第1编 第4讲 一元二次方程-【黄金起点】2025年初高中衔接必刷题数学

第二部分初高中数学知识衔接 第4讲 一元二次方程 知识巩固延伸 ZHISHIGONGGUYANSHEN L.一元二次方程根的判别式 一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)(a、b、c均 r--btVB-ac,r--b-uE.W 2a 2a 为常数)的判别式△=b2一4ac. (1)△>0时，a.x2+bx+c=0(a≠0)有两个不相 1+btvb-Aacb-vBAac 2a 2a 等的实数根 _-b+vb-Aac-b-V6-4ac-2b b (2)△=0时，a.x2十hx十c=0(a≠0)有两个相等 2a 2a 的实数根 (3)△<0时，a.x2+b.x十c=0(a≠0)没有实数根. 0·x2= -bt62-4ac.-b-vB2-Aac 2a 2a 注意：①在使用根的判别式之前，应将一元二次 b2-(62-Aac)Aac=c 方程化成一般式. 4a2 Aa2 a ②在确定一元二次方程待定系数的取值范围时， 所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 必须检验二次项系数a≠0. 如果a.x2十bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1, ③证明△=序一4ac恒为正数的常用方法：把△的 x2,则： 表达式通过配方化成“完全平方式十正数”的形式. x1十x2= 2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） a ,这一关系式也被称为韦达定理。 一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有两个根 1·g=C 分别是x1,x2,则： 重点题型剖析 ZHONGDIANTIXINGPOUXI 题型一 利用根的判别式判断一元二次方程根 [归类训练] 的个数 1.(全国九年级专题练习)已知关于x的一元二次 [经典例题] 方程3x2一2x十k=0,根据下列条件，分别求出 【典例】（河北承德·九年级统考阶段练习）已知 的范围： 关于x的方程21.x2一nx+2=0(m≠0)的一个 (1)方程有两个不相等的实数根：(2)方程有两 解为x=一3，则关于x的方程2m.x2十nx十2=0 个相等的实数根：(3)方程有实数根：(4)方程无 (n≠0)根的情况是 ( 实数根 A.不存在实数根 B.有两个实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不确定 【答案】B 【解析】，关于x的方程21.x2一n.x+2=0(m ≠0)的一个解为x=-3,.2m·(一3)2+3n十2 =0.18m+3m+2=0,“m2g3”, 在关于x的方程2m.x2十n.x十2=0(m≠0)中，△ =n2-4×2·2m 4=n2-16m=7+16.3m+2_90+24n+16 18 =(3n十4)2 ≥0，.关于x的方程2m.x2十nx十2 9 =0(m≠0)有两个实数根，故选B. 衔接必刷题数学 2.(河北九年级专题练习)已知关于x的一元二次 题型三解一元二次方程 方程：2-(2k+1)x+4(k-2)=0. 角度1直接开平方法 (1)求证：这个方程总有两个实数根： [经典例题] (2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b,c恰 好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长. 【典例】（江苏苏州·一模）已知关于x的一元二 次方程m(x一h)2一k=0(m,h,k均为常数且 m≠0)的解是x1=2,x2=5,则关于x的一元二 次方程m(x一h+1)2=k的解是 () A.x1=-2,x2=-5B.x1=-4,x2=-1 C.x1=1,x2=4 D.x1=-3,x2=-6 【答案】C 【解析】：方程m(x一h)2一k=0(m、h,k均为 常数且m≠0)的解是x1=2,x2=5,∴.对于关于 (x+1)的一元二次方程m(x-h十1)2=k的解， 即x十1=2或x十1=5，即x1=1,x2=4,∴.关于 x的一元二次方程m(x一h十1)2=k的解是x1 =1,x2=4.故选：C. [归类训练] 1.(湖北恩施·九年级期末)用直接开平方的方法 解方程(3.x十1)2=(2x一5)2，做法正确的是( A.3x+1=2x-5 B.3.x+1=-(2x-5) C.3x+1=±(2.x-5)D.3.x+1=±2x-5 2.(安徽滁州·八年级校考阶段练习)解方程：(x 2)2=18. 题型二根据根的个数求参数 [经典例题] 【典例】（辽宁本溪·九年级统考开学考试）关于 x的一元二次方程k.x2十4x十1=0有两个实数 根，则k的值可以是 () A.6 B.5 C.4 D.0 【答案】C 【解析】：一元二次方程x2十4x十1=0有两 个实数根，∴.△=42一4×k×1≥0，k≠0，解得k ≤4，k≠0.故选：C [归类训练] 1.(河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考 试)若关于x的一元二次方程(a一2).x2+2x-1=0 有两个不相等的实数根，则α的取值范围是( ) A.a≠2 B.a≥1且a≠2 C.a>1且a≠2 D.a>1 2.(北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)若 关于x的方程x2十2x十2k一4=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是 18 第二部分初高中数学知识衔接 角度2配方法 角度3因式分解法 [经典例题] [经典例题] 【典例】（湖南益阳·九年级校联考期末）一元二 【典例】（云南昆明·九年级统考期末）解方程： 次方程x2一4x一1=0配方后可化为 () x(x-3)=x-3. A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 【解】z(x-3)=x-3,x(x-3)-(x-3)=0,(x C.(.x-2)2=3 D.(x-2)2=5 3)(x-1)=0,x-3=0或x-1=0,.01=3,x2=1. 【答案】D 【解析】移项得x2一4x=1,配方得x2一4x十4 [归类训练] =1+4,.(x-2)2=5,故选：D. 1.(江苏扬州·九年级校考期末)用适当的方法解 [归类训练] 一元二次方程3x(x-2)=2(2-x). 1.(江苏宿迁·九年级统考期未)解方程：x2十10.x -11=0. 2.(江苏无锡·九年级统考期末)解方程： 2.(安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习)解方 (1)(.x+4)2=2(x+4): 程：22+3x+1=10. (2)x(x+5)=6. 19 衔接必刷题数学 角度4利用求根公式求解 2.(四川凉山·九年级统考专题练习)解方程x2十 2.x-3=0. [经典例题] 【典例】（辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程： 3x2-3x-1=0. 【解】3x2-3x-1=0,a=3,b=-3,c=-1, ∴.△=2-4ac=(-3)2-4×3×(-1)=9+12 =21>0, 0=-h=4ac=-(-3)+②-3+v② 2a 2×3 6 =6--4ac=-(-3)-2②I=3-2② 2a 2×3 6 即：n-3+四，2-3-可 6 61 [归类训练] 1.(四川眉山·九年级统考期末)解方程：(x十1) (.x-2)=3x. 20 第二部分初高中数学知识衔接 角度5换元法求解 (1)若x+x=2,求m的值： [经典例题] （2令T-”十，求T的取值范周。 【典例】（浙江金华·八年级校考阶段练习）已知 方程a2+bc十c=0的解是=号=3，则方 程a(x-1)2+bx=b-c的解是 ) A=2=5 B.x=22=0 C.1=22=6 .9 D.4=22=7 【答案】B 【解析】由方程a(x一1)2十bx=b一c可得 a(x-1)2+b(x-1)+c=0, 设y=x-1,可得ay2+by+c=0, 方程az2+b+c=0的解是号，2=3， 方程ay2+b十(=0的解是川=号y=3 .7 “-1=名一1=3，解得-名=4 故选：B. [归类训练] 1.(广西河池·九年级统考期末)若实数xy满足(x3+ 题型五利用根与系数的关系（韦达定理）求对 y2-1)(23+y+3)=0,则x23+y2的值为 () 称式的值 A.1 B.-3 [经典例题] C.1或-3 D.-1或3 2.(湖南常德·九年级统考期未)若(x2十y2)2 【典例】（全国·九年级专题练习）已知xy≠1，且 3(x2+y2)-4=0,则x2+y2= 有3.x2+2018.x+9=0及9y2+2018y+3=0, 题型四利用根与系数（韦达定理）的关系求参数 则，子的值为 [经典例题] 1 A.2018 B.2018 【典例】（浙江·八年级专题练习）设，3是一元 C.3 二次方程x2+3x一7=0的两个根，则a2十5a十 8 23= 【答案】 D 【答案】1 【解析】9y2+2018y+3=0, 【解析】，a,3是一元二次方程x2+3.x一7=0 3×(1)2+2018.1+9=0. 的两个根，∴.a十B=-3,a2+3a-7=0,a2+3a y =7,∴.a2+5a+23=a2+3a+2(a+B)=7+2X 则x是32+2018x十9=0的两根. (-3)=1,故答案为：1. ∴x· [归类训练] 3-+-3+日 yy 3 1.(贵州黔东南·九年级统考期末)关于x的一元 六0故选D 二次方程5.x2一4.x+k=0的一个根为1，则它的 另一个根是 [归类训川练] 2.(浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考)设m 1.(湖北鄂州·九年级统考阶段练习)若实数a、b 是不小于一1的实数，使得关于x的方程x2十 2(m-2)x十m2一3m+3=0有两个实数根 满足u2十a=?+6=4,a≠6.则会+号的值是 x1x2. 衔接必刷题数学 2.(湖北襄阳·九年级统考期末)已知关于x的一 元二次方程x2一4m.x+3m2=0. [归类训练] (1)求证：该方程总有两个实数根： 1.(广东汕头·九年级统考期末)已知，抛物线y= (2)若该方程有两个正实数根x1,x2,且x2十x22 x2+(m-1)x+(m一2)(m为常数). =10,求m. (1)求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有公 共点： (2)若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为 4,求n的值. 2.(江苏南京·九年级统考期未)已知二次函数 y=x2-2m.x+2m-1(m为常数). (1)求证：不论m为何值该函数图像与x轴必有 公共点： (2)求证：不论m为何值，该函数图像的顶点都 在函数y=一(x一1)2的图像上： 题型六根据判别式确定函数图象交点 (3)已知点A(-3,y1),B(1,y2)在二次函数图像 上，若y1>y2,则m的取值范围是 [经典例题] 【典例】（云南文山·九年级统考期末）已知抛物 线：y=x2-2m.x十m2-16. (1)求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两 个不同的交点A、B; (2)若(xA一1)(xB一1)=9，求m的值 【解】(1)证明：对于y=z2-2m+2-16来说， 当y=0时，.x2-2m.x+m2-16=0, 由题意得：△=(-2m)2-4(m2-16)=64>0, ∴.无论m为何值，x2一2mx十m2一16=0有两个 不相等的实数根， ∴.无论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同 的交点A、B. (2)令y=0,x2-2m.x+m2-16=0, 解得：xA=m一4，xB=m十4， (xA-1)(xB-1)=9,即(m-5)(m十3)=9， 解得：m=6或m=一4. 22 第二部分初高中数学知识衔接 题型七根的判别式和韦达定理综合应用 [归类训练] [经典例题] 1.(全国九年级专题练习)已知关于x的方程2x2 【典例】（湖北随州·九年级统考期末）如图，抛物 一mx十m=0. 线y=ax2十bx十c(a≠0)与x x=-2 y (1)若m=一2，方程两根分别为x1,x2,求 轴交于A,B两点，与y轴交 |x1一x2和x十x2的值： 于点C(0,1),点A在(-3,0) (2)若方程有一正数根和有一负数根，求实数m 和（一4,0）之间（不包含这两D 的取值范围. 点)，对称轴为直线x=一2.有 以下结论：①a>0:②a>号：⑤若点M-号n） 和点N一9)是抛物线上的两点，则> ④若x轴上一点D(-6,0),当AB=2D0时，方 程a.2+bx十c=0的根（较小的根用表示）为n 7 2= 一号·其中正确结论的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】，抛物线的开口向上，a>0, ,抛物线与y轴交于点C(0,1),∴c=1, ,抛物线的对称轴为直线x=一2， .-22=-2,则b=4a>0， 2.(山西太原九年级专题练习)已知x1,x2是一元 ∴.abc>0,故①正确； 二次方程4k.x2一4kx十k+1=0的两个实数根. 点A在（一3,0）和（一4,0）之间， (1)是否存在实数k,使(2x1一x2)(x1一2x2)= .当x=-3时，y=9a-3b+1=9a-12a+1= 多成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说 -3a+1<0. 明理由： ∴a>号，故②正确： (2)若k是整数，求使+-2的值为整数的 ,抛物线的对称轴为直线x=一2， 所有k的值. “点M(一号）关于对称轴对称的点的坐标为 (一名n),且当《-2时y随x的增大而减小， -<9 y1>2,故③正确 :D-6,0.AB=号D0. ∴AB=3, 设x1、x2(x1<x2)是方程a.x2十b.x+c=0的两 个根则十2=一4，西2= a 则AB=x2-x1=√(x1十x2)2-4x1x2=3, (-402-4X=9,解得a=号6=4a=9, d 解方程号+91=0得：=一= 2 故④正确，综上，正确的有4个，故选：D. 23参考答案 (2)①：2x2-2.xy+y2-8.x+16=0, ∴.x2-2xy+y2+x2-8.x+16=0, ∴.(x-y)2+(x-4)2=0, .(x-y)2=0,(x-4)2=0, .3x2-2.xy-8y2=(x-2y)(3x+4y): x=4,y=4: (6)-5x2+3xy+14y2=-(5.x2-3.xy-14y2) ②5x2-12xy+9y2+8x+6 -2y =4x2-12.xy+9y2+x2+8.x+16-10 =(2x-3y)2+(x+4)2-10, (2x-3y)2≥0，(x十4)2≥0， 7y ∴.(2x-3y)2=0,(x+4)2=0时，5x2-12xy+9y2+8z .-5.x2+3.xy+14y2=-(x-2y)(5.x+7y). +6有最小值，最小值是一10， 2.【解】原式=2x(.x2-3x+2) .2x=3y,x=-4. =2x(x-1)(x-2). 题型六 y=-8 归类训练 1.【答案】x-3y=0:x+y=0 即当x=-4y=-号时，代数式5x2-12y叶9y2+8+ 【解析】：x2-2xy-3y2=0. 6有最小值，最小值是一10， ∴.(x-3y)(x+y)=0. 2.【解】(1)ab-a-b+1=(ab-a)-(b-1)=(a-1)(b .x-3y=0或x十y=0. 1): 故答案为：x-3y=0;x+y=0. (2)4-x2+4xy-4y2=4-(x2-4xy+4y2)=4 2.【解】-2.x2+8xy-8y (x-2y)2=(2-x+2y)(2+x-2y). =-2(x2-4xy+4y2) (3).x2-y2-2y+2x=(x2-y2)+(2x-2y)=(x-y)(x =-2(x-2y)2 +y+2) 题型七 x+y=7,x-y=5, 归类训练 代入得：原式=(x-y)(x+y+2)=5×(7+2)=45. 1.【解】(1)x2-5x十6=(x-2)(x-3): 题型九 (2)10.x2+x-21=(2x+3)(5r-7): 归类训练 (3)(x2-4.x)2+7(.x2-4x)+12 1.【答案】ABDE =(x2-4.x+4)(.x2-4r+3) 【解析】x2-1=(x+1)(x一1)，则多项式x2-1能被x =(x-2)2(x-1)(x-3). 十1整除，故选项A符合题意：2x2十2x=2x(x十1)，则多 2.【答案】(1)(.x-y)(x十6y) 项式2.x2十2.x能被x+1整除，故选项B符合题意：x(x+ (2)(x-3a)(x-a-2) 1)一x十1=x2+1,则多项式x(x+1)一x十1不能被x+ 1整除，故选项C不符合题意：x(x十1)-3x-3=x2-2x (3)(x+a-3b)(x-a-2b) 一3=(x一3)(x十1)，则多项式x(x十1)一3x一3能被x (4)(2025x+1)(x-1) 十1整除，故选项D符合题意：x3-x=x(x2-1)=x(x十 【解析】(1)原式=x2+(-y+6y)x+(-y·6y)=(x 1)(x一1)，则多项式x3一x能被x十1整除，故选项E符 -y)(x+6y): (2)原式=x2+[-3a-(a+2)]x+(-3a)[-(a+2)] 合题意；故选：ABDE 2.【解】(1)x2-6.x+8=(x-2)(x-4): =(x-3a)(x-a-2): (3)原式=x2-5bx+ab+662-a2 (2)①令A=x一y, 则原式=A2+4A+3=(A+1)(A十3)， =x2-5b.x+(3b-a)(2b+a) =x2+[(-3b+a)+(-2b-a)]x+(-3b+a(-2b-ad 所以(x-y)2+4(x-y)+3=(x-y十1)(x-y+3): ②令B=m2+2m, =(x+a-3b)(x-a-2b): (4)原式=(2025.x)2-(2025-1)(2025+1).x-1 则原式=B(B-2)-3 =B2-2B-3 =20252x2-(20252-1).x-1 =(B+1)(B-3). =20252x2+(1-20252).x-1 所以原式=(m2+2m十1)(m2+2m-3) =(20252x+1)(x-1). =(m+1)2(m-1)(m+3). 题型八 归类训练 第4讲一元二次方程 1.【解】(1)①a2(x-y)-x+y [重点题型剖析] =a2(x-y)-(x-y) 题型一 =(.x-y)(a2-1) 归类训练 =(.x-y)(a+1)(a-1): ②x2-y2-4x十4 1.【解】△=(-2)2-4×3×k=4-12k 1 =x2-4.x+4-y 0)4-12>0→<32)4-12k=02=3: =(x-2)2-y2 =(x+y-2)(x-y-2): (3)4-12k≥0=k≥3：4)4-12k<0k<3 衔接必刷题数学 2.【解】(1)证明：4=(2k+1D2-4×1X4(k-2) 2.【解】2+3x+1=10, =4k2-12k+9 x2+6.x+2=20, =(2k-3)2, x2+6.x+9=27. ,无论k取什么实数值，(2k-3)≥0， (x+3)2=27, △≥0， x+3=±35， ,,无论k取什么实数值，方程总有实数根： .x1=-3+3V3,x2=-3-35. (2):x=2张+1±(2-3) 角度3 2 归类训练 ∴.x1=2k-1,x2=2, 1.【解】：3x(x-2)=2(2-x). ,b,c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k一1，c=2, ∴.3x(x-2)+2(x-2)=0, 当a6为接，别a=6=4,中2张-1=4，解得长=号北时 .(3x十2)(x-2)=0. .3x十2=0或x-2=0, 三角形的周长=4十4十2=10： 2 当b、c为腰时，b=c=2,此时b十C=a,故此种情况不 解得1=一号4=2 存在， 2.【解】(1)：(.x+4)2=2(x+4), 综上所述，△ABC的周长为10. ∴.(x+4)2-2(x+4)=0. 题型二 ∴.(x十4-2)(x十4)=0， 归类训练 .x十4=0或x十4-2=0， 1.【答案】C 解得x1=一4，x2=-2; 【解析】，关于x的一元二次方程(a一2)x3十2x一1=0 (2).x(x十5)=6， 有两个不相等的实数根， ∴x2+5x-6=0, ∴.a-2≠0,4=22-4×(a-2)×(-1)=4a-4>0, .(x+6)(x-1)=0, 解得：a>1且a≠2. x+6=0或x-1=0, 故选：C. 解得x1=1,x2=-6. 2.【答案】k<或<2.5 角度4 归类训练 【解析】x2+2x十2k一4=0有两个不相等的实数根， 1.【解】(x+1)(x-2)=3x, ∴.4=b2-4ac>0. 整理方程，得：x2-4x-2=0, ∴.22-4×1×(2k-4)>0, 4=16-4×1×(-2)=24, 多 x=4±26 2 长的取值范国为< ∴x1=2+6战x2=2-6. 2.【解】(1)：x2+2x-3=0, 题型三 △=22-4×(-3)=16， 角度1 归类训练 “x=二2共6=-2±4 2×1 2 1.【答案】 C ∴x1=1,x2=-3. 【解析】(3.x十1)2=(2x-5)2 角度5 开方得3.x十1=士(2x一5)， 归类训练 故选：C 1.【答案】C 2.【解】(x-2)2=18 【解析】设x3十y3=m. x-2=士32 :(x3+y3-1)(x3+y3+3)=0, x=2士3√2 .(m-1)(m十3)=0. m-1=0或m十3=0， ∴.x1=2+32,x2-2-3/2. 解得m=1或m=一3， 角度2 .x3+y3=1或x3+y3=-3. 归类训练 故选C 1.【解】x2+10.x-11=0 2.【答案】4 x2+10x=11. 【解析】设t=x2+y2,则t>0, x2+10x+25=11+25, .原方程可以化为t2-31一4=0， (x+5)2=36, 解得：t=4或t=一1（含去） x+5=士6， 即x2+y2=4 x1=1,x2=-11. 故答案为：4 参考答案 题型四 =16m2-12m2 归类训练 =4m2≥0： 1.【答案】 ,该方程总有两个实数根： (2)由一元二次方程根与系数的关系，得x1十x2=4m, 【解析】设方程的另一个根是a, x1x2=3n. 则根据根与系数的关系得：l十a=5, x12+x22=(.x1+x2)2-2x1x2=10, ∴.(4m)2-2×3m2=10. 1 解得：u=一 解得m=士1. x1>0,x2>0, 即方程的另一个根是一号故答案为：一子 .x十x2=4m>0.即m>0, 2.【解】(1)，关于x的方程x2+2(m-2)x十m2-3m+3 m=1. =0有两个实数根， 题型六 △=4(m-2)2-4(m2-3m十3)≥0，解得m≤1， 归类训练 :m是不小于一1的实数， 1.【解】(1)证明：令x2+(m-1)x+(m-2)=0, ∴.-1≤m≤1. 则△=(m-1)2-4(m-2)=m2-2m+1-4m+8=m2 :方程x2+2(m-2).x+m2-3m十3=0的两个实数根为 6m+9=(m-3)2, △=(m-3)2≥0， 11x2 无论m为何值，抛物线与x轴总有公共点 ∴.x1十x2=-2(m-2)=4-2m,x1·x2=m2-3m十3. (2)由y=x2+(m-1).x+(m-2), x+x2=2,∴(x1十x2)2-2.xx2=2, 令x2+(m-1)x+(m-2)=0, ∴.4(m-2)2-2(m2-3m十3)=2. 解得：x1=2-m,xg=一1， 整理得m2-5m十4=0，解得m1=1,m2=4(舍去)， ∴抛物线与x轴交点坐标为(2-m,0),(一1,0)， .m的值为1： 若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则2一m er-+器 (-1)=4或-1-(2-m)=4, 解得m=一1或m=7. =mx11-x2)+mx2(1-) 2.【解】(1)证明：，△=4m2一4(2m-1) (1-x1)(1-x2) =4m2-8m+4 m[(x1十x2)-2.x1x] =4(m-1)2≥0 1-(x1+xg)十x1x2 所以不论m为何值，孩二次函数的图象与x轴总有公 m(4-2m-2m2+6m-62_-2m(m-1)2 共点： 1-4+2m+m2-3m+3 -2m(m-1)2 (2)证明：y=x2-2m.x+2m-1=(x-m)2-(m-1)2, m(n-1) =2-2m. 二次函教y=x2-2m.x+2m一1的顶点坐标 ,当x=1时， 为[m,-(m-1)2] 方程为1+2(m-2)十m2-3m十3=0， 当x=m时，y=-(x-1)2=-(m-1)2, 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数 解得m=1或m=0. ,当m=1或m=0时，T没有意义 y=一(x-1)2的图象上： (3)函数的对称轴为1=一2a b ,∴.一1≤m<1且m≠0 =m,a=1>0, ∴.0<2-2m≤4且T≠2. 抛物线开口向上， 即0<T≤4且T≠2. :点A(-3,y1),B(1,y2)在二次函数图像上，y1>y2 题型五 .|m-(-3)|>11-m, 归类训练 解得：m>-1, 1【答案】 故答案为：m>-1. 题型七 【解析】，a2+a=b2十b=4, 归类训练 ∴.a2+a=4,b2+b=4,a≠b, 1.【解】(1)当m=-2时，2x2+2.x-2=0 ∴.a,b分别是方程t2十1一4=0的两个实数根， 即：x2+x-1=0 ∴.a+b=-1,ab=-4. ÷2+号=-a+2地_--2x-0 △=1+4>0，x1+x2=-1,x1x2=-1 ab ab 因国此：lx1-x2|2=(x1十x2)2-4x1x2=5 =、9 ∴.|x1-x2|=5 x3+x是=(x1+x2)[x+x经-x1x2] 故答策为：一是 =(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=-4: (2)2.x2-m.x十m=0 2.【解】(1)证明：由题意可得： △=(-4m)2-4×1×3m2 △=m2-8m1十=受1=受 73 衔接必刷题数学 14=m2-8m>0 ①若m=2,此时m2一3m十2=0，不满足元素的互异性： ∴.m<0. ②若m2-3m+2=2,解得m=0或3， 当m=0时不满足元素的互异性，当m=3时，A={0,3, 2.【解】(1)假设存在实数k,使(2x1一x2)(一2x2)= 2}特合题意. 2 综上所述，m=3. 成立. :一元二次方程4x”一4kx十k十1=0有两个实数根 故选：B 变式2【答案】一1或-8 A=（仁2-4·4+1)=-720260 【解析】因为-3∈A,所以x-2=一3或x十5=一3，解 又x1,2是一元二次方程4kx2一4kx+k十1=0的两个 得x=-1或x=-8, 实数根 当x=一1时，A=(一3,4,12)，满足集合元素的互异性， {x1+x2=1 所以x=一1特合题意： 1 当x=一8时，A={一10，一3,12}，也满足集合元素的互 Ak 异性，所以x=一8也符合题意 .(2.x1-x2)(.x1-2x2)=2(x7+x3)-5x1x2=2 综上，x的值为一1或一8， (xn+x2)2-9x1x2 故答案为：一1或-8. ==--号但0 题型四 变式1【答案】{6,3,2,1} 不存在实数k, 【解析】 使(2-)1-2m)=-号成立： (l-gueN.rEN-(6.3.2.1). 故答案为：{6,3,2,1， (2):2+2-2=+ -2=+x2) 4k 变式2【解】由题意A={1,2,3,4,5,B={2.3,5,71,C 2 -4= 12 1x2 =1,2,3.4,6,12. 4 (1)M=1.2.3,4. k+1 (2)M={xx∈B且x任C .要使其值是整数，只需k十1能整除4， .N={5,71, ∴k+1=士1，士2，士4， 变式3【解】(1)11以内的非负偶数有0,2,4.6,8,10，所 注意到k<0,要使日+一2的值为整数的实数k的整 以构成的集合为{0.2,4.6,8,10}： 2 TI 数值为-2，-3，-5. (2)(x十1)(x2-4)=0的根为x1=-1,x2=2,x=-2, 所以k的值为k=一2，一3，-5. 所以所有实鼓根组成的集合为{一2，一1,2)： 第二编高中新知预习 ③》联宝+1和y=2,解仔2所以两个画数因 象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)} 第1讲 集合的橘念 题型五 【经典例题】 变式1【解】(1)不等式的解集用描速法表示 题型一 为{x3.x+2>5}； 变式【答案】B (2)根据点坐标的符号，集合用描迷法表示 【解析】对于Λ，不超过20的质数是明确可知的，满足 为{(x,y)x<0,y>0}； 确定性，可以组成集合：对于B,π的近似值是不明确的， (3)集合用描述法表示为{(x,y)y=x2一2x+3}: 不满足确定性，不可以组成集合：对于C,方程x=1的实 (4)根据点坐标的符号，集合用描迷法表示 数根是明确的，满足确定性，可以组成集合；对于D,函数 为{(x,y)|x>0,y<0}: y=x,x∈R不存在最小值，可以组成空集：故选：B 1 -,n∈N”,≤5}： 题型二 (⑤)条合用描迷法表示为= 变式1【答案】A (6)集合用描述法表示为{xx=3k,k∈Z. 【解析】由方程x(x十1)=0，解得x=0或x=一1，所以 (7)方程的解集用描述法表示为{xx2十x十1=0.x∈ A={0,-1},所以0∈A.1任A,-1∈A.故选：A. R 变式2【答案】CD 变式2【解】(1)设方程x2一2=0的实数根为x,并且满 【解析】依题意，当x,y,:都为正数，代数值等于4： 足条件x2一2=0，用描述法表示为《x∈R|x2-2=0: 当工，y,x中只有一个负数两个正数，代数值为0： (2)设大于10且小于20的整数为x,它满足条件x∈Z, 当xy,之中只有一个正数两个负数，代数值为0： 且10<x<20,故用描述法表示为{x∈Z10<r<20}: 当xy,x都为负敦，代数值为一4， (3)二次函数y=x2一2图象上的所有的点用描述法表示 故选：CD 为{(x,y)|y=x2-2}. 题型三 题型六 变式1【答案】B 变式1【答案】A 【解析】因为A={0,m,m2-3m十2}且2∈A, 所以m=2或m2-3m十2=2， 1t4EA. 【解析】由题意，若a∈A,-a