腰三角形的判定得出，根据等腰三角形的性质得出．根据中位线的性质得出，．根据等腰三角形的判定得出，即可得出结论； ②取的中点，连接，设，根据中位线的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，根据，得出，求出x的值，即可答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 在矩形中，， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②取的中点，连接，设， ，， ， 又， ， ，由（2）可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在矩形中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $