专题01 整式的加减 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题01 整式的加减 压轴题 题型一：概念难点辨析、填空 题型二：判断整式的次数 题型三：求值问题 题型四：不含某项问题 题型五：与某字母取值无关、定值问题 题型六：整式规律题；最值问题 题型七：整式加减的几何应用 题型八：新定义题 题型九：方格问题 题型十：整式加减的实际应用 题型一：概念难点辨析、填空 1．下列语句中错误的是（      ） A．数字0也是单项式 B．单项式-a的系数和次数都是1 C．若A和B都是关于x的三次整式，则A+B的次数一定不高于3次 D．不是整式 2．下列说法中错误的语句共有（    ） ①既是负数、分数、也是有理数；        ②是二次三项式； ③几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；    ④的最大值是1； ⑤不是整式；        ⑥的项是，，5； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知关于x、y的整式． (1)当时，该整式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求整式的值； (3)我们称各项的次数都相同的整式为齐次整式，如就是齐次整式，若整式是齐次四项式，求的值； (4)若该整式是一个六次三项式，求a的值，并把该整式按x的升幂排列． 题型二：判断整式的次数 4．如果A、B都是关于x的单项式,且A·B是一个九次单项式,A+B是一个五次整式, 那么A-B的次数（    ） A．一定是四次； B．一定是五次； C．一定是九次； D．无法确定. 5．设P是关于x的五次整式，Q是关于x的三次整式，则（    ） A．PQ是关于x的八次整式 B．PQ是关于x的二次整式 C．PQ是关于x的五次整式 D．PQ是关于x的十五次整式 题型三：求值问题 6．当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为 ． 7．若关于的关系式是关于的二次整式． (1)求的值； (2)若该整式的值是2，且规定表示不超过的最大整数，例如，请在此规定下求的值． 题型四：不含某项问题 8．若关于a、b的整式与的和不含，则m的值是 ． 9．整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型五：与某字母取值无关、定值问题 10．代数式4x3–3x3y+8x2y+3x3+3x3y–8x2y–7x3的值 A．与x，y有关 B．与x有关 C．与y有关 D．与x，y无关 11．x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）的值与x的取值无关，则﹣a+b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2 12．已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 13．已知无论x，y取什么值，整式的值都等于定值13，则 ． 14．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 15．（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017，求整式的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释. （2）已知整式，整式M与整式N之差是. ①求出整式N. ②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值. 题型六：整式规律题；最值问题 16．观察下列整式：，，，，，则第个整式为（    ） A． B． C． D． 17．已知整式． （1）若A的值与x无关，则m= ； （2）当时，． ①化简 ； ②当整式A取得最小值时，此时的值为 ． 题型七：整式加减的几何应用 18．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 19．把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为x，宽为y）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片（如图③），则分割后的两个阴影长方形的周长之和是 ： 20．把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 21．如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 22．将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 23．如图，一块长方形铁皮的长为米，宽为米将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个盒子底部的长和宽（用含、的代数式表示，要求化简）； (2)求这个盒子底部的面积（用含、的代数式表示，要求化简）； (3)将盒子的外部表面进行喷漆，若每平方米喷漆的费用为8元，求喷漆共需要的费用（用含、的代数式表示，要求化简）． 24．某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 题型八：新定义题 25．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； （2）若是“相伴有理数对”，则 ． 26．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即，若满足，则图2中y的值为 ． 27．观察下表：我们把表格中字母的和所得的整式称为“有特征整式”，例如： 第1格的“有特征整式”为，， 第2格的“有特征整式”为，， 回答下列问题： （1）第3格“有特征整式”为__________第4格的“有特征整式”为____________ 第格的“有特征整式”为__________． （2）若第格的“特征整式”与整式的和不含有项，求此“有特征整式”． 序号 1 2 3 4 …… 图形                                                                                                                                                                                                 …… 28．定义：已知M，N都是关于x的整式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的整式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 题型九：方格问题 29．3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15. （1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）； （2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________; （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程） 30．阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的整式★为，其中，，为3个不同的正整数，且整式的值为70，则的最大值为______． 题型十：整式加减的实际应用 31．A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表： 到C厂运价 到D厂运价 A粮库 每吨15元 每吨10元 B粮库 每吨12元 每吨12元 （1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为 t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元； （2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简） （3）当x=100时，求总运输费用． 32．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 33．如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半圆，下部由三个完全相同的长方形组成．窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃． (1)这样一扇窗户共需要铝合金_____米；（用含有x，y的代数式表示） (2)这样一扇窗户共需要玻璃_____平方米：（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x，y的代数式表示） (3)某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如下表： 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180元/米 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米；超过100平方米的部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算（取3）？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式的加减 压轴题 题型一：概念难点辨析、填空 题型二：判断整式的次数 题型三：求值问题 题型四：不含某项问题 题型五：与某字母取值无关、定值问题 题型六：整式规律题；最值问题 题型七：整式加减的几何应用 题型八：新定义题 题型九：方格问题 题型十：整式加减的实际应用 题型一：概念难点辨析、填空 1．下列语句中错误的是（      ） A．数字0也是单项式 B．单项式-a的系数和次数都是1 C．若A和B都是关于x的三次整式，则A+B的次数一定不高于3次 D．不是整式 【答案】B 【分析】根据单项式和整式的定义即可解答. 【详解】解：A、0是单项式，故A正确，不符合题意； B、单项式-a的系数是-1,次数是1，故B不正确，符合题意； C、若A和B都是关于x的三次整式，则A+B的次数等于3次或低于3次，故C正确，不符合题意； D、分母中含有字母，不是整式，故D正确，不符合题意. 故选B． 【点睛】本题考查了单项式和整式的定义，熟悉定义是解题关键． 2．下列说法中错误的语句共有（    ） ①既是负数、分数、也是有理数；        ②是二次三项式； ③几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；    ④的最大值是1； ⑤不是整式；        ⑥的项是，，5； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据有理数的分类、整式等知识进行判断即可． 【详解】解：既是负数，分数，也是有理数；故①正确； 不是整式；故②错误； 几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；故③正确； 的最小值是1；故④错误； 不是整式；故⑤正确； 的项是，，5；故⑥正确； 不正确的是②④，共2个， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的分类、运算，整式的定义，次数和项等相关概念，熟练掌握有理数的运算，整式的相关概念是解题的关键． 3．已知关于x、y的整式． (1)当时，该整式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求整式的值； (3)我们称各项的次数都相同的整式为齐次整式，如就是齐次整式，若整式是齐次四项式，求的值； (4)若该整式是一个六次三项式，求a的值，并把该整式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或 【分析】本题主要考查了整式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次整式． （1）将代入整式，再根据整式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的整式求值即可； （3）根据齐次整式的定义，由整式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分两种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原整式，并把该整式按x的升幂排列即可． 【详解】（1）解：当时，该整式为，此时该整式是一个四次三项式，所以该整式的次数为4，一次项为， 故答案为：4，； （2）解：当时，该整式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该整式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该整式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该整式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时，此时整式为， 即， 所以， 此时该整式为， 将该整式按x的升幂排列为； ②当为六次项，时， 此时整式为， 即，所以， 此时该整式为， 将该整式按x的升幂排列为． 题型二：判断整式的次数 4．如果A、B都是关于x的单项式,且A·B是一个九次单项式,A+B是一个五次整式, 那么A-B的次数（    ） A．一定是四次； B．一定是五次； C．一定是九次； D．无法确定. 【答案】B 【分析】根据题意可判断A、B的次数，再根据整式的定义即可解答． 【详解】解：∵A、B都是关于x的单项式，且A•B是一个九次单项式，A+B是一个五次整式， ∴A、B中一个是5次单项式，另一个是4次单项式， ∴A-B的次数一定是5次， 故选B． 【点睛】本题主要考查的是整式的定义，整式中每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个整式的次数． 5．设P是关于x的五次整式，Q是关于x的三次整式，则（    ） A．PQ是关于x的八次整式 B．PQ是关于x的二次整式 C．PQ是关于x的五次整式 D．PQ是关于x的十五次整式 【答案】C 【分析】根据整式的加减只能是同类项间的加减，非同类项之间不能进行合并，整式相加时次数等于次数高的哪个整式的次数可判断各选项，或根据P是关于x的五次整式，Q是关于x的三次整式，利用乘法法则得出P⋅Q的次数． 【详解】A. 两式相加只能为5次整式，故本选项错误； B、P−Q是只能为关于x的5次整式，故本选项错误； C、P+Q只能为关于x的5次整式，故本选项正确； D、P⋅Q只能为关于x的8次整式，故本选项错误； 故选C． 【点睛】此题考查整式，整式的加减，解题关键在于掌握运算法则. 题型三：求值问题 6．当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为 ． 【答案】5 【分析】根据二次三项式的次数和项数的定义，确定m值，再把m代回二次三项式中得到等式，再把x和y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果． 【详解】解：∵+（m+1）by﹣3是关于x、y的二次三项式， ∴当x＝1，y＝﹣1时，有a﹣（m+1）b﹣3＝0，m2＝1， ∴m＝±1， 当m＝﹣1时不合题意， ∴m＝1， ∴a﹣2b﹣3＝0， ∴a﹣2b＝3， ∴， ∴当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+＝＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查整式的次数项数的定义、整式的代入求值的相关计算，根据次数项数定义确定m的取值要考虑全面，这是本题的易错点． 7．若关于的关系式是关于的二次整式． (1)求的值； (2)若该整式的值是2，且规定表示不超过的最大整数，例如，请在此规定下求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了整式的定义，代数式求值，解题的关键是掌握整式的定义，理解题意． （1）根据已知的整式为二次整式可得整式不含项，且包含项，推出且，即可求解； （2）根据整式的值是2，可得，然后把所求代数式变形后代入，结合表示不超过的最大整数求解． 【详解】（1）解： ， 是关于的二次整式， 且， 解得； （2）由（1）可知整式为， 该整式的值是2， ， 即， 又， ． 题型四：不含某项问题 8．若关于a、b的整式与的和不含，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的和中不含某项的条件；求出整式的和为，由整式中不含某项的条件，即可求解；理解“整式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 不含， ， 解得：， 故答案为：． 9．整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先计算两个整式的差，根据结果不含与，即这两项系数为0，即可求出 【详解】解： ， 因为它们的差不含与， 所以，， ∴，， 故选B． 题型五：与某字母取值无关、定值问题 10．代数式4x3–3x3y+8x2y+3x3+3x3y–8x2y–7x3的值 A．与x，y有关 B．与x有关 C．与y有关 D．与x，y无关 【答案】D 【详解】根据整式的加减—合并同类项，可知=，因此整式与x、y均无关. 故选D. 11．x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）的值与x的取值无关，则﹣a+b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【答案】D 【详解】根据整式的加减法，去括号合并同类项可得x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）= x2+ax﹣y﹣bx2+x-9y-3=（1-b）x2+（a+1）x+（-1-9）y-3，由于值与x的值无关，可得1-b=0，a+1=0，解得a=-1，b=1，因此可求-a+b=2. 故选D. 点睛：此题主要考查了整式的值与字母无关形的题目，解题关键是明确无关的主要特点是系数为0，然后通过整式的化简，让相关的系数为0即可求解. 12．已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把，代入，进行化简，然后根据的值与x的取值无关，列出关于n的方程，解方程求出n即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．已知无论x，y取什么值，整式的值都等于定值13，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了整式的化简与整式的无关型，先将整式化简，再让含有x和y的项系数为0，得出m和n的值，即可求解． 【详解】解： ， ∵整式的值都等于定值13， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：7． 14．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 15．（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017，求整式的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释. （2）已知整式，整式M与整式N之差是. ①求出整式N. ②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值. 【答案】（1）小明说的有道理，理由见解析. (2) ①N=-2x2+ax-2x-1 ② a=． 【分析】（1）原式去括号合并同类项后得到最简结果，根据化简结果中不含x，得到x的值是多余的． （2）①根据题意，可得N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x），去括号合并即可； ②把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可． 【详解】（1）小明说的有道理，理由如下： 原式=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-1 =（1-2+1）x3+（-6+1+5）x2+（-7+3+4）x+（8+3-1） =10， 由此可知该整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理． （2）①N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x） =x2+5ax-3x-1-3x2-4ax+x =-2x2+ax-2x-1； ②∵M=x2+5ax-3x-1，N=-2x2+ax-2x-1， ∴2M+N=2（x2+5ax-3x-1）+（-2x2+ax-2x-1） =2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-1 =（11a-8）x-3， 由结果与x值无关，得到11a-8=0， 解得：a=． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． 题型六：整式规律题；最值问题 16．观察下列整式：，，，，，则第个整式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式，正确理解式子的规律是关键．根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中的次数是式子的序号；第二项的符号：第二项中的次数是序号的倍减，第二项系数是序号的次方，据此即可写出． 【详解】解：， ， ， ， …… 由上可知第个式子为：， 故选：C． 17．已知整式． （1）若A的值与x无关，则m= ； （2）当时，． ①化简 ； ②当整式A取得最小值时，此时的值为 ． 【答案】 3 6 【分析】（1）将化简成，即可求解 （2）①将代入中，直接整理化简即可 ②由，可知时，整式A取得最小值时，此时 【详解】（1） ∴，即 故答案为3 （2）①∵， ∴， ∴ ； 故答案为； ②∵，且， ∴当时，A有最小值， ∴ 故答案为6 【点睛】本题主要考查了整式的运算和化简，关键是要能够熟练合并同类项 题型七：整式加减的几何应用 18．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 【答案】/ 【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案． 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 19．把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为x，宽为y）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片（如图③），则分割后的两个阴影长方形的周长之和是 ： 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n，然后分别求出阴影部分的2个长方形的长宽即可． 【详解】解：设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n．如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵长方形的长为：， 宽为：， ∴长方形的周长为： ∵长方形的长为：， 宽为：， ∴长方形的周长为：， ∴分割后的两个阴影长方形的周长和为：， 故答案为：． 20．把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形的面积及小长方形的面积是解题的关键；将阴影部分的面积转化为长方形的面积减去7个小长方形的面积之和即可． 【详解】解：由所给图形可知，长方形的长为：，宽为：， 所以长方形的面积为：， 又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为：， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：． 21．如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 22．将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 【答案】0 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，掌握整式的加减的法则是解题的关键． 先根据周长公式列代数式，然后根据长方形的性质化简，然后比较即可解答． 【详解】解：由题意知，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为0． 23．如图，一块长方形铁皮的长为米，宽为米将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个盒子底部的长和宽（用含、的代数式表示，要求化简）； (2)求这个盒子底部的面积（用含、的代数式表示，要求化简）； (3)将盒子的外部表面进行喷漆，若每平方米喷漆的费用为8元，求喷漆共需要的费用（用含、的代数式表示，要求化简）． 【答案】(1)这个盒子底部的长为米，宽为米 (2)这个盒子底部的面积为平方米 (3)喷漆共需要的费用为元 【分析】本题考查了整式加减的应用，整式乘法的应用，根据题意正确列式计算是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：这个盒子底部的长为． 这个盒子底部的宽为． 答：这个盒子底部的长为米，宽为米． （2）解：． 答：这个盒子底部的面积为平方米． （3）解： ； ． 答：喷漆共需要的费用为元． 24．某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 【答案】(1) (2)①元；②该设计方案合乎要求，理由见解答 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出各区域的面积是解题的关键． （1）将两个扇形的面积相加，即可用含有，，的式子表示出绿地的面积； （2）代入，用含有，的式子表示出绿地的面积． ①利用美化这块长方形区域所需费用铺设每平方米五彩石所需费用（这块地的总面积绿地的面积）种每平方米草所需费用绿地面积，即可用含有，的式子表示出美化这块长方形区域所需费用； ②求出这块地总面积的，将其与绿地面积比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：绿地的面积为（平方米）． 故答案为：； （2）解：当时，． ①根据题意得： （元， 美化这块长方形区域共需元； ②该设计方案合乎要求，理由如下： 这块地总面积的是（平方米）． ， 该设计方案合乎要求． 题型八：新定义题 25．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 ； （2）若是“相伴有理数对”，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）根据“相伴有理数对”的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：（1），， ，， ， 成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”， ∴是“相伴有理数对”的有； （2）∵是“相伴有理数对”， ， ， 故答案为：， 26．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即，若满足，则图2中y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；先用含有，的代数式表示和，再表示出即可．根据绝对值和完全平方的非负性求出和的值即可解决问题． 【详解】由题知， ； ； 所以． 因为， 所以，， 则，， 所以． 故答案为：． 27．观察下表：我们把表格中字母的和所得的整式称为“有特征整式”，例如： 第1格的“有特征整式”为，， 第2格的“有特征整式”为，， 回答下列问题： （1）第3格“有特征整式”为__________第4格的“有特征整式”为____________ 第格的“有特征整式”为__________． （2）若第格的“特征整式”与整式的和不含有项，求此“有特征整式”． 序号 1 2 3 4 …… 图形                                                                                                                                                                                                 …… 【答案】（1）12x+9y，16x+16y，4nx+n2y；（2）24x+36y 【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据（1）中的结果可以写出第m格的“特征整式”，然后根据题意可以求得m的值，从而可以写出此“特征整式”． 【详解】解：（1）由表格可得， 第3格的“特征整式”为12x+9y，第4格的“特征整式”为16x+16y，第n格的“特征整式”为4nx+n2y， 故答案为：12x+9y，16x+16y，4nx+n2y； （2）∵第m格的“特征整式”是4mx+m2y， ∴（4mx+m2y）+（-24x+2y-5） =4mx+m2y-24x+2y-5 =（4m-24）x+（m2+2）y-5， ∵第m格的“特征整式”与整式-24x+2y-5的和不含有x项， ∴4m-24=0，得m=6， ∴此“特征整式”是24x+36y． 【点睛】本题考查整式的加减、整式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 28．定义：已知M，N都是关于x的整式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的整式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 题型九：方格问题 29．3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15. （1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）； （2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________; （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程） 【答案】（1）-b;(2) ：a=-2，b=2;(3)9. 【分析】（1）由每行、每列的3个代数式的和相等，列出关系式，即可确定a与b的关系； （2）由第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值； （3）根据“等和格"的定义列方程，然后整理代入，即可求出b的值. 【详解】解：（1）由题意得：-2a+a=3b+2a，即a=-b； 故答案为-b； （2）由题意得： 解得： 故答案为a=-2，b=2 （3）由题意得：，即： ，可得： ; 故答案为9. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等"列出等式. 30．阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的整式★为，其中，，为3个不同的正整数，且整式的值为70，则的最大值为______． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的值， （1）①根据规律，即可求解； ②根据规律可得，再求次数，即可求解． （2）再根据题意和★所处表格位置可得，由，，为个不同的正整数，可得的值，从而得出的值，然后代入中，即可得最大值． 【详解】（1）解：①由表格可知，；． 故答案为：；． ②由①中的规律可知，的次数为， 故答案为：． （2）解：根据题意和★所处表格位置，可得整式★：中的， ∴将代入中，即为 ∵为其中，，为个不同的正整数， ∴求的最大值时，最小即可， ∴， 又∵整式的值为，即， ∴， 解得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型十：整式加减的实际应用 31．A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表： 到C厂运价 到D厂运价 A粮库 每吨15元 每吨10元 B粮库 每吨12元 每吨12元 （1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为 t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元； （2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简） （3）当x=100时，求总运输费用． 【答案】（1）（400-x）、（10x-500）；（2）总运费为（6550-5x）元；（3）6050元． 【分析】（1）由B粮库有水稻400t全部运出，可得从B粮库运到D地的水稻=400t-从B粮库运到C地的水稻，则第一个空可解；先用x表示出从A粮库将水稻运往D地的吨数，再乘以10则第二个空可解． （2）据题意先用x分别表示出从A粮库将运往D地C地的水稻质量、从B粮库运到C地D地的水稻质量，再乘以相应的运费单价，最后相加即可用x表示出总费用． （3）把x=100代入到（2）所得到的代数式中求值即可． 【详解】（1）：∵从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨且B粮库有水稻400t全部运出 ∴从B粮库运到D地的水稻为（400-x）t； ∴由表格知从B粮库将水稻运往C、D地的运输费用分别为12x元和12(400-x)元； ∵D地能加工水稻350 ∴从A粮库运往D地的水稻为（t） ∴由表格知从A粮库将水稻运往D地的运输费用为（元）； 故答案为：（400-x）；（10x-500） （2）∵A粮库有水稻100t且全部运出 ∴从A粮库运往C地的水稻为100-(x-50)=150-x(t) ∴由表格知从A粮库将水稻运往C地的运输费用为15(150-x)元． ∴运输的总费用为： = =（元）． （3）把x=100代入到-5x+6550中得 -5x+6550=-500+6550=6050（元） 答：当x=100时，总费用为6050元． 【点睛】此题考查列代数式解决实际问题．关键是理解题意和表格，从中抽象出相等关系． 32．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 【答案】(1)①6；②27；③60 (2) (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费； （2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当时，该用户应缴纳的水费； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知： ①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：6； ②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：27； ③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：60； （2）由题意可得： （元）， ∴当时，该户应缴纳的水费为元， 故答案为：； （3）∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 33．如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半圆，下部由三个完全相同的长方形组成．窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃． (1)这样一扇窗户共需要铝合金_____米；（用含有x，y的代数式表示） (2)这样一扇窗户共需要玻璃_____平方米：（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x，y的代数式表示） (3)某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如下表： 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180元/米 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米；超过100平方米的部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算（取3）？ 【答案】(1)米； (2)平方米； (3)该公司在乙厂购买窗户更合算． 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）求出窗框的面积即可； （3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断； 【详解】（1）解：根据题意，得， 因此，一扇这种窗户共需要铝合金米； （2）解：根据题意，得 ， 因此，一扇这种窗户共需要玻璃平方米； （3）解：当，时，， ， 则共需铝合金米， 玻璃平方米； 根据甲厂报价，购进5扇这样的窗户需（元） 根据乙厂报价，购进5扇这样的窗户需（元） 因为， 所以该公司在乙厂购买窗户更合算． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$