第2编 第6讲 全称量词与存在量词-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（湖北十堰高一校考阶段练习）已知集 题型四根据充要条件求参数取值范围 合M={xx<-3或x>5},P={xa≤x≤8}. 【典例】（云南大理高一统考期末）若“不等式x (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P m<1成立”的充要条件为“x<2”,则实数m的 {x5<x≤8}的充要条件： 值为 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= 【答案】1 {x5<x≤8}的一个充分不必要条件； 【解析】解不等式x-m<1得x<m十1， (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= 因为“不等式x一m<1成立”的充要条件为“x<2”, (x5<x≤8}的一个必要不充分条件. 所以2=m十1，解得m=1, 所以，m=1.故答案为：1. 【变式1】（高一课时练习）若“-1<x<1”是“-1 <x一m<1”的充要条件，则实数m的取值是 【变式2】（四川眉山高一眉山市彭山区第一中学 校考阶段练习)设n∈N,一元二次方程x2一4x 十n=0有整数根的充要条件是n= 题型五充要条件的证明 【典例】（福建宁德高一福建省霞浦第一中学校考 期未)求证：x=1是一元二次方程ax2+bx十c=0 的一个根的充要条件是a十b+c=0(a≠0). 【证明】(1)充分性：由a十b+c=0得a×12+b ×1十c=0. 即x=1满足方程ax2十bx十c=0. .x=1是方程ax2十bx十c=0的一个根. (2)必要性：x=1是方程a2十b十c=0的一个根， 将x=1代入方程a.x2十bx十c=0得a十b十c=0. 故x=1是一元二次方程a.x2+bx十c=0的一个 根的充要条件是a十b十c=0(a≠0). 第6讲 全称量词与存在量词 知识梳理 Z H IS H I S H U L I 知识点一全称量词与全称量词命题 3.存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、 1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫 “有的”，表示个别或一部分的含义 做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词 知识点三命题的否定 的命题，叫做全称量词命题. 1.全称量词命题p:Vx∈M,p(x),它的否定一p: 2.全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x, 3xo∈M,一p(xo),全称量词命题的否定是存在 有p(x)成立，可简记为：Vx∈M,p(x). 量词命题. 3.常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、 2.存在量词命题p:3xo∈M,p(xo),它的否定一p: “任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全 Hx∈M,一p(x),存在量词命题的否定是全称 部的含义 量词命题 知识点二存在量词与存在量词命题 知识点四常见的命题的否定形式 1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫 原 至少有至多有 对任意x∈A 做存在量词，并用符号“了”表示，含有存在量词 语句 是 都是 一个 一个 使p(x)真 的命题，叫做存在量词命题. 否定 不 一个也至少有 存在x∈A 2.存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0, 不是 形式 都是 没有 两个 使p(.x)假 使p(xo)成立，可简记为，3xo∈M,p(xo). 35 衔接必刷题数学 经典例题 JINGDI A N LI T I 题型一全称量词命题与存在量词命题判断 【变式1】（湖北武汉·高一武汉外国语学校（武 汉实验外国语学校)校考期未)下列命题中不正 【典例】（江苏·专题练习）判断下列命题是全称 确的是 量词命题，还是存在量词命题： A.对于任意的实数a,二次函数y=x2十a的图 (1)正方形的四条边相等： 象关于y轴对称 (2)至少有一个正整数是偶数： B.存在一个无理数，它的立方是无理数 (3)正数的平方根不等于0： C.存在整数x、y,使得2x十4y=5 (4)有两个角为45的三角形是等腰直角三角形. D.每个正方形都是平行四边形 【解】(1)正方形的四条边相等可以理解为所有 【变式2】（湖南郴州·高一校考阶段练习）下列 正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题. 是存在量词命题且是假命题的是 (2)至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存 A.3x∈Z,x2>2 在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题. B.Hx∈R,x2>0 (3)正数的平方根不等于0可以理解为所有正数 C.3x,y∈R,x2+y2<0 的平方根都不等于0，所以是全称量词命题. D.Hx∈R,x2∈N (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是 题型目含有一个量词的命题的否定 等腰直角三角形，所以是全称量词命题 【典例】（广东深圳·高一深圳外国语学校校考期 【变式1】（广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶 中)命题“3x∈R,6十3x0一2=0”的否定为( 段练习)下列命题中全称量词命题的个数是() A.Vx∈R,x2+3.x-2=0 ①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边 B.Vx∈R,x2+3.x-2≠0 C.3x1∈R,x+3x-2=0 形也是菱形：③n(n≥3，n∈N)边形的内角和是 (n-2)×180. D.3x1∈R,x+3.x1-2≠0 A.0 B.1 【答案】B C.2 D.3 【解析】命题“3xo∈R,x+3.x0一2=0”为存 【变式2】（高一单元测试）下列命题是存在量词 在量词命题，其否定为：Vx∈R,x2+3x一2≠0. 命题的是 故选：B ( ) A.一次函数的图象都是上升的或下降的 【变式1】（高一课时练习）命题“了x∈R,x2+1<0” 的否定是 () B.对任意x∈R,x2+x十1<0 A.Vx∈R,x2+1<0B.Hx∈R,x2+1>0 C.存在实数大于或者等于3 C.3x∈R,x2+1>0D.3x∈R,x2+1≥0 D.菱形的对角线互相垂直 【变式2】（高一课时练习）已知命题p:x∈AUB, 题型二全称量词命题与存在量词命题真假判断 则命题p的否定是 ( 【典例】（多选）（广东惠州·阶段练习）下列命题 A.xEA且xB B.x氏A或x任B 中是全称量词命题并且是真命题的是 ) C.xtA∩B D.x∈A∩B A.矩形的对角线互相平分且相等 题型四根据命题的真假求参数 B.对任意非正数c,若a≤b十c,则a≤b 【典例】 (浙江·阶段练习)若命题P:3x∈R,x2 C.有些菱形不是平行四边形 十2x+2一m<0是假命题，则实数m的取值范 D.对任意实数x,不等式x2-3x+7>0恒成立 围是 ( ) 【答案】ABD A.m>1 B.m≤1 【解析】A选项，矩形的对角线互相平分且相 C.m<1 D.m≥1 等，为全称量词命题，且是真命题，A正确：B选 【答案】B 项，对任意非正数c,若a≤b十c,则a≤b,为全称 【解析】x2+2x+2-m<0曰m>x2+2x+2= 命题，且是真命题，B正确：C选项，有些菱形不 (x+1)2+1. 是平行四边形为存在量词命题，C错误：D选项， P是假命题，则其否定Hx∈R,m≤(x十1)2十1 对任意实数x,不等式x2一3x十7≥0恒成主，为 恒成立为真， 全称量词命题，因为△=（一3）2-4×7<0，故不 又[(x十1)2+1]mim=1 等式x2-3x十7≥0恒成立，为真命题，D正确. 故m≤1， 故选：ABD. 故选：B. 36 第二部分初高中数学知识衔接 【变式1】（湖南长沙·阶段练习）若命题“Hx∈ 【变式2】已知命题3x∈R,使2x2+(a-1)x+ R,x2一4x十a≠0”为假命题，则实数a的取值范 1 围是 ( ≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( A.a≤4 B.a<4 A.{aa≤-1} B.{a-1<a<3} C.a<-4 D.a≥-4 C.{a-1≤a≤3} D.{a-3<a<1} 第7讲 等式性质与不等式性质 知识梳理 Z H IS H I SH U L I 知识点符号法则与比较大小 (3)可加性：a>b台a+c>b十c(c∈R). 1.实数的符号 {c>0→ac>bc 任意x∈R,则x>0(x为正数)、x=0或x<0(x (4)可乘性：a>b,{c=0→ac=bc c<0→ac<bc 为负数)三种情况有且只有一种成立， 2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质 2.运算性质 (1)两个同号实数相加，和的符号不变 (1)可加法则：a>b,c>d→a+c>b+d. 符号语言：a>0,b>0→a+b>0: (2)可乘法则：a>b>0,c>d>0→ac>b>0. a<0,b<0→a+b<0. (3)可乘方性：a>b>0,n∈N"→a">b">0. (2)两个同号实数相乘，积是正数 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的 符号语言：a>0,b>0→ab>0: 依据. a<0,b<0→ab>0. 知识点目比较两代数式大小的方法 (3)两个异号实数相乘，积是负数 1.作差法 符号语言：a>0,b<0→ab<0. 任意两个代数式a、b,可以作差a一b后比较a一b (4)任何实数的平方为非负数，0的平方为0 与0的关系，进一步比较a与b的大小. 符号语言：x∈R→x2≥0，x=0台x2=0. ①a-b>0→a>b. 3.比较两个实数大小的法则 ②a-b<0→a<h. 对任意两个实数a、b ③a-b=0→a=b. ①a-b>0-→a>b. 2.作商法 ②a-b<0→a<b. 任意两个值为正的代数式a,b,可以作商a÷b后比较 ③a-b=0台a=b. 对于任意实数a、b,a>b,a=b,a<b三种关系有 公与1的关系进一步比较a与b的大小 且只有一种成立. ①4>1=a>h. 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来 比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也 是证明不等式与解不等式的主要依据： @分<1a<b. 知识点二不等式的性质 ®分-1=a=b, 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 3.中间量法 1.基本性质 若a>b且b>c,则a>c(实质是不等式的传递 (1)对称性：a>b→b<a. 性).一般选择0或1为中间量. (2)传递性：a>b,b>c→a>c. 经典例题 JINGDIAN LIT I 题型一用不等式（组）表示不等关系 A.a+b+c<130且abc<72000 【典例】（甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司 B.a+b+c>130且abc>72000 C.a+b+c≤130且abc≤72000 关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品 D.a+b+c≥130且abc≥72000 的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体 【答案】C 积不超过72000cm3,设携带品外部尺寸长、宽、 【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得a十b 高分别记为a,b,c(单位：cm),这个规定用数学 +c≤130，由体积不超过72000cm3得abc 关系式可表示为 72000.故选：C. 3衔接必刷题数学 变式2【答案】70 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B二A 【解析】根据题意使用过“扫 扫码支付 共享单车 当1-a>1+,即a<0时，B={x1+a<x<1-a}, 码支付”、“共享单车”的人数用 则十a>,1解得-2<a<0: Venn图表示如图， 1-a<3, 20 使用过“共享单车”或“扫码支 10 当1-a<1+a,即a>0时，B={x1-a<x<1+a}, 付”的学生共有90位，使用过 “扫码支付”的学生共有80位， 时C.郑得0Ca2 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的 综上，a的取值范国是{a-2<a<0或0<a<2}. 学生有90一80=10人， 变式2【解】(1)MnP-{x5<x≤8}的充要条件是-3 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有 ≤a≤5，所以实数a的取值范国是{a一3≤a≤5. 60位， (2)由(1)知，M∩P={x|5<x≤8)的充要条件是-3≤a 则使用过“共享单车”的学生人数为10十60=70， 5, 故答案为：70. 则当a∈[一3,5]时，是M∩P={x5x8}的一个充分 第5讲充分条件与必要条件 但不必要条件： 比如a=0是所求的一个充分但不必要条件.（答案不唯 【经典例题】 一) 题型一 (3)求实数a的取值范国，使它成为M∩P={x|5<x≤ 变式1【答案】B 8}的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{|一 【分析】先解不等式，再利用集合的包含关系判断. 3≤a≤5}是它的一个真子集. 【解折】由题易知品<0的解集为[-1,12.[-1. 如果{aa≤5}时，未必有M∩P={x5<x≤8}， 但是M∩P={x5<x≤8}时，必有a≤5， 12)真包含于[-1,12]， 故{aa≤5}是所求的一个必要但不充分条件.（答案不唯 故-1长≤12是“品0的必要不克分条件。 一) 故选B 题型四 变式2【答案】A 变式1【答案】0 【解析】将x=3代入x2-8.x+15=0中，得9-24十15 【解析】一1<x-m<1→m-1<x<m十1. =0, 则{x|-1<x<1}={xm-1<x<m+1), 所以“x=3”是“x2-8.x十15=0”的充分条件： 即 m-1=-1 m+1=1 →m=0. 由x2-8x+15=0,得(x-3)(x-5)=0,即x=3或x =5, 故答案为：0 ∴.“x=3”不是“x2-8x十15=0”的必要条件， 变式2【答案】3或4 ∴.“x=3”是“x2一8x十15=0”的充分不必要条件. 【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方 故选：A 数、整除等进行判断计算. 题型二 x=4生6=4m=2士/-”，因为r是整数，即2十 变式1【答案】m<0 2 【解析】因为a是B的充分非必要条件， √4一n为整数，所以4一n为整数，且n≤4，又因为n∈ 所以{x-1<x<0)是{xm-1<x<-3m}的真子集， N,取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4特合题意：反之n )（不同时取等号)，解得m<0 3,4时，可推出一元二次方程x2-4x十n=0有整数根. 所以实教m的取值范国是m<0. 第6讲全称量词与存在量词 故答案为：m<0. 【经典例题】 变式2【答案】{mlm>2} 题型一 【解析】由题意，得x∈A→x∈B,但x∈Bx∈A, 变式1【答案】C .AB,.3<m十1，即m>2, 【解析】命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词 故答策为m>2. 命题. 题型三 故选：C 变式1【解】(1)假设存在满足条件的实数a,则B=A, 变式2【答案】C 即x1=-1,x2=3. 【解析】选项A,B,D中的命题都是全称量词命题，选项 因为x1x2是关于x的方程x2-2.x一a2+1=0的两个 C中的命题是存在量词命题， 不同的实数根，所以-1×3=一a2+1, 故选：C 即a2=4,解得a=士2，即当a=士2时，“x∈A”是“x∈B” 题型二 的充要条件， 变式1【答案】C (2)由题意可知，关于x的方程x2一2x一a2+1=0的两 【解析】对于A选项，对于任意的实数，二次函效y= 根分别为1一a和1十a x2十a图象的对称轴为y轴，A对： 8 参考答案 对于B选项，无理数2的立方为2，且√2为无理数，B对： 所以M>N. 对于C选项，若x、y为整数，则2x、4y均为偶数，所以，2x 故选：A. 十4y也为偶数， 变式2【答案】a<b 则2x+4y=5不成立，C错： 【解析】因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2.x2+ 对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对 8.x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所 故选：C 以a<b. 变式2【答案】C 题型三 【解析】A为真命题：B和D为全称量词命题： 变式1【答案】D 因为x,y∈R,所以x2≥0，y2≥0，故x2+y2≥0，故C为 假命题，故选：C. 【解折】对于A当a=16=-2,则>方故A不 题型三 正确： 变式1【答案】B 对于B,当b=0时，由a>b可得ab=b2=0,故B不正确： 【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可 对于C,当a=2,b=1,c=0时，士S=么，故C不正确： a+e a 得到命题：“3x∈R,x2+1<0"的否定是"Vx∈R,x2+1 对于D,因为c2+1>0恒成立，所以由a>b可得a(c2+ ≥0”， 1)>b(2+1),故D正确.故选：D. 故选：B 变式2【答案】BC 变式2【答案】A 【解析】因为x∈AUB即x∈A或x∈B,所以命题p的 【解析】对于八，若a=1,6=-1,期是=1>公-=-1，所 否定为x任A且xB. 以A错误， 故选：A. 对于B,因为a>b,所以一a<-b,因为t>0,所以-ac< 题型四 一bc,所以B正确， 变式1【答案】A 对于C,因为a>b,a>0,c>0,所以c(a一b)>0,a(a十c) 【解析】易知：3x∈R,x2-4x十a=0是上述原命题的 >0, 否定形式，故其为真命题，则方程一4x十a=0有实数 所以士s-b=a+c)-ba+d=ca->0. 根，即△=16-4a≥0-→a≤4.故选：A a+c a a(a+c) a(a+c) 变式2【答案】B 所以生>么，所以C正确， 解折】因为令题~3r∈R,使2+(a一1)江十宁<0” d十ca La? 是假命题，所以2x2+(a-1)x十 2>0恒成立，所以4 对于D,若=1b=1:则十=1十1=2，所以D 错误， (a-1)2-4X2×合<0，解得-1<a<3,故实教a的取 故选：BC 题型四 值范国是（一1,3）. 变式1【证明】因为a,b,c是三角形的三边，则b十c>a 第7讲等式性质与不等式性质 aa十a2a >0,由材料(1)知千c6十c十aa+b+e 【经典例题】 题型一 同理千。治-a千D。6+由样并②)得 2b c 2c 变式1【答案】D 2c 【解析】依题意，请工人满足的关系式是50x十40y≤ 2000, 2a+b+2=2, a+b+c 即5x+4y≤200. 所以原不等式成立 故选D. 变式2【解】因为15<b<36,所以-72<-2h<-30. 变式2【答案】B 又12a<60, 【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘来)，故导火 所以12-72<a-2b60-30 索然烧的时间为秒， 即-60<a-2b<30. 因为12<a<60,所以24<2a<120, 人在此时同内跑的路程为(4×品)来，由题意可得4× 因为15<36，所以品 0.5≥10. 所以酷云<罗 故选：B 题型二 即号0<8 变式1【答案】A 【解析】因为M-N=(2a2+5u十4)-(a+1)(a+3)= 所以a一2的取值范偶是(-60,30)，器的取值范国 2+a+1=(a++>0, 是（号8 79