第2编 第9讲 二次函数与一元二次不等式-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第二部分初高中数学知识衔接 题型六基本不等式在实际问题中的应用 【变式1】（河南洛阳·阶段练习）某合作社需要 分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分 【典例】（广东韶关质量检测）在工程中估算平整 装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时， 块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式 需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜， 是W=(长十4)×（宽+4），在不测量长和宽的情况 要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人 下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方 数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社 米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地 员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜 所需的最少费用（单位：元）是 时会不可避免地造成一些损耗，根据以往经验， A.10000 B.10480 这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会 C.10816 D.10818 损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会 【答案】C 损耗蔬菜共30千克，则参与分装蔬菜的男社员 【解析】 设矩形场地的长为x米，则宽为10000来， 的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗 蔬菜量（千克）之和的最小值为 w=(x+4)(10000+4)=4x+4000+10016 A.10 B.15 C.30 D.45 ≥24r.40000+10016=10816. 【变式2】（青海西宁·阶段练习）某厂计划建造 一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池. 当且仅当4x=40000 ,即x=100时，等号成立. 若池底的造价为120元每平方米，池壁的造价为 100元每平方米，则这个水池的最低造价为 所以平整这块场地所需的最少费用为1×10816 元 =10816元.故选：C 第9讲 二次函数与一元二次不等式 知识梳理 ZH I SHISHULI 知识点一一元二次不等式的概念 △=2-4ac 4>0 △=0 4<0 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等 二次函数 式，即形如a.x2+bc+c>0(≥0)或a.x2+bx+c y=ax2+br+c (a>0)的图象 <0(≤0)（其中a,b,c均为常数，a≠0，的不等式 都是一元二次不等式) 知识点口二次函数的零点 ax+br十c=0有两相异实根有两相等实根 (a>0)的根 IT2(T2】 6 无实根 0一2 2a 一般地，对于二次函数y=a.x2十b.x+c,我们把 x<x 使ax2十b.x十c=0的实数x叫做二次函数y= ar2+br+c>0 xr≠ 6 R (a>0)的解集 或x>x2》 2a ax2十bx十c的零点， 知识点三一元二次不等式的解集的概念 ax?+bx+c<0 xr<x 0 e (a>0)的解集 <x2} 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成 知识点诠释：(1)一元二次方程a.x2+bx十c=0 的集合叫做这个一元二次不等式的解集. (a≠0)的两根x1、x2是相应的不等式的解集的 知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的 端点的取值，是抛物线y=ax2十bx十c与x轴的 解的对应关系 交点的横坐标 对于一元二次方程a.x2十bx+c=0(a>0)的两 (2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式 根为x1、x2且x1≤x2,设△=b2一4ac,它的解按 的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化 照△>0，△=0，△<0可分三种情况，相应地，二 为二次项系数为正的形式，然后讨论解决 次函数y=a.x2+bx+c(a>0)的图像与x轴的 (3)解集分△>0,4=0，△<0三种情况，得到一 位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况 元二次不等式a.x2+b.x+c>0与a.x2+bx+c<0 来讨论一元二次不等式a.x2+bx+c>0(a>0) 的解集， 或ax2+b.x十c0(a>0)的解集. 43 衔接必刷题数学 知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤 2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. L.选取合适的字母表示题中的未知数 知识点七简单的分式不等式的解法 2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等 式（组）. 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 3.求解所列出的不等式（组）. 4.结合题目的实际意义确定答案。 ux+b x+>0<0) (ax+b)(cx+d)>0(<0) 知识点六一元二次不等式恒成立问题 1.转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2+ 简单分式不等式 可转化为一元二次不等式 求 bx+c>0(a≠0)恒成立台 8缸成立 ax+b cx+d 00 (ax+b)(cx+d)≥0（≤0）.Hcx+d+0 a.x2+b.x+c<0(a≠0)台{ a<0 △<01 经典例题 JINGDIA NLI T I 题型一解不含参数的一元二次不等式 题型二一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【典例】（湖南岳阳·质量检测）不等式(x一1)(x 【典例】（高一课时练习）已知不等式a.x2十bx十c 一2025)≥0的解集为 >0的解集为（一3,2），则不等式cx2+bx十a>0 A.{xx≥2025或x≥1 的解集为 B.{x.x≤1或x≥2025} 【答案】 -0,- C.{x|1≤x≤2025} u(+) D.{xx<1或x>2025) 【解析】 因为不等式ax2+bx十c>0的解集为 【答案】B a<0 【解析】因为(x-1)(x一2025)≥0，所以x≥ 2025或x≤1， (一3,2)，所以 -3+2=- a,可得/6-a Ic=-6a 故不等式(x一1)(x一2025)≥0的解集为{xx -3X2= ≤1或x≥2025}.故选：B. 所以cx2+bx+a>0可化为-6a.x2+a.x+a>0. 【变式1】（浙江宁波·阶段练习）不等式2x2 因为4<0，所以-6.x2十a.x十a>0可化为62-x-1 11.x+12<0的解是 ( ) A.<-4或x>-多 B.r<号或74 >0,即ar+1D2z-D>0,解得：<-号或>2所 C.-4<x<-2 3 D.2<r<4 以不等式c2+x十a>0的解集为(-o,一专)U 【变式2】（北京·质量检测）解下列不等式： (3+o)故答案为：(-o,-号)U(2+∞)片 (1).x2-2.x-3<0: 【变式1】（高一课时练习）已知不等式a.x2+bxr十 (2)-x2+4.x-4<0 c>0的解集是{x|a<x<},a>0,则不等式 cx2+h.x十a>0的解集是 【变式2】（安徽滁州高一校考开学考试）已知不 等式a.x2+bx-3<0的解集为{x-1<x<3}, 则不等式bx+1+a>0的解集为 题型目含参数一元二次不等式的解法 【典例】（湖南长沙·质量检测）当a<1时，解关 于x的不等式(ax-1)(x-1)<0. 【解】当a=0时，代入不等式可得-x十1<0， 解得x>1；当0<a<1时，化简不等式可得 a(e-)x-D<0即(e-x-1D<0, 由。1得不等式的解为1<日 44 第二部分初高中数学知识衔接 当a<0时，化简不等式可得a(x-)(x-1) 题型四一次分式不等式的解法 0即(x-)x-1)>0, 【典例】 （全国高三专题练习)不等式导>2的 解集为 由。<1得不等式的解为>1或<日 【答案】{x|1<x<4) 综上可知，当a=0时，不等式(a.x一1)(x一1)<0 【解析】 原不等式可化为 r一1 -2>0, 的解集为{xx>1}: 当0<a<1时，不等式(a.x-1)(x-1)<0的解 即x+2）-2(x-1D>0, x-1 案为1<<： 即1二1之0，即(x一1)(x一4)0， 当a<0时，不等式(a.x-1)(x-1)<0的解集为 解得1<x<4, <日或>1 .原不等式的解集为{x1<x<4}, 【变式1】（江苏南京·质量检测）设a为实数，则 故答案为：{x1<x<4》 关于x的不等式(ax一2)(2x-4)<0的解集不 【变式1】（上海长宁高三上海市延安中学校考开 可能是 学考试)不等式，2g≤5的解集是 12 A.a <x<2 B.{xx>2或r<2 【变式2】（安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练 C.(xlx>2) na2<<号 习》不等式6品7≥0的解集是 【变式2】（河北石家庄·质量检测）已知关于x不 题型五实际问题中的一元二次不等式问题 等式a.x2-3x十6>0的解集为{x<r<1,b<1}. 【典例】（高一课时练习）某商品在最近30天内的 (1)求实数a,b: 价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m=t十 (2)解关于x不等式a.x2-(ac十b)x十bc<0. 10(0<1≤30，t∈N):销售量y与时间t的函数关 系是y=一t+35(0<t≤30，t∈N),则使这种商品日 销售金额不小于500元的t的范围为 ( A.{t15≤t≤20，t∈N)B.{t|10≤t≤15，t∈N C.{t10<1<15,t∈N7D.{t0<t≤10，t∈N 【答案】B 【解析】由日销售金额为(t十10)（一1十35）≥ 500(t∈N),即t2-25t+150≤0(t∈N), 解得10≤t≤15(t∈N).故选：B. 【变式1】（天津滨海新·高一校考期中）某文具 店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价 格销售，每天能卖出30盏：若售价每提高1元， 日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使 这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的 销售收入.则这批台灯的销售单价x(单位：元) 的取值范围是 ) A.{x15<x<20 B.{x|12≤x<18} C.{x10≤x<20} D.{.x|10≤x<16 【变式2】（江苏连云港·高一校考阶段练习）某 地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格 为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的 ,%征收木材税，这样每年的木材销售量诚少多！万 立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年 不少于900万元，则t的取值范围是 A.{tt≥3} B.{t3≤t≤5 C.{t3<<5) D.lt≤5} 45 衔接必刷题数学 题型六不等式的恒成立与有解问题 【答案】D 【典例】（全国·高一期末）已知不等式kx2一2x 【解析】当a=0时，a.x2十(u十2)x+9a=0即 +6k<0(k≠0). 为2x=0,不符合题意： (1)若不等式的解集是{x|x<一3或x>一2}， 故a≠0，ax2+(a+2)x十9a=0即为x2+ 求k的值： 1+2)+9=0. (2)若不等式的解集是R,求k的取值范围. 【解】(1)由题意可知关于x的二次方程k.x2 令y=2+(1+2+9. 2x十6k=0(k≠0)的两根分别为一2、一3， 由于关于x的方程ax2+(a+2)x十9a=0有两 所以-是-名=-3-2，解得=一号 个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2, 则y=a.x2+(a十2)x十9a与x轴有两个交点， (2)若不等式的解集为R,即k.x2一2x十6k<0恒 且分布在1的两侧， 成立，则满足 公-24<0解得K- k<0 故x=1时<0，即1+(1+2)×1+9<0，解 【变式1】（全国·高一专题练习）已知函数y= x2+m.x+n(m,n∈R). 得2<-1，故-吕<a<0, (1)若m十n=0,解关于x的不等式y≥x(结果 故选：D. 用含m式子表示)： 【变式1】（贵州·阶段练习）若关于x的方程 (2)若存在实数m,使得当x∈{x|1≤x≤2}时， m.x2十2.x十2=0至少有一个负实根，则实数m 不等式x≤y≤4.x恒成立，求负数n的最小值. 的取值范围是 【变式2】（上海宝山·高一上海市行知中学校考 期中)已知关于x的一元二次方程u.x2+bx+c=0, 若>6>c求证。6+。>0： (2)若a=m-1,b=2m一4，c=m时方程(m一1) x2+(2m一4)x十m=0有两个不相等的正实数 根，求实数m的取值范围. 【变式2】（四川·高一校考阶段练习）已知不等 式-2x2+bx十c>0的解集(.x|-1<x<3),若 对任意-1≤.x≤0，不等式2.x2+bx十c+t≤4恒 成立，则t的取值范围是 题型七一元二次方程根的分布问题 【典例】（全国·专题练习）关于x的方程a.x2+ (a十2)x十9a=0有两个不相等的实数根x1,x2, 且x1<1<x2,那么a的取值范围是 A.-号<a<号 Ro>号 c.a<-号 D.-H<4<0 46参考答案 v-2ah<2ab-vab. 题型五 a+b2√ab 2 变式【解】因为泳池的长为x来，则宽为四米。 另一方面=2a6 a+tb a+b a+6 2, 则总造价f(.x)=400×(2r+2×200)+100×200+60× x v-a=2ab =0, 200(x∈(0，+∞))， 整理得到f(.x)=800×(x+ 225 】+12000≥1600×15+ 所以>a,则a<<√ab 故选：AD. 12000=36000(.x∈(0，+c∞). 题型三 当且仅当x=15时等号成立. 变式【解】)因为b=6-,所以6十上=6. 故泳池的长设计为15来时，可使总造价最低，最低总造 价为36000元. b=1×b≤ b+ 112 =9 题型六 a aa 2 变式1【答案】B 当且仅当b=合a=号b=3时，等号成立. 1 【解析】设安排男社员x名，女社员y名， 故会的最大值为. 根据题意，可得壳十吉=1，平均损耗流茱量之和为职 30 (2)证明：图为a2+962+2ab≥2Va2·9b2+2ab=8ab, 所以a22≥8ab,又a>0,b>0, 则2+四-(+9）·（位+）-2+器+≥ y 解得ab≥8， 且收当=266-2时等号成立，故68 A0y×5z+25 29z2y 3 题型四 -智+空-15，当且仅省-票即-8y=6时等号 9.x2y 变式1【答案】 成立， 则分装蔬莱的男社员的平均损耗蔬莱量（千克）与女社员 【解析】因为正实数a,b满足4a十b=18, 的平均损耗蔬莱量（千克）之和的最小值为15， 所以号+ =1 故选：B 所以+-（+）（侣+） 变式2【答案】2080 a 【解析】因为水池的容积为8m3,深为2m,所以底面积 为4m2, 设水池池底的一边长为tm(x>0),则另一边长为m, 当且仅当总-品即0=36=6时取等号， 则总造价y=4×120+10×(2x+2,）×2 所以。+方的最小为 =480+40(+4) a 故答案为：宁 ≥480+400×2·1=2080（元. x 变式2【答案】2+√3 当且仅当=手即=2时y取最小值为2080， 【解析】由a十b=2,得a=2-b.又a.b∈R+.a>b. 所以水池的最低造价为2080元. 12-b>b 故答案为：2080. 所以 解得0<b<1.所以0<2-2b<2, 1b>0 1 第9讲 二次函数与一元二次不等式 所以。十=2+品-()· 3 3 【经典例题】 2-2+=1+3+%+320] 题型一 2 变式1【答案】D ≥2+22” 2b.3(2-2b ·2b =2+√3， 【解析】由方程2x2-11x十12=0，即(x一4)(2.x-3)= 0解得-受或=4 2b 2 不等式2x2-11x十12<0.可得(x-4)(2.x-3)<0,解得 号成立 故答案为：2十√5. <x<4: 2 81 衔接必刷题数学 即不等式2r2-11+12<0的解集为女2<<4 所以不等式(ax一2)(2x一4)<0的解集不可能 故选：D. 是>名或x<2 变式2【解】(1)由x2-2x-3<0可得(x-3)(x+1)< 故选：B. 0,解得-1<x<3,故不等式x2-2.x一3<0的解集为( 变式2【解】(1)：不等式ax2一3x+6>0的解集 1,3): 为(xb<x<1,b<1}, (2)由-x2十4x-4<0可得x2一4x十4>0，因方程x2 ∴方程ax2-3x+6=0的根为x1=1,x2=b, 4.x+4=0的根的判别式为△=42-4×4=0，方程的根为 1+b=3 x=2,故不等式的解集为{xx≠2. - ,解得a=-3 b=-2 题型二 变式1【答案】（合） (2)由(I)原不等式可化为一3x2+(3c十2)x-2c<0,肿 (3.x-2)(x-c)>0, 【解析】由不等式a.x2+bx十c>0的解集是{xa<x< :原不等式对应的方程(3x-2)(x一c)=0的根为x1 卧(a>0),可知： a,3是一元二次方程ax2十x十c=0的实数根，且a<0: 3r2=c, 由振与系数的关系可得a十一合。·g号 当<号时，原不等式的解集为或{红<c,我>号引： 所以不等式cx2+bx+a>0化为5x2+bx+1<0,即： 当=号时，原不等式的解集为≠号 3 aAr2-(a+3).x+1<0: 化为(a.r-1)(Rr-1)<0: 当>号时，原不等式的解为r<号成>c 又a<.a>01>>0: 题型四 变式1 【答案】{<3或≥号 不等式c2+b+a<0的解集为：日<<) 【解析】 2 故答案为：（合》 所以 1(x-3)(5x-17)≥0 变式2【答案】（一o∞，1） x-3≠0 解得<3或x≥1 【解析】由题意可得：一1,3是方程a.x2十hx一3=0的两 根，且a>0, 所以不等式，是≤5的解集是<3或心昌。 1+3=-6 此答案为：女<3或≥}. 则由韦达定理可得 a 变式2【答案】{x-1<x≤2或x>7) -1×3=- b=-21 【锦折】不学大6品≥0可化为-忌D≥ r-2 所以不等式bx十1+a>0化为：一2x十2>0，解得x<1, 1(x+1)(x-2)(x-7)≥0 故所求不等式的解集为（一©∞，1）. 0,故等价于 (.x+1)(x-7)≠0 故答案为：（一0∞，1）. 利用数轴标根法解得一1<x≤2或x>7, 题型三 -2 变式1【答案】B 即不等式6-7≥0的解集是{x-11≤2或> 【解析】关于x的不等式(ax一2)(2x一4)<0， 7. 若a=0,不等式为一2(2x-4)<0,解得x>2,此时解集 故答案为：{x一1<x≤2或x>7 为{xx>2}: 题型五 若a≠0，方程(ax-2)(2x-4)=0,解得x=2或x=2, 变式1【答案】A a 【解析】结合题意易知，[30一2(x-15)]·x>400,即x2 a<0时，不等式(ar-2)(2r-4)<0解得r<2或r>2, -30x+200<0,解得10<x<20, 因为x>15,所以15<x<20, 此时解集为xx<名我x>2: 这批台灯的销佳单价x的取值范国是{x15x20}, 故选：A 0<a<1时，2>2，不等式(ax-2)(2r-4)<0解得2< 变式2【答案】B <名此时解集为2<<}： 【解标】由题设2400×1%×(20-2)≥90且0<1< 8,整理得t2-8t+15≤0，可得3≤1≤5. a=1时，名-2：不等式a-2)2-0<0解集为0， 故选：B >1时，名<2，不等式(ar-2)(2x-40<0解得2< 题型六 变式1【解】(1)由题得：x≤x2十mx-m,即(x十m)(x 2<r<2 <2,此时解集为ra 1)≥0： ①m=一1时可得x∈R: 82 参考答案 ②m<一1时，一m>1,可得不等式的解集为{xx≤1或 (2)关于x的方程(m-1)x2+(2m一4)x十m=0有两个 x≥-m}: 不相等的正实数根， ③m>一1时，一m<1,可得不等式的解集为{xx≤一m 则m-1≠0，且△>0，x1+x2=- 或x≥1. >0,x1·x2= a (2)x∈(x1≤x≤2}时，x≤x2十mx十n≤4x恒成立， >0, 即为1≤x十”+m≤4对r∈{x1≤r≤2设成立， (m一1≠0 (2m-4)2-4m(m-1)>0 m-1≠0 即存在实数m,传得一7一”十1<m≤一一2十4对x 2m-4>0 -12m+16>0 n一1 (2m-4)(m-1)<0 ∈{x1≤x≤2恒成立， >0 m(m-1)>0 所以（一+1小≤m≤（一是+4）·周光 /min (m一1≠0 （+）≤（←+4） m<号 由于<0时，=一兰y=-x在[1,2]上均为单调递减 1<m<2. m<0或m>1 的画数，故y=-1一(m<0)在[1,2]上单调递减， 郎得：1长m<专 所以一川<2-受，即≥一4，所以负数n的最小值为一4 第10讲 品数的概念及其表示 变式2【答案】{t≤-21 【解析】因为不等式-2x2+bx十c>0的解集{x-1<x 【经典例题】 题型一 <3. 变式1【答案】ABD -1+3=2 1b=4 【解析】根据函数定义，A选项，对于任意的x,只有唯一 所以 ,解得 确定的y与其对应，满足函数定义，A正确： (-1)×3=-2 c=61 B选项，对于任意的x∈(1,2,3,4)，均由唯一确定的y 因为对任意一1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒 与其对应，满足函数定义，B正确： 成立， C选项，对于x=1,有y=1和一1与其对应，不是函数，C 所以为对任意一1≤x≤0，不等式1≤-2x2一4x一2恒 错误： 成立， D选项，对于任意的x∈{1,2,3}，均由唯一确定的y与 令y=-2.x2-4x-2, 其对应，满足函数定义，D正确. =-2(x+1)2≥-2， 故选：ABD. 所以1≤-2， 变式2【答案】AD 故答案为：{t1≤一2. 【解析】选项BC:对于定义域内每一个x都有唯一的y 题型七 与之相对应，满足函数关系，故B,C正确： 变式1【答案】m< 选项A,D:存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对 应的唯一性，故A、D错误： 【解析】当m=0时，方程为2x十2=0，有一个负根， 故选：AD. 当m≠0时，m.x+2x十2=0为一元二次方程， 题型二 关于x的方程mx2+2x十2=0至少有一个负根，设根为 变式1【答案】C x1+x2 【解析】因为√x一2有意义，所以x|一2≥0，所以x 当△=48m=0时，即m=之时，方程为分r2+2r十2 1 ≥2， 所以1≤-2或x≥2，即实数x∈(-o∞，-2]U[2.十∞). 0,解得x=一2，满足题意， 故选：C 当△=4-8m>0,即m<号时，且m≠0时， 变式2【答案】D x>0. 若有一个食根，则-品<0，解得m<0, 【解析】 由题意知10-2>0，解得号<r<5 2x>10-2x. T1十x2= 2∠0 若有两个负根，则 1 即定义城为红昌<r<5 品0 解得0<m< 故选：D. 综上所迷，则实数m的取值范国是m< 1 题型三 变式1【答案】C 故答案为m<2 1 【解析】因为函数f(x十2)的定义战为（一3,4），则一3< x<4,-1<x+2<6, 变式2【解】(1)证明：：a>>c,∴a-c>a-b>0, 所以f(x)的定义域为(-1,6)， <…b>06。>0 1 又因为2x-1>0,即x>2: 83