第2编 第7讲 等式性质与不等式性质-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

参考答案 对于B选项，无理数2的立方为2，且2为无理数，B对： 所以M>N. 对于C选项，若xy为整数，则2x、4y均为偶数，所以，2z 故选：A. 十4y也为偶数， 变式2【答案】 a<h 则2x+4y=5不成立，C错： 【解析】因为b-a=2(x十2)2-(x十1)(x十3)-2x2+ 对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对. 8.x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所 故选：C 以a<b. 变式2【答案】C 题型三 【解析】A为真命题：B和D为全称量词命题： 变式1【答案】D 因为x,y∈R,所以x2≥0，y2≥0，故x2+y≥0，故C为 【解桥】对于A,当a=1,6=-2,则启>方，故A不 假命题，故选：C a 题型三 正确： 变式1【答案】B 对于B,当b=0时，由a>b可得ab=b2=0,故B不正确： 【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可 对于C,当a=2.b=1,c=0时，十=么，故C不正确： 'a十ca 得到命题：“3x∈R,x2+1<0"的否定是”Hx∈R,x2+1 对于D,因为c2+1>0恒成立，所以由a>b可得a(c2+ ≥0”， 1)>b(c2+1),故D正确.故选：D. 故选：B 变式2【答案】BC 变式2【答案】A 【解析】因为x∈AUB即x∈A或x∈B,所以命题p的 【解析】对于A,若a-1,h=一1，则上=1>人=-1，所 d 否定为x任A且x任B. 以A错误， 故选：A, 对于B,因为a>b,所以一a<-b,因为c>0,所以一ac< 题型四 一bc,所以B正确， 变式1【答案】A 对于C,因为a>b,a>0,c>0,所以c(a一b)>0,a(a十c) 【解析】易知：3x∈R,x2-4x十a=0是上述原命题的 >0, 否定形式，故其为真命题，则方程x2一4x十a=0有实数 btcb_a(bte)-bate)_c(a-b)0. 根，即△=16-4a≥0→a≤4.故选：A. a+c a a(a+c) a(a+c) 变式2【答案】B 所以什S>b,所以C正确， 【解折】图为今超~3xER,使22+(a-1Dx十宁长0 d十ca 是假命题，所以2x2+(a-1)x+2>0位成立，所以△= 时于D,若=1.6-1.则答+答-1+1=2，所以D 错误， (a-1)2-4×2×g<0.解得-1<a<3,故实数4的取 故选：BC 题型四 值范围是（一1,3）. 变式1【证明】因为a,b,c是三角形的三边，则b十c>a 第7讲等式性质与不等式性质 aa十42a >0,由材料1)知b十c6+c+aa+b+C 【经典例题】 同理6<2b,<2 题型一 a+ca+b+ca十ba+b+由材料(2)得： 变式1【答案】D 2c 【解析】依题意，请工人满足的关系式是50x十40y≤ 2000. 2(a+b+2=2, a+b+c 即5x+4y≤200. 所以原不等式成主 故选：D 变式2【解】因为15<<36，所以-72<-2b<-30. 变式2【答案】B 又12<a<60, 【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘米)，故导火 所以12-72<a-2b<60一30. 索燃烧的时间为书， 即-60<a-2b<30. 因为12<a<60,所以24<2a<120, 人在此时同内跑的路程为(×品)来，由题意可得4× 国为15<36，所以第品 6≥10. 所以酷<器 故选：B 题型二 即号名<8 变式1【答案】A 【解析】因为M-N=(2a2+5a+4)-(a+1)(a+3) 所以a-26的取值范偶是(-60,30)，2的取值花国 +a+1=(+2+>0 是（号8 衔接必刷题数学 题型五 变式1【答案】A 2W2+2· 1=2, √x+2 【解析】若a>b,则a十c>b十c,故A正确： 当且仪当√+2=一1时，即当√F+2=1时，等号 当a=16=-2时，02=1<4=，=1>-号=名 26,故 √r2+2 成立， B、D错误： 当c=0时，ac2=bc2=0故C错误 但2+2≥√2，故等号不成立，所以， x2+3>2(xER), 2+2 故选：A. D对 变式2【答案】A 故选：BCD, 【解析】由a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,可得a十c>b+ 变式2【答案】②④ d,A正确： 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x 取a=3,b=2,c=1,d=0,满足条件，但a-c=b-d,B 错误： 子即一1时，等号成主。 取a=3,b=2c=-2,d=-3,满足条件，但ac=bd, 因为x>1,所以x十>2，①错误： 么，C,D错误：故选：A. ②由x<0,得-x>0,-4>0.则x+ 题型六 变式1【答案】D -[-+(4)]小水-2…(-)=-4. 【解析】由-1≤a-b≤2,1≤a+b≤4， 当且仅当一x=一即x=一2时，等号成立，@正确： 得0≤(a-b)十(a+b)≤6.即0≤2a≤6， -2≤2(a-b)≤4， ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条 所以-2≤2(a-b)+2a≤10，即-2≤4a-2b≤10， 件，当a=1,6=-1时，名+号=一2，③错误： 故选：D. 1 1 变式2【答案】-2≤4a-2b≤10 国当>0时牛3x+ 【解析】设4a-2b=x(a十b)+y(a-b)=(.x+y)a+(x ++32 工+3 -y)h, 所以 x+y=4 吉当且仅当=即x=1时，等号成立 y=3' 因为1≤a十b≤4，-1≤a-b≤2 由时V>0,+x+a成立，得a≥号，周此a的 则-3≤3(a-b)≤6， 取值范周是a>号，④正境， 因此，-2≤4a-2b≤10. 所以正确命题的序号是②④ 故答案为：一2≤4a-2b≤10. 故答案为：②④ 第8讲基存不等式 题型二 变式1【答案】B 【经典例题】 题型一 【解标】由题意可得：1>>>。>0，生- 2 2 变式I【答案】BCD “b<(安)'=即2ab长号 【解析】对于A选项，当r<0时，E十1<0，A错： 。--G+2aa+0-+b>a=号 对于B选项，当x>0时，x十2>2， a-b a-b 2 对+2+9-22√+. 又，b-(a2+b2)=b-[(a+b)2-2ab]=b-(1-2ab)=b x+2 -2=8-2=6, -1+2ab=a(2b-1)>0 当且仅当 /x+2=16 则b>a2+b2 x+2时，即当x=2时，等号成立，B对： .2ab<atb-a-b 2 x>0 a-66 对于C选项，因为x≠0，则x2>0, 故选：B 变式2【答案】AD 由基本不等式可得x2+9 ≥2/4x2.9 212, 【解析】设甲，乙两地之间的距离为5，则全程所需的时 当且收当=是时，即雪=士时，等号成立，C对 间为+方 a 所以v= 2s 2ab 对于D选项，因为x∈R,则x2+2>2,则W2+2>2, a 所以， 2+3-2+2)+1-√2+2+1≥ +2√x2+2 √x2+2 因为b>a>0,由基本不等式可得√ab<a色， 2· 80第二部分初高中数学知识衔接 【变式1】（湖南长沙·阶段练习）若命题“Hx∈ 【变式2】已知命题3x∈R,使2x2+(a-1)x+ R,x2一4x十a≠0”为假命题，则实数a的取值范 1 围是 ( ≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( A.a≤4 B.a<4 A.{aa≤-1} B.{a-1<a<3} C.a<-4 D.a≥-4 C.{a-1≤a≤3} D.{a-3<a<1} 第7讲 等式性质与不等式性质 知识梳理 Z H IS H I SH U L I 知识点符号法则与比较大小 (3)可加性：a>b台a+c>b十c(c∈R). 1.实数的符号 {c>0→ac>bc 任意x∈R,则x>0(x为正数)、x=0或x<0(x (4)可乘性：a>b,{c=0→ac=bc c<0→ac<bc 为负数)三种情况有且只有一种成立， 2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质 2.运算性质 (1)两个同号实数相加，和的符号不变 (1)可加法则：a>b,c>d→a+c>b+d. 符号语言：a>0,b>0→a+b>0: (2)可乘法则：a>b>0,c>d>0→ac>b>0. a<0,b<0→a+b<0. (3)可乘方性：a>b>0,n∈N"→a">b">0. (2)两个同号实数相乘，积是正数 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的 符号语言：a>0,b>0→ab>0: 依据. a<0,b<0→ab>0. 知识点目比较两代数式大小的方法 (3)两个异号实数相乘，积是负数 1.作差法 符号语言：a>0,b<0→ab<0. 任意两个代数式a、b,可以作差a一b后比较a一b (4)任何实数的平方为非负数，0的平方为0 与0的关系，进一步比较a与b的大小. 符号语言：x∈R→x2≥0，x=0台x2=0. ①a-b>0→a>b. 3.比较两个实数大小的法则 ②a-b<0→a<h. 对任意两个实数a、b ③a-b=0→a=b. ①a-b>0-→a>b. 2.作商法 ②a-b<0→a<b. 任意两个值为正的代数式a,b,可以作商a÷b后比较 ③a-b=0台a=b. 对于任意实数a、b,a>b,a=b,a<b三种关系有 公与1的关系进一步比较a与b的大小 且只有一种成立. ①4>1=a>h. 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来 比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也 是证明不等式与解不等式的主要依据： @分<1a<b. 知识点二不等式的性质 ®分-1=a=b, 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 3.中间量法 1.基本性质 若a>b且b>c,则a>c(实质是不等式的传递 (1)对称性：a>b→b<a. 性).一般选择0或1为中间量. (2)传递性：a>b,b>c→a>c. 经典例题 JINGDIAN LIT I 题型一用不等式（组）表示不等关系 A.a+b+c<130且abc<72000 【典例】（甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司 B.a+b+c>130且abc>72000 C.a+b+c≤130且abc≤72000 关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品 D.a+b+c≥130且abc≥72000 的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体 【答案】C 积不超过72000cm3,设携带品外部尺寸长、宽、 【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得a十b 高分别记为a,b,c(单位：cm),这个规定用数学 +c≤130，由体积不超过72000cm3得abc 关系式可表示为 72000.故选：C. 3 衔接必刷题数学 【变式1】（黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成 【变式1】（广东深圳·质量检测）已知a,b,c∈R, 一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦 a>b,则下列一定成立的是 工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000 B.abb2 元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系 式是 C.btcb D.a(c2+1)>b(c2+1) A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 a+c-a C.5.x+4y=200 D.5.x+4y≤200 【变式2】（山东日照·质量检测）若实数a,b,c满 【变式2】（全国·高一专题练习）在开山工程爆 足a>b(b≠0)且a>0,c>0,则下列不等式正确 破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米， 的是 人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以 A.1< 外（含100米）为安全区.为了使导火索燃尽时人 ab B.-ac<-bc 能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米) C.cb a十ca D.+>2 应满足的不等式为 ( A4×0<100 &4×话≥10 题型四利用不等式的性质证明不等式 【典例】（高一课时练习）证明下列不等式： C.4×0≤100 D4×100 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证：∫-ac<e-bc: 题型二作差法作商法比较两数（式）的大小 ②已知a>>0.dK0,求证骨√ 【典例】（重庆长寿·质量检测）设a,b为正数，且 【证明】(1)：a>b,c>0, a<.记P-名，Q-(m>0),则 ∴.ac>bc,.-ac<-bc, b+m ( 又因为e>f,即f<e, A.P=Q B.P>Q 所以f-ac<e-bc. C.P<Q D.P,Q大小关系不确定 【答案】C d 【解析】Q-P=a十m-a=ab十bm-ab-am b+m b b(b十m) 又a>b>0- 2>-”,..4b. d =a,b为正数，且a<b,m>0,则 mha>0.∴Q-P>0…P<Q,故选：C 【变式1】（高一课时练习）阅读材料：(1)若x>y b(b+m) 【变式1】（云南昆明·质量检测）设M=2a十5a >0,且m>0,则有义<)士m,(2)若a<b,c<d, xx十m +4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关 则有a十c<b十d. 系为 ( 请依据以上材料解答问题： A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 已知a,6c是三角形的三边，求证6千。十。 【变式2】（全国·专题练习）若a=(x十1)(x十3)，b =2(x十2)2，则a与b的大小关系为 2. a+b 题型三利用不等式性质判断命题真假 【典例】（安徽合肥·质量检测）已知a>b,c∈R, 则下列不等式恒成立的是 ( A.a-c>b-c B.a+c>b-c C.ac>be D.a cc 【答案】A 【解析】对于A,因为a>b,c∈R,所以a一c>b 一c,故A正确；对于B,取a=1,b=0,c=一1，则 a+c=0<1=b-c,故B错误；对于C,取c=0, 则ac=bc,故C错误：对于D,取a=1,b=0,c= -1,则只=-1<0=名故D错说。 故选：A. 38 第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（河北衡水高一校考阶段练习）已知 【变式1】（福建泉州·高一校考期中）若a>b,一 12<a<60,15<<36,求a一26，号的取值范围。 定成立的是 () A.a+c>b+c B.a262 C.ac2>bc2 D.1<1 【变式2】（全国·高一专题练习）已知a,b,c,d ∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是 ( A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.acbd 题型六利用不等式的基本性质求代数式的取 值范围 【典例】（山东菏泽·阶段练习）已知一1≤x十y≤≤ 1,1≤x-y≤3，则3.x-2y的取值范围是( A.2≤3x-2y≤8 B.3≤3x-2y≤8 C.2≤3x-2y≤7 D.5≤3.x-2y≤10 【答案】A 【解析】设3x-2y=m(x十y)-n(x-y)=(m -n)x+(m十n)y, 题型五利用不等式的性质比较大小 m= 【典例】（高一课时练习）已知a>b>c>d>0,则 所以 /m-n=3 2 下列结论不正确的是 m+n=-2解得 石·即可得3工 2 A.a+c>b+d B.ac-bd c> > 2=x+0+2x-0 因为-1≤x十y≤1,1≤x-y≤3， 【答案】C 【解析】，a>b,c>d,a十c>b叶d,故A正确： 所以2<3x-2y=+0+号x-y08 a>b>0,c>d>0,.ac>bd,故B正确； 故选：A 取a=4,b=3,c=2,d=0.1,则2=2, b=30,此 【变式1】（河北石家庄·质量检测）已知1≤a十b≤ 4,一1≤a-≤2，则4a一2b的取值范围是( 时吕<宁，故C错误： A.{x-4<x<10}B.{x|-3<x<6} C.{x-2<x<14}D.{x|-2≤x≤10 >>0,则宁>>0又>6>0，则号> b 【变式2】（全国·专题练习）已知1≤a十b≤4，-1 故D正确.故选：C. ≤a一b≤2，则4a一2b的取值范围为 第8讲 基本不等式 知识梳理 Z H IS H I S H U L I 知识点一基本不等式 2.由公式2+≥2ab和士>历可以引申出常 L对公式。2+≥2ab及士>的理解 用结论 (1)成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是 实数，而后者要求a,b都是正数 2+号>≥2a6同号》： (2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是 （2②台+8<-2u6异号. “当且仅当a=b时取等号” 39