第06讲 有理数的乘法与除法 （知识清单+9大题型+好题必刷） -【暑假预习】2025年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版2024）

第06讲 有理数的乘法与除法 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，则的值等于（    ） A．或7 B．3或 C．或3 D．或7 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）有两个互不相等的整数a，b，如果，那么 ． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）观察下列等式： ①， ②， ③， … (1)______； (2)写出第个等式：_____； (3)下列与计算的结果相等的算式是（    ） A．    B． C．    D． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）某音乐会预留了长米、宽米的长方形场地作为观众席．观众席场地上站满了观众．下面最有可能是观众席的人数的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）把一根长厘米的小棒，按截成三段，用这三段小棒首尾相接正好围成了一个直角三角形．这个三角形的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧在某平台上按“八五折”的优惠价格购买了4张《志愿军：存亡之战》电影票，若每张电影票的原价是元，则小慧需支付 元． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，六次特技飞行高度记录如下：，，，，，．（单位：千米） (1)飞机最后所在的位置比开始位置 （填写“高”或“低”），高或低了 千米； (2)若飞机平均上升千米需消耗升燃油，平均下降千米需消耗升燃油，则飞机在这次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）2024的倒数是（ ） A． B． C．2024 D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求的值． 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 2．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是 ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）圆周长为4个单位长度，点A，B，C，D是圆的4等分点，先将圆周上的A点与数轴上表示数字的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上表示数的点与圆周上哪个点重合？（   ） A．A B．B C．C D．D 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）将分数化成小数为 ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，计算： 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 所以，原式 (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算： 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们，请估计一下，（   ）接近你自己的年龄 A．600时 B．600日 C．600周 D．600月 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）小明和小军国庆前商量着来盐城旅游，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如下所示，则下列座位号码符合要求的是（　　） 窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … … A．53，54 B．62，63 C．75，76 D．89，90 2．（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）师徒两人共加工168个零件，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，师傅加工 个零件，徒弟加工 个零件． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）用一个平底锅烙饼（每次最多放两张饼），烙好一张饼需要2分钟（正反面各需1分钟，翻面时间不计），则烙好3张饼至少需要（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填 ． 7 △ 5 14 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在到之间的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上点分别表示有理数，则 ．(填“”“”或“”) 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 好题必刷 一、单选题 1．化简结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 4．若计算式子的结果为最大，则应分别在，△中填入下列选项中的（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（    ） A． B．99 C．9900 D．2 6．21÷(－7)的结果是（   ） A．3 B．－3 C． D． 7．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的相反数是负数 B．的倒数是 C．整数和分数统称有理数 D．一个数的绝对值一定是正数 8．通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（    ） A．b的值为6 B．a为奇数 C．a的值大于3 D．乘积结果可以表示为 二、填空题 11．在一张比例尺是50：1的图纸上量得一昆虫的身长是，则这只昆虫实际的身长是 ． 12．计算： 6×（－9）＝ （－6）×0＝ ×＝ （）×＝ （－2）×××＝ （－6）×5××＝ 13．在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 14．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 15．观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 16．元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约 元． 17．在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（取3.14） 18．从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 三、解答题 19．计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 20．计算： （1）； （2）． 21．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，，求式子的值． 22．用简便方法计算： (1)； (2)． 23．已知a与互为相反数，b与互为倒数． （1）　 　，　 　； （2）若，求m和n的值． 24．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 25．如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______种不同的几何体； (2)分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到几何体的体积．（取3） 26．小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘法与除法 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 【详解】解：，， ，， 又， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，则的值等于（    ） A．或7 B．3或 C．或3 D．或7 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．根据，，且，可以求得x，y的值，从而可以求出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，或，， ∴当，时，， 当，时，， 综上分析可知，的值为或3． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）有两个互不相等的整数a，b，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的加法及乘法，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．根据题意确定a，b的值后代入中计算即可． 【详解】 解：有两个互不相等的整数a，b，如果，，或，或，或，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6 (3)5 (4)3 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，以及相关运算律，解题的关键是掌握有理数相关运算顺序和运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算，即可解题； （2）先计算乘法，再计算加减，即可解题； （3）根据有理数的加减混合运算法则及简便运算方法计算，即可解题； （4）利用有理数乘法分配律的逆用计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义和有理数的乘法法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据绝对值的定义和有理数的乘法法则解答即可． 【详解】解：绝对值不大于的整数有：、、、、、、， 则绝对值不大于的所有整数的积等于， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数”，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不符合题意； B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意； D. 积为0，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 【答案】144 【知识点】绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘法运算，根据题意，求出满足题意的所有整数，再利用有理数的乘法法则进行计算即可，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，绝对值不小于2.4且小于5的所有整数有， ∴； 故答案为：144． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）观察下列等式： ①， ②， ③， … (1)______； (2)写出第个等式：_____； (3)下列与计算的结果相等的算式是（    ） A．    B． C．    D． 【答案】(1) (2) (3)B 【知识点】数字类规律探索、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据变化规律得等式右边为左边括号内最后两个数的乘积再乘以后一个数的下一个自然数，此题得解； （2）根据变化规律可得出，此题得解； （3）将转化为求解即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， … 据此可得等式右边为左边括号内最后两个数的乘积再乘以后一个数的下一个自然数， ∴， 故答案为：； （2）解：①， ②， ③， … ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）解： ， 故选：B． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）某音乐会预留了长米、宽米的长方形场地作为观众席．观众席场地上站满了观众．下面最有可能是观众席的人数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了数学常识，解答本题关键是估算出每平方米可以站的人数，然后再计算出总人数． 先计算出长方形场地的面积，再估算出每平方米可以站的人数是4人，用每平方米可以站的人数乘面积就是总人数． 【详解】解：（平方米） 根据每平方米可以站的人数约为人，可得（人） ∴最有可能是参加演唱会的观众总人数的是人． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）把一根长厘米的小棒，按截成三段，用这三段小棒首尾相接正好围成了一个直角三角形．这个三角形的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据直角三角形的面积等于两条直角边积的一半列出算式计算即可求解，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴这个三角形的面积是平方厘米， 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧在某平台上按“八五折”的优惠价格购买了4张《志愿军：存亡之战》电影票，若每张电影票的原价是元，则小慧需支付 元． 【答案】 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：元 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，六次特技飞行高度记录如下：，，，，，．（单位：千米） (1)飞机最后所在的位置比开始位置 （填写“高”或“低”），高或低了 千米； (2)若飞机平均上升千米需消耗升燃油，平均下降千米需消耗升燃油，则飞机在这次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)低， (2)飞机在这次特技飞行中，一共消耗升燃油 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法的实际应用，有理数的乘法的实际应用，解题的关键是理解题目意思，正确的列式计算． （1）求出六次特技飞行高度的和即可解答， （2）求出飞机上升飞行的高度，下降飞行的高度， 再乘以燃油量即可解答． 【详解】（1）解：（千米）， 答：此时飞机比开始起飞点位置低，低了千米； （2）解： （升）， 答：一共消耗升燃油． 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义解答即可，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：有理数的倒数是， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）2024的倒数是（ ） A． B． C．2024 D． 【答案】A 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的概念，掌握其概念及计算方法是解题的关键． 根据乘积为1的两个数为倒数，结合选项判定即可． 【详解】解：∵， ∴2024的倒数是， 故选：A ． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则的值为 ． 【答案】24 【知识点】绝对值的几何意义、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ， ∴ ， 故答案为：24． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、倒数 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值的意义，得到，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴当时，， 当时，． 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法运算律，根据图形得出，即可得解． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）甲、乙、丙三个数的平均数是，甲与乙的比是，乙与丙的比是，乙是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意可得甲乙丙，进而列出算式即可求解，根据题意求出甲、乙、丙之间的比是解题的关键． 【详解】解：∵甲与乙的比是，乙与丙的比是， ∴甲乙丙， ， ， ∴乙是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （1）除法运算转化为乘法运算，再根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算、合并同类项、有理数的减法运算 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，有理数的加减运算，有理数的除法运算，进行解答，即可． 【详解】A、，本选项的运算正确，符合题意； B、，本选项的运算错误，不符合题意； C、，不是同类项，不能进行加减计算，本选项的运算错误，不符合题意； D、，不是同类项，不能进行加减计算，本选项的运算错误，不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）圆周长为4个单位长度，点A，B，C，D是圆的4等分点，先将圆周上的A点与数轴上表示数字的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上表示数的点与圆周上哪个点重合？（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，根据题意可得：圆每转动一周，A，B，C，D循环一次，与1之间有2025个单位长度，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴数轴上表示数的点与圆周上点B重合， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）将分数化成小数为 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题主要考查了有理数的除法．根据分数化小数的方法，把分数化成小数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，计算： 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 所以，原式 (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算： 【答案】(1)二 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，乘法分配律： （1）根据除法没有分配律可知解法一错误； （2）模仿题干解法二计算即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是有误的，原因是除法没有分配律，解法二，先转化为倒数，再利用乘法的分配律简化计算，过程正确； 故答案为：二． （2）解：原式的倒数为 所以，原式． 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们，请估计一下，（   ）接近你自己的年龄 A．600时 B．600日 C．600周 D．600月 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了时间单位，有理数的除法运算的应用．将利用单位换算进行计算，可以估计出结果． 【详解】解：600时天， 600日岁， 600周岁， 600月岁， ∴只有600周符合学生的年龄， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）小明和小军国庆前商量着来盐城旅游，希望购买的火车票座位能挨着在一起，并且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如下所示，则下列座位号码符合要求的是（　　） 窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … … A．53，54 B．62，63 C．75，76 D．89，90 【答案】D 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算的应用，根据图示的规律可知被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗，再逐项分析． 【详解】解：由题图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗． ∵，，53，54都不是被5除余1的数和能被5整除的数 ∴53，54没有靠窗的，所以A不符合题意； ∵，故61被5除余1， ∴61靠窗， ∴62，63之间有过道，不能挨在一起，所以B不符合题意； ∵，故75能被5整除， ∴75，76不在同一行，所以C不符合题意． ∵，故90能被5整除，故90靠窗 ∴89在90的左边， ∴89，90座位挨在一起，所以D项符合条件． 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）师徒两人共加工168个零件，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，师傅加工 个零件，徒弟加工 个零件． 【答案】 108 60 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的除法的应用，先计算出师傅1分钟完成个零件，徒弟1分钟完成个零件，再求出一共需要的时间，即可得出答案． 【详解】解：师傅1分钟完成个零件，徒弟1分钟完成个零件， 一共需要分钟， 师傅加工个，徒弟加工个， 故答案为：108，60． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）教师发现学生平时喜欢玩洞洞乐，于是设计了一个洞洞乐游戏，游戏道具：每张A4纸上画满24个相同的圆圈，游戏规则：两人一组轮流用铅笔将圆圈戳洞，每个圆圈只戳一个洞，每人一次可戳一个或两个圆圈（不能多戳或不戳），谁将最后一个圆圈戳洞，谁就获胜． (1)先开始的人胜，还是后开始的人胜？你有必胜的方法吗？请你写出你的方法． (2)如果游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个），怎样才能必胜？请写出你的方法． 【答案】(1)后开始获胜，方法见解析 (2)先开始的人有必胜策略，方法见解析 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了博弈策略，整数的除法运算及余数概念，熟练掌握整数的除法运算及余数概念是解题的关键； （1）根据每轮两人戳洞的总数情况，得出选择控制每轮两人一共戳3个洞（一人戳1个时另一人戳2个，或者一人戳2个时另一人戳1个）．根据不管先开始的人第一次戳1个还是2个圆圈，后开始的人都可以通过相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共3戳个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳3个圆圈，这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈获胜． （2）根据两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈，同样要从24个圆圈总数出发，找到合适的每轮戳洞总数，让其能整除（或结合余数来控制局面），以确定必胜策略．分别计算除以每轮可能总数的情况发现，如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 【详解】（1）解：后开始的必胜， ∵每人一次可戳一个或两个圆圈， ∴两人一轮戳洞的数量之和存在三种可能情况： 若两人都戳一个圆圈，一轮共戳2个圆圈； 若一人戳一个，另一人戳两个，一轮共戳3个圆圈； 若两人都戳两个圆圈，一轮共戳4个圆圈． 通过计算分别除以每轮可能的总数情况： （轮）； （轮）； （轮）． 发现24能被3整除，这意味着如果能保证每轮两人一共3戳个圆圈，经过8轮就能戳完所有圆圈，并且可以通过先后手的策略来控制局面． 具体操作如下： 先开始的人先戳洞，不管先开始的人第一次戳1个还是1个圆圈，后开始的人都可以相应地戳2个或者1个圆圈，使得两人第一轮一共戳3个圆圈．然后在后续的每一轮中，后开始的人继续根据先开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共3戳个圆圈．这样经过8轮后，后开始的人就一定能戳到最后一个圆圈，从而获胜． （2）先开始的人有必胜策略． ∵游戏规则改为一次只能戳一个或两个或三个或四个圆圈（最多四个）， ∴两人一轮戳洞的数量之和可能是2到8个圆圈， ∴； ； ； ； ； ； ． 发现，即如果能保证每轮两人一共戳5个圆圈，经过4轮，在处理好开始的余数4个圆圈后，就能戳完所有圆圈． 具体操作如下： 先开始的人先戳4个圆圈，此时剩下个圆圈．然后不管后开始的人戳1个、2个、3个还是4个圆圈，先开始的人在后续的每一轮中，都根据后开始的人戳洞的数量，保证每轮两人一共戳5个圆圈．这样经过4轮后，先开始的人就可以戳到最后一个圆圈，进而获胜． 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除法，根据法则判断即可；熟练有理数乘除法的法则是关键． 【详解】解： 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）用一个平底锅烙饼（每次最多放两张饼），烙好一张饼需要2分钟（正反面各需1分钟，翻面时间不计），则烙好3张饼至少需要（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是推理与论证，使效率最大化是解题关键．三张饼可以分别用A、B、C表示，只要充分利用锅，使锅中的饼有2个即可解决． 【详解】解：开始时可以先放A、B两个饼，一分钟后可以翻转B，拿出A，再放入C；一分钟以后可以拿出B，再把A的反面放入，翻转C，再一分钟即可． 即烙好3张饼至少需要3分钟， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填 ． 7 △ 5 14 【答案】2.5 【知识点】代数式的概念、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查反比例关系的定义，有理数的混合运算．抓住乘积相等是解题的关键．若两个量乘积一定，则它们成反比例关系，据此列式解答即可． 【详解】解：“△”处数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，乘法运算律，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的减法法则将减法变为加法，再利用加法交换律和结合律进行运算即可； （2）先将原式进行变形，再利用乘法分配律进行计算； （3）先算括号，再算除法即可； （4）先将原式进行整理，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型九】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在到之间的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了对数轴的理解，有理数大小比较，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据数轴得出，再分别判断，，，的大小即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知：， ∴、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 故选：． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题主要考查数轴的应用，有理数的乘法和加减法．根据数轴的性质即可判断． 【详解】解：由、两数在数轴上对应点的位置可知：，， ∴，，，， 故B、C、D选项错误，不符合题意，只有选项A符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上点分别表示有理数，则 ．(填“”“”或“”) 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、有理数的减法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴的定义、有理数减法，除法的应用，先根据数轴的定义得出数、的取值范围，再得出的符号，即可得． 【详解】解：根据数轴可得 ∴， ∴ 故答案为：． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负和化简绝对值，解题关键是得到式子的正负，两数相乘，同号得正异号得负，绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号． （1）根据和即可判断正负； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值进行化简即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； 故答案分别为：；； （2）解：∵且， ∴，， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．化简结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子、分母同号得正，异号得负，据此即可作答． 【详解】A. ，故本项不符合题意； B. ，故本项不符合题意； C. ，故本项符合题意；     D. ，故本项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，掌握分子、分母同号得正，异号得负，是关键． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，错误； B、0不能作除数，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 4．若计算式子的结果为最大，则应分别在，△中填入下列选项中的（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将四个选项中的运算符号分别代入式子中进行运算，通过比较结果即可得出结论． 【详解】解：当选取A选项的符号时，； 当选取B选项的符号时，； 当选取C选项的符号时，； 当选取D选项的符号时，， ∵， 当选取D选项的符号时，计算式子的结果最大， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 5．若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（    ） A． B．99 C．9900 D．2 【答案】C 【分析】根据运算的定义，可以把100！和98！写成连乘积的形式，然后约分即可求解． 【详解】解：原式= =99×100 =9900． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确理解题意，理解运算的定义是关键． 6．21÷(－7)的结果是（   ） A．3 B．－3 C． D． 【答案】B 【解析】直接根据有理数的除法法则进行求解即可； 【详解】21÷（-7）=-3， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的计算，正确掌握计算方法是解题的关键； 7．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的相反数是负数 B．的倒数是 C．整数和分数统称有理数 D．一个数的绝对值一定是正数 【答案】C 【分析】根据相反数、倒数、有理数的分类、绝对值等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A.正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，故原选项错误，不合题意； B.0没有倒数，故原选项错误，不合题意； C. 整数和分数统称有理数，故原选项正确，符合题意； D.0的绝对值是0，故原选项错误，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了相反数、倒数、有理数的分类、绝对值等知识，熟知相关知识并灵活运用是解题关键． 8．通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查探寻数列规律问题以及逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律是解题关键． 首先根据题意，应用逆推法，用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值，即可． 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个． 故选：B． 9．式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①中“”的位置有种可能，“”确定位置后，“”的位置有种可能，则添加“”“”两个运算符号，得到的算式有种不同的结果，故①错误； ②结果为， 必须添加“”， 若添加“”， 添加“”， 添加“”，则有，故②正确； ③添加的运算符号中有“”，且同时添加三个运算符号， 要是结果最大，必须添加“”，不能添加，此时添加“”， 添加“”，即可得到最大结果，为，故③错误； 综上所述，正确的有②，个数为， 故选：B． 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（    ） A．b的值为6 B．a为奇数 C．a的值大于3 D．乘积结果可以表示为 【答案】C 【分析】设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”，列出符合条件的方程即可求解； 【详解】设的十位数字是m，个位数字是n，则 ∴，故A正确，不符合题意； 则 ∵ ∴，故B正确，不符合题意；故C不正确，符合题意； 根据上图乘积结果可以表示为 ，故D正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题 11．在一张比例尺是50：1的图纸上量得一昆虫的身长是，则这只昆虫实际的身长是 ． 【答案】0.8 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出昆虫的实际长度． 【详解】解答：解：40÷＝0.8（厘米） 答：昆虫的实际长度是0.8厘米． 故答案为：0.8． 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 12．计算： 6×（－9）＝ （－6）×0＝ ×＝ （）×＝ （－2）×××＝ （－6）×5××＝ 【答案】 －54 0 10 【解析】略 13．在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 【答案】 分配律 【分析】本题考查有理数的运算．掌握乘法分配律，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：在计算时，利用乘法的分配律可以简单运算； 原式； 故答案为：分配律，． 14．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解． 【详解】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米， 当显示电量时，已行驶里程为（千米． 故答案为：． 15．观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 16．元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约 元． 【答案】55.6或22/22或55.6 【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可． 【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元； 由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元， 所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元）， 当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款． 总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元）， 则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）； 总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元）， 则他可节约（192+384）-554=22（元）． 故答案为：55.6或22． 【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键． 17．在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（取3.14） 【答案】2826 【分析】根据题意得出圆柱形钢材的体积等于上升的水的体积,上升的水的体积等于高为9厘米,底面半径为10厘米的圆柱的体积,据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查根据圆柱的体积公式列出式子,准确列出式子进行运算是解题关键． 18．从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【详解】积的最大值是，积的最小值为， 故答案为：，． 三、解答题 19．计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 【答案】（1）56；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）6． 【分析】根据有理数的乘法法则，先判断结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解决本题的关键． 20．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）6 【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ． 21．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，，求式子的值． 【答案】1或3 【分析】由题意得：，，由得或，分类讨论：当时，当时，代入原代数式中即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 由，得：， 解得：或， 当时，； 当时，， 综上所述：原代数式的值为：1或3． 【点睛】本题考查了代数式求值、相反数、倒数、去绝对值，熟练掌握相反数的意义、倒数的意义、去绝对值是解题的关键． 22．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 23．已知a与互为相反数，b与互为倒数． （1）　 　，　 　； （2）若，求m和n的值． 【答案】（1）3，；（2），． 【分析】本题考查了相反数的定义、倒数的定义、绝对值的非负性．掌握这些定义和性质是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的意义求解即可； （2）根据非负数的意义，即可求出m、n的值， 【详解】解：（1）∵a与互为相反数，b与互为倒数， ∴，， 故答案为：3， （2）由题意得，， ∴，， ∴，． 24．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，或； (2)3或． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，或； （2）当时，原式； 当时，原式， 则原式的值为3或． 25．如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______种不同的几何体； (2)分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到几何体的体积．（取3） 【答案】(1)3 (2)以为轴得到的圆锥的体积为，以为轴得到的圆锥的体积为 【分析】（1）根据图形的旋转即可得； （2）根据圆锥的体积公式即可得． 【详解】（1）解：将直角三角形纸板绕直角边或所在的直线旋转一周得到的是两个不同的圆锥，绕斜边所在的直线旋转一周得到的几何体有2个面，且是曲面， ∴能得到3种不同的几何体， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，得到的几何体为圆锥， 则以为轴：， 以为轴：， 答：以为轴得到的圆锥的体积为，以为轴得到的圆锥的体积为． 【点睛】本题考查了图形的旋转、圆锥的体积公式，掌握理解图形的旋转是解题关键． 26．小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 【答案】(1)小虫经过这7次爬行后又回到出发点处； (2)3，13； (3)那么小虫共得36片嫩叶． 【分析】本题考查了有理数加法和乘除法的应用，绝对值的应用，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）直接把各数相加即可； （2）计算每次爬行小虫与出发点的距离即可； （3）求出小虫爬行的总路程即可得出结论． 【详解】（1）小虫经过7次爬行后又回到点O．理由如下： ， 小虫经过这7次爬行后又回到出发点O处； （2）第一次爬行距离O点， 第二次爬行距离O点， 第三次爬行距离O点， 第四次爬行距离O点， 第五次爬行距离O点， 第六次爬行距离O点， 第七次爬行距离O点， 小虫第3次爬行后离原出发点O最远，最远距离是； 故答案为：；． （3） ， ， 答：那么小虫共得36片嫩叶． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$