第2编 第5讲 充分条件与必要条件-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（浙江绍兴·质量检测）已知集合A= 【答案】29 (xx2-(2+a)x+2a=0},B={2,5,a2+5a-12. 【解析】 由题意画出ven图，如图所示： (1)若3∈A,求实数a的值： (2)若CBA={5},求实数a的值. 10 12 球类球类与田径田径 由ven图知：参加比赛的人数为26人， 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29 人，故答案为：29. 【变式1】（全国·高一专题练习）疫情期间，某社 区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的 核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13 人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参 加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天 参加的人数最少为 【变式2】（陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高 铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大 发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发 明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使 题型五利用韦恩图求集合 用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90 【典例】（四川·高一校考阶段练习）高一某班共 位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过 有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参 “共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60 加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加 位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生 了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人 共有 位 数是 第5讲 充分条件与必要条件 知识梳理 Z H I S H I S H U L I 知识点一充分条件、必要条件与充要条件的概念 知识点二充分条件必要条件与充要条件的判断 1.符号p→g与pq的含义 1.从逻辑推理关系看 “若p,则q”为真命题，记作：p→q 命题“若p,则g”,其条件p与结论q之间的逻辑关系 “若p,则q”为假命题，记作：p. ①若p→q,但q户p,则p是q的充分不必要条 2.充分条件、必要条件与充要条件 件，9是p的必要不充分条件. ①若p→q,称p是q的充分条件，g是p的必要条件. ②若pq,但q→p,则p是g的必要不充分条 ②如果既有p→q,又有q→p,就记作p台q,这时 件，9是p的充分不必要条件。 ③若→q,且g→p,即q,则p、9互为充要条件 p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件. ①若p户y,且q户p,则p是q的既不充分也不必 知识点诠释：对p→q的理解：指当p成立时，q 要条件. 一定成立，即由p通过推理可以得到q: 2.从集合与集合间的关系看 ①“若p,则q”为真命题 若p:x∈A,q:x∈B, ②p是q的充分条件. ①若A二B,则p是q的充分条件，q是p的必要条件 ③q是p的必要条件. ②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件 以上三种形式均为“p→q”这一逻辑关系的表达 ③若A=B,则p、q互为充要条件. 33 衔接必刷题数学 ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p ①确定哪是条件，哪是结论。 是g的既不充分也不必要条件。 ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论： ④最后判断条件是结论的什么条件 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既 知识点目充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明 不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤 条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件 进行： 的必要性（即证原命题的逆命题成立） 经典例题 JING DI A N L I T I 题型充分条件、必要条件的判断 【变式1】（上海宝山·阶段练习）已知a:一1<x 【典例】（江苏扬州·阶段练习）“a>5”是“a≥ <0,3:m一1<x<-3m.若a是B的充分非必要 4”的 ( 条件，则实数m的取值范围是 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 【变式2】（全国·课后作业）已知A= C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 {x|-1<x<3},B={x|-1<x<m十1}，若x 【答案】A ∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实 【解析】因为a|≥4，所以a≥4或a≤-4，易 数m的取值范围是 得“a>5”是“a≥4或a≤一4”的充分不必要条 题型三根据必要条件求参数取值范围 件，故选：A. 【典例】（高一课时练习）若“x≤一1或x≥1”是 【变式1】（天津·质量检测）“-1≤x≤12”是 “x+1 “x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为 2-12≤0”的 A.充分不必要条件 【答案】-1 B.必要不充分条件 【解析】令A={xa≤-1或x≥l},B={xx<a/, C.充分必要条件 若“x≤一1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条 D.既不充分又不必要条件 件，则集合B是A的真子集，所以a≤一1， 【变式2】（湖北荆州·质量检测）“x=3”是“x2 所以实数a的最大值为一1，故答案为：一1. 8x+15=0”的 【变式1】（高一课时练习）已知集合A={x一1 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 <x<3},B={xx1<x<x2},其中x1,x2(x1< C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2)是关于x的方程x2-2.x一a2+1=0的两个 题型二根据充分条件求参数的取值范围 不同的实数根. 【典例】（河北沧州·阶段练习）已知：一2≤x≤ (1)是否存在实数a,使得“x∈A”是“x∈B”的充 10,9:1-m≤x≤1+m, 要条件？若存在，求出a的取值范围：若不存在， (1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取 请说明理由； 值范围： (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a (2)若p是g的必要不充分条件，求实数m的取 的取值范围. 值范围 【解】(1)由p是g的充分不必要条件，得集合 {x一2≤x≤10}是集合{x|1一m≤x≤1十m}的 1+m≥1-m(1+m≥1-m 真子集，所以{1-m<-2或1一m≤-2 1+m≥10 1+m>10 解得m≥9.所以实数m的取值范围是m≥9. (2)由p是q的必要不充分条件，得集合{x1一m≤ x≤1十m}是集合{x一2≤x≤10}的真子集， 当{x1-m≤x≤1+m}=,则1-m>1十m, 即m<0时，符合题意： 当{x1一m≤x≤1十m}≠0，即m≥0时， 可得网贮102我什产102，解得0长m<3 综上可得m≤3. 34 第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（湖北十堰高一校考阶段练习）已知集 题型四根据充要条件求参数取值范围 合M={xx<-3或x>5},P={xa≤x≤8}. 【典例】（云南大理高一统考期末）若“不等式x (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P m<1成立”的充要条件为“x<2”,则实数m的 {x5<x≤8}的充要条件： 值为 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= 【答案】1 {x5<x≤8}的一个充分不必要条件； 【解析】解不等式x-m<1得x<m十1， (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= 因为“不等式x一m<1成立”的充要条件为“x<2”, (x5<x≤8}的一个必要不充分条件. 所以2=m十1，解得m=1, 所以，m=1.故答案为：1. 【变式1】（高一课时练习）若“-1<x<1”是“-1 <x一m<1”的充要条件，则实数m的取值是 【变式2】（四川眉山高一眉山市彭山区第一中学 校考阶段练习)设n∈N,一元二次方程x2一4x 十n=0有整数根的充要条件是n= 题型五充要条件的证明 【典例】（福建宁德高一福建省霞浦第一中学校考 期未)求证：x=1是一元二次方程ax2+bx十c=0 的一个根的充要条件是a十b+c=0(a≠0). 【证明】(1)充分性：由a十b+c=0得a×12+b ×1十c=0. 即x=1满足方程ax2十bx十c=0. .x=1是方程ax2十bx十c=0的一个根. (2)必要性：x=1是方程a2十b十c=0的一个根， 将x=1代入方程a.x2十bx十c=0得a十b十c=0. 故x=1是一元二次方程a.x2+bx十c=0的一个 根的充要条件是a十b十c=0(a≠0). 第6讲 全称量词与存在量词 知识梳理 Z H IS H I S H U L I 知识点一全称量词与全称量词命题 3.存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、 1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫 “有的”，表示个别或一部分的含义 做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词 知识点三命题的否定 的命题，叫做全称量词命题. 1.全称量词命题p:Vx∈M,p(x),它的否定一p: 2.全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x, 3xo∈M,一p(xo),全称量词命题的否定是存在 有p(x)成立，可简记为：Vx∈M,p(x). 量词命题. 3.常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、 2.存在量词命题p:3xo∈M,p(xo),它的否定一p: “任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全 Hx∈M,一p(x),存在量词命题的否定是全称 部的含义 量词命题 知识点二存在量词与存在量词命题 知识点四常见的命题的否定形式 1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫 原 至少有至多有 对任意x∈A 做存在量词，并用符号“了”表示，含有存在量词 语句 是 都是 一个 一个 使p(x)真 的命题，叫做存在量词命题. 否定 不 一个也至少有 存在x∈A 2.存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0, 不是 形式 都是 没有 两个 使p(.x)假 使p(xo)成立，可简记为，3xo∈M,p(xo). 35衔接必刷题数学 变式2【答案】70 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B二A. 【解析】根据题意使用过“扫 扫码支付 共享单车 当1一a>1十a,即a<0时，B={x1十a<x<1-a}, 码支付”、“共享单车”的人数用 Venn图表示如图， 则十a>1解得-2<4<0： 11-a<3, 使用过“共享单车”或“扫码支 60 0 当1一a<1+a,即a>0时，B={x1-a<x<1+a}, 付”的学生共有90位，使用过 “扫码支付”的学生共有80位， 什C.#释0a2 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的 综上，a的取值范围是{a-2<a<0或0<a<2}. 学生有90一80=10人， 变式2【解】(1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是-3 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有 a≤5，所以实数a的取值范围是{a一3a≤5}. 60位， (2)由(1)知，M∩P=《x5<x≤8}的充要条件是一3≤a 则使用过“共享单车”的学生人数为10十60=70， 5, 故答案为：70. 则当a∈[-3,5]时，是M∩P={x5<x≤8}的一个充分 第5讲充分条件与必要条件 但不必要条件： 比如：一0是所求的一个充分但不必要条件，（答案不唯 【经典例题】 一) 题型一 (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x5<x≤ 变式1【答案】B 8}的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{a一 【分析】先解不等式，再利用集合的包含关系判断 3≤a≤5}是它的一个真子集. 【解折】由题多知品<0的解集为[-1,12.[-1. 如果{aa≤5}时，未必有M∩P={x5<x≤8}， 但是M∩P={x5<x≤8}时，必有a≤5， 12)真包含于[-1,12]， 故{aa≤5}是所求的一个必要但不充分条件，（答案不唯 故-1长≤12是“0”的必要不克分条件 故选：B 题型四 变式2【答案】A 变式1【答案】0 【解析】将x=3代入x2一8.x十15=0中，得9-24十15 【解析】一1<x-m<1→m-1<x<m十1， =0, 则{x-1<x<1)={xm-1<x<n+1}, 所以“x=3”是“x2-8.x十15=0”的充分条件： m-1=-1 即 →m=0. 由x2-8x+15=0,得(x-3)(x-5)=0,即x=3或x {m+1=1 =5, 故答案为：0. ∴.“x=3”不是“x2-8x十15=0”的必要条件， 变式2【答案】3或4 ∴.“x-3”是“x2一8.x十15=0”的充分不必要条件. 【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方 故选：A 数、整除等进行判断计算。 题型二 工=生6=m=2士V-,周为上是整数，即2十 变式1【答案】m<0 2 【解析】因为a是B的充分非必要条件， √4一n为整数，所以√4一n为整敦，且n≤4，又因为n∈ 所以{x-1<x<0}是{xm一1<x<-3m}的真子集， N,取n=1,2,3,4,脸证可知n=3,4特合题意：反之n 则俨不月时取学.解得0 3,4时，可推出一元二次方程x2一4x十n=0有整数根. 所以实数m的取值范国是m<0. 第6讲全称量祠与存在量词 故答案为：m<0. 【经典例题】 变式2【答案】{m|m>2} 题型一 【解析】由题意，得x∈A→xEB,但xEBx∈A, 变式1【答案】C AB,.3<m十1，即m>2, 【解析】命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词 故答案为m>2. 命题. 题型三 故选：C 变式1【解】(1)假设存在满足条件的实数a,则B=A. 变式2【答案】C 即r1=-1,2=3. 【解析】选项A,B,D中的命题都是全称量诃命题，选项 因为x1,x2是关于x的方程x2-2x-a2+1=0的两个 C中的命题是存在量词命题. 不同的实数根，所以一1×3=一a2+1, 故选：C 即a2=4,解得a=士2，即当a=士2时，“x∈A”是“x∈B” 题型二 的充要条件 变式1【答案】C (2)由题意可知，关于x的方程x2一2x一a2十1=0的两 【解析】对于A选项，对于任意的实数，二次函数y= 根分别为1一a和1十a. x2+a图象的对称轴为y轴，A对： 8