第2编 第4讲 集合的基本运算(补集与集合的综合应用运算)-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

参考答案 题型三 变式1【答案】1 解得m>一1，即一 【解析】因为U=R,A={xa<x<b,所以CA={xx m<2 ≤a或x≥b. 又CuA={xx≤-2或x≥3}，所以a=-2,b=3,所以a 故答聚为：一3<m<2 +b=1. 题型五 故答案为：1. 变式1【答案】AB 变式2【答案】-2 【解析】对于AB,因为A=(一1,2,3,4}，B={1,2,3, 5}, 【解析】 解方程2-5+2=0得x=号或x=2,所以 所以A∩B={2,3,AUB={-1,1,2,3,4,5},故A、B 正确： A=合2： 对于C,因为-1∈A,但一1任B,所以A二B不成立，故C 因为U={-2,号，2,3，所以A=-2,3=B, 错误： 对于D,由选项A,B易知A∩B≠AUB,故D错误. 故选：AB. 又3>0，所以3”=3，名=-2，解得a=1,6=-2。 变式2【答案】ACD 故答案为：一2 【解析】因为MCN,所以MUV=V,A正确： 题型四 当MCN时，M∩N≠N,B错误； 变式1【答案】{aa<1) 因为M∩N=M,而MCM,所以M二(M∩N),C正确： 【解析】由已知可求得CRB,集合A与集合CRB有公共 因为MUV=N,而NCV,所以(MUN)CN,D正确. 元素，即可求出实数a的取值范国.由集合B={xx> 故选：ACD. 1},可得CRB={xz≤I}, 第4讲 集合的基本运算（补集与集合的 :A∩CRB≠，可得集合A与集合CRB有公共元素， 徐合应用运算) a<1. 【经典例题】 故答案为：{aa<1}. 题型一 变式2【解】(1)因为3∈A,A={x(x-2)(x-a)=0},所 变式1【答案】B 以a=3. 【解析】由题意可得，CRB={xx≤5}所以(CRB)∩A (2)因为CBA=《5},所以A中有两个元素，即A ={x|0≤x≤5}，故选：B. 变式2【答案】B {2,a},所以a2+5a-12=a, 【解析】由题意可知，=号+-2n中-(2m十1)× 解得a=2或a=一6，由元素的互异性排除a=2可得a= 4 4 -6. ，n∈乙，可知集合M表示的是的寺款倍， 1 题型五 变式1【答案】29 而由x=nEZ可知，集合V表示的是的签数倍， 【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分 即N=MU{=ez,所以vM= 别构成集合A,B,C, 设三天都参加的志愿者人数为x,第一天和第三天均参加 {-要-受aEZ故选：B 的志愿者人数为x十y, 根据题意可作维恩图如图： 题型二 变式1【解】因为U={xx≤4}，A={x|-2<x<3),B A =(x-3<x<3}, 16-1 所以A∩B={x|-2<x<3},AUB={x-3<x<3},C 6+x GA={xx≤-2或3≤x≤4}. 所以Cu(AUB)={xx≤-3或3≤x≤4}. (CA)∩B={x-3<x≤-2. 14-y 变式2【答案】{7,8} 【解析】图为A∩B=(8},.8∈A,8∈B 因为(CuA)∩B={6},6∈B,6∈A 依题意必有xy,3一x,14一y均为自然数， 因为(0A)∩(0B)={5,9},.5,9任A,5,9B, 所以0≤x≤3,0≤y≤14， 如果7∈B,则(CA)∩B=(6,71与已知矛盾，所以7 故这三天参加的志愿者总人数为：19十(6十x)十(4一x) ∈A. +(14-y)=43-y 所以A=(7,8 当y=14时，总人数最少，最少人数为43一14=29. 故答案为：(7,8. 故答案为：29. 衔接必刷题数学 变式2【答案】70 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B二A. 【解析】根据题意使用过“扫 扫码支付 共享单车 当1一a>1十a,即a<0时，B={x1十a<x<1-a}, 码支付”、“共享单车”的人数用 Venn图表示如图， 则十a>1解得-2<4<0： 11-a<3, 使用过“共享单车”或“扫码支 60 0 当1一a<1+a,即a>0时，B={x1-a<x<1+a}, 付”的学生共有90位，使用过 “扫码支付”的学生共有80位， 什C.#释0a2 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的 综上，a的取值范围是{a-2<a<0或0<a<2}. 学生有90一80=10人， 变式2【解】(1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是-3 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有 a≤5，所以实数a的取值范围是{a一3a≤5}. 60位， (2)由(1)知，M∩P=《x5<x≤8}的充要条件是一3≤a 则使用过“共享单车”的学生人数为10十60=70， 5, 故答案为：70. 则当a∈[-3,5]时，是M∩P={x5<x≤8}的一个充分 第5讲充分条件与必要条件 但不必要条件： 比如：一0是所求的一个充分但不必要条件，（答案不唯 【经典例题】 一) 题型一 (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x5<x≤ 变式1【答案】B 8}的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{a一 【分析】先解不等式，再利用集合的包含关系判断 3≤a≤5}是它的一个真子集. 【解折】由题多知品<0的解集为[-1,12.[-1. 如果{aa≤5}时，未必有M∩P={x5<x≤8}， 但是M∩P={x5<x≤8}时，必有a≤5， 12)真包含于[-1,12]， 故{aa≤5}是所求的一个必要但不充分条件，（答案不唯 故-1长≤12是“0”的必要不克分条件 故选：B 题型四 变式2【答案】A 变式1【答案】0 【解析】将x=3代入x2一8.x十15=0中，得9-24十15 【解析】一1<x-m<1→m-1<x<m十1， =0, 则{x-1<x<1)={xm-1<x<n+1}, 所以“x=3”是“x2-8.x十15=0”的充分条件： m-1=-1 即 →m=0. 由x2-8x+15=0,得(x-3)(x-5)=0,即x=3或x {m+1=1 =5, 故答案为：0. ∴.“x=3”不是“x2-8x十15=0”的必要条件， 变式2【答案】3或4 ∴.“x-3”是“x2一8.x十15=0”的充分不必要条件. 【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方 故选：A 数、整除等进行判断计算。 题型二 工=生6=m=2士V-,周为上是整数，即2十 变式1【答案】m<0 2 【解析】因为a是B的充分非必要条件， √4一n为整数，所以√4一n为整敦，且n≤4，又因为n∈ 所以{x-1<x<0}是{xm一1<x<-3m}的真子集， N,取n=1,2,3,4,脸证可知n=3,4特合题意：反之n 则俨不月时取学.解得0 3,4时，可推出一元二次方程x2一4x十n=0有整数根. 所以实数m的取值范国是m<0. 第6讲全称量祠与存在量词 故答案为：m<0. 【经典例题】 变式2【答案】{m|m>2} 题型一 【解析】由题意，得x∈A→xEB,但xEBx∈A, 变式1【答案】C AB,.3<m十1，即m>2, 【解析】命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词 故答案为m>2. 命题. 题型三 故选：C 变式1【解】(1)假设存在满足条件的实数a,则B=A. 变式2【答案】C 即r1=-1,2=3. 【解析】选项A,B,D中的命题都是全称量诃命题，选项 因为x1,x2是关于x的方程x2-2x-a2+1=0的两个 C中的命题是存在量词命题. 不同的实数根，所以一1×3=一a2+1, 故选：C 即a2=4,解得a=士2，即当a=士2时，“x∈A”是“x∈B” 题型二 的充要条件 变式1【答案】C (2)由题意可知，关于x的方程x2一2x一a2十1=0的两 【解析】对于A选项，对于任意的实数，二次函数y= 根分别为1一a和1十a. x2+a图象的对称轴为y轴，A对： 8第二部分初高中数学知识衔接 题型四根据并集求参数 【变式2】（海南海口质量检测）已知集合A= 【典例】（高一·全国专题练习）已知集合A= {-3,-1,2},B={x1-m.x>0},若AUB= {xx2+(a+1)x+a2-4=0},B={xlx2-3.x B,则m的取值范围是 +2=0},若AUB=B,求实数a的取值范围. 题型五交集、并集的综合运算 【解】因为B={1,2},由AUB=B可得：A二B 【典例】（多选）（江苏连云港·高一连云港高中校 当A=0时，△=(a+1)2-4(a2-4)<0,解得a 考阶段练习)对于非空集合A,B,我们把集合{x <1=2区或a>1+2,当A=1时，1是 |x∈A且xdB}叫做集合A与B的差集，记作 3 3 A-B.例如，A=(1,2,3,4,5},B={4,5,6,7, 方程x2十(a十1)x十a2一4=0的两个相等的根， 8},则有A一B=A=1,2,3},如果A-B=0, 所以1+1=-(a+) 八1X1=2-4,所 a=±5所以a无解 a=-3 集合A与B之间的关系为 ( A.A∩B=A B.A∩B=B 当A={2)时，2是方程x2+(a十1).x+a2-4=0 C.A∩B= D.AUB=B 的两个相等的根， 【答案】AD 所以 (2+2=-(a+1) 2X2=a2-4,所以 a=-5 a=±2v2所以a无解 【解析】，差集的定义，且A一B=☑，.A二B ∴.A∩B=A,AUB=B,故选：AD. 当A=1,2}时，1,2是方程x2+(a+1).x十a2 【变式1】（多选）（广西桂林·高一校考阶段练习）若 4=0的两个不相等的根， 集合A={-1,2,3,4},B=(1,2,3,5},则() 1+2=-(a+1) 所以 1×2=a2-4”,所 a=士v6所以a无解 a=-4 A.A∩B={2,3} B.AUB={-1,1,2,3,4,5 综上：4<1-2B载>1+2 C.A二B 3 D.A∩B=AUB 【变式1】（多选）（江西南昌·质量检测）设集合A 【变式2】（多选）（广东江门·高一新会陈经纶中 ={x3.x2-2x-1=0},B={xa.x-1=0},若 学校考阶段练习)若集合M二N,则下列结论正 AUB=A,则a的值可以为 确的有 A.1 B.0 A.MUN=N B.M∩N=N C.- 1 D.-3 C.Mc(M∩V) D.(MUN)CN 第4讲 集合的基本运算（补集与集合的综合应用运算） 知识梳理 Z H I S H IS H U L I 知识点一全集 (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集 合运算结果的Venn图表示. 般地，如果一个集合含有我们所研 文字语言 究问题中涉及的所有元素，那么就称 U 这个集合为全集 AOB 知识点三补集 AOB CA 对于一个集合A,由全集U中不属于 文字语言 集合A的所有元素组成的集合称为 集合A相对于全集U的补集，简称为 AOB 集合A的补集，记作CA CA={xx∈U,且xEA} CB C(AOB) 符号语言 U U 图形语言 【知识点拨】 AUB C(AUB) (1)简单地说，CA是从全集U中取出集合A的 U 全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合. AOR (2)性质：AU(CA)=U,A∩(CA)=☑，(CA) A,CuU=8,CU8=U,Cu(AnB)=(CvA)U C(An刷 An(C周 CuB).C (AUB)=(CA)(CuB). 31 衔接必刷题数学 经典例题 JINGDIANLITI 题型一补集的运算 【变式2】（河北衡水·高一衡水市第二中学校考 【典例】（湖北孝感质量检测）设全集U={0,1,2,3, 阶段练习)设U=(5,6,7,8,9},若A∩B={8}, 4,集合A={x∈U|x-2<1},则CcA=( (CuA)∩B={6},(CA)∩(CuB)={5,9}则集 A.{x1<x<3 B.{x|1<x≤3 合A= C.2 D.{0,1,3,4} 题型曰与补集有关的求参数问题 【答案】D 【典例】（全国·高一专题练习）已知全集U={1, 【解析】根据集合A的定义，绝对值的意义可知， 2,m2},集合A={2,m+1},CuA={m},则实数 逐一代入x=0,1,2,3,4到|x-2<1中，只有x=2 m的值为 符合，于是A=2,所以CUA={0,1,3,4}故选：D. 【答案】0 【变式1】（浙江杭州·校联考质量检测）已知实 【解析】由集合A={2,十1}，可得m十1≠2， 数集R,集合A={x0≤x≤6}，B={xx>5}, 解得m≠1，又由CA={m}且U={1,2,m2}, 则(CRB)∩A= A.{x|0≤x<5} B.{.x0≤x≤5} 可得 C.xlz<6) D.{xx≤6} m十1=1解得m=0,经验证m=0满足 m2=m 【变式2】（全国专题练）设集合M= 条件， =+mez,N={女=mez 所以实数m的值为0. 故答案为：0 则CxM= ( 【变式1】（高一课时练习）设a∈R,b∈R,全集 A. Bx=2neZ U=R,A={xa<x<b},CuA={x|x≤-2或 x≥3)，则a十b= C{-ez D.{xx=2n,n∈Z 【变式2】（广东汕尾·高一华中师范大学海丰附 题型日集合的交并、补集的综合运算 属学校校考阶段练习)设集合U={-2,72,3, 【典例】（高一课时练习）已知全集U二R,CA={1, A={x2x2-5x+2=01,B={30,b},若CuA 2,GB=(2,3},且AUB=1,3,4,5},则A=( A.{3,5 B.{4,5} =B,则b= C.{3,4} D.(3,4,5 题型四根据交并补混合运算确定参数 【答案】 D 【典例】（浙江金华·阶段练习）已知集合A= 【解析】因为(CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)= {x-2≤x≤5}，B={.xm+1≤x≤2n-1},U=R {2},所以U=1,2,3,4,5},则A={3,4,5}. (1)若A∩B=心，求实数的取值范围： 故选：D (2)若AU(CuB)=U,求实数m的取值范围. 【变式1】（高一单元测试）已知全集U={x|x≤ 【解】(1)x∈R时，A∩B=0知： 4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3<x< 当B=0时，m十1>2m一1得m<2: 3}.求A∩B;C(AUB):(CA)∩B. 专≠8时十13n- 或/2m-1<-2 m+1≤2m-1 解得m>4: 综上，'.m的取值范围为m>4或m<2: (2)因为AU(CUB)=U,所以AUB=A,所以 BCA, 当B=⑦时，十1>2m-1得m<2; m+1≥-2 当B≠0时，2m-1≤5解得2≤m≤3： m+1≤2m-1 综上可得m≤3，即m的取值范国是m≤3. 【变式1】（山西朔州·高一校考阶段练习）已知 集合A={xx>a},B={xx>l},若A∩CRB ≠⑦，则实数a的取值范围是 第二部分初高中数学知识衔接 【变式2】（浙江绍兴·质量检测）已知集合A 【答案】 29 {xx2-(2+a)x+2a=0},B={2,5,a2+5a-12. 【解析】 由题意画出ven图，如图所示： (1)若3∈A,求实数a的值： (2)若CBA={5},求实数a的值. 10 12 球类球类与田独田径 由ven图知：参加比赛的人数为26人， 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29 人，故答案为：29. 【变式1】（全国·高一专题练习）疫情期间，某社 区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的 核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13 人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参 加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天 参加的人数最少为 【变式2】（陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高 铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大 发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发 明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使 题型五利用韦恩图求集合 用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90 【典例】（四川·高一校考阶段练习）高一某班共 位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过 有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参 “共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60 加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加 位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生 了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人 共有 位 数是 第5讲 充分条件与必要条件 知识梳理 Z H I S H I S H U L I 知识点一充分条件必要条件与充要条件的概念 知识点二充分条件必要条件与充要条件的判断 1.符号p→q与p力q的含义 1.从逻辑推理关系看 “若p,则g”为真命题，记作：p→q: 命题“若p,则g”,其条件p与结论q之间的逻辑关系 “若p,则g”为假命题，记作：pPg. ①若p→q,但qPp,则p是q的充分不必要条 2.充分条件、必要条件与充要条件 件，9是p的必要不充分条件 ①若p→q,称p是g的充分条件，9是p的必要条件. ②若py,但9→p,则p是g的必要不充分条 ②如果既有p→q,又有q→p,就记作p台q,这时 件，9是p的充分不必要条件 ③若→q,且Pp,即q,则p、q互为充要条件 p是q的充分必要条件，称p是9的充要条件. ①若p刘，且q户p,则p是q的既不充分也不必 知识点诠释：对p→q的理解：指当p成立时，9 要条件. 一定成立，即由p通过推理可以得到q. 2.从集合与集合间的关系看 ①“若p,则q”为真命题. 若p:x∈A,q:x∈B, ②p是q的充分条件. ①若A二B,则p是q的充分条件，q是p的必要条件. ③q是p的必要条件. ②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件， 以上三种形式均为“p→q”这一逻辑关系的表达 ③若A=B,则p、9互为充要条件. 33