第2编 第1讲 集合的概念-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

衔接必刷题数学 第二编高中新知预习 第1讲 集合的概念 知识梳理 ZHISHISH U L I 知识点一集合的概念 [知识点拨]符号“∈”和“任”只能用于元素与集 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把 合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集 一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）： 合，具有方向性，左右两边不能互换。 2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这 两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等. 知识点三集合的表示法 [知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质 1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须 方法.例如：小于3的实数组成的集合， 是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于 2.字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如 或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的 A,B,C等，用小写拉丁字母表示元素，如a,b,c 元素，要么不是，二者必居其一 等.常用数集的表示 (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对 于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的， 非负整数集 (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集 名称 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 (自然数集) 合{1,2,3)与{2,3,1)表示同-集合 符号 N 知识点日元素与集合的关系 N或N 3.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括 关系 概念 记法 读法 号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。 如果a是集合A a属于集 4.描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 属于 中的元素，就说a a∈A 属于集合A 合A 一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特 如果a不是集合A 征，这种用集合所含元素的共同特征表示集合的 不属于 中的元素，就说a a旺A a不属于 不属于集合A 集合A 方法叫做描述法。 经典例题 JING D I A N LI T I 题型一集合与元素的含义 【变式】（山西临汾·阶段练习）下列对象不能组 【典例】（天津南开·质量检测）下列给出的对象 成集合的是 能构成集合的有 A.不超过20的质数 ①某校2025年人学的全体高一年级新生； B.π的近似值 ②v2的所有近似值： C.方程x=1的实数根 ③某个班级中学习成绩较好的所有学生： D.函数y=x,x∈R的最小值 ④不等式3.x一10<0的所有正整数解 题型二元素与集合的关系 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【典例】（多选）（全国专题练习）非空集合A具有 【答案】 B 【解析】某校2025年入学的全体高一年级新生， 如下性质：①若x,y∈A,则工∈A:②若x,y∈ 对象确定，能构成集合，故①正确：√2的所有近似 A,则x十y∈A.下列判断中，正确的有() 值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象 A.-1任A 不确定，故不能构成集合，故②错误：某个班级中学 习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不 B号8∈A 能构成集合，故③错误：不等式3.x一10<0的所有 C.若x,y∈A,则xy∈A 正整数解有1、2、3，能构成集合，故④正确：故选：B D.若x,y∈A,则x-y∈A 第二部分初高中数学知识衔接 【答案】ABC 当x=0时，y=一2；当x=1时，y=一1，当x=2 【解析】假设-1∈A,则令x=y=一1，则二= 时，y=2,当x=3时，y=7. y 故A={一2，-1,2,7. 1∈A,令x=一1，y=1,则x十y=0∈A,令x= 故答案为：{-2，-1,2,7}. 1y=0,不存在号，即y≠0，矛盾心-1∈A,故 【变式1】（上海徐汇·高一上海市西南位育中学 A对；由题，1∈A,则1+1=2∈A,2+1=3∈A, 校考期未)用列举法表示=日a∈NxEN -2021eA.20235eA.282 ∈A,故B对： 【变式2】（高一课时练习）已知集合A={x|x为 1∈A,x∈A,1∈A,:y∈A.1∈A,义 小于6的正整数}，B={xx为小于10的素数}， 1 集合C={xx为24和36的正公因数}. =xy∈A,故C对：，1∈A,2∈A,若x=1,y= (1)试用列举法表示集合M={xx∈A且x∈C; 2,则x一y=一1￠A,故D错误.故选：ABC. (2)试用列举法表示集合N={xx∈B且xC. 【变式1】（河南驻马店·质量检测）已知集合A= {xx(x十1)=0}，那么下列结论正确的是() A.0∈A B.1∈A C.-1A D.0A 【变式2】（多选）（湖北咸宁·阶段练习）已知x,y,之 为非零实数，代数式十片十同十器的值 组成的集合A,下列判断正确的是 A.-2∈A B.0A C.-4∈A D.4∈A 题型三集合中元素的特性的简单应用 【典例】（多选）（广西南宁·阶段练习）若集合A ={a2,2一a,4}中含有3个元素，则实数a的取 值可以是 () A.-1 B.-2 【变式3】（高一课时练习）用列举法表示下列 C.6 D.2 集合： 【答案】 AC (1)11以内非负偶数的集合； a2≠4 (2)方程(.x十1)(.x2一4)=0的所有实数根组成 【解析】由题意知，2一a≠4，解得a≠2且a 的集合： a2≠2-a (3)一次函数y=2x与y=x十1的图象的交点 ≠一2且a≠1， 组成的集合， 故选：AC 【变式1】（全国·专题练习）已知集合A={0,, m2一3m十2}，且2∈A,则实数m为 () A.2 B.3 C.0或3 D.0,2.3 【变式2】（全国·专题练习）已知集合A={x 2,x+5,12},且-3∈A,求x的值 题型四列举法表示集合 【典例】（全国·高三专题练习）用列举法写出集 合A={yy=x2-2,x∈Z,|x≤3}= 【答案】{-2，一1,2,7 【解析】由x≤3且x∈Z,得x=一3或x= -2或x=-1或x=0或x=1或x=2或x=3, 当x=-3时，y=7:当x=一2时，y=2:当x= 一1时，y=-1； 25 衔接必刷题数学 题型五描述法表示集合 (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合： 【典例】（全国·专题练习）用适当的方法表示下 (3)二次函数y=x2一2图象上的所有点组成的集合 列集合： (1)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解集： (2)A={yly=x2-1,x≤2，x∈Z； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式2.x十3>7的解集 【解】(1)由(x-2)2十(y十3)2=0得x-2=0, y十3=0，解得x=2,y=-3, 所以集合为{(2，一3)}； (2)由x≤2，x∈Z得x为-2，-1,0,1,2， 当x=2或x=一2时，y=3: 当x=1或x=一1时，y=0: 当x=0时，y=一1. 所以集合为{3,0，一1}： 题型六集合表示的综合问题 (3)((x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}; 【典例】（全国·专题练习）当一个非空数集G满足 (4)解不等式2x十3>7得x>2, 所以不等式2x十3>7的解集可表示为(xx>2}. “如果a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b-0时，分∈ 【变式1】（全国·专题练习）用描述法表示下列集合： G”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的 (1)不等式3x+2>5的解集： 命题：①0是任何数域的元素：②若数域G有非零元 (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； 素，则2025∈G③集合P={xx=2k,k∈Z}是一个 (3)二次函数y=2一2x十3图象上的点组成的集合： 数域：④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为 (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合： 6集合安局： A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C (6)所有被3整除的整数组成的集合； 【解析】根据当a∈G,则a一a∈G,即0∈G,所以0 (7)方程x2十x十1=0的所有实数解组成的 是任何数域的元素，故①正确：根据当b≠0时，b∈G, 集合， 则%∈G.即1EG.进而1+1=2∈G2+1=3eG. …,2024十1=2025∈G,故②正确：对2∈P,4∈P,但 是-号正八不满足题意，所以条合P {xx-2k,k∈Z}不是一个数城，故③不正确：若a,b 是有理教，则a十b,a一6，db,亏-0)，都是有理数，故 有理数集是一个数域，所以④正确；所以其中真命题 的个数是3个.故选：C. 【变式1】（安徽安庆·专题练习）已知实数集A 满足条件：若a∈A,则}±只∈A,则集合A中所 有元素的乘积为 () A.1 B.-1 C.±1 D.与a的取值有关 【变式2】（多选）（江苏宿迁·质量检测）设集合X 是实数集R的子集，如果点xo∈R满足：对任意a >0,都存在x∈X,使得0<x一xo<a,称.xo为集 合X的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集 合有 ( 【变式2】（江苏·专题练习）试用描述法表示下 A.{xx∈R,x≠0 B.{x∈Zx≠0 列集合 (1)方程x2一2=0的所有实数根组成的集合： C.-N 26衔接必刷题数学 14=m2-8m>0 ①若m=2,此时m2一3m十2=0，不满足元素的互异性： ∴.m<0. ②若m2-3m+2=2,解得m=0或3， 当m=0时不满足元素的互异性，当m=3时，A={0,3, 2.【解】(1)假设存在实数k,使(2x1一x2)(一2x2)= 2}特合题意. 2 综上所述，m=3. 成立. :一元二次方程4x”一4kx十k十1=0有两个实数根 故选：B 变式2【答案】一1或-8 A=（仁2-4·4+1)=-720260 【解析】因为-3∈A,所以x-2=一3或x十5=一3，解 又x1,2是一元二次方程4kx2一4kx+k十1=0的两个 得x=-1或x=-8, 实数根 当x=一1时，A=(一3,4,12)，满足集合元素的互异性， {x1+x2=1 所以x=一1特合题意： 1 当x=一8时，A={一10，一3,12}，也满足集合元素的互 Ak 异性，所以x=一8也符合题意 .(2.x1-x2)(.x1-2x2)=2(x7+x3)-5x1x2=2 综上，x的值为一1或一8， (xn+x2)2-9x1x2 故答案为：一1或-8. ==--号但0 题型四 变式1【答案】{6,3,2,1} 不存在实数k, 【解析】 使(2-)1-2m)=-号成立： (l-gueN.rEN-(6.3.2.1). 故答案为：{6,3,2,1， (2):2+2-2=+ -2=+x2) 4k 变式2【解】由题意A={1,2,3,4,5,B={2.3,5,71,C 2 -4= 12 1x2 =1,2,3.4,6,12. 4 (1)M=1.2.3,4. k+1 (2)M={xx∈B且x任C .要使其值是整数，只需k十1能整除4， .N={5,71, ∴k+1=士1，士2，士4， 变式3【解】(1)11以内的非负偶数有0,2,4.6,8,10，所 注意到k<0,要使日+一2的值为整数的实数k的整 以构成的集合为{0.2,4.6,8,10}： 2 TI 数值为-2，-3，-5. (2)(x十1)(x2-4)=0的根为x1=-1,x2=2,x=-2, 所以k的值为k=一2，一3，-5. 所以所有实鼓根组成的集合为{一2，一1,2)： 第二编高中新知预习 ③》联宝+1和y=2,解仔2所以两个画数因 象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)} 第1讲 集合的橘念 题型五 【经典例题】 变式1【解】(1)不等式的解集用描速法表示 题型一 为{x3.x+2>5}； 变式【答案】B (2)根据点坐标的符号，集合用描迷法表示 【解析】对于Λ，不超过20的质数是明确可知的，满足 为{(x,y)x<0,y>0}； 确定性，可以组成集合：对于B,π的近似值是不明确的， (3)集合用描述法表示为{(x,y)y=x2一2x+3}: 不满足确定性，不可以组成集合：对于C,方程x=1的实 (4)根据点坐标的符号，集合用描迷法表示 数根是明确的，满足确定性，可以组成集合；对于D,函数 为{(x,y)|x>0,y<0}: y=x,x∈R不存在最小值，可以组成空集：故选：B 1 -,n∈N”,≤5}： 题型二 (⑤)条合用描迷法表示为= 变式1【答案】A (6)集合用描述法表示为{xx=3k,k∈Z. 【解析】由方程x(x十1)=0，解得x=0或x=一1，所以 (7)方程的解集用描述法表示为{xx2十x十1=0.x∈ A={0,-1},所以0∈A.1任A,-1∈A.故选：A. R 变式2【答案】CD 变式2【解】(1)设方程x2一2=0的实数根为x,并且满 【解析】依题意，当x,y,:都为正数，代数值等于4： 足条件x2一2=0，用描述法表示为《x∈R|x2-2=0: 当工，y,x中只有一个负数两个正数，代数值为0： (2)设大于10且小于20的整数为x,它满足条件x∈Z, 当xy,之中只有一个正数两个负数，代数值为0： 且10<x<20,故用描述法表示为{x∈Z10<r<20}: 当xy,x都为负敦，代数值为一4， (3)二次函数y=x2一2图象上的所有的点用描述法表示 故选：CD 为{(x,y)|y=x2-2}. 题型三 题型六 变式1【答案】B 变式1【答案】A 【解析】因为A={0,m,m2-3m十2}且2∈A, 所以m=2或m2-3m十2=2， 1t4EA. 【解析】由题意，若a∈A,-a 参考答案 1+1+a 题型二 1-a 变式1【答案】D 1十a LEA. 1 1-a 【解析】C={3,4,5},故其子集的个效为2=8. 故选：D 变式2【答案】D ∈A a+ 【解析】因为1,2,3,4}二M二{1,2,3,4,5,6}， 所以集合M的个数即为{5,6》的子集个数. 1+】 因为集合{5,6)的子集个数为22=4， a+l =a∈A, 所以满足条件的集合M的个数是4. 1-41 a+1 故选：D 题型三 上条合A,品 变式1【答案】D 【解析】0是元素，所以故0与桑合A的关系是0∈A,故 所以集合A中所有元素的泰积为a·(一日)·号 A错误；{0}是集合，所以{0》与集合A的关系是{0)二A, 1大一1 故B错误，D正确，⑦是集合，所以⑦二A,故C错误.故 1-a 选：D 故选：A 变式2【答案】B 变式2【答案】AC 【解析】M={xx=m十 【解析】对于集合《xx∈R,x≠0}，对任意的a>0,都 m-(r-1me 存在x=号，使得0<x-0=受<a,所以0是集合 2={=320mz,N==-子 6 {xx∈R,x≠0}的聚点，A选项正确： ∈z= 对于集合(x∈Zx≠0}，对于某个实数a>0,比如a 0.5, 此时对任意的x∈{x∈Zx≠0}，都有|x一0|≥1， 也就是说不可能0<x-0<0.5,从而0不是集合{x∈ p={=专+gez={=，pz Zx≠0)的聚点，B选项错误： 所以M军N=P.故选：B. 对于集合女女=日EN小对任意的>0，都春在 题型四 变式1【解】(1)由题知，A={x-2≤x≤5}， 当x∈Z时，A={x-2≤x5)={-2,-1,0,1,2,3,4, => . a n 5}共8个元素， 使0<1-01=开<a,所以0是条合 A的非空真子集的个数为28一2=254个： (2)由题知，A={x一1≤x+1≤6}，B={xm-1<x<m十 {女r=n∈N}的聚点，C选项正痛： 10 显然m一1m十1. 对于集合{N升-1一n 因为BCA, 随着n增大而增大， 所以/m+1≤5 m-1S-2解得-1≤m≤4， 片的我小值为之故当<宁时，即不存在，伙 所以实数m的取值范园是[一1,4]. 得0<|x一0<a,D选项错误. 变式2【答案】一3 【解析】因为A={1},B={xx2+2.x十a=0},A二B, 故选：AC 所以x=1是方程x2十2x十a=0的解， 第2讲 集合间的基本关系 即12+2×1+a=0,解得a=-3. 经检验，a=一3符合题意，所以a=一3. 【经典例题】 故答案为：一3 题型一 题型五 变式1【答案】C 变式1【答案】B 【解析】由{1,2二A年{1,2,3,4,5，可知集合A必有元 【解析】空集0表示无任何元素的集合，所以必二{0)， 素，即至少有两个元素，至多有四个元素， ①错误； 依次有以下可能：{1,2}，1,2,3}，1,2,4)，1,2,5}， 由交集性质知：A∩A=A,②正确： {1,2,3,4,{1,2,3.5},1,2,4,5}7种可能. 由并集性质知，AU财=A,③正确： 故选：C. N是自然数集，R是实数集，所以N二R,①错误. 变式2【答案】BCD 综上：只有②③正确.故选：B. 【解析】(1,3)B二1,3,5,7， 变式2【答案】A B可能为1,3,5}，{1,3,7}，{1,3,5,7}， 【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错： 故选：BCD. ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错： 5