第2编 第2讲 集合间的基本关系-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

参考答案 1+1+a 题型二 1-a 变式1【答案】D 1十a LEA. 1 1-a 【解析】C={3,4,5},故其子集的个效为2=8. 故选：D 变式2【答案】D ∈A a+ 【解析】因为1,2,3,4}二M二{1,2,3,4,5,6}， 所以集合M的个数即为{5,6》的子集个数. 1+】 因为集合{5,6)的子集个数为22=4， a+l =a∈A, 所以满足条件的集合M的个数是4. 1-41 a+1 故选：D 题型三 上条合A,品 变式1【答案】D 【解析】0是元素，所以故0与桑合A的关系是0∈A,故 所以集合A中所有元素的泰积为a·(一日)·号 A错误；{0}是集合，所以{0》与集合A的关系是{0)二A, 1大一1 故B错误，D正确，⑦是集合，所以⑦二A,故C错误.故 1-a 选：D 故选：A 变式2【答案】B 变式2【答案】AC 【解析】M={xx=m十 【解析】对于集合《xx∈R,x≠0}，对任意的a>0,都 m-(r-1me 存在x=号，使得0<x-0=受<a,所以0是集合 2={=320mz,N==-子 6 {xx∈R,x≠0}的聚点，A选项正确： ∈z= 对于集合(x∈Zx≠0}，对于某个实数a>0,比如a 0.5, 此时对任意的x∈{x∈Zx≠0}，都有|x一0|≥1， 也就是说不可能0<x-0<0.5,从而0不是集合{x∈ p={=专+gez={=，pz Zx≠0)的聚点，B选项错误： 所以M军N=P.故选：B. 对于集合女女=日EN小对任意的>0，都春在 题型四 变式1【解】(1)由题知，A={x-2≤x≤5}， 当x∈Z时，A={x-2≤x5)={-2,-1,0,1,2,3,4, => . a n 5}共8个元素， 使0<1-01=开<a,所以0是条合 A的非空真子集的个数为28一2=254个： (2)由题知，A={x一1≤x+1≤6}，B={xm-1<x<m十 {女r=n∈N}的聚点，C选项正痛： 10 显然m一1m十1. 对于集合{N升-1一n 因为BCA, 随着n增大而增大， 所以/m+1≤5 m-1S-2解得-1≤m≤4， 片的我小值为之故当<宁时，即不存在，伙 所以实数m的取值范园是[一1,4]. 得0<|x一0<a,D选项错误. 变式2【答案】一3 【解析】因为A={1},B={xx2+2.x十a=0},A二B, 故选：AC 所以x=1是方程x2十2x十a=0的解， 第2讲 集合间的基本关系 即12+2×1+a=0,解得a=-3. 经检验，a=一3符合题意，所以a=一3. 【经典例题】 故答案为：一3 题型一 题型五 变式1【答案】C 变式1【答案】B 【解析】由{1,2二A年{1,2,3,4,5，可知集合A必有元 【解析】空集0表示无任何元素的集合，所以必二{0)， 素，即至少有两个元素，至多有四个元素， ①错误； 依次有以下可能：{1,2}，1,2,3}，1,2,4)，1,2,5}， 由交集性质知：A∩A=A,②正确： {1,2,3,4,{1,2,3.5},1,2,4,5}7种可能. 由并集性质知，AU财=A,③正确： 故选：C. N是自然数集，R是实数集，所以N二R,①错误. 变式2【答案】BCD 综上：只有②③正确.故选：B. 【解析】(1,3)B二1,3,5,7， 变式2【答案】A B可能为1,3,5}，{1,3,7}，{1,3,5,7}， 【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错： 故选：BCD. ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错： 5 衔接必刷题数学 ③空集是任何集合的子集，桑合A不一定等于空集，所以 变式2【答案】{xx>-1) ③错： 【解析】由题意知，M=(1,十o∞)，N=(一1,3)， ④空条只有自己本身一个子集，所以④错故选：A 所以MUN=(-1,十∞). 题型六 故答案为：{xx>-1. 变式1【答案】{k|k<2 题型二 【解析】：Q={xk十1≤x≤2k-1}=必，∴.2k-1<k 变式1【答案】C +1, 【解析】因为集合A={x1<x<6),集合B={1,3,5,6,7, 解得k<2,因此实数k的取值范国是{|k<2 所以A∩B={3,52. 故答案为：{kk<2. 故选：C 变式2【答案】0≤a≤1 变式2【答案】D 【解析】当a=0时，不等式可化为1<0，不成立，故为空 【解析】 由题意可知十y一2=0 解得x=3 集，满足题意：当a≠0时，根据二次函数图象与性质可得 x-y-4=01 ly=-1' /a>0 所以A∩B={(3,-1)1. 4-(-2a)2-4u≤0解得0<<1， 故选：D. 综上0≤a≤1. 题型三 故答案为：0≤a≤1， 变式1【解】(1)由x2-4x-12=0,解得x=-2或x= 6,所以A={一2,6}， 题型七 变式1【答案】B 因为AUB={-2,1,6, 所以1∈B,则a·1一2=0， 【解析】当A=1时，即集合A中元素的个数为1时， 所以a=2: A的可能情况为1)，{3)，{5}，7}： (2)因为A∩B=B,则BCA, 当|A|=2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能 当B=时，a=0: 情况为(3,5}，(3,7}，(5,7}： 当B={-2}时，a=-1: 当|A|=3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能 当B={6)时，a=3 1 情况为(3,5,7}， 综上所述：1的所有好子集的个数为8， 故选：B. 综上可得集合C={-1.0,3 11 变式2【答案】{aa<0或a=1) 变式2【解】(1)因为A={x2≤x<7),B={x3<x< 10}, 【解析】由B={xx2=a}可知，当a<0时，B=心，此 所以AUB={x2≤x<10. 时BCA: (2)因为A={x|2≤x<7},C={xx<a}且A∩C≠0， 当a=0时，B={0},此时A∩B=②， 所以a>2,即a的取值范国为(2，十o). 当a>0时，B={-√aa}: 变式3【解】(1)当a=0时，A={x|-3<x<1,B={x 又A=-1.71:若A与B构成全食，则BCA 0<x≤1)，AUB={x-3<x≤1. (2)A∩B=0 当a<0时，满足题意；当a=0时，不合题意： 当A=0时，2a-3≥a+1,解得a≥4， 当a>0时，要使B二A,则B=(-11},即a=1,解得a =1； 当A时，≥10释：2a<1我a 综上，A与B构成“全食”时，a的取值范国是{aa<0 ≤-1， 或a=1}: 综上所述：实效a的取值范图（一∞，一1]U[2,十o∞）. 题型四 若A与B构成“偏食”时，显然a≤0时，不满足题意， 变式1【答案】ABD 当。>0时：由A门B≠②，所以B={-子，2}：即，后 【解折】A=(3x2-2x-1=0)={-子1 解得a=， 因为AUB=A,所以B二A: 当a=0时，B=②二A, 此时口的取值范国是行} 当a≠0时，B-uar-1-0-信} 故答案为：al<0或a=1):(什}月 31 第3讲 集合的基本运算（安集并集） 综上所述，a=一3或0或1. 故选：ABD 【经典例题】 题型一 变式2【答案】 长<<号 变式1【答案】D 【解析】由AUB=B,则ACB, 【解析】由A={x-2<x<0),B=《x-1≤x≤1}，可 1一m×(-3)>0 知，AUB={x|-2<x≤1}. 故有{1一m×(-1)>0, 故选：D, 1-m×2>0 6第二部分 初高中数学知识衔接 第2讲 集合间的基本关系 知识梳理 Z H IS HI SH U L I 知识点一Vcnn图的优点及其表示 (2)不能把“A二B”理解为“A是B中部分元素组成 1.优点：形象直观 的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. 2.表示：通常用封闭曲线的内部表示集合， (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元 知识点二子集、真子集、集合相等的相关概念 素，那么集合A不包含于B,或集合B不包含集合A. (4)对于集合A,B,C,若A二B,B二C,则A二C; B中的元素都是 任何集合都不是它本身的真子集. A中的元素 A与B -Venn图 A(B) (5)若A二B,且A≠B,则A≠B. 相等 符号表示：A=B A中的 知识点三空集 元素都 A是B的 Vcnn图：(B(A 或d B(A) 1,定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为心. 是B中 子集 符号表示：ACB或者B2A 2.规定：空集是任何集合的子集. 的元素 A是B的 Vemm图.(&(A○ 知识点四集合间关系的性质 真子集 符号表示：AB或者B星A 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A二A A≠B 2.对于集合A,B,C 【知识点拨】 (1)若A二B,且B二C,则A二C (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元 (2)若A至B,BC,则AC. 素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (3)若A二B,A≠B,则AB. 经典例题 JINGDIA N LI TI 题型一求集合的子集、真子集 【答案】D 【典例】（全国专题练习）已知集合M满足{1,2}三 【解析】 向2∈N和xEZ可得A=-10.1, M二(1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M 所以集合A的真子集个数为24一1=15个. 【解】①当M中含有2个元素时，M为{1,2}： 故选：D. ②当M中含有3个元素时，M为{1,2,3}， 1,2,4},1,2,5}; 【变式1】（四川成都·阶段练习）已知集合A ③当M中含有4个元素时，M为1,2,3,4}， {1,2},B=(2,3},则集合C={x之=x十y,x∈ 1,2,3,5,1,2,4,5} A,y∈B}的子集个数为 ①当M中含有5个元素时，M为(1,2,3,4,5. A.5 B.6 C.7 D.8 故满足条件的集合M为1,2}，1,2,3}， 【变式2】（河南洛阳·高一校考阶段练习）满足 1,2,4},{1,2.5},1.2,3,4},1.2,3,5}, 条件1,2,3,4}二M二{1,2,3,4,5,6}的集合M 1,2,4,5},1,2,3,4,5}. 的个数是 ( 【变式1】（全国·专题练习）若集合A满足{1,2} A.1 B.2 C.3 D.4 二A={1,2,3,4,5},则集合A所有可能的情形 题型三集合间关系的判断 有 ( 【典例】（福建泉州·高一校考阶段练习）有下列 A.3种 B.5种 C.7种 D.9种 四个命题：①{0}2；②∈{d}③若a∈N,则 【变式2】（多选）（湖南浏阳·阶段练习）若(1,3) -aEN;④A={x∈Rx2-2x十1=0}集合有两 =B二{1,3,5,7}，则B可能为 ( A.1,3} B.1,3,5} 个元素，回集合B={EN∈N是有限集，其 C.1,3,7 D.{1,3,5.7} 中正确命题的个数是 ( ) 题型二判断子集（真子集）的个数 A.1 B.2 C.3 D.4 【典例】（天津滨海新·阶段练习）设集合A= 【答案】C xe2年∈N则果合A的真子集个数为( 【解析】①因为心是任何集合的子集，所以 {0}20,①正确： A.7个 B.8个 C.16个 D.15个 ②☑是{☑}的一个元素，故☑∈{财〉，②正确： 衔接必刷题数学 ③若a=0,满足a∈N,-a∈N,故③错误： 【变式2】（上海宝山·高一上海交大附中校考期 ④A=《1},集合有1个元素，故④错误； 中)已知集合A={1},B={xx2+2x十a=0, ⑤集合B={1,2,3,6},故是有限集，⑤正确， x∈R},且A二B,则实数a的值是 故选：C. 题型五空集的概念及判断 【变式1】（高一课时练习）如果A={x∈Rx>一1}， 【典例】（高一课时练习）下列集合中为的是 那么 ( A.0CA B.{0}∈A C.0∈A D.{0}二A A.{0 B.{0} 【变式2】（高一课时练习）已知集合M= C.{xx2+4=0} D.{xx+1≤2x} 【答案】C =m+mez,N-(x=- 【解析】对于A中，由集合{0}中有一个元素0， n∈ZP=r=专+日pEz,则MN,P 不符合题意：对于B中，由集合{⑦}中有一个元 素，不符合题意：对于C中，由方程x2+4=0, 的关系满足 即x2=一4，此时方程无解，可得{xx2+4=0} A.M=NP B.MN=P =☑，符合题意：对于D中，不等式x十1≤2x,解 C.MNP D.N=P￥M 得x≥1，{xx+1≤2x}={xx≥1}，不符合题 题型四由集合间的关系求参数问题 意.故选：C. 【变式1】（河南三门峡·高一校考阶段练习）对 【典例】（高一课时练习）已知集合A={xx<1}, B={x|x<a}. 任意集合A,下列各式①⑦∈{0}；②A∩A=A: ③AU⑦=A:④N∈R,正确的个数是() (1)若A=B,则实数a的值是多少？ (2)若A二B,则实数a的取值范围是多少？ A.1 B.2 (3)若B至A,则实数a的取值范围是多少？ C.3 D.4 【解】(1)因为集合A={xx<1},B={x|x< 【变式2】（天津和平·高一天津市汇文中学校考 ( a},A=B,所以a=1. 阶段练习)下列四个说法中，正确的有 (2)因为A二B,如图， ①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集； ③若⑦二A,则A=0:④任何集合至少有两个子集. 01a A.0个 B.1个 由图可知a≥1，即实数a的取值范围是{aa≥l}. C.2个 D.3个 (3)因为BA,如图， 题型六空集的性质及应用 【典例】 (湖南永州·阶段练习)若集合 {x∈Ra|≤xr≤2}为空集，则实数a的取值范 由图可知a<1,即实数a的取值范围是{aa<1. 围是 【变式1】（广东东莞·高一东莞实验中学校考期 【答案】{aa>2或a<-2} 中)设集合A=(x一1≤x+1≤6}，B={xm-1 【解析】因为集合{x∈Ra≤x≤2}为空集， <x<m+1}. 所以a>2,即a>2或a<-2. (1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数： 故答案为：{aa>2或a<-2}. (2)若B二A,求m的取值范围. 【变式1】（上海浦东新·质量检测）已知集合Q= 〈xk十1≤x≤2k一1》=心，则实数k的取值范围 是 【变式2】（江苏苏州·阶段练习）若集合A={x a.x2一2a.x十1<0}=，则实数a的取值范围是 题型七集合基本关系的综合问题 【典例】（吉林四平·阶段练习）已知集合P= {x∈Rx2-3x+b=0},Q={x∈R1(x+1)(x2 十3x-4)=0}. (1)若b=4,存在集合M使得P为M的真子集 且M为Q的真子集，求这样的集合M: (2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值 范围. 28 第二部分初高中数学知识衔接 【解】(1)当b=4时，方程x2一3x+b=0的根的 当1∈P时，b=2,P={1,2},也不是Q的子集， 判别式△=（一3）2-4×1×4<0，所以P=0 又Q={x∈R(x+1)(.x2+3x-4)=0}={-4, 综上，满足条件的6的取值范周是bb>号》 -1,1},故PQ. 【变式1】（上海浦东新·阶段练习）设集合1 由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个 {1,3,5,7},若非空集合A同时满足：①A二1： 真子集， ②|A≤min(A),(其中|A表示A中元素的个数， 用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为 min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为I {-4},{-1},{1},{-4,-1},{-4,1},{-1.1. 的一个好子集，则1的所有好子集的个数为() (2)当P=心时，P是Q的一个子集，此时对于方 A.7 B.8 程x2-3.x+b=0, C.9 D.10 有△=9-6<0，所以>是 【变式2】（北京海淀·阶段练习）当两个集合中 有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合 当P≠心时，因为Q-{一4，一1,1}，所以当一1∈P时， 之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互 (-1)2-3×(-1)+b=0,即b=-4,此时P= 不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”， (xx2-3x-4=0=(4,-1}, 因为4任Q,所以P不是Q的子集： 对于集合A={-1,号，1，B={x2=a.若A 同理当一4∈P时，b=-28,P=(7,-4},也不 与B构成“全食”，则a的取值范围是 若 是Q的子集： A与B构成“偏食”，则a的取值范围是 第3讲 集合的基本运算（交集并集） 知识梳理 Z H IS H I S H U L I 知识点一并集和交集的定义 (2)当集合A,B无公共元素时，不能说A与B设 有交集，只能说它们的交集是空集。 定义 并集 交集 :(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集 般地，由所有属于 一般地，由属于集合 合B的元素只显示一次. 集合A或集合B的A且属于集合B的所 (4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个 自然 元素组成的集合，称 语言 有元素组成的集合， 新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同. 为集合A与B的并 称为集合A与B的 知识点已并集和交集的性质 集，记作AUB 交集，记作A∩B 符号 AUB={x|x∈A, A∩B={x|x∈A,且 并集 交集 语言 或x∈B} x∈B 简单 AUA=A; A∩A=A: 性质 AUO=A A∩0=0 图形 语言 A AUB=BUA; A∩B=B∩A: AUB 常用 AC(AUB): (A∩B)≤A: 【知识点拨】 结论 BC(AUB); (A∩B)CB: (1)简单地说，集合A和集合B的全部（公共）元 AUB=BACB A∩B=BeBCA 素组成的集合就是集合A与B的并（交）集， 经典例题 JINGDIANLITI 题型一并集的运算 【答案】C 【典例】（山东泰安质量检测）设集合A= 【解析】因为A={x2<<4},B={x1≤x≤3}， {x2<x<4},B={x1≤x≤3}，则AUB= 所以AUB={x1≤x<4},故选：C. 【变式1】（四川绵阳·质量检测）设集合A=(x一2 A.{x|2<x≤3} B.{x2<x≤3 <x<0},B={x一1≤x≤1}，则AUB=() C.{x1≤x<4} D.{x1<x<4 29