精品解析：江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高二下学期5月阶段性检测数学试题

2024-2025学年度春学期五月份阶段性检测试卷 一、单选题 1. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5. 设，又记，，、、、，则（ ） A. B. C. D. 6. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，，则 B. 三位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，则取得件次品的概率为 10. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有且仅有1个零点 C. 有且仅有2个极值点 D. 是的一条切线方程 三、填空题 12. 展开式中含项的系数为____________． 13. 若函数（，且）是偶函数，且，则______. 14. 已知函数则函数的最小值为________；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 17. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 18. 某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学 成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值. （3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望. 附： 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度春学期五月份阶段性检测试卷 一、单选题 1. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，找出其中的正整数即可得解. 【详解】解不等式得，包含的正整数有，故的元素个数为. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定是，. 故选：D 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正太分布的对称性和性质直接求出即可. 【详解】因为随机变量服从的正态分布曲线的对称轴为. 因为，所以. 又，所以. 故选：B. 5. 设，又记，，、、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出，可得出，结合周期性可得出的表达式. 【详解】因为，则，则， ，， ，， 由上可知，对任意的，， 因为，因此， 故选：C. 6. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小. 【详解】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减. 根据幂函数在上单调递增，得，再 由指数函数单调递增可知，，则， 故，即. 故选：B. 7. 已知，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数在上为减函数，结合指数函数、对数函数以及分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，，不妨设，则， 所以，函数在上为减函数， 又因为，则，解得. 故选：D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出，，可得出，，结合可求得的值，再由可求得的值，即可得出函数在时的解析式，推导出函数为周期函数，结合函数的周期性可求得的值. 【详解】因为的定义域为，为奇函数，为偶函数， 所以，， 故，， 当时，， 则，解得， 在等式中，令可得，可得， 即，解得，故当时，， 在等式中，用替代得， 所以，所以， 即，所以， 故函数是周期为的周期函数，故. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，，则 B. 三位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，则取得件次品的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项分布的期望和方差公式求出的值，可判断A选项；利用插空法结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用排列数和组合数公式求出的值，可判断C选项；利用超几何分布的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，随机变量，若，， 即，解得，A对； 对于B选项，三位男生和两位女生随机排成一列，共有种方法， 两位女生不相邻，则先安排三位男生，有种方法，再把两位女生插空，有种方法， 故概率是，B错； 对于C选项，因为，即， 由题意可知，解得，C对； 对于D选项，从一批含有件正品、件次品的产品中任取件， 则取得件次品的概率为，D错. 故选：AC. 10. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，满足， 对于A选项，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 故选：CD. 11. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有且仅有1个零点 C. 有且仅有2个极值点 D. 是的一条切线方程 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数的定义即可判断；对于B，将解析式分段写出，然后分别求导，得在上单调递增，由零点存在定理可判断；对于C，由B可知在上恒成立，可判断C；对于D，分类讨论在和范围内是否有导数值即斜率为的点，再验证函数值是否相等，由此可判断正误. 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A正确； 对于B，当时，，在上恒成立， 即在上单调递增，且此时； 同理当时，，在上恒成立， 即在上单调递增，且此时，又， 故在上单调递增，又，由零点存在定理可知有且仅有1个零点，故B正确； 对于C，由B选项分析可知在上恒成立，且在处两边导数值均为正不变号， 由函数极值点的定义可知，函数在上无极值点，故C错误； 对于D，当时，令，解得， 且，此时，故不是在内的切线方程； 当时，令，解得， 且，此时，故是在处的切线方程； 当时，因为，此时，故不是在处的切线方程； 综上，是在处的切线方程，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 展开式中含项的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】确定展开式中对应的各项指数组合，即可列出该项得解. 【详解】展开式中含项的为，则其系数为. 故答案为：. 13. 若函数（，且）是偶函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而可得，计算可求得的值. 【详解】因为是偶函数，则，可得， 所以，所以或， 则（舍去）或，所以， 又，所以，所以，又，解得. 故答案为：. 14. 已知函数则函数的最小值为________；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据导数求出函数在每段上的最小值，比较大小即可；求出过点且与相切的直线的斜率，再由数形结合可得出与有4个交点时的斜率取值范围，即可得解. 【详解】令，表示过定点，斜率为的动直线， 当时，当时，；当，，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，， ， 在同一坐标系内作出函数图象与直线，如图所示， 关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线有四个不同的交点， 当时，的图象在点处切线斜率为， 该切线过点时，满足，解得， 的图象过点的切线斜， 当时，，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，， ，解得， 的图象过点的切线斜率为2， 由函数图象知，当动直线在直线与所夹不含轴的对顶角区域内转动（不含边界直线）时，函数的图象与直线有四个不同的交点，此时的取值范围是． 故答案为：； 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求解集合中的不等式，然后求它们的并集. （2）首先判断集合的关系，然后分为空集和非空集两种情况讨论的范围. 【小问1详解】 由， 若， 则， ， 故； 【小问2详解】 ， 即， ①当时，，即， 此时成立， 符合题意； ②当时，需满足：，解得． 综上，． 16. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的对称轴，利用二次函数的性质判断函数在区间上的单调性，利用最值求参数a和b； （2）将原不等式转化为求函数的最值. 【小问1详解】 的对称轴为，因为， 所以在区间上的单调递增， 所以，， 解得，. 【小问2详解】 ，， 因为不等式在上有解，令， 则在上有解，代入得，即， 令，则在上有解， 因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围. 【点睛】（1）判断二次函数的对称轴，进而判断单调性，求最值； （2）换元，分参，将原不等式转化为求函数的最值. 17. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 【答案】（1）的分布列为 X 0 10 30 60 P （2）当时累计得分的期望最大.【解析】 【分析】（1）由题设写出随机变量的取值并求出相应取值的概率即可得解； （2）先求出累计得分的期望表达式，再根据函数性质求最大值. 【小问1详解】 由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P 【小问2详解】 设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 18. 某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学 成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值. （3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望. 附： 【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关； （2）； （3）的概率分布列为： 0 1 2 3 .【解析】 【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可； （2）根据条件概率公式计算即可； （3）分层抽样后运用超几何分布求解. 【小问1详解】 零假设：数学成绩与语文成绩无关. 据表中数据计算得： 根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关； 【小问2详解】 ∵， ∴估计的值为； 【小问3详解】 按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为. ，， ，， ∴的概率分布列为： 0 1 2 3 ∴数学期望. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，利用导数的几何意义，得到函数在处的切线的斜率，即可求解； （2）对求导，得到，构造函数，利用零点存在性原理，可得，使得，从而得到的单调区间，进而得到，再利用，即可证明结果； （3）根据条件，将问题转化成证明在上恒成立，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出单调区间，进而得到，即可证明结果. 【小问1详解】 因为，则， 所以，又，所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，则， 令，则，所以在区间上单调递减， 又，，所以，使得，即， 当时，，当时，， 得到在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，又，得到， 又，当且仅当时取等号，又，则， 所以，得证. 【小问3详解】 因为，由，得到， 又，得到，即， 所以要证，即证，即证， 令，则在区间上恒成立，所以， 即证在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，所以，即，命题得证. 【点睛】关键点点晴，对于第（2）问，利用导数与函数单调性间的关系，结合零点存在性原理，求出函数的“隐零点”，进而得到，再结合，利用基本不等式，即可求解；对于第（3）问，利用同构思想，将问题转化成求证，通过换元，转化成在上恒成立，构造函数，利用导数，求出函数最小值，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $