第2编 第3讲 集合的基本运算(交集并集)-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第二部分初高中数学知识衔接 【解】(1)当b=4时，方程x2一3x+b=0的根的 当1∈P时，b=2,P={1,2},也不是Q的子集， 判别式△=（一3）2-4×1×4<0，所以P=0 又Q={x∈R(x+1)(.x2+3x-4)=0}={-4, 综上，满足条件的6的取值范周是bb>号》 -1,1},故PQ. 【变式1】（上海浦东新·阶段练习）设集合1 由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个 {1,3,5,7},若非空集合A同时满足：①A二1： 真子集， ②|A≤min(A),(其中|A表示A中元素的个数， 用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为 min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为I {-4},{-1},{1},{-4,-1},{-4,1},{-1.1. 的一个好子集，则1的所有好子集的个数为() (2)当P=心时，P是Q的一个子集，此时对于方 A.7 B.8 程x2-3.x+b=0, C.9 D.10 有△=9-6<0，所以>是 【变式2】（北京海淀·阶段练习）当两个集合中 有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合 当P≠心时，因为Q-{一4，一1,1}，所以当一1∈P时， 之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互 (-1)2-3×(-1)+b=0,即b=-4,此时P= 不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”， (xx2-3x-4=0=(4,-1}, 因为4任Q,所以P不是Q的子集： 对于集合A={-1,号，1，B={x2=a.若A 同理当一4∈P时，b=-28,P=(7,-4},也不 与B构成“全食”，则a的取值范围是 若 是Q的子集： A与B构成“偏食”，则a的取值范围是 第3讲 集合的基本运算（交集并集） 知识梳理 Z H IS H I S H U L I 知识点一并集和交集的定义 (2)当集合A,B无公共元素时，不能说A与B设 有交集，只能说它们的交集是空集。 定义 并集 交集 :(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集 般地，由所有属于 一般地，由属于集合 合B的元素只显示一次. 集合A或集合B的A且属于集合B的所 (4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个 自然 元素组成的集合，称 语言 有元素组成的集合， 新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同. 为集合A与B的并 称为集合A与B的 知识点已并集和交集的性质 集，记作AUB 交集，记作A∩B 符号 AUB={x|x∈A, A∩B={x|x∈A,且 并集 交集 语言 或x∈B} x∈B 简单 AUA=A; A∩A=A: 性质 AUO=A A∩0=0 图形 语言 A AUB=BUA; A∩B=B∩A: AUB 常用 AC(AUB): (A∩B)≤A: 【知识点拨】 结论 BC(AUB); (A∩B)CB: (1)简单地说，集合A和集合B的全部（公共）元 AUB=BACB A∩B=BeBCA 素组成的集合就是集合A与B的并（交）集， 经典例题 JINGDIANLITI 题型一并集的运算 【答案】C 【典例】（山东泰安质量检测）设集合A= 【解析】因为A={x2<<4},B={x1≤x≤3}， {x2<x<4},B={x1≤x≤3}，则AUB= 所以AUB={x1≤x<4},故选：C. 【变式1】（四川绵阳·质量检测）设集合A=(x一2 A.{x|2<x≤3} B.{x2<x≤3 <x<0},B={x一1≤x≤1}，则AUB=() C.{x1≤x<4} D.{x1<x<4 29 衔接必刷题数学 A.{x|-1≤x≤1} B.{x-2<x<1》 【变式2】（黑龙江齐齐哈尔·高一校考期中）已 C.{x-1≤x<0} D.{x-2<x≤1} 知集合A={x2≤x<7},B={x|3<x<10}, 【变式2】（河南洛阳·质量检测）已知集合M= C=xx<a. {x|x>1},N={x|-1<x<3},则MUN (1)求AUB: (2)若A∩C≠0，求a的取值范围. 题型二交集的运算 【典例】（高一课时练习）集合A={x一1≤x≤ 2},B={xx<1},则A∩B= () A.{xx<1} B.{x|-1≤x≤1} C.{x-1≤x≤2 D.{x|-1≤x<1} 【答案】D 【解析】因为集合A={x|一1≤x≤2}，B={x x<1},所以A∩B={x-1≤x<1}.故选：D. 【变式1】（海南海口·高一海口一中校考期中） 集合A={x1<x<6},集合B={1,3,5,6,7}, 则A∩B= () A.{7} B.1,3,5,6 C.3,5} D.{3,5,7} 【变式2】（辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期 末)已知集合A=((x,y)|x十y-2=0},B= {(x,y)川x-y-4=0},则A∩B= () A.(3,-1) B.{3,-1} C.x=3,y=-1 D.{(3,-1)} 题型三根据交集求参数问题 【典例】（高一课时练习）设集合A={x一2≤x≤ 5},B={xm十1≤x≤2m-1}, (1)若m=4,求AUB: (2)若B∩A=B,求实数m的取值范围. 【变式3】（贵州铜仁·高一校考开学考试）已知 【解】(1)当m=4时，B={x5≤x≤7}，，A= 集合A={x2a-3<x<a十1}，B={x|0<≤1}. {x-2≤x≤5}，.AUB={x-2≤x≤7}： (1)若a=0,求AUB: (2),B∩A=B,.B二A,当B=⑦时，满足题 (2)若A∩B=⑦，求实数a的取值范围. 意，此时m十1>2m-1,解得m<2; -2≤m+1 当B≠0时，{2m-1≤5 解得2≤m≤3， m+1≤2m-1 ,∴.实数m的取值范围为(-∞，3]， 【变式1】（湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末） 设集合A={xx2-4x-12=0},B={xax-2=01. (1)若AUB={-2,1,6},求a的值： (2)若A∩B=B,求实数a组成的集合C. 30 第二部分初高中数学知识衔接 题型四根据并集求参数 【变式2】（海南海口质量检测）已知集合A= 【典例】（高一·全国专题练习）已知集合A= {-3,-1,2},B={x1-mx>0},若AUB= {xx2+(a+1)x+a2-4=0},B={x|x2-3x B,则m的取值范围是 +2=0},若AUB=B,求实数a的取值范围. 题型五交集、并集的综合运算 【解】因为B=〈1,2}，由AUB=B可得：A二B 【典例】（多选）（江苏连云港·高一连云港高中校 当A=⑦时，△=(a+1)2-4(a2-4)<0,解得a 考阶段练习)对于非空集合A,B,我们把集合{x <1-2B或a>1+2区；当A=1时，1是 |x∈A且xEB}叫做集合A与B的差集，记作 3 3 A-B.例如，A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7, 方程x2十(a十1)x十a2-4=0的两个相等的根， 8},则有A-B=A={1,2,3},如果A-B=, 所以1+1=-a+1) 1×1=2-4,所 a=士5所以a无解 ∫a=-3 集合A与B之间的关系为 A.A∩B=A B.A∩B=B 当A={2}时，2是方程x2+(a十1)x十a2-4=0 C.A∩B=0 D.AUB=B 的两个相等的根， 【答案】AD a=-5 所以 2+2=-(a+1) 2X2=d2-4”,所以 =±2，E所以a无解 【解析】：差集的定义，且A一B=心，∴ACB ∴.A∩B=A,AUB=B,故选：AD. 当A={1,2}时，1,2是方程x2+(a+1)x+a2 【变式1】（多选）（广西桂林·高一校考阶段练习）若 4=0的两个不相等的根， 集合A={-1,2,3,4},B={1,2,3,5},则() 1+2=-(a+1) 所以 1×2=2-4,所 a=士后所以a无解 a=-4 A.A∩B={2,3} B.AUB={-1,1,2,3,4,5} 综上：4<1-2区或>1+2国 C.ACB 3 3 D.A∩B=AUB 【变式1】（多选）（江西南昌·质量检测）设集合A 【变式2】（多选）（广东江门·高一新会陈经纶中 ={x3x2-2x-1=0},B={xax-1=0},若 学校考阶段练习)若集合M二N,则下列结论正 AUB=A,则a的值可以为 ( 确的有 A.1 B.0 A.MUN=N B.M∩N=N C.- 1 D.-3 C.MC(Mn N) D.(MUN)CN 3 第4讲 集合的基本运算（补集与集合的综合应用运算） 知识梳理 Z H I S H I S H U L I 知识点一全集 (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集 合运算结果的Venn图表示. 般地，如果一个集合含有我们所研 究问题中涉及的所有元素，那么就称 U 文字语言 这个集合为全集 40B 知识点已补集 A0B 对于一个集合A,由全集U中不属于 文字语言 集合A的所有元素组成的集合称为 AOB 集合A相对于全集U的补集，简称为 AB 集合A的补集，记作CuA uA={xx∈U,且xEA} CB C(AOB) 符号语言 图形语言 A (B 【知识点拨】 AUB C(AUB) (1)简单地说，CA是从全集U中取出集合A的 U 全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合 (2)性质：AU(A)=U,A∩(CA)=☑，C(CA) A,CoU=,Cu=U,Cu(AnB)=(CvA)U C(AnB) An(CB周 CB).Cu(AUB)=(CvA)(CB). 31衔接必刷题数学 ③空集是任何集合的子集，桑合A不一定等于空集，所以 变式2【答案】{xx>-1) ③错： 【解析】由题意知，M=(1,十o∞)，N=(一1,3)， ④空条只有自己本身一个子集，所以④错故选：A 所以MUN=(-1,十∞). 题型六 故答案为：{xx>-1. 变式1【答案】{k|k<2 题型二 【解析】：Q={xk十1≤x≤2k-1}=必，∴.2k-1<k 变式1【答案】C +1, 【解析】因为集合A={x1<x<6),集合B={1,3,5,6,7, 解得k<2,因此实数k的取值范国是{|k<2 所以A∩B={3,52. 故答案为：{kk<2. 故选：C 变式2【答案】0≤a≤1 变式2【答案】D 【解析】当a=0时，不等式可化为1<0，不成立，故为空 【解析】 由题意可知十y一2=0 解得x=3 集，满足题意：当a≠0时，根据二次函数图象与性质可得 x-y-4=01 ly=-1' /a>0 所以A∩B={(3,-1)1. 4-(-2a)2-4u≤0解得0<<1， 故选：D. 综上0≤a≤1. 题型三 故答案为：0≤a≤1， 变式1【解】(1)由x2-4x-12=0,解得x=-2或x= 6,所以A={一2,6}， 题型七 变式1【答案】B 因为AUB={-2,1,6, 所以1∈B,则a·1一2=0， 【解析】当A=1时，即集合A中元素的个数为1时， 所以a=2: A的可能情况为1)，{3)，{5}，7}： (2)因为A∩B=B,则BCA, 当|A|=2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能 当B=时，a=0: 情况为(3,5}，(3,7}，(5,7}： 当B={-2}时，a=-1: 当|A|=3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能 当B={6)时，a=3 1 情况为(3,5,7}， 综上所述：1的所有好子集的个数为8， 故选：B. 综上可得集合C={-1.0,3 11 变式2【答案】{aa<0或a=1) 变式2【解】(1)因为A={x2≤x<7),B={x3<x< 10}, 【解析】由B={xx2=a}可知，当a<0时，B=心，此 所以AUB={x2≤x<10. 时BCA: (2)因为A={x|2≤x<7},C={xx<a}且A∩C≠0， 当a=0时，B={0},此时A∩B=②， 所以a>2,即a的取值范国为(2，十o). 当a>0时，B={-√aa}: 变式3【解】(1)当a=0时，A={x|-3<x<1,B={x 又A=-1.71:若A与B构成全食，则BCA 0<x≤1)，AUB={x-3<x≤1. (2)A∩B=0 当a<0时，满足题意；当a=0时，不合题意： 当A=0时，2a-3≥a+1,解得a≥4， 当a>0时，要使B二A,则B=(-11},即a=1,解得a =1； 当A时，≥10释：2a<1我a 综上，A与B构成“全食”时，a的取值范国是{aa<0 ≤-1， 或a=1}: 综上所述：实效a的取值范图（一∞，一1]U[2,十o∞）. 题型四 若A与B构成“偏食”时，显然a≤0时，不满足题意， 变式1【答案】ABD 当。>0时：由A门B≠②，所以B={-子，2}：即，后 【解折】A=(3x2-2x-1=0)={-子1 解得a=， 因为AUB=A,所以B二A: 当a=0时，B=②二A, 此时口的取值范国是行} 当a≠0时，B-uar-1-0-信} 故答案为：al<0或a=1):(什}月 31 第3讲 集合的基本运算（安集并集） 综上所述，a=一3或0或1. 故选：ABD 【经典例题】 题型一 变式2【答案】 长<<号 变式1【答案】D 【解析】由AUB=B,则ACB, 【解析】由A={x-2<x<0),B=《x-1≤x≤1}，可 1一m×(-3)>0 知，AUB={x|-2<x≤1}. 故有{1一m×(-1)>0, 故选：D, 1-m×2>0 6 参考答案 题型三 变式1【答案】1 解得m>一1，即 【解析】因为U=R,A={xa<x<b,所以CA={xx m<2 ≤a或x>b}. 又A={xx≤-2或x≥3，所以a=-2,b=3,所以a 故答案为：一3<m<2 +b=1. 题型五 故答案为：1 变式1【答案】AB 变式2【答案】-2 【解析】对于AB,图为A={一1,2,3,4，B={1,2,3, 5y, 【解析】 解方程2r2-5x十2=0得x-之或x=2,所以 所以A∩B={2,3),AUB={-1,1,2,3,4,5),故A、B 正确： A={号2 对于C,因为一1∈A,但-1任B,所以A二B不成立，故C 因为U=-2,号2,3}.所以A=-2,3=B, 错误： 对于D,由选项A,B易知A∩B≠AUB,故D错误. 又3°>0，所以3=3，么=-2，解得a=1,b=-2. 故选：AB a 变式2【答案】ACD 故答案为：一2 【解析】因为M二N,所以MUN=N,A正确： 题型四 当MCN时，M∩N≠N,B错误： 变式1【答案】{aa<I) 因为M∩N=M,而MCM,所以MC(M∩N),C正确： 【解析】由已知可求得CRB,集合A与集合CRB有公共 因为MUN=N,而NCN,所以(MUN)CN,D正确. 元素，即可求出实数a的取值范国.由集合B={x|x> 故选：ACD 1,可得CRB={xx≤1， 第4讲集合的基本运算（补集与集合的 A∩CRB≠必，可得集合A与集合CRB有公共元素， a<1. 【经典例题】 综合应用运算) 故答案为：{aa<1. 题型一 变式2【解】()因为3∈A,A={x(x-2)(x-a)=0},所 变式1【答案】B 以a=3. 【解析】由题意可得，CRB=〈xx≤5}所以(CRB)∩A ={x0≤x≤5}，故选：B (2)因为CBA={5},所以A中有两个元素，即A= 变式2【答案】B (2,a}.所以a2+5a-12=a, 【解折】由题意可知，=兰+-20中=(2m+1D× 解得u=2或a=-6,由元素的互异性排除a=2可得a -6. 子，E乙.可知条合M表示的是的寺数倍， 1 题型五 变式1【答案】29 而由T=是，n∈Z可知，集合N表示的是的整数倍， 【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分 中N=MU{女-积nez,所以tNM 别构成集合A,B,C, 设三天都参加的志愿者人数为x,第一天和第三天均参加 {-婴-台ez小故选：B 的志愿者人数为x十y, 根据题意可作维恩图如图： 题型二 变式1【解】因为U={xx≤4}，A={x-2<x<3},B A B ={x-3<x<3}, 所以A∩B={x-2<x<3},AUB={x-3<x<3},C 16-y 6+x UA={x.x≤-2或3≤x≤4}. 2 所以Cu(AUB)={xx≤-3或3≤x≤4， (CA)∩B={x|-3<x≤-2. 14-y 变式2【答案】{7,8} 【解析】因为A∩B={8},.8∈A,8∈B 因为(CA)∩B={6},∴.6∈B,6A 依题意必有x,y,3一x,14一y均为自然数， 因为(CA)∩(CB)={5,9),.5,9eA,5,9年B, 所以0≤x≤3,0≤y≤14， 如果7∈B,则(CuA)∩B={6,7)与已知矛盾，所以7 故这三天参加的志愿者总人敦为：19十(6十x)十(4一x) ∈A. +(14-y)=43-y 所以A=〈7,8. 当y=14时，总人数最少，最少人数为43-14=29. 故答案为：{7,8. 故答案为：29.