第2编 第8讲 基本不等式-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（河北衡水高一校考阶段练习）已知 【变式1】（福建泉州·高一校考期中）若a>b,一 12<a<60,15<<36,求a一26，号的取值范围。 定成立的是 () A.a+c>b+c B.a262 C.ac2>bc2 D.1<1 【变式2】（全国·高一专题练习）已知a,b,c,d ∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是 ( A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.acbd 题型六利用不等式的基本性质求代数式的取 值范围 【典例】（山东菏泽·阶段练习）已知一1≤x十y≤≤ 1,1≤x-y≤3，则3.x-2y的取值范围是( A.2≤3x-2y≤8 B.3≤3x-2y≤8 C.2≤3x-2y≤7 D.5≤3.x-2y≤10 【答案】A 【解析】设3x-2y=m(x十y)-n(x-y)=(m -n)x+(m十n)y, 题型五利用不等式的性质比较大小 m= 【典例】（高一课时练习）已知a>b>c>d>0,则 所以 /m-n=3 2 下列结论不正确的是 m+n=-2解得 石·即可得3工 2 A.a+c>b+d B.ac-bd c> > 2=x+0+2x-0 因为-1≤x十y≤1,1≤x-y≤3， 【答案】C 【解析】，a>b,c>d,a十c>b叶d,故A正确： 所以2<3x-2y=+0+号x-y08 a>b>0,c>d>0,.ac>bd,故B正确； 故选：A 取a=4,b=3,c=2,d=0.1,则2=2, b=30,此 【变式1】（河北石家庄·质量检测）已知1≤a十b≤ 4,一1≤a-≤2，则4a一2b的取值范围是( 时吕<宁，故C错误： A.{x-4<x<10}B.{x|-3<x<6} C.{x-2<x<14}D.{x|-2≤x≤10 >>0,则宁>>0又>6>0，则号> b 【变式2】（全国·专题练习）已知1≤a十b≤4，-1 故D正确.故选：C. ≤a一b≤2，则4a一2b的取值范围为 第8讲 基本不等式 知识梳理 Z H IS H I S H U L I 知识点一基本不等式 2.由公式2+≥2ab和士>历可以引申出常 L对公式。2+≥2ab及士>的理解 用结论 (1)成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是 实数，而后者要求a,b都是正数 2+号>≥2a6同号》： (2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是 （2②台+8<-2u6异号. “当且仅当a=b时取等号” 39 衔接必刷题数学 2 (3) 11 ≤/ab=a+b a2+b2 (a>0,b>0) 2 2 这个圆的半径为生，它大于或等于CD,即 a 生>，其中当且仅当点C与圆心重合，即 2 -(a>0,b>0) a=b时，等号成立 知识点诠释：a2十b2≥2ab可以变形为：ab≤ 生产，生≥可以变形为h<( 知识点诠释：1)在数学中，我们称生为a,6的 2 算术平均数，称/ab为a,b的几何平均数.因此基 知识点三基本不等式，<“士的证明 本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数， 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD中有四 D (2)如果把士看作是正数a,b的等差中项va瓜 个全等的直角三角形. 看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可 设直角三角形的两条直角边长 以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等 为a、b,那么正方形的边长为 比中项。 √a2+b.这样，4个直角三角 a+b 形的面积的和是2ab,正方形 知识点四用基本不等式，瓜<求最大小值 ABCD的面积为a2十b2.由于4个直角三角形的 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条 面积小于正方形的面积，所以：a2+2≥2ab.当 件：一正二定三取等， 直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数 方形EFGH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab. ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或 得到结论：如果a,b>0,那么a2+≥2ab.(当且 积必须有一个为定值 仅当a=b时取等号“=”) ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相 特别的，如果a>0,b>0,我们用√a、√b分别代替 等，取得最值. a、b,可得： 知识点诠释：(1)两个不等式：a2+b2≥2ab与 如果a>0,b>0,则a十b≥2√ab.(当且仅当a=b 时取等号“一”) 生>瓜成立的条件是不同的：前者要求a,6 通常我们把上式写作：如果a>0,>0,√a<a十也 都是实数，后者要求a,b都是正数. 2 (当且仅当a=b时取等号“=”). (2)两个不等式：2+8≥2ab与生≥a瓜都是 方法二：代数法 带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取 a2+b-2ab=(a-b)2≥0， “=”号这句话的含义要有正确的理解. 当a≠b时，(a-b)2>0:当a=b时，(a-b)2=0. (3)基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不 所以(a2+仔)≥2ab,(当且仅当a=b时取等号“=”) 等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考 知识点诠释：特别的，如果a>0,b>0,我们用 虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项 ab分别代替a、b,可得： 的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式” 如果a>0,b>0,则a十b≥2√ab,(当且仅当a= 中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值。 b时取等号“=”) (4)利用两个数的基本不等式求函数的最值必须 通常我们把上式写作： 具备三个条件： 如果a>0.b>0va<,(当且仅当a=b时 ①各项都是正数 ②和（或积）为定值. 取等号“=”) ③各项能取得相等的值. 知识点目基本不等式a而<“的几何意义 (5)基本不等式在解决实际问题中有广泛的应 2 用，在应用时一般按以下步骤进行： 如图，AB是圆的直径，点C是 ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最 AB上的一点，AC=a,BC=b,过 大值或最小值的变量定为函数， 点C作DC⊥AB交圆于点D, ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函 连接AD、BD. 数的最大值或最小值问题 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那 ③在定义域内，求出函数的最大或最小值。 么CD=CA·CB,即CD=√ab. ①写出正确答案， 40 第二部分初高中数学知识衔接 经典例题 JINGDIANLITI 题型一对基本不等式的理解及简单应用 【典例】（上海普陀·质量检测）下列不等式中等 ≥3合·=2：①若对V>02++<a恒 号可以取到的是 成立，则a的取值范围是a心5 A.W+5+ >2 B.x2+2+ 1 ≥2 √2+5 2+21 题型二利用基本不等式比较大小 1 【典例】（黑龙江哈尔滨·质量检测）已知某商品 Dx+3+x+3≥2 近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商 【答案】C 品的单价分别为m元和n元(m≠n),甲、乙两人 购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该 【解析】对于A,因为√x2+5>0,所以√x2+5 商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购 1≥22+5· =2,当且仅当 买平均单价分别为a1,a2,则 ) √x2+5 x2+5 A.a=a2 B.a<a2 Vx2+5= 1 ,即x2=一4，故等号不成立，故 C.a1>2 D.a,a2的大小无法确定 √x2+5 【答案】B A不符合： 【解析】 由题意得a1= 200 2mn 100+100m+n 对于B,因为x2+2>0,所以x2+2+,1 m n x2+2 20(m十2）=m十”，因为m>0,n>0,m≠，故 2x2+2) =2,当且仅当x2+2= 40 2 x2+2 m十n 2mn2mn =/mn,即a1<a2, 十2即2=一1，故等号不成立，故B不符合： 2 'm+n2√/mn 故选：B 对于C,因为2>0，所以2+≥2，x2· 【变式1】（全国·课后作业）已知b>a>0,且a十 b=1,那么 ( 2,当且仅当2=子即=士1时取等号，故C A.2ab-a-b a+b∠b a-b 2 符合； B.2aba十ba-b 2 对于D,周为x+3>0,所以x+3+1+3 abh C.a a-b <2a生<b ≥2(x+3)·1+3 =2,当且仅当|x+3 D.2abzatba-b 2 a-b =x+3,即x=一2，故等号不成立，故D不 【变式2】（多选）（广东茂名·质量检测）小王从 甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其 符合 全程的平均速度为0，则 故选：C A.a<v<√ab B.v=√Jab 【变式1】（多选）（福建莆田·阶段练习）下列判 断正确的有 C.Vab<v<atb D.v=2ab a+b A.x+4>≥4(x≠0) B.x+P2三6(x0) 题型目利用基本不等式证明不等式 c42+9>12x0 D+3>2x∈R 【典例】（全国·高一专题练习）已知a>0b>0, W√2+2 【变式2】（安徽淮南·阶段练习）下列推导过程 且a+=1.求证：(1+1+名)≥9， 【证明】因为a>0,b>0,a+b=1, 中，正确的有 .(填写序号) ①若>1，则x+>2…-2+上的最小 所以(1+君+)=(1+）1+安) 值为2：②若x<0则x+1=-[-x+(-1)门 (2+2)2+)=5++≥5+22× 厂（厂）=-4：若a,6eR.则+8 =9仅当-即a=时等号成立 故原题得证. 衔接必刷题数学 【变式】（陕西榆林·高一统考期末）已知a>0, 【解】(1)因应急室的左右两侧的长度均为x b>0. 米，则应急室正面的长度为2米，于是得 1若6=6-。求会的最大值： (2)若a2+962+2ab=a2b2,证明：ab≥8. y=200×4×2x+200×4×32+7200=1600 (+9）+7201<<6. (2y=1600(r+9） +7200>≥1600×2，/x· 16 +7200=20000, 当且仅当=只，即x=4时等号成立，光时在 16]内华=翠=8 故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用 最低，最低20000元. 【变式】（山西太原·高一校联考阶段练习）某游 泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳 池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁 造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其 造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方 米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出 题型四利用基本不等式求最值 泳池的总造价∫(x),问泳池的长为多少米时，可 【典例】（广东惠州·高一统考期末）已知a>0, 使总造价∫(x)最低，并求出泳池的最低造价. b>0,且a+b=4,则ab的最大值为 【答案】4 【解析】.a>0,b>0,a+b≥2√ab,当且仅当 a=b时等号成立，即4≥2√ab,整理可得4≥ab, 所以ab最大值为4.故答案为：4， 【变式1】（广东汕头·高一金山中学校考期中） 已知正实数a,b满足4a十6=18，则。+方的最 小值为 【变式2】（江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段 练习已知a+6=2,且a,>0.a>6,则b十易的 最小值为 题型五利用基本不等式求解恒成立问题 【典例】（广东深圳·高一校考阶段练习）为加强 “疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有 墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方 米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由 于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给 出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方 米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急 室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤6)，公司 整体报价为y元. (1)试求y关于x的函数解析式； (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可 以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 42 第二部分初高中数学知识衔接 题型六基本不等式在实际问题中的应用 【变式1】（河南洛阳·阶段练习）某合作社需要 分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分 【典例】（广东韶关质量检测）在工程中估算平整 装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时， 块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式 需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜， 是W=(长十4)×（宽+4），在不测量长和宽的情况 要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人 下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方 数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社 米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地 员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜 所需的最少费用（单位：元）是 时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验， A.10000 B.10480 这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会 C.10816 D.10818 损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会 【答案】C 损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员 【解析 】设矩形场地的长为x米，则宽为10000米， 的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗 蔬菜量（千克）之和的最小值为 w=(x+4(10000+4=4x+40000+10016 A.10 B.15 C.30 D.45 ≥2/4x.40000 +10016=10816, 【变式2】（青海西宁·阶段练习）某厂计划建造 x 一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池. 当且仅当4x= 4000 ,即x=100时，等号成立. 若池底的造价为120元每平方米，池壁的造价为 100元每平方米，则这个水池的最低造价为 所以平整这块场地所需的最少费用为1×10816 元. =10816元.故选：C. 第9讲 二次函数与一元二次不等式 知识梳理 Z H I S H I S H U L I 知识点一一元二次不等式的概念 △=2-4ac △>0 4=0 △<0 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等 二次函数 式，即形如a.x2+bc+c>0(≥0)或ax2+bx+c y=ar2+br+c (a>0)的图象 <0(≤0)（其中a,b,c均为常数，a≠0，的不等式 都是一元二次不等式) 知识点日二次函数的零点 Qx2十6r十c=0有两相异实根有两相等实根 b 无实根 (a>0)的根 2(< 2a 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把 使a.x2十bx十c=0的实数x叫做二次函数y= ax2+br+c0 rI<x b x|x≠ R (a>0)的解集 或x>x2》 2a a.x2+bx十c的零点. 知识点目一元二次不等式的解集的概念 ax2+br+c<0 rII<I 0 0 (a>0)的解集 <I) 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成 知识点诠释：(1)一元二次方程a.x2十bx十c=0 的集合叫做这个一元二次不等式的解集. (a≠0)的两根x1、x2是相应的不等式的解集的 二次函数与一元二次方程、不等式的 知识点四 端点的取值，是抛物线y=ax2十bx十c与x轴的 解的对应关系 交点的横坐标。 对于一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a>0)的两 (2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式 根为x1、x2且x1≤x2,设△=b2-4ac,它的解按 的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化 照△>0，△=0，△<0可分三种情况，相应地，二 为二次项系数为正的形式，然后讨论解决。 次函数y=a.x2+bx十c(a>0)的图像与x轴的 (3)解集分△>0，△=0，△<0三种情况，得到一 位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况 元二次不等式ax2+bx+c>0与a.x2+b.x+c<0 来讨论一元二次不等式a.x2+bx十c>0(a>0) 的解集。 或ax2+bx十c<0(a>0)的解集.衔接必刷题数学 题型五 变式1【答案】A 2Wx+2· 1=2, √r+2 【解析】若a>b,则a十c>b十c,故A正确： 当且仅当√π+2= 当a=1.b=-2时02=1<1=8，=1>- 11 1一时，即当V+2=1时，等号 26故 √Jr+2 成立， B、D错误： 当c=0时，ac2=bc2=0,故C错误. 但/T2+2>2,故等号不成立，所以， t2+3>2(xeR): +2 故选：A D对. 变式2【答案】A 故选：BCD 【解析】由a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,可得a十c>b+ 变式2【答案】②④ d,A正确： 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x= 取a=3,b=2,c=1,d=0,满足条件，但a-c=b-d,B 错误； 子即1时，等号成主， 取a=3,b=2c=-2d=-3,满足条件，但uc=bd,7 因为x>1,所以x十上>2，①错误： x 么C.D得民收选：A ②由x<0,得-x>0,-4>0.则x+ 题型六 变式1【答案】D [-x+(-)]-2V…(-)=-4 【解析】由-1≤a-b≤2，l≤a+b≤4， 当且仅当-7=一1即x=-2时，等号成立，@正确： 得0≤(a-b)+(a十b)≤6，即0≤2a≤6， -2≤2(a-b)≤4. ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条 所以-2≤2(a-b)+2a≤10.即-2≤4a-2b≤10， 件，当a=1,6=-1时，名+号=-2，③婚误： a 故选：D. 1 1 变式2【答案】-2≤4a-2b≤10 ④当>0时7+3x中 【解析】设4a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x ++32…工+8 -y)b, 所以+y=4 日当且仅当-子即-1时，等号或立， xy=-2解容-1 y=3' 因为1a十b≤≤4，一1a-b≤2， 由对y>0,7牛x+u恒成立，得a≥号，因此a的 则-3≤3(a-b)≤6， 取值范国是>号，①正璃， 因此，-2≤4a-2b≤10. 所以正确命题的序号是②④. 故答案为：-2≤4a-2b≤10. 故答案为：②① 第8讲基本不等式 题型二 变式1【答案】B 【经典例题】 题型一 【解析】 由题意可得：1>6>>心0， 2 2 变式1【答案】BCD :ab< (生)°=即2ab<号 【解析】对于A选项，当r<0时x十1<0，A错： a-人-a2+)a-ba+=a2+b2>a+)2=】 对于B选项，当x>0时，x十2>2， a-b a-b 2 又：b-(a2+b2)=b-[(a+b)2-2ab]=b-(1-2ab)=b x+2-2≥%/x+2).16 则x+2+16 x+2 -2=8-2=6, -1+2ab=a(2b-1)0 16 则b>a2+b2 当且仅当 x+2= +2时，即当x=2时，等号成立，B对： 2ab<atba!b 2 x>0 -66 对于C选项，因为x≠0，则x2>0, 故选：B. 变式2【答案】AD 由基本不等式可得4x2+9 2-12 【解析】设甲，乙两地之间的距离为s,则全程所需的时 当且收当=昌时，中当=士时等号减主，C对 2 所以一 2s 2ab 对于D选项，因为x∈R,则x2十2>2，则/2+2>2， 所以， 2+3=2+2)+1=P+2+1> x2+22+2 /x2+2 因为>a>0,由基本不等式可得而<“十中， 2 80 参考答案 u=2ab<2ab=√ab 题型五 a+b 2 Jab 变式【解】因为泳池的长为x米，则完为四米。 另一方面0=2b a+b a+b a+b 2 期总造价f()=400×(2x+2×20)+100×200+60× a=2-公 va=2ab =0, 200(x∈(0，+∞)). a+b a+b 225 所以>a,则a<√ab 整理得到f(x)=800×(x十 +12000≥1600×15+ x 故选：AD. 12000=36000(x∈(0，+∞))， 题型三 当且仅当x=15时等号成立. 变式【解】(1)周为b=6-1 ,所以b十=6. 故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造 价为36000元. 1)2 题型六 a =9 aa 变式1【答案】B 当且仅当b= aa=3b=3时，等号成立， 【解析】设安排男社员x名，女社员y名， 根据题意，可得后十吉=1：平均损耗蔬菜量之和为盟 故品的最大值为9. +30 (2)证明：图为a2+9b2+2ab>2√a·9b+2ab=8ab. 所以a262≥8ab,又a>0,b>0, 则80+30 y (+四)·（债+）-0+影+曾≥ 解得ab>8, 当且仅当a=25,b=2,5时，等号成立.故b≥8. 2√受×密+曾 3 3 题型四 -婴+罗-15，当里仅省-票中=y=6时等号 9.x2y 变式1【答案】日 成立， 则分装蔬莱的男社员的平均损耗蔬莱量（千克）与女社员 【解析】因为正实数a,b满足4a十b=18, 的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15. 所以号+1， 故选：B 所以日+古-（日+）（台+） 变式2【答案】2080 【解析】因为水池的容积为8m3,深为2m,所以底面积 =2+b+2+1 为4m2, 9T18a9618 5 设水池池底的一边长为xm(x>0),则另一边长为m, 当且仅当流-品即a=36=6时取等号 则总造价y=4×120+10×(2x+2·)×2 所以十的藏小为 =480+40(r+4) 故答案为： ≥480+400×2V·王-2080（元. 变式2【答案】2+5 当且仅当x=手，即x=2时y取最小值为2080， 【解析】由a十b=2,得a=2-b.又a,b∈R+,a>b: 所以水池的最低造价为2080元。 2-b>b 故答案为：2080. 所以 ,解得0<<1.所以0<2-2b2, 1b>0 第9讲 二次函数与一元二次不等式 所以+=+品=(2+)· 3 1 【经典例题】 2+D-北1+3+2%+%] 题型一 2 变式1【答案】D ≥号 2b =2+5, 【解析】由方程2x2-11x+12=0,即(x-4)(2x-3)= 当里仪吉22即6-3.1时等 0,解得x=号或=4， 2b 不等式2x2-11x+12<0.可得(x-4)(2x-3)<0,解得 号成立 故答案为：2十5. <r<4, 2