题型1 定义新运算题型——数的概念-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第三部分) 初升高定义新题型练 题型一定义新运算题型 数的概念 1.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我 19÷5=3…4,但19÷3=6…1，所以19不是 们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的 “差一数” 是 () (1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； A.205 B.250 C.502 D.520 (2)求大于300且小于400的所有“差一数”. 2.如M={1,2,x},我们叫集合M,其中1,2，x叫 做集合M的元素.集合中的元素具有确定性（如 x必然存在)，互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改 变元素的顺序，集合不变).若集合N={x,1,2?,我 们说M=N已知集合A=1,0a,集合B=日 a,合，若A=B则6a的值是 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 3.若把第n个位置上的数记为xm,则称x1,x2,x3, …,xm有限个有序放置的数为一个数列A.定义 数列A的“伴生数列”B是：y2,为，…，，其中 m是这个数列中第n个位置上的数，n=1,2,…,k 0,xm-1一x+1 且yn= ,并规定x0=m,xn十1=1. 1,xn-1≠x+1 如果数列A只有四个数，且0,2,4依次为3， 1,2,1,则其“伴生数列”B是 4.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两 种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们 利用整数的除法运算来研究一种数—一“差一数”. 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数 为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数” 例如：14÷5=2…4,14÷3=4…2，所以14 是“差一数”： 54 第三部分初升高定义新题型练 5.阅读理解： 6.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的 材料一：若三个非零实数x、y、之满足：只要其中 分解：n=p×q(p,q是正整数，且p≤q),在n的 一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称 所有这种分解中，如果p,9两因数之差的绝对值 这三个实数xy、心构成“和谐三数组” 最小，我们就称p×9是n的最佳分解.并规定： 材料二：若关于x的一元二次方程a.x十bx十c=0 F(m)=.例如：12可以分解成1×12,2×6或3 (a≠0)的两根分别为n,则n十2=一白， 02 ×4,因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12 的最佳分解，所以F(12)=3」 4 问题解决： (1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平 (1)请写出三个能构成“和谐三数组”的实数 方，我们称正整数a是完全平方数，求证：对任意 一个完全平方数m,总有F(m)=1: (2)若x1,x2是关于x的方程a.x2+bx十c(a、b、c (2)如果一个两位正整数t,t=10x十y(1≤x≤y 均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx十c(b、c ≤9，x,y为自然数)，交换其个位上的数字与十 均不为0)的解，求证：、x2、x3可以构成“和谐 位上的数字得到的新数减去原数所得的差为 三数组” 18,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求出所有 “吉祥数”中F(t)的最大值； 55 衔接必刷题数学 7.如果一个自然数M的个位数字不为C,且能分 8.在任意n(n>1且为整数)位正整数K的首位后 解成A×B,其中A与B都是两位数，A与B的 添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末 十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为 位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”.若K “合和数”，并把数M分解成M=AXB的过程， 的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是 称为“合分解” “最佳拍档数”.比如 例如：，609=21×29,21和29的十位数字相同， 1324的“顺数”为16324,1324的“逆数”为 个位数字之和为10，∴.609是“合和数”. 13264,1324的“顺数”与“逆数”之差为16324 又如：，234=18×13,18和13的十位数相同，但 -13264=3060,3060÷17=180,所以1324是 个位数字之和不等于10，.234不是“合和数”. “最佳拍档数”. (1)判断168,621是否是“合和数”？并说明 (1)请根据以上方法判断31568 (填 理由： “是”或“不是”)“最佳拍档数”；若一个首位是5 (2)把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即成 的四位“最佳拍档数”N,其个位数字与十位数字 M=A×B.A的各个数位数字之和与B的各个 之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有 数位数字之和的和记为P(M):A的各个数位数 符合条件的N的值； 字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值 (2)证明：任意三位或三位以上的正整数K的 记为QW.令G(0-80当G(M能被4 “顺数”与“逆数”之差一定能被30整除. 整除时，求出所有满足条件的M. 56参考答案 当>1时f) 第三部分初升高定义新题型练 “f)的因象过点C2,3)心2号=3，解得a=3 题型一定义新运算题型—数的概念 fx)=3 -(>1). 1.【答案】D 【解析】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数” 3 综上，f(x) x-(.x>1) 的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关健. x十2.(-2≤x≤1) 设两个连续奇数中的一个奇数为x,则另一个奇数为x十 (2②]=f(合）-是. 2,先得出由这两个奇敏得到的“幸福数”为4(x十1)，再看 四个选项中，能够整除4的即为答案， (3)当-2≤x≤1时，f(x)=x+2,由f(x)=1,得x十2 解：设两个连续奇数中的一个奇数为x,则另一个奇数为 1,解得x=一1 x十2，由这两个奇数得到的“幸福数” 当>1时-马由)=得子=1解得 为(x十2)2-x2=2(2.x十2)=4(x十1)，观察四个选项可 知，只有选项D中的520能够整除4，即520÷4=130 =4,综上，方程f(x)=1的解为：一1,4 故选：D. 变式2【答案】13 2.【答案】C 【解析】令f(x)-3x=t,所以f(.x)=3.x十t, 又因为f(t)=4,所以3t+t=4t=4, 【解析】 :A=B,a≠0,1≠0，么=0，=1.lal=a a 所以t=1,所以，f(x)=3x+1,所以f(4)=3×4+1 =13. 或么=0,1=a,a=1,∴b=0,a=1(含去)域6=0，a= a 故答案为：13. -1,∴.b-a=1,选C. 题型九 3.【答案】0,1,0,1 变式1【答案】C 【解析】当n=1时，x0=x1=1=x2,.y1=0,当n=2 【解析】当一3≤x≤0时，f(x)=x2+2x一1=(x+1)2 时，x1≠r3,∴y2=1,当n=3时，x2=x4,ys=0, -2, 当n=4时，x3≠x6=x1y4=1,∴“伴生数列”B是：0， 则当x=-1时，f(x)min=-2,当r=一3时，f(x)mx 1,0,1. 4-2=2,则f(x)∈[-2,2]： 4.【解】(1)49÷5=9…4：49÷3=16…1，∴.49不是 当0<x≤5时，f(x)=x-1∈(-1,4]： “差一数”，74÷5=14…4：74÷3=24…2，∴.74是 综上所述，f(x)∈[-2,4]. “差一数”： 故选：C (2),“差一数”这个数除以5余敦为4，.“差一数”这个 数的个位数字为4或9， 变式2【答案】(-∞，-2)U(-2,1) .大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314 【解析】根据分段函数的定义可知， 319、324.329,334、339、344、349、354、359、364、369、374、 当a≤-1时，不等式可化为(a+1)2>1, 379、384、389、394、399,“差一数”这个数除以3余数为 解得a<-2: 2,“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，大于 当-1<a<1时，不等式可化为2a十2>1， 300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、 解得-名<a<1 374、389. 当4>1，不等式可化为】-1>1，无解 5【解】：十日-号：言23是为谐三戴组（答 案不唯一)： 综上知a的取值花国为(-©，-2U(一子，1) (2)证明：：x1、x2是关于x的方程ax2十b.x十c(a、b、c均 故答案为：(-0，-2U(一号1) 不为0)的两根，x1十x2=一么 b 题型十 变式1【答案】[1.3)U(3,5)/(3.5)U[1,3) x1'x2x1·x2 =一名”是关于r的方程 【解析】根据题意，集合A表示大于等于1小于5，且不 等于3的实数的集合 b加+d,c均不为0)的解有-一合小结一名 故可用区间表示为：[1,3)U(3,5) 故答案为：[1,3)U(3,5). 上十上=，1、x可以构成“和谐三数组”。 变式2【答案】(-2,0)U(0,2] 6.【解】（们）对于任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正 【解析】集合x一2<x≤2且x≠0)用区间表示为（一2， 整敦)，：1一=0，nX1是m的最佳分解，.对任意 0)U(0.2]. 故答案为：(-2,0)U(0.21. 一个完金平方数m,总有Fm)=”=1: 85 衔接必刷题数学 (2)设交换1的个位上数与十位上的数得到的新数为t', (2)证明：设三位正整效K的个位数字为x,十位数字为 则t=10y十x,:1为“吉祥数”，.t'一t=(10y十x) y,百位数字为，它的“顺数”：1000：十600十10y十x,它 (10x+y)=9(y-x)=18,y=x+2,:1≤x≤y≤9，x 的“逆数”：1000+100y+60十x,.(1000十600+10y y为自然数，.满足条件的t为：13,24,35,46,57,68,79： +x)-(1000x+100y+60+x)=540-90y=90(6-y), ÷F18)-6F24)-音-号F35)-号，F46)-员 2 任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被 30整除，设四位正整数K的个位数字为x,十位数字为 F6)-FG8)-9)-0:号>号>> y,百位数字为g,千位数字为a,.(10000a十6000+ 7>3>1719 100g+10y+x)-(10000a+1000g+100y+60+x)=5 一品>吉方心将有”吉群数中0的最大值为 5 940-900x-90y=90(66一10z-y),∴.任意四位正整数 K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任 7.【解】(1)168不是“合和数”，621是“合和数” 意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一 168=12×14,2十4≠10，∴.168不是“合和数”，621= 定能被30整除 23×27,十位数字相同，且个位数字3+7=10，.621是 “合和数” 题型二 定义新运算题型一有理数 (2)设A的十位数字为m,个位数字为(m,1为自然数， 1.【答案】143549 且3≤m≤9,1≤1≤9)，则A=10m十，B=10m十10一n, 【解析】5①3⊕2=5×3×10000+5×2×100+5×(2+ .P(M)=m+n+m+10-n=2m+10,Q(M)=(m+n) 3)=151025 -（m+10-)1=12m-101.∴G(M0)=60 P(M) 9⊙2④4=9×2×10000+9×4×100+9×(2+4)= 8-青-4是垫就。 183654, 8④6④3=8×6×10000+8×3×100+8×(3+6)= 3≤m≤9，∴.8≤m十5≤14，k是整数，.m+5=8或 482472. m+5=12, .7④2④5=7×2×10000+7×5×100+7×(2+5)= m+5=8 143549. 或 (m+5=8 ①当m+5=8时，1151或m-51=2M=36 2.【答案】9167 ×34=1224或M=37×33=1221: 【解析】 根据算筹计数法，吉|⊥T表示的数是： 1m+5=12 ②当m+5=12时，m一5三1或m-5=3六M= 9167. 3.【答案】25 76×74=5623或M=78×72=5616:. 【解析】由题可知：十位上表示2个10，个位上表示5个 综上，满足条件的M有1224,1221,5624,5616. 1,所以这个两位数是25. 8.【解】(1)31568的“顺数”"为361568,31568的“逆数”为 315668,31568的“顺数”与“逆数”之差为361568-315 4.【答案】(-5，-6) 【解析】g[f(5,-6)]=g(5,6)=(-5,-6). 668=45900,45900÷17=2700,所以31568是“最住拍 档数”：设“最佳拍档数”N的十位数字为x,百位数字为 5.【】m=1+2 y,则个位数字为8一x,y≥x.V=5000十100y+10x十8 一x=100y+9x+5008,,N是四位“最佳拍档数”，∴.50 (2)式=早××号××…××× 98 000+6000+100y+10.x+8-x-(50000+1000y+ 101×102=5151: 100.x+60+8-x)=6000+100y+9x+8-1000y 1×2 100.x-68+x,=5940-90.x-900y=90(66-x-10y), 3)原式=×告×号× 4 6 3 ·大2 n ∴.66-x-10y能被17整除， ①.x=2,y=3时，66一x一10y=34,能被17整除，此时N -=(n+1)(n+2) 2 为5326： 6.【答案】D ②x=3,y=8时，66-x-10y=-17,能被17整除，此时 【解析】由题意得14E=1×16×16+4×16+14=334, N为5835： 故选：D ③x=5,y=1时，66-x-10y=51,能被17整徐，但x> 7.【解】(1)共有8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴： y,不符合题意： 阴，阳，阴：阴，阴，阳：阳，阴，阴：阳，阳，阴：阳，阴，阳；阴， ④.x=6,y=6时，66-x-10y=0,能被17整除，此时N 阳，阳：阳、阳、阳：故答案为：8： 为5662： (2)根据第(1)问一个阴、两个阳的共有3种，则有一个阴 ⑤.x=8,y=3时，66一x一10y=28,不能被17整除，但x >y,不符合题意： 布两个阳的三行特号的概率是受 ⑥当x=9,y=4时，66-x-10y=17,能被17整除，但x 8.【答案】B >y,不特合题意： 【解析】A.第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号 综上，所有符合条件的V的值为5326,5835,5662；故答 为1×23+0×22+1×21+0×2°=10，不符合题意：B.第 案为：是： 一行敦字从左到右依次为0,1,1,0，序号为0×23+1×22 86