题型2 定义新运算题型——有理数-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第三部分初升高定义新题型练 题型二定义新运算题型 有理数 1.某校园学子餐厅把WIF密码做成了数学题，小亮在 (2)计算f(1)·f(2)·f(3)…f(100)的值： 餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了 (3)计算f(1)·f(2)·f(3)…f(n)的值. 学子餐厅的网络，那么他输人的密码是 账号：Xue Zi Can Ting 5⊕3⊕2=151025 9⊕2⊕4=183654 8D6⊕3=482472 学子餐厅欢迎你！ 7⊕2⊕5=密码 2.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计 算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡 献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方 式来表示数字如图： 6.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表 示数，满十进一，例：12=1×10十2,212=2×10 数字形式 9 ×10+1×10+2:计算机也常用十六进制来表示 纵式 字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进 横式 一，它与十进制对应的数如表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用 十进制012891011121314151617 纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空.示例 十大进制o1289 A B C D E F1ou- 如图，上T= 例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11 ⊥T业 ,则兰|⊥T表示的数是 =43,10C对应十进制的数为1×16×16+0×16 +12=268,那么十六进制中14E对应十进制的 数为 3.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文 A.28 B.62 C.238 D.334 字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1， 7.智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰 一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中， 富的含义.例如，符号“三”有刚毅的含义，符号 人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相 “二三”有愉快的含义.符号中的“--”表示“阴”， 同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位. 根据符号记数的方法，右下图符号表示一个两位 “一”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符 号还有其他的含义.所有这些三行符号中，每一行 数，则这个两位数是 只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同. (1)所有这些三行符号共有 种 1 10 (2)若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有 4.一种新运算，规定以下两种变换： 一个阴和两个阳的三行符号”的概率. ①f(m,n)=(m,-n),如f(3,2)=(3,-2): ②g(m,n)=(-m,-n),如g(3,2)=(-3,一2)： 按照以上变换有f[g(3,4)门=∫（一3，一4） (-3,4),那么g[f(5,-6)]= 5.已知符号“”表示一种运算，它对一些数的运算 如下：=1+号，2)=1+号13)=1+号 f4)=1+是… (1)利用以上运算的规律写出f()= (n为正整数)： 衔接必刷题数学 8.利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了 (1)按上述方法将明文Y译为密文： 一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑 (2)若按上述方法译成的密文为YUAN,请找 色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数 出它的明文 字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生 AB IJ K L M 所在班级序号，其序号为a×23十b×22十c×2+d× 8910111213 2,如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，序号 V W X Y 为0×2+1×22+0×2+1×2”=5，表示该生为5班 181920212223242526 学生.表示6班学生的识别图案是 ▣ 图1 图2 0 9.我们常用的数是十进制，如4657=4×103+6× 102+5×101+7×10°，数要用10个数字，而电 子计算机用的二进制，只要两个数字：0和1，如 二进制中110=1×22+1×21+0×2°等于十进 11.定义一种运算，可以使a⊕b=n(n为常数)时， 制的数6,110101=1×2+1×24+0×23+1× 得(a+1)⊕b=n+3,a⊕(b+1)=n-2,已知1 22+0×21+1×2°，等于十进制的数53，那么二 ⊕1=2，则2021⊕2022= 12.规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的 进制中的数101011等于十进制中的哪个数？ 除法运算叫做除方，如2÷2÷2等，类比有理数 的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3 次方”，又如(-3)÷（一3）÷(-3)÷(-3)记作 (一3)④，读作“一3的圈4次方”。请你阅读以 上材料并完成下列问题： (1)直接写出计算结果：3⑧= () (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法 运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除 方运算如何转化为乘方运算呢？仔细思考，将下 列运算结果直接写成幂的形式.5⑦= (-2)0= 10.现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为 （3)计算：e÷()×(-2-（》°+2 人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实 文)是将字母表A、B、C、…、Y、Z这26个字母 依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数，加 密的过程是这样的：将明文字母对应的数字设 为x,将加密后的密文字母对应的数字设为y, 当1≤x≤8时，y=3.x:当9≤x≤17时，y=3x -25;当18≤x≤26时，y=3.x-53.如：D对应 为4，经过加密4→4×3=12,12对应L,即D变 为L:又如K对应11，经过加密11→3×11一25 =8,8对应H,即K变为H. 58 第三部分初升高定义新题型练 13.已知x,y为有理数，现规定一种新运算“￥”，满足 14.若正整数a,b,c(a<b<c)满足a2十b2=c2,则 x￥y=x2y2-5.例如：1￥2=12×22-5=-1. 称(a,b,c)为一组“勾股数”.观察下列两类“勾 (1)请计算下列各题：①2（一3）：②[(4*5) 股数”： +5() 第一类(a是奇数)：(3,4,5)：(5,12,13)：(7， 24,25):… (2)任意选择两个有理数，分别填入下列☐和○中 第二类(a是偶数)：(6,8,10)：(8,15,17)：(10， 进行运算，并比较它们的运算结果的大小，则 24.26): ☐*○○￥☐（用“>”“<”或“=”填空）. (1)请再写出两组勾股数，每类各写一组： (2)分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和 c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”. 题型三定义“新方法”题型 —一一元二次方程 1,定义运算：a★b=a1-b).若a,b是方程2-x+寻m (1)求a的值： (2)请判断方程：2x2一bx十a=0的根的情况. =0(m0)的两根，则b★b一a★a的值为 A.0 B.1 C.2 D.与m有关 2.定义运算：m★n=m2一mn一1.例如：4★2= 4×22一4×2一1=7.则方程1★x=0的根的情 况为 (） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3.定义新运算：对于任意实数m,n都有m☆n= mn十，等式右边是常用的加法、减法、乘法及 乘方运算.例如： 一3☆2=（一3）2×2+2=20.根据以上知识解决 问题：若2☆a的值小于0. 59衔接必刷题数学 (2)设交换1的个位上数与十位上的数得到的新数为t', (2)证明：设三位正整效K的个位数字为x,十位数字为 则t=10y十x,:1为“吉祥数”，.t'一t=(10y十x) y,百位数字为，它的“顺数”：1000：十600十10y十x,它 (10x+y)=9(y-x)=18,y=x+2,:1≤x≤y≤9，x 的“逆数”：1000+100y+60十x,.(1000十600+10y y为自然数，.满足条件的t为：13,24,35,46,57,68,79： +x)-(1000x+100y+60+x)=540-90y=90(6-y), ÷F18)-6F24)-音-号F35)-号，F46)-员 2 任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被 30整除，设四位正整数K的个位数字为x,十位数字为 F6)-FG8)-9)-0:号>号>> y,百位数字为g,千位数字为a,.(10000a十6000+ 7>3>1719 100g+10y+x)-(10000a+1000g+100y+60+x)=5 一品>吉方心将有”吉群数中0的最大值为 5 940-900x-90y=90(66一10z-y),∴.任意四位正整数 K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任 7.【解】(1)168不是“合和数”，621是“合和数” 意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一 168=12×14,2十4≠10，∴.168不是“合和数”，621= 定能被30整除 23×27,十位数字相同，且个位数字3+7=10，.621是 “合和数” 题型二 定义新运算题型一有理数 (2)设A的十位数字为m,个位数字为(m,1为自然数， 1.【答案】143549 且3≤m≤9,1≤1≤9)，则A=10m十，B=10m十10一n, 【解析】5①3⊕2=5×3×10000+5×2×100+5×(2+ .P(M)=m+n+m+10-n=2m+10,Q(M)=(m+n) 3)=151025 -（m+10-)1=12m-101.∴G(M0)=60 P(M) 9⊙2④4=9×2×10000+9×4×100+9×(2+4)= 8-青-4是垫就。 183654, 8④6④3=8×6×10000+8×3×100+8×(3+6)= 3≤m≤9，∴.8≤m十5≤14，k是整数，.m+5=8或 482472. m+5=12, .7④2④5=7×2×10000+7×5×100+7×(2+5)= m+5=8 143549. 或 (m+5=8 ①当m+5=8时，1151或m-51=2M=36 2.【答案】9167 ×34=1224或M=37×33=1221: 【解析】 根据算筹计数法，吉|⊥T表示的数是： 1m+5=12 ②当m+5=12时，m一5三1或m-5=3六M= 9167. 3.【答案】25 76×74=5623或M=78×72=5616:. 【解析】由题可知：十位上表示2个10，个位上表示5个 综上，满足条件的M有1224,1221,5624,5616. 1,所以这个两位数是25. 8.【解】(1)31568的“顺数”"为361568,31568的“逆数”为 315668,31568的“顺数”与“逆数”之差为361568-315 4.【答案】(-5，-6) 【解析】g[f(5,-6)]=g(5,6)=(-5,-6). 668=45900,45900÷17=2700,所以31568是“最住拍 档数”：设“最佳拍档数”N的十位数字为x,百位数字为 5.【】m=1+2 y,则个位数字为8一x,y≥x.V=5000十100y+10x十8 一x=100y+9x+5008,,N是四位“最佳拍档数”，∴.50 (2)式=早××号××…××× 98 000+6000+100y+10.x+8-x-(50000+1000y+ 101×102=5151: 100.x+60+8-x)=6000+100y+9x+8-1000y 1×2 100.x-68+x,=5940-90.x-900y=90(66-x-10y), 3)原式=×告×号× 4 6 3 ·大2 n ∴.66-x-10y能被17整除， ①.x=2,y=3时，66一x一10y=34,能被17整除，此时N -=(n+1)(n+2) 2 为5326： 6.【答案】D ②x=3,y=8时，66-x-10y=-17,能被17整除，此时 【解析】由题意得14E=1×16×16+4×16+14=334, N为5835： 故选：D ③x=5,y=1时，66-x-10y=51,能被17整徐，但x> 7.【解】(1)共有8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴： y,不符合题意： 阴，阳，阴：阴，阴，阳：阳，阴，阴：阳，阳，阴：阳，阴，阳；阴， ④.x=6,y=6时，66-x-10y=0,能被17整除，此时N 阳，阳：阳、阳、阳：故答案为：8： 为5662： (2)根据第(1)问一个阴、两个阳的共有3种，则有一个阴 ⑤.x=8,y=3时，66一x一10y=28,不能被17整除，但x >y,不符合题意： 布两个阳的三行特号的概率是受 ⑥当x=9,y=4时，66-x-10y=17,能被17整除，但x 8.【答案】B >y,不特合题意： 【解析】A.第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号 综上，所有符合条件的V的值为5326,5835,5662；故答 为1×23+0×22+1×21+0×2°=10，不符合题意：B.第 案为：是： 一行敦字从左到右依次为0,1,1,0，序号为0×23+1×22 86 参考答案 +1×21+02°=6，符合题意：C.第一行数字从左到右 依次为1,0,0,1，序号为1×23+0×22+0×21+1×2° (2)=,a0是勾股数” 9,不符合题意：D.第一行数字从左到右依次为0,1,1,1， 序号为0×23+1×22+1×2+1×2°=7，不符合题意： 当a为偶数时a2+B=a2+(件-1)=（件+1） 故选：B c2,∴.(a,b,c)是“勾股数“ 9.【解】101011=1×25+0×2+1×23+0×22+1×21+ 题型三定义“新方法”题型 1×2°=32+0+8+0+2+1=43. 一元二次方程 10.【解】(1)“Y”对应的数字x=25,则y=3×25-53 22,所以明文Y对应密文是V: 1.【答案】A (2)Y对应数字为25，当3.x-53=25时，x=26,对应明 【解析】 “ab是方程：2-x+子m=0(m<0)的两根， 文为Z: U对应数字为21，当3x=21时，x=7,对应明文为G: a+b=l,ab=子m A对应效字为1，当3x-53=1时，x=18,对应明文 ,∴.b★b-a★a=b(1一b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+ 为R: b-a)=ab-ab=0.故选A. N对应致字为14，当3x-25=14时，x=13,对应明文为 2.【答案】A M: 【解析】先根据斯定义得出方程，再根据一元二次方程 所以密文为YUAN的对应明文为ZGRM, 的根的判别式可得答案.考查学生的学习与理解能力，同 11.【答案】2020 时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是 【解析】由定义可得2④1=2+3=5.2⊕2=5-2=3,3 解题的关键. ⊕2=3+3=6,3⊕3=6-2=4,4⊕4=5,5⊕5=6，.2 根据定义得：1★x=x2-x-1=0.:a=1,b=一1，c= 021⊕2021=2022，.2021⊕2022=2022-2=2020. -1,∴.△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0. 12.【解】 1)39-3宁3÷3+3÷3*3÷3÷3- 原方程有两个不相等的实数根，故选A 3.【解】(1)2☆a的值小于0，.22a十a=5a<0,解得：a (-)-(（-3）)÷(-3)÷(3)÷(-3) <0. (2)在方程2.x2-bx十a=0中，4=(-b)2-4×2a=b2 （-3）=-21: -8u≥-8a>0,∴.方程2.x2-bx十a=0有两个不相等的 (2)50=5÷5*5÷5÷5÷5÷5=-55, 实数根 4.【解】(1)2※5=2×5+5=15：2※(-5)=2×(-5)+(-5) (-2)0=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2) =-15. ÷(一2)÷(-2)÷(-2)(-2)=0-2， (2)z涤a激)=[a+1D]=+1D(a+1)=-子，整 (-)°-()÷(-2)÷()÷(-) 理得：4(a十1)x2+4(a+1)x+1=0. (-2)÷（-2)÷(-2)÷(-)÷(-2) “关于x的方程x强（口※）=-}有两个相等的实数 报，/0+1≠0 4-16(a+1)2-16(a+1)=0a=0, (3)原式=14÷9×(-g）81+9=-2-81+9= 5.【答案】C -74 【解析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是 13.【解】(1)①根据题中的新运算，得2*（一3）=22×（一3）2 会将四次先降为二次，再将二次降为一次，先求 -5=36-5=31. 得x2=x十1，代入x1-2x3+3x即可得出答案 ②根据题中的新运算，得 x2-x-1=0r2=x+1,x=1/-1)24X1(- 2 [4*5)+51*(-言）=(4×52-5+5)*(-若) -1±5 00*（一6）=400×(-日)-5-0g0-5=g 2 9 9 ∴x-2x3+3x=(x+1)2-2.x(x+1)+3.x=x2+2.x+ (2)可选0与1.则0￥1=02×12-5=-5,1*0=12× 1-2x2-2x+3x=-x2+3x+1=-(x+1)+3.x+1 02-5=-5,故答案是“=” =2x, 14.【解】(1)第一组(a是奇数)：9,40,41（答案不唯一）：第 二组(a是偶数)：12,35,37（答不唯一）： 15,且>015原式=2x15 2 (2音a为寺载时山号6中声0为%最时b 2 1+√5，故选：C -1e=号+1 6.【答案】B a 【解析】根据新运算法则可得：xk=(x十k)(x一k)一 证明：当。为寺数时，。2+8=d2+(巴2） 1=x2-k2-1,则x*k=x即为x2一k2-1=x, 整理得：x2-x-2-1=0,则a=1,b=-1,c=一k2-1,