精品解析：广东省惠州市博罗县2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题

2025年春季学期七年级教学质量阶段性诊断 七年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 点在平面直角坐标系中所在的象限是 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列命题是真命题的是（　　） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 相等的角是内错角 5. 若是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ） A. -5 B. -1 C. 2 D. 7 6. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线a，b被直线c所截，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则估计的值所在的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，轮船航行到B处观测小岛A的方向是北偏西32°，那么小岛A观测到轮船B的方向是( ) A. 南偏西32 ° B. 南偏东32° C. 南偏西58° D. 南偏东58° 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较2和大小：2____(填“＞”、“＜”或“=”)． 12. 若点A的坐标是，则它到y轴的距离是______． 13. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 14. 将一个直角三角板和一把长方形直尺按如图放置，若，则的度数是______． 15. 如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：； 17. 解方程组：． 18. 如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系试解答下列问题： （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形； （3）求的面积． 20. 在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由． 21. 阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，． （1）问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数． 分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______． （2）类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由． （3）请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由． 23. 已知的三个顶点位置分别是，，． （1）若，，求的面积； （2）如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积； （3）若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期七年级教学质量阶段性诊断 七年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是有理数，不符合题意； 故选：． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据算术平方根的定义化简即可判断． 【详解】解：A. =2，故本选项不合题意； B. =4，故本选项不合题意； C. ，故本选项不合题意； D. ，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 3. 点在平面直角坐标系中所在的象限是 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断点的坐标符号特征，根据点坐标与象限的特征解题，点的符号，则点在第一象限，点的符号，则点在第二象限，点的符号，则点在第三象限，点的符号，则点在第四象限，据此解题． 【详解】解： 点的横坐标，点的纵坐标， 在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查点坐标与象限的特征，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. 下列命题是真命题的是（　　） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 相等的角是内错角 【答案】A 【解析】 【分析】根据真命题的定义及图形的性质逐项分析即可． 【详解】A. 对顶角相等，正确，故A是真命题，符合题意； B. 两直线平行，内错角相等，故B是假命题，不符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意； D. 相等的角不一定是内错角，故D是假命题，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 若是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ） A. -5 B. -1 C. 2 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】∵是关于x、y的方程ax-3y=1的解， ∴把x＝1,y＝2 代入得：a-6=1， 解得：a=7， 故选：D． 6. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用加减消元法求解可得 【详解】解： ①-②，得：y=3， 将y=3代入①，得：x+6=6， 解得x=0， ∴方程组的解 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了加减消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7. 如图，直线a，b被直线c所截，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等可求，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角的性质和平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补． 8. 点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标的平移问题，熟悉坐标平移左减右加，上加下减是解题的关键． 由点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到即可求解． 【详解】根据点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到， 所以点． 故选：D． 9. 若，则估计的值所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的估算即可得． 【详解】， ，即， ，即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题关键． 10. 如图，轮船航行到B处观测小岛A的方向是北偏西32°，那么小岛A观测到轮船B的方向是( ) A. 南偏西32 ° B. 南偏东32° C. 南偏西58° D. 南偏东58° 【答案】B 【解析】 【详解】根据平行线的性质和方位图可得小岛观测到轮船的方向是南偏东32°．故选B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较2和大小：2____(填“＞”、“＜”或“=”)． 【答案】 【解析】 【分析】把整数2转化为，再比较大小即可． 【详解】∵2=， ∴2， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了实数的比较大小，对整数进行转化为根的形式是解题的关键． 12. 若点A的坐标是，则它到y轴的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离即可得到． 【详解】解：若点A的坐标是，则它到y轴的距离是， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离． 13. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 14. 将一个直角三角板和一把长方形直尺按如图放置，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．过C作，得到，根据平行线性质求出，，根据，即可求出答案． 【详解】解：过C作， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；根据算术平方根的概念可求，再根据数轴上距离的概念可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题查考了实数的混合运算．首先进行乘方、开平方和开立方运算，再根据去绝对值符合号法则去绝对值符号，最后进行加减运算即可求得． 【详解】解： ． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，对于三个方程的系数都相等的三元一次方程组，可以先将这三个方程相加，用化简后的方程分别减去原方程组中的三个方程即可求解．把这三个方程相加后，分别减去每一个方程则可求解． 【详解】解：，得， ∴，④ ，得， ，得， ，得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD． 【答案】 证明：如图，设BC与AE、GF分别交于点M、N. ∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠AMB=∠GNB=90°， ∴AE∥FG， ∴∠A=∠1； 又∵∠2=∠1， ∴∠A=∠2， ∴AB∥CD． 【解析】 【分析】首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系试解答下列问题： （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形； （3）求的面积． 【答案】（1），， （2） 如图，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． （1）观察图象，根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标； （2）将A、B、C按平移条件找出它的对应点、、，顺次连接各点即得到平移后的图形； （3）利用三角形的面积直角梯形的面积两个直角三角形的面积即可求出答案． 【小问1详解】 解：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 20. 在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由． 【答案】（1）8个成人，4个学生 （2）购团体票更省钱，理由： 如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元）， ， 购团体票更省钱． 答：购团体票更省钱． 【解析】 【分析】（1）设成人人数为，则学生人数为，根据总费用成人票价人数学生票价人数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出购买16张团体票的总钱数，与350比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设成人人数为，则学生人数为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总价单价数量求出购买16张团体票的总费用． 21. 阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 【答案】67 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键． 利用题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是， ∴的个位数是， 如果划去后面的三位得到数， 而，，由此确定的十位数是， ∴，即的立方根是． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，． （1）问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数． 分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______． （2）类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由． （3）请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）， （2）， 证明：如图， 过作，则， ，， ， ， ； （3）， 证明：如图， 过作，则， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角板中的两个锐角互余即可求解； （2）过作，则，根据平行线的性质可得，进而根据即可求解； （3）过作，则，根据平行线的性质可得，进而根据即可求解． 【小问1详解】 由题可得，， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角板中角度计算，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 23. 已知的三个顶点位置分别是，，． （1）若，，求的面积； （2）如图，若顶点位于第二象限，且轴，与轴相交于点，当沿轴正半轴方向平移，得到，且与原重叠部分为，求阴影部分的面积； （3）若点到轴的距离为4，点，当，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移性质，三角形的面积的计算，关键是正确确定组成图形关键点平移后对应点位置． （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据梯形的面积公式即可得到结论； （3）当在轴的左侧时，设，当在轴的右侧时，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：，，， 的面积； 【小问2详解】 解：，， ， 是等腰直角三角形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：由题意得，， 当在轴的左侧时，设， ， 解得：， 此时，或； 当在轴的右侧时，设， ， 解得：， 此时，或； 综上所述，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $