第2编 第10讲 函数的概念及其表示-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

参考答案 ②m<一1时，一m>1,可得不等式的解集为{xx≤1或 (2)关于x的方程(m-1)x2+(2m-4)x十m=0有两个 x≥-m}； 不相等的正实数根， ③m>一1时，一m<1,可得不等式的解集为{xx≤一m 则m-1≠0，且△>0，x1+x2=一 或x≥1}. 么>0，x1·x= a (2)x∈{x1≤x≤2时，x≤x2十mx十n≤4z恒成立， >0, 即为1≤r十”+m≤4对x∈{x1≤x≤2恒成立， m一1≠0 (2m-4)2-4m(m-1)>0 (m-1≠0 即存在实数m,使得-1-”十1≤m≤-x一”十4对x -12m+16>0 x 0 (2m-4)(m-1)<0 ∈{x1≤x≤2}恒成立， m(m-1)>0 所以（一+小≤m≤(-是+4）周此 >0 (m一1≠0 由于1<0时y一兰y一在[1,2]上均为单调递减 1<m<2. m<0或m>1 的高数，故y=-一兰(m<0)在[12]上单调递减， 解得：1<m< 所以一<2-受，即>-4，所以负量n的最小值为一4 第10讲 菡数的概念及其表示 变式2【答案】{t≤-2 【解析】图为不等式-2x2+bx十c>0的解集{x-1<x 【经典例题】 题型一 <3}, 变式1【答案】ABD -1+3= b=4 【解析】根据函数定义，A选项，对于任意的x,只有唯一 所以 ,解得 (-1)×3=-2 lc=6* 确定的y与其对应，满足函数定义，A正确： B选项，对于任意的x∈(1,2,3,4}，均由唯一确定的y 因为对任意一1≤x≤0，不等式2x2十bx+c+t≤4恒 与其对应，满足函数定义，B正确： 成立， C选项，对于x=1,有y=1和一1与其对应，不是函数，C 所以为对任意-1≤x≤0，不等式1≤一2x2一4x一2恒 错误： 成立， D选项，对于任意的x∈1,2,3}，均由唯一确定的y与 令y=-2x2-4.x-2, 其对应，满足函数定义，D正确， =-2(x+1)2≥-2， 故选：ABD. 所以t≤-2， 变式2【答案】AD 故答案为：{tt≤-2. 【解析】选项B,C:对于定义城内每一个x都有唯一的y 题型七 与之相对应，满足函数关系，故B、C正确： 变式1【答案】m<号 选项A,D:存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对 应的唯一性，故A,D错误； 【解析】当m=0时，方程为2x十2=0，有一个负根， 故选：AD. 当m≠0时，mx2+2x+2=0为一元二次方程， 题型二 关于x的方程mx2+2x十2=0至少有一个负根，设根为 变式1【答案】C 712 【解析】因为√x一2有意义，所以|x一2≥0，所以|x 当△=1一8m=0时，即m=专时，方程为子2+2x十2= 1 ≥2， 所以x≤-2或x≥2，即实数x∈（一0∞，-2]U[2,十o∞）. 0,解得x=一2，满足题意， 故选：C, 1 当△=4-8m>0,即m<2时，且m≠0时 变式2【答案】D x>0. 若有一个负根，则x1x2 2<0,解得m<0, 【解析】 由题意知10-2>0，解得营<<6 2x>10-2x, ∠0 x1十x2=一m 若有两个负根，则 解得0<m< .1 即定义城为{吕<r<5 0 xx2-m 故选：D. 综上所速，则实教m的取值范国是m<2 题型三 变式1【答案】C 1 故答案为m<2 【解析】因为函数f(.x十2)的定义城为（一3,4），则一3< x<4,-1<x+2<6, 变式2【解】(1)证明：：a>>c,∴.a-c>a->0, 所以f(.x)的定义战为（一1,6）， …。>0。。>0 1 又因为2x-1>0,即x>2: 1 83 衔接必刷题数学 所以画数g)=用的定义城为（合，6）。 故fx)=√一2x与g(x)=x√一2x不是同一函数，故A /2.r-I 错误： 故选：C 变式2【答案】(5,6) 对B:）=-1≠0，g)-=-1u≠0 【解析】因为f(x)的定义域为(1,3)， 所以f(x-3)满足1<x-3<3→4<x<6, 故)=与g)-是问-高载，故B正项： 又函数g(x)=r3有意义， x-5 所以x-5>0→x>5. 对C定又线为中0中≥1g定又接为 x2-1≥0. 所以函数g(x)=f的定义战为(5,6， √x-5 即x≥1或x≤-1，故f(x)=x+Ix-I与g(x)= 故答案为：(5,6). √一1不是同一函数，故C错误： 题型四 对D:f(x)=x2-2x与g(t)=12-21定义战与对应关系 变式1 【答案1[o) 都相同， 故f(x)=x2-2x与g(1)=t2-21是同一函数，故D 【解析】 ax+1 y= 的定义城为R是使a.x2 √a.r2-4ax+3 正确. 4a.x十3>0在实数集R上恒成立】 故选：BD, 若a≠0时，要使ax2-4ax+3>0恒成立，则有a>0且△ 题型六 <0,即4=(-40)2-4X3a<0,解得0<a<是 变式1【答案】一9 【解析】依题意，g(一1)=一3，所以几g(一1)]=f(一3)=2 若a=0时a.x2-4a.x十3>0化为3>0，恒成主，所以a X(-3)-3=-9.故答案为：一9 0满足题意， 变式2【答案】1 3 所以0≤a<4 【解析】由表可得g[f(2)]=g(3)=1, 故答案为：1 综上，即实数a的取值范国是[0，子) 题型七 故填：[0，) 变式1【解】因为y=|2x-1|+|x-31 3.x-4,x≥3 变式2【答案】[o,) +. 【解析】，函数f(x)的定义战为R, ∴.mx2一4mx十3>0在R上恒成立. -ar+4< ①当m=0时，3>0恒成立，满足条件 当x≥3时，y=3.x-4≥5， ②当m卡0时，若函数的定义域为R,则 (m>0 当<3时y=+2e(停小， d=16m-12m<0解得0<m<是 综上可得实数m的取位范国是[0，子)： 故画教的最小值为号 答案：[0) 变式2【答案】B 题型五 【解析】 变式1【答案】A 设y=3+x+3 2+12+y=3a2+x+3,(y-3) 【解析】对于A:画数y=士告士D=r和y= x2-x+y-3=0, x2+1x2+1 x=0时，y=3, 的定义域为R,解析式一样，故A符合题意： 对于B:函数y=√(x-1)产=|x-1|与y=x-1的定义 y≠3时，周为ER,所以△=1-4(y-3)2≥0，解得号< 域为R,解析式不一样，故B不符合题意： 对于C:函数y=号-x的定义城为{z≠0，y=r的 ，即<y<号且≠3， 7 5 定义战为R,解析式一样，故C不符合题意： 综上受<<名最大位是子兼小值是号中为6 对于D:函数y=工=士1的定义城为{zx≠0，y=1 故选：B 题型八 的定义域为R,解析式不一样，故D不符合题意， 变式1【解】(1)当一2≤x≤1时，设f(x)=kx+b,(k≠ 故选：A. 0). 变式2【答案】BD :f(x)的图象过A(一2,0)，B(1,3)两点， 【解析】对A:对g(x)=x一2x的定义城为（一∞，0]， .一2k十b=0且k十b=3,解得k=1,b=2,∴，f(x)=x十 则g(x)=x√2x=一√一2.x, 2,(-2≤x≤1)： 参考答案 当>1时f) 第三部分初升高定义新题型练 “f)的因象过点C2,3)心2号=3，解得a=3 题型一定义新运算题型—数的概念 fx)=3 -(>1). 1.【答案】D 【解析】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数” 3 综上，f(x) x-(.x>1) 的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关健. x十2.(-2≤x≤1) 设两个连续奇数中的一个奇数为x,则另一个奇数为x十 (2②]=f(合）-是. 2,先得出由这两个奇敏得到的“幸福数”为4(x十1)，再看 四个选项中，能够整除4的即为答案， (3)当-2≤x≤1时，f(x)=x+2,由f(x)=1,得x十2 解：设两个连续奇数中的一个奇数为x,则另一个奇数为 1,解得x=一1 x十2，由这两个奇数得到的“幸福数” 当>1时-马由)=得子=1解得 为(x十2)2-x2=2(2.x十2)=4(x十1)，观察四个选项可 知，只有选项D中的520能够整除4，即520÷4=130 =4,综上，方程f(x)=1的解为：一1,4 故选：D. 变式2【答案】13 2.【答案】C 【解析】令f(x)-3x=t,所以f(.x)=3.x十t, 又因为f(t)=4,所以3t+t=4t=4, 【解析】 :A=B,a≠0,1≠0，么=0，=1.lal=a a 所以t=1,所以，f(x)=3x+1,所以f(4)=3×4+1 =13. 或么=0,1=a,a=1,∴b=0,a=1(含去)域6=0，a= a 故答案为：13. -1,∴.b-a=1,选C. 题型九 3.【答案】0,1,0,1 变式1【答案】C 【解析】当n=1时，x0=x1=1=x2,.y1=0,当n=2 【解析】当一3≤x≤0时，f(x)=x2+2x一1=(x+1)2 时，x1≠r3,∴y2=1,当n=3时，x2=x4,ys=0, -2, 当n=4时，x3≠x6=x1y4=1,∴“伴生数列”B是：0， 则当x=-1时，f(x)min=-2,当r=一3时，f(x)mx 1,0,1. 4-2=2,则f(x)∈[-2,2]： 4.【解】(1)49÷5=9…4：49÷3=16…1，∴.49不是 当0<x≤5时，f(x)=x-1∈(-1,4]： “差一数”，74÷5=14…4：74÷3=24…2，∴.74是 综上所述，f(x)∈[-2,4]. “差一数”： 故选：C (2),“差一数”这个数除以5余敦为4，.“差一数”这个 数的个位数字为4或9， 变式2【答案】(-∞，-2)U(-2,1) .大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314 【解析】根据分段函数的定义可知， 319、324.329,334、339、344、349、354、359、364、369、374、 当a≤-1时，不等式可化为(a+1)2>1, 379、384、389、394、399,“差一数”这个数除以3余数为 解得a<-2: 2,“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，大于 当-1<a<1时，不等式可化为2a十2>1， 300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、 解得-名<a<1 374、389. 当4>1，不等式可化为】-1>1，无解 5【解】：十日-号：言23是为谐三戴组（答 案不唯一)： 综上知a的取值花国为(-©，-2U(一子，1) (2)证明：：x1、x2是关于x的方程ax2十b.x十c(a、b、c均 故答案为：(-0，-2U(一号1) 不为0)的两根，x1十x2=一么 b 题型十 变式1【答案】[1.3)U(3,5)/(3.5)U[1,3) x1'x2x1·x2 =一名”是关于r的方程 【解析】根据题意，集合A表示大于等于1小于5，且不 等于3的实数的集合 b加+d,c均不为0)的解有-一合小结一名 故可用区间表示为：[1,3)U(3,5) 故答案为：[1,3)U(3,5). 上十上=，1、x可以构成“和谐三数组”。 变式2【答案】(-2,0)U(0,2] 6.【解】（们）对于任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正 【解析】集合x一2<x≤2且x≠0)用区间表示为（一2， 整敦)，：1一=0，nX1是m的最佳分解，.对任意 0)U(0.2]. 故答案为：(-2,0)U(0.21. 一个完金平方数m,总有Fm)=”=1: 85第二部分 初高中数学知识衔接 第10讲 函数的概念及其表示 知识梳理 Z H ISHI S H U L I 知识点一函数的概念 2.分段函数 1.函数的定义 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对 应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括 应关系「，使对于集合A中的任意一个数x,在 起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况， 集合B中都有唯一确定的数∫(x)和它对应，那 知识点函数定义域的求法 么就称∫：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 1.确定函数定义域的原则 记作：y=f(x),x∈A. (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集 的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 合，具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的 函数值的集合{(x)x∈A}叫做函数的值域. 被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为 知识点诠释：(1)A、B集合的非空性. 零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的 (2)对应关系的存在性、唯一性、确定性。 限制条件】 (3)A中元素的无剩余性. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅 (4)B中元素的可剩余性 要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 (3)当函数用表格给出时，函数的定义域是指表 (1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和 格中实数x的集合. 值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的， 2.抽象函数定义域的确定 所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全 所谓抽象函数是指用∫(x)表示的函数，而没有 致，即称这两个函数相等（或为同一函数）， 具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关 题，关键是注意对应法则.在同一对应法则的作 系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关 用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数 3.区间的概念 式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内. (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间。 3.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等 (2)无穷区间， 式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必 (3)区间的数轴表示， 须用集合或区间来表示 区间表示： {xa<xr<b}=(a,b);{xa≤x≤b}=[a,b]: 知识点四函数值域的求法 (xa<x≤b}=(a,b];{xa≤x<b}=[a,b): 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然 {xx≤b}=(-∞，b];{xa≤x}=[a,+o∞). 给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就 完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方 定义 名称 符号 数轴表示 法，常用的方法有： {xa≤x≤b 闭区间 a,b] 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟 知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最 xa<x<b 开区间 (a,b） 高点”和“最低点”，观察求得函数的值域. 半闭半开 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方， x asx<b 区间 La,b》 0 在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求 二次函数的值域方法求函数的值域. {xa<x≤b} 半开半闭 (a,b] 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用 区间 判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等； 知识点二函数的表示法 此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围. 1.函数的三种表示方法 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将 复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 本函数的取值范围来求函数的值域. 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除 优点：直观形象，反应变化趋势 了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等。 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作 用，还要特别注意定义域对值域的制约. 优点：不需计算就可看出函数值. 衔接必刷题数学 经典例题 JINGDIAN LITI 题型一函数的概念 【典例】（安徽淮南·质量检测）设M= (x0≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，给出下列四个 图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关 系的是 ( 0 y 题型二给出解析式求函数的定义域 2 【典例】（高一课时练习）函数八)-干的定义 域是 0 2 A.{x∈Rx≠-1} B.{x∈R|x≠1} D C.{x∈Rx≠士1} 【答案】B D.{x∈Rx≠-1或x≠1) 【解析】定义城为{x0≤x≤1}，定义域是M 【答案】A 的真子集，故A错误：定义城为《x0≤x≤2}，值 域为{y0≤y≤2}，且图象也满足函数定义，故B 【解析】 八)=号的自变量劣满足x+10, 正确：不满足“从定义城中任意取一个x有唯一 所以定义域为{x∈Rx≠一1}，故选：A。 的y与之对应”，故C错误；定义域为 【变式1】（江西九江·高一校考阶段练习）若代 《x0≤x<2},定义域是M的真子集，故D 数式个x一2有意义，则实数x∈ () 错误； A.[2,十o∞) 故选：B. B.(-∞，-2] 【变式1】（多选）（海南海口·阶段练习）以下y C.(-o∞，-2]U[2,+o∞) 与x的关系中，其中y是关于x的函数的有 D.(-o∞，十∞) ( 【变式2】（高一课时练习）已知等腰三角形ABC 的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关 系为y=10一2x,则函数的定义域为 () A.{xx∈R B.{xx>0} x1234 y2433 C.{x|0<x<5} 题型目抽象函数的定义域 【典例】（江西南昌·质量检测）已知函数f(x)的 f:x 定义域为(0,2)，则函数g(x)=x一3的定义 Vx-4 域为 ( y=x A.(3,+∞) B.{2,4} C.(4,5) D.〈-2,3} C D 【答案】C 【变式2】（多选）（江苏徐州·质量检测）下列图 【解析】因为函数∫(x)的定义域为(0,2)，所以 形不可能是函数y=∫(x)图象的是 f(x-3)满足0<x-3<2,即3<x<5, 48 第二部分初高中数学知识衔接 又函数g(x)=-3》有意义，得 3<x<5 x-4>0 解 【答案】C x-4 【解析】函数y=x”一1的定义域为{x∈Rx≠ 得4<x<5, 0},函数y=0的定义域为R,两个函数定义域不 所以画数g()=r3的定义城为(4,5。 同，A不是：函数y=√x-2·/x十2的定义域为 x-4 故选：C. {xx≥2}，函数y=V2一4的定义战为{xx≤ 【变式1】（福建莆田·质量检测）已知函数f(x十 一2或x≥2}，两个函数定义城不同，B不是：画 2)的定义域为(-3,4，则函数g(x)=)的 数y=x的定义城为R,函数x=√y的定义城为 √2.x-I 定义域为 R,且2==y,两个函数定义城相同，对应法 A(合 B(合2) 则也相同，C是：函数y=x2十x的定义城为R, 画数y=+工的定义城为{x∈Rx≠01，两个 c.(6) D.(合 函数定义域不同，D不是，故选：C, 【变式2】（安徽六安·质量检测）已知函数f(x) 【变式1】（广东佛山·阶段练习）下列各组函数 的定义域为(1,3)，则函数g(x)= fx一3)的定 是同一个函数的是 ( /x-5 义域为 A.y=与y= x2+11 题型四给出函数定义域求参数范围 B.y=√(x-1)2与y=x-1 【典例】（湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期 Cy=与y=x 中)若函数y= 的定义域为R,则实 √a.x2-a.x+3 数a的取值范围是 D.y=x与y=1 【答案】[0,12) 【变式2】（多选）（山东淄博·质量检测）下列各 1 【解析】由题意，在y= 中，定义城为R, 组函数是同一函数的是 ( aa-a.x+3 当a=0时，y= 上，符合题意： A.f(x)=√-2x3与g(x)=x-2x B.f()=x°与g(x)= 当a≠0时， a>0 (-a)2-4×3·a<0 C.f(x)=√x+1/x-I与g(x)=√x2-1 解得：0<a<12,综上，a∈[0,12). D.f(x)=x2-2x与g()=2-2L 故答案为：[0,12). 【变式1】（天津和平·高一校考期中）若函数y= 题型六给出自变量求函数值 ax+l 【典例】（高一单元测试）若f(2x+1)=2x十3，则 的定义域为R,则实数a的取值 √ax2-4ax+3 f(3)= 范围 【答案】5 【变式2】（高一课时练习）若函数f(x)= 【解析】：f(2x+1)=2x+3, m2-4x+3 .f(3)=f(2×1+1)=2×1+3=5. 的定义域为R,则实数m的取值范围是 故答案为：5. 题型五同一函数的判断 【变式1】（甘肃庆阳·高一校考期末）已知定义 【典例】（安徽·质量检测）中文“函数”一词，最早 域为R的函数f(x)=2x一3，g(x)=3x,则 是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译， f[g(-1)]= 他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为 【变式2】（重庆北碚·高一统考期末）已知函数f(x), 彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是() g(x)分别由下表给出，则g[f(2)]= A.y=x°-1与y=0 B.y=√x-2·√x+2与y=√x2-4 x 1 2 C.y=x与=分 f(x) 1 D.y=2+x与y=+x2 B(x) 3 49 衔接必刷题数学 题型七求函数的值域 【解】(1)令t=√+2(t≥2)，则√x=t-2,x= 【典例】（浙江杭州·高一校考阶段练习）求下列 (t-2)2, 函数的值域 所以由f(√x+2)=2x+8√F+5, (1)f(x)=2x+4√1-x: 得f(t)=2(t-2)2+8(t-2)+5=2t2-3, (2)fx)=5x+4 所以f(x)=2x2-3(x≥2). x-2i (2)由f(x)+2f(-x)=3.x2-2x, (3)f(x)=x2-2x-3,x∈(-1,4]， 得f(-x)+2f(x)=3(-x)2-2(-x)=3.x2+2x 【解】(1)设t=√/一x(t≥0)则x=1-2, 所以f(-x)=3x2+2.x-2f(x), 所以g(t)=2(1-2)+41=-22+4t+2=-2(t 所以f(.x)+2[3x2+2x-2f(x)]=3.x2-2x, -1)2+4, 解得f(x)=x2+2x. (3)由题意设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)， 根据二次函数的图像和性质，函数g(1)的值域为 因为f(0)=1,所以c=1, (-0∞，41. 因为f(x+1)-f(x)=2x, (2)函数的定义域为(-∞，2)U(2,+o∞). 所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx十c)=2x, f)-52》*4=5+2 所以2a.x十a十b=2x, x-2 x-2 2a=2 所以函数f(x)的值战为(-∞，5)U(5,+o∞). (3)因为函数f(x)=x2一2x-3的对称轴为x=1, a+6=0得a=1,6=-1, 所以 所以f(x)=x2-x+1. 所以函数f(x)在（一1,1）单调递减，(1,4)单调 【变式1】（湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练 递增，所以函数f(x)的值域为[一4,5]. 【变式1】（高一课时练习）求y=|2.x一1|+ 习)已知函数y=f(x)(x≥一2)的图象如图示， 在直线x=1的左侧是经过两点A(一2,0)，B(1, |x一3的最小值. 3)的线段（包括两个端点），在直线x=1的右侧 是经过点C2,3)且解析式为y=吕的曲线。 -20 (1)求函数y=f(x)(x≥一2)的解析式： (2)求fLf(7)]的值： (3)求方程f(x)=1的解. 【变式2】（高一课时练习）若函数(x)=32十x十3 x2+1 的最大值为a,最小值为b,则a十b=( A.4 B.6 C.7 D.8 题型八求函数的解析式 【典例】（江西南昌·进贤县第二中学高一校考阶 段练习)根据下列条件，求∫(x)的解析式. (1)已知f(元+2)=2x+8√元+5： (2)已知f(x)+2f(-x)=3.x2-2x: (3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x +1)-f(x)=2x. 50 第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知函 【变式1】（江苏连云港·质量检测）函数∫(x)= 数f(x)为R上的增函数，且对任意x∈R都有 [x2+2.x-1,-3≤x≤0 ff(x)-3x]=4,则f(4)= 的值域是 1x-1,0<x≤5 题型九分段函数求值、不等式问题 A.[-1,3] B.[-1,4] 【典例】（多选）（江苏连云港·质量检测）定义max C.[-2,4] D.[-2,2] (a,b,c为a,b,c中最大值，设h(x)=maxx2+l, 【变式2】（山西朔州·阶段练习）已知函数f(x) (x+1)2,x≤-1 x,7一x,则h(x)的函数值可以取 A.3 B.4 2x+2,-1<r<1,若f(a)>1,则a的取值 1 -1,x≥1 C.5 D.6 x 【答案】 CD 范围是 【解析】在同一坐标系内分别作出y=x2十1，y= 题型十区间的表示与定义 1 y=7一x,可得y=h(x)的图象（图中实线部分）， 【典例】（高一课时练习）用区间表示集合{x∈R 2<x≤4} y=x2+1 【答案】(2,4] 10 【解析】集合{x∈R2<x≤4}用区间表示为 (2,4].故答案为：(2,4]. 4 【变式1】（高一课时练习）将集合A={x1≤x<5, 所以h(x)的值域为[5，十∞)， x≠3}用区间表示为 结合选项可知CD正确，AB错误. 【变式2】（上海·高一专题练习）集合{x一2<x 故选：CD. ≤2且x≠0}用区间表示为 第11讲 函数的基本性质 知识点一函数的单调性 ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方 1.单调递增、单调递减的概念 向是否一致来描述函数性质的， 一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间D二A ③不能随意合并两个单调区间， 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2,当 ④有的函数不具有单调性， (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间 x1>x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 上的单调性？ 在区间D上是单调递增. 3.证明函数单调性的步骤 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2,当 (1)取值.设x1,x2是f(x)定义域内一个区间上 x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 的任意两个量，且x1<x2. 在区间D上是单调递减. (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、 知识点诠释：(1)属于定义域A内某个区间上. 有理化等)或作商变形。 (2)任意两个自变量x1,x2且x1<x2: (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系. (3)都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2). (4)得出结论. (4)图象特征：在单调区间上单调递增的图象从 4.函数单调性的判断方法 左向右是上升的，单调递减的图象从左向右是下 (1)定义法：根据单调递增、单调递减的定义，按 降的. 照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断. 2.单调性与单调区间 (2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上 (1)单调区间的定义 升或下降趋势，判断函数的单调性， 如果函数f(x)在区间D上是单调递增或单调递 (3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函 减，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性， 数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单 D称为函数f(x)的单调区间. 调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质。 (4)记住几条常用的结论 知识点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调区 ①若f(x)是单调递增，则一f(x)为单调递减：若 间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集. f(x)是单调递减，则一f(x)为单调递增.