第2编 第11讲 函数的基本性质-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知函 【变式1】（江苏连云港·质量检测）函数∫(x)= 数f(x)为R上的增函数，且对任意x∈R都有 [x2+2.x-1,-3≤x≤0 ff(x)-3x]=4,则f(4)= 的值域是 1x-1,0<x≤5 题型九分段函数求值、不等式问题 A.[-1,3] B.[-1,4] 【典例】（多选）（江苏连云港·质量检测）定义max C.[-2,4] D.[-2,2] (a,b,c为a,b,c中最大值，设h(x)=maxx2+l, 【变式2】（山西朔州·阶段练习）已知函数f(x) (x+1)2,x≤-1 x,7一x,则h(x)的函数值可以取 A.3 B.4 2x+2,-1<r<1,若f(a)>1,则a的取值 1 -1,x≥1 C.5 D.6 x 【答案】 CD 范围是 【解析】在同一坐标系内分别作出y=x2十1，y= 题型十区间的表示与定义 1 y=7一x,可得y=h(x)的图象（图中实线部分）， 【典例】（高一课时练习）用区间表示集合{x∈R 2<x≤4} y=x2+1 【答案】(2,4] 10 【解析】集合{x∈R2<x≤4}用区间表示为 (2,4].故答案为：(2,4]. 4 【变式1】（高一课时练习）将集合A={x1≤x<5, 所以h(x)的值域为[5，十∞)， x≠3}用区间表示为 结合选项可知CD正确，AB错误. 【变式2】（上海·高一专题练习）集合{x一2<x 故选：CD. ≤2且x≠0}用区间表示为 第11讲 函数的基本性质 知识点一函数的单调性 ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方 1.单调递增、单调递减的概念 向是否一致来描述函数性质的， 一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间D二A ③不能随意合并两个单调区间， 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2,当 ④有的函数不具有单调性， (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间 x1>x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 上的单调性？ 在区间D上是单调递增. 3.证明函数单调性的步骤 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2,当 (1)取值.设x1,x2是f(x)定义域内一个区间上 x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 的任意两个量，且x1<x2. 在区间D上是单调递减. (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、 知识点诠释：(1)属于定义域A内某个区间上. 有理化等)或作商变形。 (2)任意两个自变量x1,x2且x1<x2: (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系. (3)都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2). (4)得出结论. (4)图象特征：在单调区间上单调递增的图象从 4.函数单调性的判断方法 左向右是上升的，单调递减的图象从左向右是下 (1)定义法：根据单调递增、单调递减的定义，按 降的. 照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断. 2.单调性与单调区间 (2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上 (1)单调区间的定义 升或下降趋势，判断函数的单调性， 如果函数f(x)在区间D上是单调递增或单调递 (3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函 减，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性， 数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单 D称为函数f(x)的单调区间. 调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质。 (4)记住几条常用的结论 知识点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调区 ①若f(x)是单调递增，则一f(x)为单调递减：若 间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集. f(x)是单调递减，则一f(x)为单调递增. 衔接必刷题数学 ②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x) 6.利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的 和g(x)的公共定义域上∫(x)十g(x)为增（或 单调性，再求最值.常用到下面的结论： 减)函数 (1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是单调递 ③若f(x)>0且f(x)为单调递增，则函数 增，在区间[b,c)上是单调递减，则函数y=f(x) √T八工为单调递增了0为单调递被：若代)> (x∈a,c)在x=b处有最大值f(b). (2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是单调递 0且∫(x)为单调递减，则函数√(x)为单调递 减，在区间[b,c)上是单调递增，则函数y=f(x) 减为单调递增。 (x∈a,c)在x=b处有最小值f(b). 若函数y=f(x)在[a,b们上严格单调，则函数y= 5.复合函数单调性的判断 f(x)在[a,b们上一定有最大，最小值. 讨论复合函数y=汇g(x)门的单调性时要注意： (3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，则 既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调 y=f(x)的最大值是f(b),最小值是f(a). 性.一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确 (4)若函数y=f(x)在区间[a,b们上单调递减，则 地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别 y=f(x)的最大值是/(a),最小值是f(b) 判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则 7.利用函数单调性求参数的范围 如下： 若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问 (1)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是 题，可利用函数单调性，先列出关于参数a的不 单调递增或都是单调递减，则y=f兀g(x)]为单 等式，利用下面的结论求解 调递增。 (1)a>f(x)在[m,n]上恒成立台a>f(x)在[m, (2)若u=g(x),y=f()在所讨论的区间上一个是 n]上的最大值. 单调递增，另一个是单调递减，则y=儿g(x)门为单 (2)a<f(x)在[m,n]上恒成立台a<f(x)在[m, 调递减 ]上的最小值。 列表如下： 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转 u=g(x) y=f(u) y=几g(x)] 化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题. 增 增 增 知识点三基本初等函数的单调性 增 减 减 1.正比例函数y=kx(k≠0) 当k>0时，函数y=kx在定义域R是增函数：当 减 增 减 k<0时，函数y=k.x在定义域R是减函数， 减 减 增 2.一次函数y=kx十b(k≠0) 当k>O时，函数y=kx十b在定义域R是增函数： 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函 数的单性相同时递增：单性相异时递诚。 当k<0时，函数y=kx十b在定义域R是减函数. 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： 3.反比例函数y=华（传≠0） (1)将复合函数分解成基本初等函数：y=f(), 4=g(x) 当>0时，丽数y一兰的单调递减区间是（一. (2)分别确定各个函数的定义域. 0),(0,十∞)，不存在单调增区间：当k<0时，函 (3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间. 数y=的单调递增区间是（一∞，0），(0，十∞). 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性 2 是同增或同减，则y=f汇g(x)门为单调递增；若为 不存在单调减区间。 一增一减或一减一增，则y=「[g(x)]为单调 4.二次函数y=a.x2+b.x十c(a≠0) 递减. 若a>0,在区间 知识点诠释：(1)单调区间必须在定义域内. 2a ,函数是单调递减： (2)要确定内层函数u=g(x)的值域，否则就无 在区间一 十)小，函数是单调递增：若a<0。 法确定f(u)的单调性. (3)若f(x)>0,且在定义域上f(x)是单调递 在区间( -∞， 2a」 ,函数是单调递增：在区间 增，则VT(x),kf(x)(k>0),f"(x)(n>1且n∈ +∞)，函数是单调递减， 6 N+)都是单调递增 52 第二部分初高中数学知识衔接 知识点目函数的最大值 既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称， 1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 则进行下一步 果存在实数M满足： (2)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式. (1)Hx∈I,都有f(x)≤M (3)求f(一x),可根据f(一x)与(x)之间的关 (2)3xo∈I,使得f(xo)=M. 系，判断函数f(x)的奇偶性， 那么，称M是函数y=f(x)的最大值 若f(-x)=一f(x),则f(x)是奇函数： 2.几何意义：函数y=f(x)的最大值是图象最高点 若f(一x)=f(x),则f(x)是偶函数： 的纵坐标。 若f(一x)≠士(x),则f(x)既不是奇函数，也 知识点四函数的最小值 不是偶函数： 若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x) 1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 既是奇函数，又是偶函数 果存在实数M满足：①Hx∈I,都有f(x)≥M: ②3xo∈I,使得f(xo)=M. 知识点六判断函数奇偶性的常用方法 那么，称M是函数y=f(x)的最小值 1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则 2.几何意义：函数y=f(x)的最小值是图象最低点 立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数： 的纵坐标， 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断（一x) 知识点五函数的奇偶性概念及判断步骤 与士f(x)之一是否相等. 2.验证法：在判断f(一x)与f(x)的关系时，只需验证 1.函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x,都有 (-x)士《=0及二D=士1是否成立即可. f(x) f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数. 3.图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点 奇函数：若对于定义域内的任意一个x,都有 (y轴)对称. f(-x)=一f(x),那么f(x)称为奇函数 4.性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函 知识点诠释：(1)奇偶性是整体性质. 数的和仍为偶函数：两个奇函数的积是偶函数： (2)x在定义域中，那么一x在定义域中吗？ 具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对 两个偶函数的积是偶函数：一个奇函数与一个偶 函数的积是奇函数。 称的. (3)f(一x)=f(x)的等价形式为：f(x)一 5.分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判 -)=0,君=1x≠0 断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范 f(一x)=-∫(x)的等价形式为：f(x)+f(一x) 围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段 =0,f2=-1(fx)≠0). 函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因 f(x) 此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关 (4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原 于原点对称，然后判断∫（一x)与f(x)的关系， 点有定义，则必有f(0)=0 首先要特别注意x与一x的范围，然后将它代入 (5)若∫(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 相应段的函数表达式中，f(x)与f(一x)对应不 f(x)=0. 同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进 2.奇偶函数的图象与性质 行比较 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象 知识点七关于函数奇偶性的常见结论 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反 之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中 奇函数在其对称区间[a,b们和[一b,一a]上具有 心的中心对称图形，则这个函数是奇函数， 相同的单调性，即已知∫(x)是奇函数，它在区 (2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 间[a,b们上是单调递增（单调递减），则f(x)在 轴对称：反之，如果一个函数的图像关于y轴对 区间[一b,一a]上也是单调递增（单调递减）；偶 称，则这个函数是偶函数 函数在其对称区间[a,b]和[一b,一a]上具有相 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间[a,b门 (1)求函数∫(x)的定义域，判断函数的定义域是 上是单调递增（单调递减），则f(x)在区间[一b, 否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数 a]上也是单调递减（单调递增）， 53