精品解析：湖北省咸宁市崇阳县大集中学一分校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2025春大集中学一分校七年级期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ） A. 与是邻补角 B. 与是对顶角 C. 与是同位角 D. 与是内错角 2. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一艘船在B处遇险后向相距50海里位于A处的救生船报警．用方向和距离描述B处相对于A处的位置是（ ） A. 南偏西，50海里 B. 南偏西，50海里 C. 北偏东，50海里 D. 北偏东，50海里 4. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 6. 关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是平面直角坐标系上的两个点，轴，且点B在点A的右侧．若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 定义为不超过x的最大整数，如，，，对于任意实数x，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若方程组的解满足，则k的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，则在下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是______． 12. 已知有理数a，b满足，则______． 13. 如果，，那么x=________． 14. 我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是______． 15. 如图，以O为顶点，x轴正半轴上选点、、、…作边长为1、2、3、…··的正方形、，，…，其中、、…在y轴的正半轴上．则点的坐标为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 解方程组 （1） （2） 18. 如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：．请将下面的证明过程及理由补充完整： 证明：∵，（已知） ∴，（ ） ∵平分，（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵， ∴ ．（ ） ∴．（ ） ∴．（等量代换） 19. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）请根据题中所给的坐标，画出； （2）将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请直接写出点A，B，C所对应的点，，的坐标； （3）若点是三角形ABC内部一点，则经过（2）问的平移后得到对应点，求的值． 20. 已知一个数的两个平方根分别为和． （1）求的值； （2）如图在数轴上，若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧且满足，求的立方根． 21. 如图，在中，于点D，点E为边上一点，于点F，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 22. 某商家推出某种汽车模型，已知买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元， （1）求A型汽车模型和B型汽车模型的单价． （2）小明打算用120元（全用完）购买A、B两种汽车模型（A、B均购买），正好赶上商家对汽车模型价格进行调整，其中A型汽车模型上涨，B型汽车模型按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案？ 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“短距”为______； （2）若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； （3）若点为“完美点”，求点的“短距”． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为_______； （2）如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025春大集中学一分校七年级期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ） A. 与是邻补角 B. 与是对顶角 C. 与是同位角 D. 与是内错角 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，与是邻补角，故A正确； B、与的两边互为反向延长线，与是对顶角，故B正确； C、与的位置相同，与是同位角，故C正确； D、与是同旁内角．故D错误，符合题意． 2. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故C符合题意； A、B、D中的条件都不能判定， 故选：C． 3. 如图，一艘船在B处遇险后向相距50海里位于A处的救生船报警．用方向和距离描述B处相对于A处的位置是（ ） A. 南偏西，50海里 B. 南偏西，50海里 C. 北偏东，50海里 D. 北偏东，50海里 【答案】C 【解析】 【分析】根据方位角的概念以及确定位置的方法，可得答案． 【详解】由图知，遇险船B相对于救生船A的位置是北偏东，50海里， 故选C． 【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量：一个是方向角，一个是距离． 4. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用．代入字母的值计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点在（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0．因为点在轴上，故，则，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点在二象限， 故选：B． 6. 关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，正确求出y的值是解题关键． 把代入，求出y的值，再将x，y的值代入中，进而求出m的值即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 把代入，得 ， 解得． 故选：A． 7. 已知，是平面直角坐标系上的两个点，轴，且点B在点A的右侧．若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离以及数轴上两点的距离，由轴可知，、两点纵坐标相同，即可得到的值，再利用数轴上两点的距离公式，即可求出的值． 【详解】解：，是平面直角坐标系上的两个点，且轴， ， 点B在点A的右侧，且， ， ， 故选：B． 8. 定义为不超过x的最大整数，如，，，对于任意实数x，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是实数的性质，以及算术平方根．根据的定义进行计算即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 9. 若方程组的解满足，则k的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将两个方程相减后，整体代入法进行求解即可． 【详解】解： ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，则在下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质．通过作辅助线，得到，利用两直线平行，同旁内角互补，得到结果． 【详解】解：过A作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质．根据两直线平行内错角相等和含角的直角三角板的特点即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知有理数a，b满足，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，将式子变形为，可以求出的值，代入求解即可． 【详解】解：，a，b都为有理数， ， ，， ， 故答案为：1． 13. 如果，，那么x=________． 【答案】1.1664 【解析】 【分析】被开方数的小数向左移动2n位，对应的算术平方根的小数点向左移动n位，据此进行求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴x=1.1664， 故答案为1.1664． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根，明确被开方数的小数向左移动2n位，对应的算术平方根的小数点向左移动n位是解题的关键． 14. 我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据“九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设买甜果x个，买苦果y个，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 15. 如图，以O为顶点，x轴正半轴上选点、、、…作边长为1、2、3、…··的正方形、，，…，其中、、…在y轴的正半轴上．则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，读懂题意找到点坐标的规律是解题的关键．根据可知每三个点一圈进行循环，得到点位于轴上，再根据轴上点的坐标规律即可得到． 【详解】解：， 点位于轴上， 根据图中规律，，，，…， 坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程； （1）先求解立方根，绝对值，把减法化为加法运算，再计算即可； （2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴或， ∴或 17. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程点的解法是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 将①代入②得： ， 解得：， 将代入②得： ， 解得：， 原方程组的解为． 【小问2详解】 解： 得： ， 解得：， 把代入①得， ， 解得：， 所以方程组的解为． 18. 如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：．请将下面的证明过程及理由补充完整： 证明：∵，（已知） ∴，（ ） ∵平分，（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵， ∴ ．（ ） ∴．（ ） ∴．（等量代换） 【答案】两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等式的基本事实；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．根据平行线的判定与性质、角平分线的定义，再结合题目给出的证明思路解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵平分，（已知） ∴．（角平分线的定义） ∴．（等量代换） ∵， ∴．（同旁内角互补，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∴．（等量代换）． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）请根据题中所给的坐标，画出； （2）将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请直接写出点A，B，C所对应的点，，的坐标； （3）若点是三角形ABC内部一点，则经过（2）问的平移后得到对应点，求的值． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，根据平移方式确定点的坐标，点的坐标确定平移方式，代数式求值，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可； （2）根据平移的性质可得答案； （3）根据平移的性质可得点的对应点的坐标为，则可得，求出m，n的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到， ∴，，． 【小问3详解】 由平移得，点的对应点的坐标为， 由平移的性质得： 解得：， ∴． 20. 已知一个数的两个平方根分别为和． （1）求的值； （2）如图在数轴上，若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧且满足，求的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根的含义，求一个数的立方根，实数的混合运算，理解题意是关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）根据，先求解，可得，再根据立方根的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个数的两个平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴ ； ∴的立方根是； 21. 如图，在中，于点D，点E为边上一点，于点F，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ． ，， ． （2）的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质． （1）通过证明同位角相等来判定两直线平行； （2）先根据已知角求出相关角，再利用两直线平行同旁内角互补求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． ． 由（1）知： ． 的度数为． 22. 某商家推出某种汽车模型，已知买3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元， （1）求A型汽车模型和B型汽车模型的单价． （2）小明打算用120元（全用完）购买A、B两种汽车模型（A、B均购买），正好赶上商家对汽车模型价格进行调整，其中A型汽车模型上涨，B型汽车模型按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案？ 【答案】（1）一个A型汽车模型为5元，一个B型汽车模型为20元 （2）小明有2种不同的购买方案 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元，根据“3个A型汽车模型和2个B型汽车模型共需55元，买6个A型汽车模型和5个B型汽车模型共需130元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设一个A型汽车模型为x元，一个B型汽车模型为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：一个A型汽车模型为5元，一个B型汽车模型为20元； 【小问2详解】 解：设可以购买m个A型汽车模型和n个B型汽车模型， 依题意，得：， ∴， 又∵，均为正整数， ∴或， ∴小明有2种不同的购买方案，方案1：购买5个A型汽车模型，4个B型汽车模型；方案2：购买10个A型汽车模型，2个B型汽车模型． 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“短距”为______； （2）若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； （3）若点为“完美点”，求点的“短距”． 【答案】（1）1 （2）5 （3）1或2 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键． （1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可得； （2）根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得； （3）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据“短距”的定义求解即可得． 【小问1详解】 解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以点的“短距”为1， 故答案为：1． 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，，此时点的坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第二象限内，不符合题意； 综上，的值为5． 【小问3详解】 解：∵点为“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为1； 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为2， 综上，点的“短距”为1或2． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）点的坐标为________，点的坐标为_______； （2）如图2，连接，与轴交于点，连接，，求与的数量关系； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）设点，则可确定平移，从而可确定点D的坐标，由求得a的值，则可得C、D的坐标； （2）由平移得，得，结合已知与图形得；再由，可得，此即与的数量关系； （3）延长，交y轴于点F，连接，过点F作轴，过点D作轴，与交于点G，根据各个点的位置关系求出，再由已知面积关系可求得面积；分点P在x轴上方与下方两种情况，利用面积关系求得的长，即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：设点， ∵平移线段到线段，点的对应点为，点的对应点为， ∴点B向左平移3个单位长度再向上平移a个单位长度得到点C，点A按此平移得到点D，∴点D的坐标为， ∵， ∴， 解得：， 则点C的坐标为，点D的坐标为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由平移性质知：， ， ，， ； ， ， 即； 【小问3详解】 解：延长，交y轴于点F，连接，过点F作轴，过点D作轴，与交于点G，如图所示： ∵点，，， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵ ， ∴， ， ； ①当点P在x轴上方时，如图1， 由于， 解得：， ； ②当点P在x轴下方时，如图2， 由于， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，坐标与图形，三角形外角的性质，角的和差，割补法求图形面积等知识，注意分类讨论与数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $