精品解析：山东省淄博市临淄区（五四学制）2024—2025学年下学期期中质量检测八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量检测 初三数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组二次根式中，可化为同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】把四个选项中的式子化成最简二次根式后，根据同类二次根式的定义进行判断. 【详解】A、和被开方数不同，不是同类二次根式； B、和被开方数不同，不是同类二次根式； C、和被开方数相同，是同类二次根式； D、，被开方数不同，不是同类二次根式． 故选C． 【点睛】本题考查同类二次根式. 4. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项系数分别为3，， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和加法、除法法则，根据二次根式的性质和运算规则检查每个选项的计算是否正确即可． 【详解】解：对于A：∵，∴A错误． 对于B：∵，∴B错误． 对于C：∵，∴C正确． 对于D：∵，∴D错误． 故选：C． 6. 关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个解 B. 有两个解 C. 当时，有两个解 D. 当时，方程无实根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当时，才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得，即，当时，无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 7. 对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算如下：a※b＝，例如3※2＝＝，那么8※12的值为（　　） A. B. ﹣ C. D. ﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】根据a※b=，求出8※12的值为多少即可． 【详解】∵a※b=， ∴8※12=． 故选B． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 8. 甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原来的方程为，再利用根与系数的关系得出关于，及，之间的关系式即可解决问题． 【详解】解：设原来的方程为， 由题知， ，， 所以，， 所以原来的方程为， 则． 故选：B． 9. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设段的长为，  篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆，  垂直于墙的三段篱笆总长为，  在上有两扇宽为的小门（不用篱笆），   平行于墙的边的长度为 ，即，  花圃的面积为，  可列方程为 ． 10. 将一组数，，，，，按下列方式进行排列： ，，，； ，，，； …… 若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，先找出被开方数的规律，然后再求得第17行第2个数是几即可． 【详解】解：题中数字可以化成： ，，，； ，，，； ⋯； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， 第行第1个数为， ∴第17行第1个数为， ∴第17行第2个数为， ∴位置为的数是， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单． 12. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 13. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出和的值，因式分解后，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 14. 某商品经过两次价格下调后，单价从5元变为4.05元，则平均每次调价的百分率为_______. 【答案】10% 【解析】 【分析】设平均调价的百分率是x，则第一次调价后的价格是5（1-x），第二次后的价格是5（1-x）2，据此即可列出方程，从而求解． 【详解】设平均每次调价的百分率约为x， 由题意可列方程为：5（1-x）2=4.05， 解得：x1=1.9（不合题意舍去），x2=0.1， 那么平均调价的百分率为10%． 故答案为10%． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时需找等量关系是关键，要验根是否符合题意不得忘记． 15. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用min{a，b}的含义分类讨论：若x≥-x时，代入解方程即可，若x＜-x时，代入解方程即可. 【详解】解：①当x≥-x，即x≥0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=-x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴-x=x2-1 解得 ∵此时x≥0，故不符合，故舍去； ②当x＜-x，即x＜0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴x=x2-1 解得： ∵此时x＜0，故不符合，故舍去； 综上所述：方程min{x，-x}=x2-1的解是：. 【点睛】此题考查的是利用min{a，b}的含义进行分类讨论题，分类讨论时要注意先写清前提条件，解出方程后再根据前提条件判断方程的解是否满足即可. 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程， （1）先根据二次根式的乘法及去括号的法则将原式展开，然后将二次根式化简，再进行加减运算； （2）将原方程转化为，然后将方程左边的多项式进行因式分解，从而将原方程转化为两个一元一次方程，求解即可； 解题的关键：（1）掌握相应的运算法则和性质；（2）掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法）并能根据具体情况选择合适的方法求解． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 17. 求代数式的值，其中．下面是小明的解题过程，小明检查时发现有错误． （1）小明从第________步开始出错的，原代数式的值为________； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）二；4045 （2）； 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式判断第一步，再根据二次根式性质判断第二步即可； （2）先根据完全平方公式化简，再根据二次根式性质代入计算即可． 【小问1详解】 解：小明从第二步开始出错的， 时， ， ， ． 故答案为：二；4045． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握是解题关键． 18. 列一元二次方程解应用题 如图，在一个长为60米，宽为40米的矩形场地内修筑两条入口宽度相等均为x米的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形场地的一边平行，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204平方米．求：小路入口的宽度是多少米？ 【答案】小路入口的宽度是米 【解析】 【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解． 【详解】解：设小路入口的宽度是x米，则 ， 解得：，（不符合实际，舍去） 答：小路入口的宽度是米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 20. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】（1）2，， （2）阴影部分面积为； （3） 解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； 【小问2详解】 解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； 【小问3详解】 略 21. 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） （2）降价4元或36元 【解析】 【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0 解得：x=4或x=36． 答：每件应降价4元或36元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 22. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求的最小值， 解： ， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． （2）若，求的最小值． （3）已知，则的值为______． 【答案】（1） （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式； （2）提取系数后，再加一次项系数一半的平方，并减去，配成完全平方式，利用偶次方的非负性可知的最小值； （3）拆项后配成三个完全平方式，利用偶次方的非负性可得，，，据此求出、、的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 当时，有最小值； 【小问3详解】 解：， ， ， ，，， ，，， ，， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 【答案】（1）② （2）， 首先构造了如图2所示的图形（图形画法不唯一）， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为8， ， 解得：， 方程的正数解是； （3），， 【解析】 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据4个矩形的总面积为20，得，即可求出，根据中间围成的正方形边长为，即可求出，再根据，即可求得． 【小问1详解】 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为7， ， ， 解法正确的构图是②； 故答案为：②． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：， ， 个矩形的总面积为20， ， ， 解得：， 中间围成的正方形边长为， ， ，表示边长， ， 解得：， ，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量检测 初三数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组二次根式中，可化为同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个解 B. 有两个解 C. 当时，有两个解 D. 当时，方程无实根 7. 对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算如下：a※b＝，例如3※2＝＝，那么8※12的值为（　　） A. B. ﹣ C. D. ﹣ 8. 甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 将一组数，，，，，按下列方式进行排列： ，，，； ，，，； …… 若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 12. 方程的根为__________ 13. 已知，，则_____． 14. 某商品经过两次价格下调后，单价从5元变为4.05元，则平均每次调价的百分率为_______. 15. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 求代数式的值，其中．下面是小明的解题过程，小明检查时发现有错误． （1）小明从第________步开始出错的，原代数式的值为________； （2）求代数式的值，其中． 18. 列一元二次方程解应用题 如图，在一个长为60米，宽为40米的矩形场地内修筑两条入口宽度相等均为x米的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形场地的一边平行，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204平方米．求：小路入口的宽度是多少米？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 20. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 21. 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 22. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求的最小值， 解： ， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． （2）若，求的最小值． （3）已知，则的值为______． 23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $