专题05 正数和负数-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题05 正数和负数 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 3 题型探究 4 题型1、正数、负数、零的概念辨析 4 题型2、正数、负数的分类 5 题型3、正负数表示相反意义的量 6 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 7 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 9 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 10 基础通关 11 拓展提优 15 1.通过生活实例认识正数和负数，正确理解概念并进行判断和分类； 2.认识0的特殊性，理解0所表示的意义； 3.会用正负数表示相反意义的量； 4.会用正负数表示允许偏差及相关运算； 5.本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。 图1 图2 【思考1】同学们，图1中的“+”，“-”是什么意思？ 【思考2】同学们，图2中的“±”是什么意思？ 【思考3】同学们，0除了可以表示没有，还可以表示些什么呢？ 【课外阅读】 负数的历史可以追溯到古代中国。据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，并掌握了正负数的运算法则。在著名的中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入了负数及其加减运算法则，并给出了名为“正负术”的算法。三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献，他首先给出了正负数的定义，还规定了区分正负数的方法，即使用不同颜色的算筹来表示正数和负数。 负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。印度最早使用负数的是婆罗摩笈多，他在公元628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则。 然而，在欧洲，由于负数难以被很快赋予现实意义，所以当时许多欧洲人都抵制负数的引入，让负数在欧洲的接受过程变得“寸步难行”。直到公元1545年，意大利数学家卡当写下了一本关于负数概念的《大法》，负数才正式开始在欧洲流传开来。到了公元1637年，法国数学家笛卡尔在几何学中沿用了负数的概念，使得负数能够直观全面地被解释开来。总的来说，负数是人类在数学领域的一项重要发明，它的出现极大地丰富了数学语言，使得人们能够更准确地描述和解决实际问题。 1.正数与负数 1）正数：像8，6.66， +50这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像-17.59，，，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号。“”读作“正”，“” 读作“负”。 正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 注意： （1）不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：①-（-2）就是一个正数，+（-2）就是一个负数。②不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0。 （2）正数 > 0 > 负数. 2.正数和负数的运用： 1）“相反意义的量” 相反意义的量包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。 注意： ①用正、负数表示具有相反意义的量时，究竟哪一种意义为正，是可以任意选择的，当一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示；反之，亦然.（通常习惯上把“前进、上升、收入”等规定为正） ②描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词.如：零上与零下、前进与后退、海平面以上与海平面以下、上升与下降、增加与减少、盈利与亏损、向南和向北、收入与支出等. ③用正、负数表示具有相反意义的量，一定要说明数量和单位. ④用正、负数表示具有相反意义的量，在描述指定方向变化的情况时，一般地，用正数表示，也可以用指定方向的相反方向的负数表示.如：“体重减少5千克”=“体重增加-5千克”，“下降3米”=“上升-3米”，“盈利50元”=“支出-50元”. ⑤用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不相同. 2）用正负数表示允许偏差。 一般情况下，我们常用“a±b”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，±b表示在标准数量的基础上误差范围. 比如：红双喜的乒乓球产品参数中标注的直径是：40±0.05mm；这表示该乒乓球的标准直径为40mm，偏差为±0.05mm，这就是实际直径最大可以是（40+0.05）mm，最大可以是（40-0.05）mm，直径在这个范围内的乒乓球就是合格的。 3.“0”的特殊性 1）0既不是正数，也不是负数； 2）0是正数与负数的分界； 3）0是自然数； 4）0的意义：0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；0有时是一个数，比如是一个确定的温度；0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 4.常见名词：①非负数：正数和零统称为非负数；②非正数：负数和零统称为非正数。 题型1、正数、负数、零的概念辨析 【解题技巧】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。 例1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 例2．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 例3．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 变式2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 变式4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 题型2、正数、负数的分类 【解题技巧】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 例1．（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 例2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在，，，，0，，，中，负数的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： ． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）在1.5，，，，6，15%中，负分数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 题型3、正负数表示相反意义的量 【解题技巧】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 例3．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）某医院为了方便统计患者数目，用表示当天入院10名患者，那么当天有8名患者治愈出院，记作（   ） A． B．8 C．0 D． 变式1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 变式2．（2025·云南·模拟预测）北京时间3月15日12时11分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将四维高景三号02星发射升空，卫星发射任务获得成功极大增强了中国商业遥感领域在全球范围内的核心竞争力．若火箭发射点火前记作，则火箭发射点火后应记作（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·云南昭通·二模）毛主席在《沁园春·雪》一诗中写道：“惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚．”秦始皇于公元前221年攻灭齐国，完成统一中国之大业，建立皇帝制度，号称“始皇帝”；唐太宗于公元630年攻灭东突厥，收伏西域诸国，获尊“天可汗”称号．若将公元前221年记为年，则公元630年可记为（   ） A．年 B．年 C．409年 D．年 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 【解题技巧】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。 在地理计算中，在通常将某一城市的时间定为标准时间0，比它早的时间用正数表示，比它晚的时间用负数表示。例如：纽约比北京时间晚13小时，如果将北京时间定位标准时间，因此纽约的时差为-13小时。 温差是指某一地点最高温度与最低温度的差值。通常将零摄氏度作为温度的基准，零上的温度规定为正数，零下的温度规定为负数。例如：某地气温记录为-3℃至7℃，温差为10℃。 例1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 例2．（24-25七年级上·四川成都·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 例3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）月球表面的白天平均温度零上126℃记作，夜间平均温度零下150℃，记作，则月球表面白天与夜间的温差为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 变式2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 变式3．（24-25七年级上·广东珠海·期末）阿勒泰位于中国新疆维吾尔自治区北部，是一个充满自然美景的地区，四季温差明显，下面表格记录的是该地区某一年四个季节的气温变化情况，其中温差最大的季节是（　 ）      季节 春季 夏季 秋季 冬季 气温（℃） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 【解题技巧】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 例1．（2025·山东济宁·二模）某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）神舟上天，嫦娥奔月，天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航．某飞行器控制设备中精密机械零件的参数要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（   ） A．6499.02微米 B．6499.20微米 C．6500.02微米 D．6500.20微米 变式1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一种食品包装上标有“质量克克”，质检员随机抽检了袋，质量分别是克、克、克、克、克．不合格的袋数有(   ) A．2袋 B．3袋 C．4袋 D．5袋 变式3．（2025·吉林·一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是 ． 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 【解题技巧】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 例2．（24-25七年级上·海南海口·期中）学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出_______杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出______杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖0.5元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 例3．（23-24七年级上·江西南昌·期中）今年高考期间，某出租车驾驶员参加爱心送考活动，他从位于昆明北京路的家出发，在南北向的北京路上连续免费接送位高考考生，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位）； 第位 第位 第位 第位 第位 (1)接送完第位考生后，该驾驶员在家什么方向，距离家多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升．那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费元，超过的部分按每千米加元收费，在这过程中该驾驶员为位考生共节省了多少元车费？ 变式1．（2025·辽宁阜新·二模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 2．（24-25七年级上·江西上饶·期末）下列语句正确的是（     ） A．“”表示向东走 B．表示没有温度 C．可以表示正数 D．0既是正数也是负数 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．262 D． 5．（2025·河北·模拟预测）通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等．下列4个验光记录中，需要持续佩戴眼镜矫正视力的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2024七年级上·全国·专题练习）问题  判断下列各数哪些是正数，哪些是负数． ． 8．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）中国是历史上最早认识和使用负数的国家，成书于东汉前期的《九章算术》．在粮谷计算中，益实五斗记为斗，那么损实九斗记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 10．（2025·陕西·模拟预测）2月27日至3月25日，“深海一号”船携“蛟龙”号载人潜水器完成2025年技术升级后的首次装备试验任务．若“蛟龙”号上浮记作，则“蛟龙”号下潜记作（   ） A． B． C． D． 11．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 12．（24-25七年级上·山西运城·期末）“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下表为国外几个城市与北京的时差： 城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼 时差/小时 小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（   ） A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时 14．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 15．（20-21七年级上·广东深圳·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 17．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列各组量中，互为相反意义的量是（ ） A．上升与减少 B．增产10吨与减产吨 C．篮球比赛，胜5场与负3场 D．向东走3米与向南走3米 2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，， 正数集合{             } 整数集合{             } 分数集合{             } 非正数集合{             } 负分数集合{             } 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 5．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于零的数是正数；⑤字母a既是正数，又是负数．正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是某零件的加工尺寸要求，下列直径尺寸的产品（单位：）不合格的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）在数学活动课上，老师拿出11个杯子，将它们杯口朝上摆放在桌面上．如果每次只能且必须翻转3个，经过至少次翻转可以使得这11个杯子的杯口全部朝下．你认为的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 正数和负数 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 3 题型探究 4 题型1、正数、负数、零的概念辨析 4 题型2、正数、负数的分类 7 题型3、正负数表示相反意义的量 9 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 12 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 15 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 17 基础通关 21 拓展提优 30 1.通过生活实例认识正数和负数，正确理解概念并进行判断和分类； 2.认识0的特殊性，理解0所表示的意义； 3.会用正负数表示相反意义的量； 4.会用正负数表示允许偏差及相关运算； 5.本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。 图1 图2 【思考1】同学们，图1中的“+”，“-”是什么意思？ 【思考2】同学们，图2中的“±”是什么意思？ 【思考3】同学们，0除了可以表示没有，还可以表示些什么呢？ 【课外阅读】 负数的历史可以追溯到古代中国。据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，并掌握了正负数的运算法则。在著名的中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入了负数及其加减运算法则，并给出了名为“正负术”的算法。三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献，他首先给出了正负数的定义，还规定了区分正负数的方法，即使用不同颜色的算筹来表示正数和负数。 负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。印度最早使用负数的是婆罗摩笈多，他在公元628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则。 然而，在欧洲，由于负数难以被很快赋予现实意义，所以当时许多欧洲人都抵制负数的引入，让负数在欧洲的接受过程变得“寸步难行”。直到公元1545年，意大利数学家卡当写下了一本关于负数概念的《大法》，负数才正式开始在欧洲流传开来。到了公元1637年，法国数学家笛卡尔在几何学中沿用了负数的概念，使得负数能够直观全面地被解释开来。总的来说，负数是人类在数学领域的一项重要发明，它的出现极大地丰富了数学语言，使得人们能够更准确地描述和解决实际问题。 1.正数与负数 1）正数：像8，6.66， +50这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像-17.59，，，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号。“”读作“正”，“” 读作“负”。 正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 注意： （1）不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：①-（-2）就是一个正数，+（-2）就是一个负数。②不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0。 （2）正数 > 0 > 负数. 2.正数和负数的运用： 1）“相反意义的量” 相反意义的量包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。 注意： ①用正、负数表示具有相反意义的量时，究竟哪一种意义为正，是可以任意选择的，当一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示；反之，亦然.（通常习惯上把“前进、上升、收入”等规定为正） ②描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词.如：零上与零下、前进与后退、海平面以上与海平面以下、上升与下降、增加与减少、盈利与亏损、向南和向北、收入与支出等. ③用正、负数表示具有相反意义的量，一定要说明数量和单位. ④用正、负数表示具有相反意义的量，在描述指定方向变化的情况时，一般地，用正数表示，也可以用指定方向的相反方向的负数表示.如：“体重减少5千克”=“体重增加-5千克”，“下降3米”=“上升-3米”，“盈利50元”=“支出-50元”. ⑤用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不相同. 2）用正负数表示允许偏差。 一般情况下，我们常用“a±b”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，±b表示在标准数量的基础上误差范围. 比如：红双喜的乒乓球产品参数中标注的直径是：40±0.05mm；这表示该乒乓球的标准直径为40mm，偏差为±0.05mm，这就是实际直径最大可以是（40+0.05）mm，最大可以是（40-0.05）mm，直径在这个范围内的乒乓球就是合格的。 3.“0”的特殊性 1）0既不是正数，也不是负数； 2）0是正数与负数的分界； 3）0是自然数； 4）0的意义：0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；0有时是一个数，比如是一个确定的温度；0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 4.常见名词：①非负数：正数和零统称为非负数；②非正数：负数和零统称为非正数。 题型1、正数、负数、零的概念辨析 【解题技巧】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。 例1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 例2．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【答案】4 【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4． 例3．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确．故选： 变式2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误， ③可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B． 变式3．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 【答案】C 【分析】0既不是正数也不是负数，正确认识海拔0m的意义即可． 【详解】A、0是最小的正数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； B、0是最大的负数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意； D、海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查0的意义及其应用，明确海拔0m是与海平面高度相同，0是正负数的分界是解题的关键． 变式4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可． 【详解】 解：由题意得：“”所表示的数是， 故选：． 题型2、正数、负数的分类 【解题技巧】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 例1．（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 【答案】 ，，， ，， 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数都大于0，负数都小于0即可得解，熟练掌握正负数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：正数有：，，，；负数有：，，； 故答案为：，，，；，，． 例2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在，，，，0，，，中，负数的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查负数的认识，掌握负数的定义是解题的关键．先明确负数的概念，然后依次判断所给数字是否为负数． 【详解】解：在，，，，0，，，中，负数有，共 3个， 故选：C． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正数的定义，熟练掌握正数的定义是解题关键； 正数指的大于，根据定义逐一分析判断即可． 【详解】解：，，这个数是正数，既不是正数也不是负数； 故选：A 变式1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： ． 【答案】，，，，，； ，，，； ，，，，； ，，． 【分析】本题考查了正数概念，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类进行求解，即可解题． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 负数集合：，，，； 整数集合：，，，，； 正分数集合：，，． 故答案为：，，，，，；，，，；，，，，；，，． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）在1.5，，，，6，15%中，负分数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的分类以及负分数的定义，牢记负分数的定义是解题的关键． 负分数指的是小于0的分数，即分子、分母相乘的结果小于0的分数．这通常表现为分子为负数、分母为正数，或者分子为正数、分母为负数．例如，、等都是负分数．此外，负分数也可以转化为小数或带分数来表示． 【详解】解：负分数有和， 共2个． 故选：A 变式3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 题型3、正负数表示相反意义的量 【解题技巧】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数是表示具有相反意义的量，结合题意求解即可． 【详解】解：若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作， 故选：A． 例3．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）某医院为了方便统计患者数目，用表示当天入院10名患者，那么当天有8名患者治愈出院，记作（   ） A． B．8 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．根据正数和负数表示相反意义的量，增加用正数表示，可得减少的表示方法． 【详解】解：用表示当天入院10名患者，那么当天有8名患者治愈出院，记作， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 变式2．（2025·云南·模拟预测）北京时间3月15日12时11分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将四维高景三号02星发射升空，卫星发射任务获得成功极大增强了中国商业遥感领域在全球范围内的核心竞争力．若火箭发射点火前记作，则火箭发射点火后应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，若火箭发射点火前记为负，则火箭发射点火后记为正，由此即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：若火箭发射点火前记作，则火箭发射点火后应记作， 故选：A． 变式3．（2025·云南昭通·二模）毛主席在《沁园春·雪》一诗中写道：“惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚．”秦始皇于公元前221年攻灭齐国，完成统一中国之大业，建立皇帝制度，号称“始皇帝”；唐太宗于公元630年攻灭东突厥，收伏西域诸国，获尊“天可汗”称号．若将公元前221年记为年，则公元630年可记为（   ） A．年 B．年 C．409年 D．年 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若公元的年份用“”表示，那么公元后的年份就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：将公元前221年记为年，则公元630年可记为年， 故选：A． 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 【解题技巧】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。 在地理计算中，在通常将某一城市的时间定为标准时间0，比它早的时间用正数表示，比它晚的时间用负数表示。例如：纽约比北京时间晚13小时，如果将北京时间定位标准时间，因此纽约的时差为-13小时。 温差是指某一地点最高温度与最低温度的差值。通常将零摄氏度作为温度的基准，零上的温度规定为正数，零下的温度规定为负数。例如：某地气温记录为-3℃至7℃，温差为10℃。 例1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【答案】 【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 【详解】解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·四川成都·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 例3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）月球表面的白天平均温度零上126℃记作，夜间平均温度零下150℃，记作，则月球表面白天与夜间的温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解 【详解】解：由题意得：； 故选：C ． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 变式2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 变式3．（24-25七年级上·广东珠海·期末）阿勒泰位于中国新疆维吾尔自治区北部，是一个充满自然美景的地区，四季温差明显，下面表格记录的是该地区某一年四个季节的气温变化情况，其中温差最大的季节是（　 ）      季节 春季 夏季 秋季 冬季 气温（℃） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 【答案】B 【详解】解：由题意得，春季的温差为：， 夏季的温差为：， 秋季的温差为：， 冬季的温差为：， 综上所述，温差最大的季节是夏季． 故选：B． 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 【解题技巧】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 例1．（2025·山东济宁·二模）某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正、负数的应用，熟练掌握正、负数的意义是解题的关键．利用正、负数的意义得出这种体育用品的质量范围是大于等于，小于等于，即可求解． 【详解】解：∵体育用品的质量为， ∴这种体育用品的质量范围是大于等于，小于等于， ∴这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是， 故选：A． 例2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）神舟上天，嫦娥奔月，天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航．某飞行器控制设备中精密机械零件的参数要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（   ） A．6499.02微米 B．6499.20微米 C．6500.02微米 D．6500.20微米 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得符合尺寸的范围是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义求得符合尺寸的范围后进行判断即可． 【详解】解：由题意可得符合尺寸的范围是6499.9微米微米， 则符合要求的是6500.02微米， 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是， 故选：． 【点睛】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力，能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量，明确表示的净含量范围是解答本题的关键． 变式2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一种食品包装上标有“质量克克”，质检员随机抽检了袋，质量分别是克、克、克、克、克．不合格的袋数有(   ) A．2袋 B．3袋 C．4袋 D．5袋 【答案】B 【分析】此题考查了正数与负数的意义．由标准500±5g，即可求得食品的质量合格的取值范围，继而可判断这种食品的质量是否合格． 【详解】解：因为标准克，所以当克食品的质量 克时，合格； 即当克食品的质量克时，合格， 质检员抽检了五袋，质量分别是克、克、克、克、克， 其中质量不达标的有：克、克、克，共袋． 故选：B． 变式3．（2025·吉林·一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意，写出10个数据中的一等品，即可得出答案． 【详解】解：∵满足时，评定该零件为一等品， ∴抽取10个零件的一等品有9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，共计7个， 故答案为：7． 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 【解题技巧】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 例2．（24-25七年级上·海南海口·期中）学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出_______杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出______杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖0.5元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)1455； (2)111； (3)这一周的工资总额是3425元． 【分析】此题考查正数和负数的应用问题，以及有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）根据题意列出算式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（杯）， 故答案为：1455； （2）解：销售量最多的一天为星期五，最少的一天为星期三， 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出（杯）， 故答案为：111； （3）解：（元． 答：该奶茶店工人这一周的工资总额是3425元． 例3．（23-24七年级上·江西南昌·期中）今年高考期间，某出租车驾驶员参加爱心送考活动，他从位于昆明北京路的家出发，在南北向的北京路上连续免费接送位高考考生，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位）； 第位 第位 第位 第位 第位 (1)接送完第位考生后，该驾驶员在家什么方向，距离家多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升．那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费元，超过的部分按每千米加元收费，在这过程中该驾驶员为位考生共节省了多少元车费？ 【答案】(1)南边千米处； (2)升； (3)元． 【分析】（）根据有理数加法即可求出答案； （）根据题意列出算式即可求出答案； （）根据题意列出算式即可求出答案； 此题考查了正负数计算的应用能力，关键是能准确理解并运用正负数的定义进行列式求解． 【详解】（1）（）， 答：接送完第位考生后，该驾驶员在家的南边千米处； （2）（升）， 答：在这个过程中共耗油升； （3）， ， （元）， 答：在这过程中该驾驶员为位考生共节省了元． 变式1．（2025·辽宁阜新·二模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【详解】解：（分）， 即小英的成绩记作分， 故选：C． 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)102个 (2)192分 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解； 【详解】（1）由题意得：因为， 所以平均每人跳绳个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）（分） 答：这个班跳绳总共获得192分． 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义便不难解答． 根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确． 故选：C 2．（24-25七年级上·江西上饶·期末）下列语句正确的是（     ） A．“”表示向东走 B．表示没有温度 C．可以表示正数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，相反意义的量，相反数的定义，根据知识点逐一可判断即可． 【详解】解：A、“”表示向规定的正方向走，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则是负数，若是负数，则是正数，若是0，则是0，原说法正确，符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了0的意义，难度不大． 根据0既不是正数也不是负数，0的特殊含义，得出结果． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数， 故①②错误，③正确， 在自然数中，0的意义是表示没有，在有理数中，0的意义表示正数与负数的分界，在进行运算时，0还有表示占位的意义等，故④错误； 所以正确的有③，共1个， 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．262 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，根据题意，结合正数和负数的意义即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：“”所表示的数是， 故选：D． 5．（2025·河北·模拟预测）通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等．下列4个验光记录中，需要持续佩戴眼镜矫正视力的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正数和负数，根据近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，求出各位同学近视的度数即可作答． 【详解】解：A、表示近视250度，近视超过200度，需要持续佩戴眼镜矫正视力； B、表示近视150度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； C、表示近视100度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； D、表示近视50度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； 故选：A． 6．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负数， ∴负数有个， 故选：C． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）问题  判断下列各数哪些是正数，哪些是负数． ． 【答案】正数有，负数有 【分析】本题考查了正数和负数，0既不是正数也不是负数．在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“－”，叫做负数． 【详解】解：正数有， 负数有． 8．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的意义，正确理解题意是解题的关键． 根据相反意义的量，正负数的定义即可作出判断． 【详解】解：为了表示具有相反意义的量，我们又引进了负数， 故选：C． 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）中国是历史上最早认识和使用负数的国家，成书于东汉前期的《九章算术》．在粮谷计算中，益实五斗记为斗，那么损实九斗记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：益实五斗记为斗，那么损实九斗记为斗， 故选：C． 10．（2025·陕西·模拟预测）2月27日至3月25日，“深海一号”船携“蛟龙”号载人潜水器完成2025年技术升级后的首次装备试验任务．若“蛟龙”号上浮记作，则“蛟龙”号下潜记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵“蛟龙”号上浮记作， ∴“蛟龙”号下潜记作， 故选：B． 11．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)增加衣服，因为莫斯科的温度比北京温度低 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，熟知正负数的意义是解题的关键． （1）用北京时间加上可得莫斯科的时间，据此可得答案； （2）用求出8400减去7500的结果，再把结果前面添上负号即可得到答案； （3）比较出莫斯科和北京的温度高低即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴此时莫斯科的时间为凌晨1点， ∴他看到天空的景象可能是繁星点点， 故选：B； （2）解：， ∴陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作， 故答案为：； （3）解：增加衣服，理由如下： ∵， ∴莫斯科的温度比北京的温度低， ∴应该增加衣服． 12．（24-25七年级上·山西运城·期末）“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的应用，根据温差最高温度最低温度列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选：D． 13．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下表为国外几个城市与北京的时差： 城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼 时差/小时 小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（   ） A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时 【答案】A 【分析】本题考查了正、负数的应用，有理数的加减法，求出 ，即可得到北京时间是月日时，再根据：)即可求出纽约时间． 【详解】 解：， ∴到达纽约时北京时间是月日时， ∵纽约与北京的时间差是，， ∴纽约时间是月日时， 故选：A． 14．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】A 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误；故选：A． 15．（20-21七年级上·广东深圳·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据净含量为60±5g可得该包装薯片的净含量，再逐项判断即可． 【详解】解：∵薯片包装上注明净含量为60±5g， ∴薯片的净含量范围为：55≤净含量≤65， 故D不符合标准， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正负数的定义，计算出净含量的范围是解答此题的关键． 16．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 17．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列各组量中，互为相反意义的量是（ ） A．上升与减少 B．增产10吨与减产吨 C．篮球比赛，胜5场与负3场 D．向东走3米与向南走3米 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确什么是相反意义的量．根据相反意义的量指的是就是两个数字，它们的正负符号相反，可以判断四个选项的是否正确． 【详解】解：A.上升和减少不具有相反意义，故选A错误； B.增产10吨与减产吨不是具有相反意义的量，故选项B错误； C.篮球比赛胜5场与负3场是相反的量，故选项C正确； D.向东和向南不具有相反意义，3和3也不具有相反意义，故选项D错误； 故选：C 2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示来判断． 【详解】解：张明前面的第2个同学李利记作， 表示张明后面的第一个同学丙， 故选：C． 3．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，， 正数集合{             } 整数集合{             } 分数集合{             } 非正数集合{             } 负分数集合{             } 【答案】，，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；， 【分析】本题考查有理数分类，根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、整数、分数、非正数、负分数分别填入相应的小括号内即可．解题的关键掌握：有理数分为整数和和分数；整数分正整数、、负整数；非正数是指零和负数；分数分为正分数、负分数；具体的正负数判断方法：需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“－” ，如果有“－”就是负数，否则是正数． 【详解】解：下列各数：，，，，，，，，，，， 正数集合{，，，，，，}， 整数集合{，，，，，}， 分数集合{，，，，，}， 非正数集合{，，，，，}， 负分数集合{，，}． 故答案为：，，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查正数负数定义，正分数定义等．根据题意利用正负数及正分数定义逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵在和之间有正数，例如， ∴①不正确， ∵在0与之间有负数，例如， ∴②不正确， ∵在和之间有很多个正分数， ∴③正确， ∵在和之间有正分数，例如， ∴④不正确， 故选：A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于零的数是正数；⑤字母a既是正数，又是负数．正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】加正号的数不一定是正数，如，同样，加负号的数不一定是负数，故①不正确，②正确；0既不是正数，也不是负数，故③不正确，④正确；字母a可以表示正数，也可以表示负数，但不能既是正数又是负数，故⑤不正确． 6．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是某零件的加工尺寸要求，下列直径尺寸的产品（单位：）不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，有理数的加减法，熟练根据正负数的意义得出合格尺寸的范围是解题的关键．根据正负数的意义得出合格尺寸的范围即可得出结论． 【详解】解：，， ∴合格尺寸的取值范围为， ∵， 故A符合题意． 故选：A． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 8．（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）在数学活动课上，老师拿出11个杯子，将它们杯口朝上摆放在桌面上．如果每次只能且必须翻转3个，经过至少次翻转可以使得这11个杯子的杯口全部朝下．你认为的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题意推出规律是解题的关键． 当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为k次，当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为次，当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为次，据此即可求解． 【详解】解：∵每次只翻转3个杯子，且翻转的次数要最小， ∴在杯子足够的情况下，每次尽可能的需要把杯口朝上的杯子进行翻转， 当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为k次， 当杯子数n满足（k为正整数），则前面每次翻转3个杯口朝上的杯子，一共翻转次，再翻转一个杯口朝下，两个杯口朝上的杯子，共1次，则剩下3个杯口朝上的杯子，最后再把3个杯口朝上的杯子翻转一次即可，即此时翻转次数最少为次， 当杯子数n满足（k为正整数），则前面每次翻转3个杯口朝上的杯子，一共翻转次，则还剩下5个杯子的杯口朝上，最少需要翻转3次，即此时翻转次数最少为次， ， ∴有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少 次翻转可使所有杯子的杯口朝下， 故答案为： C． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)每个班计划购书量为本 (2)，， (3) 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算，正确理解正负数的意义是解题的关键． （1）由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本． （2）由一班实际购书量与计划购书量的差本，二班实际购书量为本，三班实际购书量为本，与每个班计划购书量为本相加减即可求． （3）把每班实际数量相加，可得个班团体购书总数量，用总数除以，求出每次购买本的次数，以及需要单独购买的数量，根据每本书售价为元，列式计算可得答案． 【详解】（1）解：∵由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为， ∴每个班计划购书量为本， （2）解：由题意可得：∵一班实际购书量与计划购书量的差本， ∴一班实际购入本， ∵二班实际购书量为本， ∴二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， ∵三班实际购书量为本， ∴三班实际购书量与计划购书量的差为本， 故答案为：，，． （3）解：由上可得个班团体购书总数量为：本， ∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， 又∵一次购买达到本，其中本书免费， ∴一次购买达到本，只需要花本书的钱， ∴最低总花费为：元， ∴这个班团体购书的最低费用为． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 【答案】(1)不是，不是 (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断． （1）根据黄金集合的定义判断即可； （2）根据黄金集合的定义求解即可； （3）根据黄金集合的定义求解即可 【详解】（1）解：根据黄金集合的定义，，而集合中没有9， 故集合不是黄金集合； 对于因为，而集合中没有0， 故集合不是黄金集合， 故答案为：不是，不是； （2）解：因为，， 所以是黄金集合， 因为，，，， 所以是黄金集合； （3）解：因为， 所以是元素个数最少的黄金集合． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 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