题型3 定义“新方法”题型——一元二次方程-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第三部分初升高定义新题型练 13.已知x,y为有理数，现规定一种新运算“￥”，满足 14.若正整数a,b,c(a<b<c)满足a2十b2=c2,则 x￥y=x2y2-5.例如：1￥2=12×22-5=-1. 称(a,b,c)为一组“勾股数”.观察下列两类“勾 (1)请计算下列各题：①2（一3）：②[(4*5) 股数”： +5() 第一类(a是奇数)：(3,4,5)：(5,12,13)：(7， 24,25):… (2)任意选择两个有理数，分别填入下列☐和○中 第二类(a是偶数)：(6,8,10)：(8,15,17)：(10， 进行运算，并比较它们的运算结果的大小，则 24.26): ☐*○○￥☐（用“>”“<”或“=”填空）. (1)请再写出两组勾股数，每类各写一组： (2)分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和 c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”. 题型三定义“新方法”题型 —一一元二次方程 1,定义运算：a★b=a1-b).若a,b是方程2-x+寻m (1)求a的值： (2)请判断方程：2x2一bx十a=0的根的情况. =0(m0)的两根，则b★b一a★a的值为 A.0 B.1 C.2 D.与m有关 2.定义运算：m★n=m2一mn一1.例如：4★2= 4×22一4×2一1=7.则方程1★x=0的根的情 况为 (） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3.定义新运算：对于任意实数m,n都有m☆n= mn十，等式右边是常用的加法、减法、乘法及 乘方运算.例如： 一3☆2=（一3）2×2+2=20.根据以上知识解决 问题：若2☆a的值小于0. 59 衔接必刷题数学 4,对于实数m、n,定义一种运算“※”为：m※=十. 8.(1)对于任意实数a和b,都有(a十b)2≥0，∴.a2 (1)求2※5与2※(-5)的值； 2ab+b2≥0，于是得到a2+b2≥2ab,当且仅当 (2)如果关于x的方程x※(a※x)=一 上有两个 a=b时，等号成立：(2)任意一个非负实数都可 写成一个数的平方的形式，即：如果a≥0，则a 相等的实数根，求实数a的值. (a)2,如：2=(2)2； 例：已知a>0,求证：a+分>E 证明：a>0,a+ -+( ≥2X a×1=2,a+号≥2，当且仅当a= √2a 2a 时，等号成立： 请解答下列问题：某园艺公 司准备围建一个矩形花雨， 其中一边靠墙（墙足够长）， 花画 另外三个边长篱笆围成，如 图所示，设垂直于墙的一边长为x米。 (1)若所用的篱笆长为36米，那么： ①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一 边的长为多少米？ ②设花圃的面积为S平方米，求当垂直于墙的一 5.将关于x的一元二次方程x2一px十q=0变形为 边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求 x=px一q,就可以将x2表示为关于x的一次多项 出这个最大面积： 式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x·x2= (2)若围成面积为200平方米的花圃，需要用的 x(px一q)=…,我们将这种方法称为“降次法”， 篱笆最少是多少米？ 通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据 “降次法”，已知：x2一x一1=0，且x>0,则x4 2x3十3.x的值为 A.1-5 B.3-√5 C.1+√5 D.3+√5 6.定义新运算a*b,对于任意实数a,b满足ab =(a十b)(a一b)一1，其中等式右边是通常的加 法、减法、乘法运算，例如4*3=(4十3)(4一3) 1=7-1=6,若xk=x(k为实数)是关于x的 方程，则它的根的情况是 ) A.有一个实根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 7.对于函数y=x”十xm,我们定义y=nx”-1+ m.xm1(m,n为常数). 例如y=x+2,则y=4x3+2x.已知：y=3x +(m-1)x2+m2x (1)若方程y=0有两个相等实数根，则m的值为 (2)若方程y=m一 有两个正数根，则m的取 值范围为 60 第三部分初升高定义新题型练 9.在平面直角坐标系中， 对于三个实数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个 对图形F给出如下定 数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最 义：若图形F上的所有 小的数，例如M1,2,9}=1+2+9=4,min1, 点都在以原点为顶点 3 的角的内部或边界上， 2,-3}=-3,min(3,1,1}=1.请结合上述材 在所有满足条件的角 料，解决下列问题： 中，其度数的最小值称 (1)①M4(-2)2,22,-22}= 为图形的坐标角度，例 -3210 12 3主 ②min(sin30°，cos60°，tan45}- 如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°.现将二 (2)若min{3-2x,1+3x,-5}=-5,则x的取 次函数y=ax2(1≤a≤3)的图象在直线y=1下方 值范围为 的部分沿直线y=1向上翻折，则所得图形的坐标 (3)若M{-2x,x2,3}=2,求x的值； 角度a的取值范围是 ( (4)如果M2,1+x,2x=min{2,1+x,2xr},求x的值， A.30°≤a≤60° B.60°≤a≤90° C.90°≤a≤120 D.120°≤a≤150 10.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数 学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x 一√-0，就可以利用该思维方式，设√x=y,将原方 程转化为：y一y=0这个熟悉的关于y的一元二次 方程，解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你 用这种思维方式和换元法解决下面的问题， 5.x2y2+2x+2y=133 已知实数x,y满足+y+2x2y=51 ,求 4 x2+y2的值. 12.对于实数a,b,定义运算“⊙”如下：a⊙b=(a十 b)2-(a-b)2.若(m十2)⊙(m-3)=24,则m= 13.欧几里得的《原本》记载， 形如x2十ax=b2的方程 的图解法是：画R1△ABC, 使∠ACB=90,BC=号· AC=b,再在斜边AB上截取BD=号.则该方 程的一个正根是 A.AC的长 B.AD的长 11.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中 C.BC的长 D.CD的长 遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料 14.对于实数a,b,定义运算“※”如下：a※b=a2-ab, 摘录如下： 例如，5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(x-2) =6,则x的值为 题型四 定义新运算题型 三角函数 1.定义一种运算；sin(a十B)=sin acos B+cos asin B, 1 2-√3 sin(a3)=sin acos-cos asin例如：当a=45,8= =2一√5.类比这种方 2+√5(2+√3)(2-√3) 30时.m(45+30)=5×5+×号-5+E,则 法，计算tan22.5的值为 22 2 2 4 A sin15的值为 2.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想 C30° 22.5D 的重要性，在计算tan15时，如图，在Rt△ACB B 15DC,h45 B 中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD= A.√2+1 B.√2-1 AB,连接AD,得∠D=15°，所以tan15°=AC CD C.√2 61参考答案 +1×21+02°=6，符合题意：C.第一行数字从左到右 依次为1,0,0,1，序号为1×23+0×22+0×21+1×2° (2)=,a0是勾股数” 9,不符合题意：D.第一行数字从左到右依次为0,1,1,1， 序号为0×23+1×22+1×2+1×2°=7，不符合题意： 当a为偶数时a2+B=a2+(件-1)=（件+1） 故选：B c2,∴.(a,b,c)是“勾股数“ 9.【解】101011=1×25+0×2+1×23+0×22+1×21+ 题型三定义“新方法”题型 1×2°=32+0+8+0+2+1=43. 一元二次方程 10.【解】(1)“Y”对应的数字x=25,则y=3×25-53 22,所以明文Y对应密文是V: 1.【答案】A (2)Y对应数字为25，当3.x-53=25时，x=26,对应明 【解析】 “ab是方程：2-x+子m=0(m<0)的两根， 文为Z: U对应数字为21，当3x=21时，x=7,对应明文为G: a+b=l,ab=子m A对应效字为1，当3x-53=1时，x=18,对应明文 ,∴.b★b-a★a=b(1一b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+ 为R: b-a)=ab-ab=0.故选A. N对应致字为14，当3x-25=14时，x=13,对应明文为 2.【答案】A M: 【解析】先根据斯定义得出方程，再根据一元二次方程 所以密文为YUAN的对应明文为ZGRM, 的根的判别式可得答案.考查学生的学习与理解能力，同 11.【答案】2020 时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是 【解析】由定义可得2④1=2+3=5.2⊕2=5-2=3,3 解题的关键. ⊕2=3+3=6,3⊕3=6-2=4,4⊕4=5,5⊕5=6，.2 根据定义得：1★x=x2-x-1=0.:a=1,b=一1，c= 021⊕2021=2022，.2021⊕2022=2022-2=2020. -1,∴.△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0. 12.【解】 1)39-3宁3÷3+3÷3*3÷3÷3- 原方程有两个不相等的实数根，故选A 3.【解】(1)2☆a的值小于0，.22a十a=5a<0,解得：a (-)-(（-3）)÷(-3)÷(3)÷(-3) <0. (2)在方程2.x2-bx十a=0中，4=(-b)2-4×2a=b2 （-3）=-21: -8u≥-8a>0,∴.方程2.x2-bx十a=0有两个不相等的 (2)50=5÷5*5÷5÷5÷5÷5=-55, 实数根 4.【解】(1)2※5=2×5+5=15：2※(-5)=2×(-5)+(-5) (-2)0=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2) =-15. ÷(一2)÷(-2)÷(-2)(-2)=0-2， (2)z涤a激)=[a+1D]=+1D(a+1)=-子，整 (-)°-()÷(-2)÷()÷(-) 理得：4(a十1)x2+4(a+1)x+1=0. (-2)÷（-2)÷(-2)÷(-)÷(-2) “关于x的方程x强（口※）=-}有两个相等的实数 报，/0+1≠0 4-16(a+1)2-16(a+1)=0a=0, (3)原式=14÷9×(-g）81+9=-2-81+9= 5.【答案】C -74 【解析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是 13.【解】(1)①根据题中的新运算，得2*（一3）=22×（一3）2 会将四次先降为二次，再将二次降为一次，先求 -5=36-5=31. 得x2=x十1，代入x1-2x3+3x即可得出答案 ②根据题中的新运算，得 x2-x-1=0r2=x+1,x=1/-1)24X1(- 2 [4*5)+51*(-言）=(4×52-5+5)*(-若) -1±5 00*（一6）=400×(-日)-5-0g0-5=g 2 9 9 ∴x-2x3+3x=(x+1)2-2.x(x+1)+3.x=x2+2.x+ (2)可选0与1.则0￥1=02×12-5=-5,1*0=12× 1-2x2-2x+3x=-x2+3x+1=-(x+1)+3.x+1 02-5=-5,故答案是“=” =2x, 14.【解】(1)第一组(a是奇数)：9,40,41（答案不唯一）：第 二组(a是偶数)：12,35,37（答不唯一）： 15,且>015原式=2x15 2 (2音a为寺载时山号6中声0为%最时b 2 1+√5，故选：C -1e=号+1 6.【答案】B a 【解析】根据新运算法则可得：xk=(x十k)(x一k)一 证明：当。为寺数时，。2+8=d2+(巴2） 1=x2-k2-1,则x*k=x即为x2一k2-1=x, 整理得：x2-x-2-1=0,则a=1,b=-1,c=一k2-1, 衔接必刷题数学 可得：4=(-1)2-4×1·(-k2-1)=4k2+5 :2≥0，∴4k2+5≥5：△>0，∴.方程有两个不相等的 角的两边分别过点A(,小，B(停，小，作BELr轴 实数根：故答案选：B 于E, 7.【管案】吃（2m<且m≠号 1 n DOE 【解析】由题意可得y'=x2+2(m一1)x十m2 .∠BOE=60°， (1):方程x2十2(m一1)x十m2=0有两个相等实数根， 根据对称性可知∠AOB=60 ∴4=[2m-1D]-4m=0,解得m=: ,.此时坐标角度a=60°， 1 60°≤a≤90°： (2)“y=m-了∴x2+2(m-1Dx+m2=m-了，化简 故选：B. 得x2+2(m-1)x十m2-m十=0，：方程有两个正数 10.【解】 令xy=a,x十y=b,则原方程组可化为： 5a2+2b=133 -2(m-1)>0 5a2+2b=133① 根m2-m+>0 冬+2公-51垫理得： 16a”+2b=408② 解得：m<子且 ②-①得：11a2=275,解得：a2=25,代入②可得：b=4, [2(m-1D]2-4m2-m+子≥0 成/a=-5 方程组的解为：或号 x2+y2=(x+y)2-2.xy=b2-2a,当a=5时，x8+y2= 8.【解】(1)①由题意得x(36-2x)=144,化简得x2-18x 6,当a=-5时，x2+y2=26,因此x2+y2的值为6 十72=0，解得x=6或12，即垂直于墙的一边的长为6米 或26. 或12米： ②由题意得S=x(36-2.x)=-2.x2+36=-2(x-9)2+ 1.【解】D①M(-22,2,-2)= 162,-2<0,.当x=9时S有最大值，且最大值为 162平方米 min(in 30,o 60,tan 45) (2)设所需的篱芝长为L来，由题意得L=2x十200即L (2)mim(3-2x,1+3x,-5)=-5,/3-2x>-5」 11+3x≥-5' -(2x)2+ 200 ≥2×2×20=40当且 解得-2≤x≤4. x （3)M1-2r231=2..-2x十x+3=2,解得x 3 仅当2x= 200,即x=10时，L有最小值为40，心若国 -1或3. 成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米. (4):M(2,1+x,2x}=min{2,1+x,2.x},又 9.【答案】B 2+1++2=+1.12 【解析】当a=1时，如图1中， 3 x+12z,解得1≤≤1 YA =1. 12.【答案】-3或4 【解析】根据题意得[(m十2)+(m-3)]2-[(m+2) (m-3)]2=24,(2m-1)2-49=0,(2m-1+7)(2m-1 -7)=0,2m-1十7=0或2m-1-7=0,所以m1=-3. m2=4.故答案为一3或4. E 2 13.【答案】B -2 【解析】欧几里得的《原本》记载，形如x2十ax=b2的 图1 方程的图解法是：画R1△ABC,使∠ACB=90°，BC :角的两边分别过点A(一1,1)，B(1,1),作BE⊥x轴 于E, 受，AC=6,弄在斜边AB上藏取BD=受设AD=t,根 ..BE=OE ,∴.∠BOE=45°. 据勾股定理得：(x+受)2=十（受），整理得：x2+a 根据对称性可知∠AOB=90 =b,则该方程的一个正根是AD的长，故选：B. ∴.此时坐标角度m=90°： 14.【答案】1 当a=3时，如图2中， 【解析】由题意得，(.x十1)2-(x+1)(x一2)=6，整理 得，3x+3=6,解得，x=1. 题型四 定义新运算题型—三角函数 1【答案】 6-@ 【解析】 sin15°=sin(45°-30)=sin45°cos30°-cos 2 图2 5如0-号×号号x}-962 4 88