精品解析：广东省潮州市饶平县第二中学2024-2025学年高二下学期第三次阶段考数学试题

2024学年度第二学期高二级第三次阶段考试试题 数 学 2025.5 试卷共4页，卷面满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 2 C. D. 6 2. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 3. 设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 5. 某校的辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛.要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为（ ） A. 80 B. 81 C. 120 D. 125 6. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列如下表所示，其中，则（    ） X －1 0 1 P a c A. B. C. D. 10. 函数在处取得极大值，则（ ） A. B. 只有两个不同的零点 C. D. 在上的值域为 11. 曲线C的方程为，M为曲线C上任意一点，则（ ） A. 点在曲线C上 B. 点M横坐标的范围是 C. 若，则 D. 设是曲线C上不同两点，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为___________． 14. 记为数列的前项积，已知，则数列的通项公式为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 16. 如图，直三棱柱中，，，是的中点． （1）证明：直线平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期高二级第三次阶段考试试题 数 学 2025.5 试卷共4页，卷面满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】直接由二项展开式求含的项即可求解. 【详解】由题意知：含的项为，故的系数为. 故选：C. 2. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 【答案】D 【解析】 【分析】运用空间向量共线列式计算即可. 【详解】∵，，且， ∴， 解得，， ∴． 故选：D． 3. 设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的单调性得出的正负，然后结合图象中的正负，即可求出答案. 【详解】根据图象由函数的单调性知：当时，；当时，； 又因为时，；当时，，当时，， 所以可知的解集为． 故选：D. 4. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式直接计算作答. 【详解】由，，得， 所以. 故选：B 5. 某校的辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛.要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为（ ） A. 80 B. 81 C. 120 D. 125 【答案】A 【解析】 【分析】由题意分两种情况：男生人女生人；男生人女生人，再利用组合数的运算即可求解. 【详解】由题意分两种情况：男生人女生人，即； 男生人女生人，即； 所以组队的方法数为. 故选：A 6. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段数列的特点，将代入，求出的项判断奇偶后继续代入即可求出. 【详解】数列满足：，， 则，所以， 则，所以， 则，所以， ，所以. 故选：D. 7. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知和函数的性质，若，则和都是增函数，它们的解相同，可得，即，代入构造函数，利用导数即可求得的最小值，即为答案. 【详解】函数的定义域为，函数是增函数，且， 当时，，不合题意，故，函数是增函数， 令，得，由题意， 并结合，的图象， 则，即， 则，设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即的最小值为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列如下表所示，其中，则（    ） X －1 0 1 P a c A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由期望的性质可判断A；由对立事件的概率可判断D；由和概率和为1求出可判断B；求出可判断C； 【详解】对于A，，故A正确； 对于D，，故D正确； 对于B，又 联立得故B错误； 对于C，，故C正确； 故选：ACD. 10. 函数在处取得极大值，则（ ） A. B. 只有两个不同的零点 C. D. 在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据极值点求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性，极值和端点值，即可判断选项. 【详解】，， 由条件可知，，得， 当时，，得或， 单调递减 极小值 单调递增 单调递减 由表格数据单调性可知，单调递减，且，所以函数在区间有1个零点，同理，函数在区间和也各有1个零点，所以函数有3个不同的零点，故A正确，B错误； ，，，，故C正确； ，再结合表格数据可知，函数在区间上的值域为，故D错误. 故选：AC 11. 曲线C的方程为，M为曲线C上任意一点，则（ ） A. 点在曲线C上 B. 点M横坐标的范围是 C. 若，则 D. 设是曲线C上不同两点，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将点代入计算可得A正确，解不等式可知B正确，取特殊值可知存在点使得，C错误，分别对和分类讨论，利用两点间距离公式计算即可得，可知D正确. 【详解】对于A，将点代入可得，显然等式成立， 即点在曲线C上，所以A正确； 对于B，易知，即，解得，即B正确； 对于C，设，则， 显然当时，， 即存在点使得，因此C错误； 对于D，由，且， 当或时，， 当，此时， 当，此时； 若，即异号时，； 当时，不妨设，即，解得； 又，所以； 此时，即此时 当时， 不妨设， 可得， ； 所以 综上可知，，即D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则. 故答案为： 13. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，进而可得出，再结合可求得、的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】由于是边长为的等边三角形，则， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. 故答案为：. 14. 记为数列的前项积，已知，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，且∴， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知条件求出等比数列的公比，再求通项即可； （2）先由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，然后由分组求和法及公式法求数列的前n项和即可. 【详解】解：（1）因为是正数等比数列，且 所以， 即 分解得， 又因为，所以， 所以数列的通项公式为； （2）因为是首项为1，公差为2的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n项和，属中档题. 16. 如图，直三棱柱中，，，是的中点． （1）证明：直线平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，，，，， 则，，， 则，， 则，， ∵，平面，平面， ∴直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，证明，，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）得出平面与平面的法向量，，再利用面面角与向量夹角之间的关系计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】（1） （2）317 （3）的分布列为: 0 800 1 600 2 400 【解析】 【分析】（1）由题及对立事件概率性质可得答案； （2）由正态分布性质结合题意可得答案； （3）由题可得X的所有可能取值为0，800，1600，2400，然后可得分布列及对应期望. 【小问1详解】 分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率： . 【小问2详解】 由已知得的近似值为90，的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. 【小问3详解】 X的所有可能取值为0，800，1600，2400. 且，， ，. 所以的分布列为 0 800 1 600 2 400 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ； ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②略 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 当时，在为增函数； 当时，在上递减，在上递增. （2） （3）不存在；理由： 当时，，，. 设，则. 假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率， 即， 因为，所以. 设（）， 则（当且仅当时取“”）. 但，所以在恒成立. 所以在上单调递增，又. 所以在上恒成立. 即方程在上无解. 即满足条件的点不存在. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论到函数的符号，可得函数的单调性. （2）写出过的图象上一点的切线方程，根据切线过定点列方程，根据方程有2解求参数的取值范围. （3）假设存在满足条件的点，根据题意，问题可转化成方程在上解的情况.设辅助函数（），求导，分析函数单调性，可得函数零点情况. 【小问1详解】 因为，，所以，. 因为，所以. 所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数； 若，由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 综上：当时，在为增函数； 当时，在上递减，在上递增. 【小问2详解】 设切点，切线斜率为：， 所以切线方程为：. 因为切线过点，所以. 整理得：（） 设（），则（）. 由，由. 所以在上递增，在上递减. 又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点. 因为，，， 所以. 即所求的取值范围为：. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问中，求参数的取值范围，可采用分离参数法，得到，再设函数（），数形结合，可得实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $