题型4 定义新运算题型——三角函数-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第三部分初升高定义新题型练 9.在平面直角坐标系中， 对于三个实数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个 对图形F给出如下定 数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最 义：若图形F上的所有 小的数，例如M1,2,9}=1+2+9=4,min1, 点都在以原点为顶点 3 的角的内部或边界上， 2,-3}=-3,min(3,1,1}=1.请结合上述材 在所有满足条件的角 料，解决下列问题： 中，其度数的最小值称 (1)①M4(-2)2,22,-22}= 为图形的坐标角度，例 -3210 12 3主 ②min(sin30°，cos60°，tan45}- 如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°.现将二 (2)若min{3-2x,1+3x,-5}=-5,则x的取 次函数y=ax2(1≤a≤3)的图象在直线y=1下方 值范围为 的部分沿直线y=1向上翻折，则所得图形的坐标 (3)若M{-2x,x2,3}=2,求x的值； 角度a的取值范围是 ( (4)如果M2,1+x,2x=min{2,1+x,2xr},求x的值， A.30°≤a≤60° B.60°≤a≤90° C.90°≤a≤120 D.120°≤a≤150 10.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数 学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x 一√-0，就可以利用该思维方式，设√x=y,将原方 程转化为：y一y=0这个熟悉的关于y的一元二次 方程，解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你 用这种思维方式和换元法解决下面的问题， 5.x2y2+2x+2y=133 已知实数x,y满足+y+2x2y=51 ,求 4 x2+y2的值. 12.对于实数a,b,定义运算“⊙”如下：a⊙b=(a十 b)2-(a-b)2.若(m十2)⊙(m-3)=24,则m= 13.欧几里得的《原本》记载， 形如x2十ax=b2的方程 的图解法是：画R1△ABC, 使∠ACB=90,BC=号· AC=b,再在斜边AB上截取BD=号.则该方 程的一个正根是 A.AC的长 B.AD的长 11.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中 C.BC的长 D.CD的长 遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料 14.对于实数a,b,定义运算“※”如下：a※b=a2-ab, 摘录如下： 例如，5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(x-2) =6,则x的值为 题型四 定义新运算题型 三角函数 1.定义一种运算；sin(a十B)=sin acos B+cos asin B, 1 2-√3 sin(a3)=sin acos-cos asin例如：当a=45,8= =2一√5.类比这种方 2+√5(2+√3)(2-√3) 30时.m(45+30)=5×5+×号-5+E,则 法，计算tan22.5的值为 22 2 2 4 A sin15的值为 2.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想 C30° 22.5D 的重要性，在计算tan15时，如图，在Rt△ACB B 15DC,h45 B 中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD= A.√2+1 B.√2-1 AB,连接AD,得∠D=15°，所以tan15°=AC CD C.√2 61 衔接必刷题数学 3.已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 5.关于三角函数有如下公式： b 0c,边角总满足关系式：sin A-sin Bsin C sin(a十3)=sina·cos3+cosa·sin3①、cos(a十 3)=cosa·cosB-sina·sinB②、tan(a+3)= B tana十tan3,③： 1-tana·tanB D 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数 转化为特殊角的三角函数求值，如： 图1 图2 an105=tan(45+60)=an45t1an60 1-tan45°·tan60 (1)如图1，若a=6,∠B=45°，∠C=75°，求b的值： (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池 1+√3 =-(2+√3). 1-1×/5 ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若 CD⊥AB,AC=14米，AB=10米，sin∠ACB= 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下 面的实际问题： 求最观桥CD的长度。 如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建 筑物顶端D点的俯角a=60°，底端C点的俯角3= 75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为 42m,求建筑物CD的高. 4.对于三个数a,b,c,用M(a,b,c}表示这三个数的 中位数，用max{a,b,c}表示这三个数中最大数， 例如：M-2,-1,0}=-1,max{-2,-1,0}=0, maxf-2,-l,a=a(a≥-1) -1(a<-1) 解决问题： (1)填空：Msin45°，cos60°，tan60°}= 如果max{3,5一3.x,2x一6}=3，则x的取值范围 为 (2)如果2·M{2,x+2,x十4}=max{2,x+2, x十4}，求x的值： (3)如果M{9,x2,3.x-2}=max{9,x2,3.x-2}, 求x的值. 62衔接必刷题数学 可得：4=(-1)2-4×1·(-k2-1)=4k2+5 :2>≥0，∴.4k2+5≥5：.4>0，.方程有两个不相等的 角的两边分别过点A(-号，B(停.)作BELx轴 实数根：故答案选：B. 于E, .【答案】（号(2m≤且m≠号 1 'tan∠BOE=3 3 【解析】由题意可得y=x2+2(m-1)x+m2 ∴.∠BOE=60°， (1):方程x十2(m一1)x十m2=0有两个相等实数根， 根据对称性可知∠AOB=60 4=[2m-1D]2-4m2=0,解得m=名： .此时坐标角度a=60°， (2:y=m-}2+2m-1)r+m2=m-子化简 1 60°≤a≤90°； 故选：B 得x2+2(m-1)x+m2-m十 10.【解】 令xy=a,x十y=b,则原方程组可化为： 4 =0,:方程有两个正数 货吗 5a2+2b=133 -2(m-1)>0 根m2-m+号>0 解得：m<子且 ②-①得：11a2=275,解得：a2=25,代入②可得：b=4, [2(m-10]-4m2-m+子)≥0 方程组的解为：侣x侣。 6=4’ x2+y2=(x+y)2-2.xy=b2-2a,当a=5时，x2+y2= 8.【解】(1)①由题意得x(36-2x)=144,化简得x2-18x 6,当a=-5时，x2+y2=26,因此x2+y2的值为6 +72=0,解得x=6或12，即垂直于墙的一边的长为6米 或26. 或12米： ②由题意得S=x(36-2x)=-2.x2+36=-2(x-9)2+ 1.【解】1①M(-22,2,-2)=专 162,:-2<0,当x=9时，S有最大值，且最大值为 162平方米. min(sin 30'o605) (2)设所需的篱笔长为L米，由题意得L=2+200,即L (2)min(3-2x,1+3,-5=-5../3-2x≥-5」 11+3.x≥-5 =(2x)+ ‘≥2×V2×20=40,当且 解-2≤r≤4. （3M-2x,2,31=2,.-21+r2+3=2,解得x 仅当√2z= 200,即r=10时，L有最小值为40，若国 3 -1或3. 成面积为200平方米的花圆，需要用的篱笆最少是40米， (4)M{2,1+x,2x}=min{2,1+x,2.x7,又 9.【答案】B 【解析】 当a=1时，如图1中 2+1++2=r+1÷x13 3 x+1≤2z,解得1长x≤1z =1. 12.【答案】-3或4 【解析】根据题意得[(m十2)+(m一3)]2一[(m+2)- (m-3)]2=24,(2m-1)2-49=0,(2m-1+7)(2m-1 -7)=0,2m-1十7=0或2m-1-7=0,所以m1=-3, m2=4.故答案为一3或4， E 13.【答案】B -2 0 2 【解析】欧几里得的《原本》记载，形如x2十ax=b2的 图1 方程的图解法是：画R1△ABC,使∠ACB=90°，BC= :角的两边分别过点A(一1,1)，B(1,1),作BE⊥x轴 于E, 受AC=6:再在斜边AB上藏取BD=受，设AD=x,根 .BE=OE. ,∴.∠B0E=45°， 播勾股定理得：(x十受)2=2十（号）只，垫理得：x2十aa 根据对称性可知∠AOB=90 =b2,则该方程的一个正根是AD的长，故选：B. ∴.此时坐标角度m=90°： 14.【答案】1 当a=3时，如图2中， 【解析】由题意得，(x+1)2一(x+1)(x一2)=6，整理 得，3r+3=6,解得，x=1. 题型四 定义新运算题型—三角函数 1.【答案】 6-2 【解析】 sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos 2 图2 5m0-号×号号×名-9-62 4 88 参考答案 2.【答案】B A、D垂直距离为：BC·tana=42·tan60°=42√5， 【解析】本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法 CD=AB-425=84. 解决问题.如图，在R1△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45, 延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5,所以tan22.5 第四部分 初升高数学人门检测 =AC=1 1-2 CD1+√2(1+2)(1-√2) =√2-1.选B. 新高一数学入门检测卷 3.【解】（1)∠B=45,∠C=75∠A=60,”A 1.【答案】A c∴n60m6c6=26: b b C 【解析】第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对 称图形， 2rn识aS÷0 -AB 53 sin B'sin B= =14 第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形， 14 第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形， 吾∠B=60mB-品-，BD-号cD. 第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第3 AC2=CD2+AD2, 个图形共1个 2.【答案】C 196=CD+10-CD2..CD=8v3.CD=-3v3 【解析】己知等式变形得：(a2+6a+9)+(b-4h+4) (舍去)，.CD的长度为83米 =0, 4.【解】 1):sin45°=2 ,os60°=1 tan60°=3，∴M 即(a+3)2+(b-2)2=0, 可得a十3=0，b-2=0, (sin 45,cos 60",tan 60) 解得：a=一3，b=2, 2 则原式=（一3）2=9. max{3,5-3.x,2x-6}=3,则 8≥2分…r的取值 3≥5-3.x 3.【答案】A 范国为：号<<号： 【解析】：四边形ACBD是菱形，∠ACB=120°， (2)2·M2,x+2,x+4}=max2,x+2,x+4}, ∠DCA=号∠ACB=60,AB1CD.AD=BC=AC 分三种情况：①当x十4≤2时，即x≤一2，原等式变为： =2, 2(x+4)=2,x=-3: ②.x十2≤2≤x十4时，即一2≤x≤0，原等式变为：2X2 ∴∠CBA=∠CBA=(180°-∠ACB)=30,∠A0C x十4，x=0: =90°. ③当x十2≥2时，即x≥0，原等式变为：2(x十2)=x十4， ∴.0C x=0, 2AC-×2=1 综上所迷，x的值为一3或0： 由勾股定理得：A0=√22-12=√3， (3)不妨设1=9，y2=x2,y=3.x一2，画出图象，如图所 AC=AD,∠ACD=60°， 示：结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点 △ACD是等边三角形， 时，满足条件且M9,x2,3.x-2}=max{9,x2,3.x-2} ..CD=AC=2. yA=yB,此时x2=9,解得x=3或-3. .D0=CD-OC=2-1=1. ∴阴影部分的面积S=S利CA一SDOA= 60xX22 360 y1=9 X1Xv3=2红-8 32 4.【答案】D 【解析】：△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为 O.OB OE=2:3. :.AB:DE=OB:OE=2:3. :△ABCD△DEF, -3 y3=3x-2 =(，=（号2= S△DEF DE 5.【解】由题意可知：a=60°，8=75°，BC=42, SADEF= .AB=BC.tang=42tan7行=42×-tan30·tan45 tan30°+tan45° 故选：D. 1③ 5.【答案】 A =42× 3 【解析】3a2·2a=6a3,故选项A正确： 42(2+3), 1 √3 (-a2)3=-a5,故选项B错误； 3 (a十b)2=a2+2ah十b2,故选项C错误： 89