专题02 复数、不等式与平面向量（浙江专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题02 复数、不等式与平面向量 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的代数运算 题型03不等式 题型04平面向量的基本定理与坐标表示 题型05平面向量的数量积 ( 题型01 ) 复数的概念 1．（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（    ） A．或 B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）已知复数满足为虚数单位，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江温州·二模）若复数是纯虚数，则实数 ． ( 题型0 2 ) 复数的代数运算 1．（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·二模）（多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·二模）（多选）已知复数（是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 3 ) 不等式 1．（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·二模）定义“真指数”（为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 ) 平面向量的基本定理与坐标表示 1．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 2．（2025·浙江金华·二模）已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 3．（2025·浙江杭州·二模）已知向量，，，则（    ） A．2 B．0 C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·二模）已知向量，若，则 ． ( 题型0 5 ) 平面向量的数量积 1．（2025·浙江·二模）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·二模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·二模）若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江台州·二模）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（2025·浙江·二模）已知实数满足，则的最大值为 . 6．（2025·浙江·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为 . 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数、不等式与平面向量 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的代数运算 题型03不等式 题型04平面向量的基本定理与坐标表示 题型05平面向量的数量积 ( 题型01 ) 复数的概念 1．（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】由纯虚数的概念，列得方程组，从而可求出的值. 【详解】因为复数（）是纯虚数， 所以， 由，得或， 由，得， 所以. 故选：D. 2．（2025·浙江·二模）已知复数满足为虚数单位，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由复数的除法运算得出，再根据复数模的计算公式即可求解． 【详解】，则， 故选：B． 3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再求出的模. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 4．（2025·浙江温州·二模）若复数是纯虚数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据已知复数类型列方程计算求解. 【详解】由题意得． 故答案为：2 ( 题型0 2 ) 复数的代数运算 1．（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数除法，结合共轭复数，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，所以. 故选：A. 2．（2025·浙江金华·二模）（多选）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则， A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项正确. D选项，设，则， 则，所以D选项错误. 故选：ABC 3．（2025·浙江杭州·二模）（多选）已知复数（是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先化简求出，再利用复数的模、共轭复数以及四则运算对各个选项验证即可得出结论. 【详解】因为，所以， ，故选项A正确；   ，  而，与相等，故选项B正确； ，故选项C正确； ， ， 所以，故选项D错误. 故选：ABC ( 题型0 3 ) 不等式 1．（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由恒成立得到，再由绝对值特性得到即可求解. 【详解】因为对任意的正数，恒成立， 所以，又，所以，所以. 故选：A 2．（2025·浙江杭州·二模）定义“真指数”（为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数新定义举反例可得ABD错误；结合均值不等式分析，分当时和当或时两种情况利用函数新定义可得C正确. 【详解】对于A，取，左边，即左边等于； 右边，故A错误； 对于B，取，左边，即左边等于； 右边等于，故B错误； 对于C，由于恒成立，所以在恒成立， 所以自然指数函数满足， 当且仅当即时取等号，故C正确； 对于D，取，左边，即左边等于； 右边等于，故D错误. 故选：C ( 题型0 4 ) 平面向量的基本定理与坐标表示 1．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 【答案】C 【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D. 【详解】因为向量，，则，， 对于A，当且仅当，即， 即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误； 对于B，当且仅当， 即，即， 当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得， 当时，此时，由此可知存在实数对，使得， 当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误； 对于C，当且仅当，解得，故C正确； 对于D，， 即，进而可得 故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误. 故选：C. 2．（2025·浙江金华·二模）已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得. 故选：A 3．（2025·浙江杭州·二模）已知向量，，，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量加法与数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，故C正确. 故选：C 4．（2025·浙江嘉兴·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为，故，即， 故答案为： ( 题型0 5 ) 平面向量的数量积 1．（2025·浙江·二模）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，再根据投影向量的计算公式求出在方向上的投影向量. 【详解】已知，由两边同时平方可得：， 根据完全平方公式展开得：， 因为，所以，将其代入上式可得：， 即，即 ， 根据投影向量公式，将代入可得： ， 在方向上的投影向量为. 故选： A. 2．（2025·浙江·二模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的定义式和平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 3．（2025·浙江温州·二模）若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 4．（2025·浙江台州·二模）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用向量模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号）用该不等式求解的最大值，把首尾顺次连接构成封闭三角形时，是最小值，利用向量数量积化简分析最值，利用向量同向时数量积取得最大值，反向或特殊位置时即可求得最小值. 【详解】对于选项A：由向量模长的三角不等式， 当且仅当同向时，取得最大值9； 当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0， 由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的， 故的取值范围是[0，9]，故选项A正确. 对于选项B， ， 当同向时，， 的最大值为，B选项正确. 对于选项C，D， ， 设，则上式为①， 当与反向时， ， 所以代入①式得， 所以当时，取得最小值为，此时， 所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的. 故选：ABC 5．（2025·浙江·二模）已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】构造向量，根据数量积的定义和性质可求最大值. 【详解】， 设向量，则， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为, 故答案为：. 6．（2025·浙江·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据投影向量定义计算得出数量积，再根据夹角公式计算求出余弦值，最后根据夹角范围计算夹角即可. 【详解】在上投影向量，，， 则，由于，. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$