（预习篇）第十讲 有理数的乘方与科学记数法（11个知识点+7个考点讲练+难度分层训练 共48题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册（小升初衔接暑期学习）

第十讲 有理数的乘方与科学记数法 （11个知识点+7个考点讲练+难度分层训练 共48题） 学习目标 1 新知学习 2 新知学习01：有理数的乘方 2 新知学习02：科学记数法 3 新知学习考点讲练 6 考点讲练01：有理数幂的概念理解 6 考点讲练02：有理数的乘方运算 7 考点讲练03：有理数乘方逆运算 8 考点讲练04：乘方运算的符号规律 10 考点讲练05：乘方的应用 11 考点讲练06：用科学记数法表示绝对值大于1的数 14 考点讲练07：将用科学记数法表示的数变回原数 15 优选题培优训练 15 基础夯实 巩固知识 15 培优提升 能力强化 18 知识技能目标 理解乘方的概念：学生能够明确乘方的定义，即求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。同时，学生能够理解在an中，a是底数，n是指数，并能够将an读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 掌握乘方的运算：学生应熟练掌握有理数乘方的运算，包括正数、负数以及零的乘方运算规则。特别是要理解负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 理解并掌握科学记数法：学生能够理解科学记数法的概念，即将一个绝对值大于10或小于1的数记成a×10^n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。同时，学生能够熟练地将一个数转换为科学记数法，并能进行相关的运算。 能力训练目标 培养观察、分析和概括能力：通过对有理数乘方的学习，学生能够培养观察、分析和概括的能力，能够从具体的乘方运算中抽象出一般规律，形成对数学知识的深入理解。 培养逻辑推理能力：在学习有理数乘方和科学记数法的过程中，学生需要理解并掌握相关的运算规则和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够通过大量的练习，提高有理数乘方和科学记数法的运算速度和准确性，培养运算能力。 新知学习01：有理数的乘方 1、手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条．你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗？ 2．文言文赏析：<<庄子>>：“一尺之棰,日取其半,万世不竭” 提问： 1. 将一张纸对折再对折(纸不得撕裂),直到无法对折为止.猜猜看,这时纸有几层? 2.对折1次纸变成2层,对折2次纸变成4层,依此类推,每对折1次层数就增加1倍.你折了多少次?请用算式表示你对折出来的纸层数. (1) 一根绳子对折一次并剪开是（ )根？ (2) 一根绳子对折二次并剪开是（ )根? (3) 一根绳子对折三次并剪开是（ )根? (4) 一根绳子对折四次并剪开是（ )根? (5) 一根绳子对折二十次并剪开是( )根？ 你还能举出类似的实例吗？ 2×2×2 2×2×2×2 2×2×2×2×2 你能找出这些式子的特点吗? 1.____________________ 叫做乘方. 3. 读作____________,也可读作___________. 底数为分数和负数的时候应注意加括号. 新知学习02：科学记数法 1、什么叫乘方？什么叫幂？ 2、指出an中的底数、指数、幂； 10＝10（ ） 100＝10×10＝10（ ） 1000＝10×10×10＝10（ ） 10000＝10×10×10×10＝10（ ） ____＝________=105 ____＝________=106 ____＝________=107 ____＝________=108 你发现了什么规律？ 为什么“先见闪电,后闻雷声”? 光的传播速度大约是300 000 000米/秒而声音在常温下的传播速度大约为340米/秒. 你听说过“天文数字”吗? 你能写出几个“天文数字吗”? · 地球半径约为6400000米。 · 赤道长约为40000000米。 · 地球表面积约为:510000000000000平方米。 · 人体中大约有25000000000000个红细胞。 · 第五次人口普查时，中国人口约为1300000000人。 将上面的数改写成一个数与10的若干次幂的积的形式 一般地,一个大于10的数可以表示成a×10n 的形式,其中1≤a<10, n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法(scientific notation) 注意:把一个大于10的数可以写成a×10n时，必须遵循 1≤a<10　　n是正整数 知识点01：乘方的定义 乘方是数学中一种特殊的运算，它表示的是求n个相同因数的积的运算。具体地，对于任何数a（a是底数）和自然数n（n是指数），乘方可以表示为aⁿ，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。乘方的结果称为幂。 知识点02：乘方的性质 负数的乘方：负数的奇次幂是负数，例如(-3)³ = -27；负数的偶次幂是正数，例如(-3)² = 9。 正数的乘方：正数的任何次幂都是正数，例如3²= 9，3³= 27。 零的乘方：0的任何正整数次幂都是0，但0的0次方在数学中通常是不定义的。 知识点03：乘方的表示和读法 在an中，a是底数，n是指数。例如，在4³中，4是底数，3是指数。这个表达式读作“4的3次方”或“4的3次幂”，并计算为4乘以4再乘以4，结果是64。 知识点04：乘方的运算顺序 在进行混合运算时，乘方运算的优先级高于乘法和除法，但低于括号内的运算。即先进行括号内的运算，然后进行乘方运算，接着进行乘除运算，最后进行加减运算。同级运算则从左到右进行。 知识点05：乘方的应用 乘方在科学、工程、经济等领域都有广泛的应用。例如，在科学中，乘方经常用于表示物理量的倍数关系；在工程中，乘方可以用于计算面积、体积等；在经济中，乘方可以用于计算复利等。 知识点06：高频易错点 易错知识点01：乘方的定义和读法 混淆乘方与乘法：学生可能会将乘方与乘法混淆，认为两者是相同的。实际上，乘方是求n个相同因数 的运算，而乘法只是两个数的相乘。例如，2³（读作2的3次方）表示的是2乘以2再乘以2，结果是 而不是2乘以3。 忽视乘方的读法：学生在读乘方时，可能会忽视底数和指数的区别，导致读法不准确。正确的读法是“底数的指数次方”，如aⁿ应读作“a的n次方”。 易错知识点02：乘方的性质 负数的乘方：学生容易在负数的乘方上出错。特别是当指数为奇数时，负数的乘方是负数；当指数为偶数时，负数的乘方是正数。例如，(-2)³的结果是-8，而(-2)²的结果是4。零的乘方：学生可能会认为0的任何次幂都是0，但实际上0的任何正整数次幂都是0，但0的0次方在数学中通常是不定义的。 易错知识点03：乘方的运算顺序 混淆运算顺序：学生在进行混合运算时，可能会混淆运算的顺序，导致结果错误。正确的运算顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算。 忽视括号内的运算：学生可能会忽视括号内的运算，直接进行乘方运算，导致结果错误。例如，在(2+3)²中，应先进行括号内的加法运算，得到5，再进行乘方运算，得到25。 易错知识点04：乘方的应用 误用乘方表示倍数关系：学生可能会误用乘方来表示倍数关系。例如，在描述一个数是另一个数的2倍时，应使用乘法表示（如2a），而不是乘方（如a²）。 混淆乘方与幂的概念：学生可能会混淆乘方和幂的概念。乘方是运算过程，而幂是乘方的结果。例如， 在aⁿ中，a是底数，n是指数，aⁿ是幂。 知识点07：科学计数法的定义 科学记数法是一种表示大数或小数的方法，它将一个数表示为一个介于1（包括）和10（不包括）之间 小数与10的某个整数次幂的乘积。具体形式为：a × 10ⁿ，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数。 知识点08：科学记数法的要点 范围限制：在科学记数法中，a的取值范围是1到10之间（包括1但不包括10），即1 ≤ |a| < 10。 指数n的作用：指数n表示10的幂次，它决定了数的大小和位置。当n为正数时，表示原数是一个大于 的数；当n为负数时，表示原数是一个0到1之间的小数；n的绝对值越大，数的绝对值也越大。 不改变数的符号：使用科学记数法时，不改变原数的符号，即正负号保持不变。 知识点09：科学记数法的应用 简化大数和小数的表示：科学记数法可以方便地表示非常大或非常小的数，使得数的读写和计算更为简单 例如，地球到太阳的距离约为1.5 × 米，这样可以方便地表示出这个庞大的距离。 精确度表示：在科学记数法中，有效数字是指从第一个非零数字开始到最后一个数字结束的所有数字。 有效数字的个数决定了数的精确度。例如，3.14 × 10²有3个有效数字，而3.14159 × 10²有6个 有效数字。 知识点10：科学记数法的转换 将普通数转换为科学记数法：首先确定a的值（使其满足1 ≤ |a| < 10），然后计算10的幂次n（n等于 原数的整数位数减1）。例如，将12345转换为科学记数法，可以写为1.2345 × 。 将科学记数法转换为普通数：将a与10的n次幂相乘即可得到原数。例如，将3.14 × 10^3转换为普通数，计算结果为3140。 知识点11：科学记数法注意事项 避免混淆底数a和指数n：在科学记数法中，底数a和指数n具有不同的含义和作用，需要明确区分。 注意有效数字的个数：有效数字的个数决定了数的精确度，在进行科学计算时需要特别注意。 遵循运算规则：在使用科学记数法进行运算时，需要遵循先乘除后加减、同底数幂相乘除等运算法则。 考点讲练01：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·期末）的结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练2】（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【训练3】（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（） A．个 B．个 C．个 D．个 考点讲练02：有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列8个数填入相应的大括号内：，2.4，0，，，，，． 正数集合：{                          } 负数集合：{                          } 负整数集合：{                        } 正分数集合：{                        } 【训练2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【训练3】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 考点讲练03：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆南岸·期末）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．小聪根据典型例题：，；，．得到“互为相反数的两个数的绝对值相等”，“互为相反数的两个数的2次方相等”．请根据小聪的发现完成：若已知，则 ；若，，且，则的值为 ． 【训练1】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，我们定义求b的运算，记为，例如：，则，，则． (1)根据定义，填空：，； (2)若有如下运算性质：，．根据运算性质填空，若，则，； (3)在（2）的运算性质下，下表中与数x对应的f（x）有且只有两个是错误的． x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 请找出错误的两个f（x）并说明理由，再求出的值（用含a，b，c的式子表示即可）． 【训练2】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 【训练3】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 考点讲练04：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（24-25七年级上·山东德州·期中）先化简，再求值：，其中． 【训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【训练2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数） ， ． 【训练3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简再求值： (1) 其中． (2) ，其中 ． 考点讲练05：乘方的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【训练1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【训练2】（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【训练3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 考点讲练06：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【训练1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）年元月，合肥市财政收入为亿元，请将亿用科学记数法表示为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【训练2】（2020·四川眉山·模拟预测）预计到年我国高铁运营里程将达到，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【训练3】（24-25七年级上·四川成都·期末）文化和旅游部发布数据显示，2024年国庆节假期，全国文化和旅游市场平稳有序，假日7天，国内游客出游总花费约7008亿元．将数据7008亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 考点讲练07：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期末）2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（   ） A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000 【训练1】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【训练2】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，今年“五一”假期全省共接待游客人次，同口径比去年“五一”假期增长了，数据的位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）今年 月 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约 ．将 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）目前全球的海洋总面积约为，这一数据用科学记数法表示是 ． 5．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 7．（24-25七年级上·广东珠海·期中）把下列各数的序号填在相应的横线内： ①；②；③；④；⑤；⑥0；⑦ 负数集合：{ }； 整数集合：{ }； 有理数集合：{ }； 8．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）已知有理数：，0，，，，．回答下列问题： (1)上述六个有理数中，互为相反数的一组是______； (2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上； (3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ． 9．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 10．（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 11．（23-24七年级上·青海西宁·期中）年，全国夏粮播种面积保持稳定，产量达亿斤．将亿用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ． 15．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的值是 ． 16．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”将各数连接起来． ，，， 18．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 20．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足，点O为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①运动过程中，t为何值时，动点P、Q与原点的距离相等，求出此时t的值； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，请求出的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲 有理数的乘方与科学记数法 （11个知识点+7个考点讲练+难度分层训练 共48题） 学习目标 1 新知学习 2 新知学习01：有理数的乘方 2 新知学习02：科学记数法 3 新知学习考点讲练 6 考点讲练01：有理数幂的概念理解 6 考点讲练02：有理数的乘方运算 9 考点讲练03：有理数乘方逆运算 12 考点讲练04：乘方运算的符号规律 16 考点讲练05：乘方的应用 19 考点讲练06：用科学记数法表示绝对值大于1的数 24 考点讲练07：将用科学记数法表示的数变回原数 26 优选题培优训练 27 基础夯实 巩固知识 27 培优提升 能力强化 34 知识技能目标 理解乘方的概念：学生能够明确乘方的定义，即求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。同时，学生能够理解在an中，a是底数，n是指数，并能够将an读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 掌握乘方的运算：学生应熟练掌握有理数乘方的运算，包括正数、负数以及零的乘方运算规则。特别是要理解负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 理解并掌握科学记数法：学生能够理解科学记数法的概念，即将一个绝对值大于10或小于1的数记成a×10^n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。同时，学生能够熟练地将一个数转换为科学记数法，并能进行相关的运算。 能力训练目标 培养观察、分析和概括能力：通过对有理数乘方的学习，学生能够培养观察、分析和概括的能力，能够从具体的乘方运算中抽象出一般规律，形成对数学知识的深入理解。 培养逻辑推理能力：在学习有理数乘方和科学记数法的过程中，学生需要理解并掌握相关的运算规则和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够通过大量的练习，提高有理数乘方和科学记数法的运算速度和准确性，培养运算能力。 新知学习01：有理数的乘方 1、手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条．你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗？ 2．文言文赏析：<<庄子>>：“一尺之棰,日取其半,万世不竭” 提问： 1. 将一张纸对折再对折(纸不得撕裂),直到无法对折为止.猜猜看,这时纸有几层? 2.对折1次纸变成2层,对折2次纸变成4层,依此类推,每对折1次层数就增加1倍.你折了多少次?请用算式表示你对折出来的纸层数. (1) 一根绳子对折一次并剪开是（ )根？ (2) 一根绳子对折二次并剪开是（ )根? (3) 一根绳子对折三次并剪开是（ )根? (4) 一根绳子对折四次并剪开是（ )根? (5) 一根绳子对折二十次并剪开是( )根？ 你还能举出类似的实例吗？ 2×2×2 2×2×2×2 2×2×2×2×2 你能找出这些式子的特点吗? 1.____________________ 叫做乘方. 3. 读作____________,也可读作___________. 底数为分数和负数的时候应注意加括号. 新知学习02：科学记数法 1、什么叫乘方？什么叫幂？ 2、指出an中的底数、指数、幂； 10＝10（ ） 100＝10×10＝10（ ） 1000＝10×10×10＝10（ ） 10000＝10×10×10×10＝10（ ） ____＝________=105 ____＝________=106 ____＝________=107 ____＝________=108 你发现了什么规律？ 为什么“先见闪电,后闻雷声”? 光的传播速度大约是300 000 000米/秒而声音在常温下的传播速度大约为340米/秒. 你听说过“天文数字”吗? 你能写出几个“天文数字吗”? · 地球半径约为6400000米。 · 赤道长约为40000000米。 · 地球表面积约为:510000000000000平方米。 · 人体中大约有25000000000000个红细胞。 · 第五次人口普查时，中国人口约为1300000000人。 将上面的数改写成一个数与10的若干次幂的积的形式 一般地,一个大于10的数可以表示成a×10n 的形式,其中1≤a<10, n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法(scientific notation) 注意:把一个大于10的数可以写成a×10n时，必须遵循 1≤a<10　　n是正整数 知识点01：乘方的定义 乘方是数学中一种特殊的运算，它表示的是求n个相同因数的积的运算。具体地，对于任何数a（a是底数）和自然数n（n是指数），乘方可以表示为aⁿ，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。乘方的结果称为幂。 知识点02：乘方的性质 负数的乘方：负数的奇次幂是负数，例如(-3)³ = -27；负数的偶次幂是正数，例如(-3)² = 9。 正数的乘方：正数的任何次幂都是正数，例如3²= 9，3³= 27。 零的乘方：0的任何正整数次幂都是0，但0的0次方在数学中通常是不定义的。 知识点03：乘方的表示和读法 在an中，a是底数，n是指数。例如，在4³中，4是底数，3是指数。这个表达式读作“4的3次方”或“4的3次幂”，并计算为4乘以4再乘以4，结果是64。 知识点04：乘方的运算顺序 在进行混合运算时，乘方运算的优先级高于乘法和除法，但低于括号内的运算。即先进行括号内的运算，然后进行乘方运算，接着进行乘除运算，最后进行加减运算。同级运算则从左到右进行。 知识点05：乘方的应用 乘方在科学、工程、经济等领域都有广泛的应用。例如，在科学中，乘方经常用于表示物理量的倍数关系；在工程中，乘方可以用于计算面积、体积等；在经济中，乘方可以用于计算复利等。 知识点06：高频易错点 易错知识点01：乘方的定义和读法 混淆乘方与乘法：学生可能会将乘方与乘法混淆，认为两者是相同的。实际上，乘方是求n个相同因数 的运算，而乘法只是两个数的相乘。例如，2³（读作2的3次方）表示的是2乘以2再乘以2，结果是 而不是2乘以3。 忽视乘方的读法：学生在读乘方时，可能会忽视底数和指数的区别，导致读法不准确。正确的读法是“底数的指数次方”，如aⁿ应读作“a的n次方”。 易错知识点02：乘方的性质 负数的乘方：学生容易在负数的乘方上出错。特别是当指数为奇数时，负数的乘方是负数；当指数为偶数时，负数的乘方是正数。例如，(-2)³的结果是-8，而(-2)²的结果是4。零的乘方：学生可能会认为0的任何次幂都是0，但实际上0的任何正整数次幂都是0，但0的0次方在数学中通常是不定义的。 易错知识点03：乘方的运算顺序 混淆运算顺序：学生在进行混合运算时，可能会混淆运算的顺序，导致结果错误。正确的运算顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算。 忽视括号内的运算：学生可能会忽视括号内的运算，直接进行乘方运算，导致结果错误。例如，在(2+3)²中，应先进行括号内的加法运算，得到5，再进行乘方运算，得到25。 易错知识点04：乘方的应用 误用乘方表示倍数关系：学生可能会误用乘方来表示倍数关系。例如，在描述一个数是另一个数的2倍时，应使用乘法表示（如2a），而不是乘方（如a²）。 混淆乘方与幂的概念：学生可能会混淆乘方和幂的概念。乘方是运算过程，而幂是乘方的结果。例如， 在aⁿ中，a是底数，n是指数，aⁿ是幂。 知识点07：科学计数法的定义 科学记数法是一种表示大数或小数的方法，它将一个数表示为一个介于1（包括）和10（不包括）之间 小数与10的某个整数次幂的乘积。具体形式为：a × 10ⁿ，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数。 知识点08：科学记数法的要点 范围限制：在科学记数法中，a的取值范围是1到10之间（包括1但不包括10），即1 ≤ |a| < 10。 指数n的作用：指数n表示10的幂次，它决定了数的大小和位置。当n为正数时，表示原数是一个大于 的数；当n为负数时，表示原数是一个0到1之间的小数；n的绝对值越大，数的绝对值也越大。 不改变数的符号：使用科学记数法时，不改变原数的符号，即正负号保持不变。 知识点09：科学记数法的应用 简化大数和小数的表示：科学记数法可以方便地表示非常大或非常小的数，使得数的读写和计算更为简单 例如，地球到太阳的距离约为1.5 × 米，这样可以方便地表示出这个庞大的距离。 精确度表示：在科学记数法中，有效数字是指从第一个非零数字开始到最后一个数字结束的所有数字。 有效数字的个数决定了数的精确度。例如，3.14 × 10²有3个有效数字，而3.14159 × 10²有6个 有效数字。 知识点10：科学记数法的转换 将普通数转换为科学记数法：首先确定a的值（使其满足1 ≤ |a| < 10），然后计算10的幂次n（n等于 原数的整数位数减1）。例如，将12345转换为科学记数法，可以写为1.2345 × 。 将科学记数法转换为普通数：将a与10的n次幂相乘即可得到原数。例如，将3.14 × 10^3转换为普通数，计算结果为3140。 知识点11：科学记数法注意事项 避免混淆底数a和指数n：在科学记数法中，底数a和指数n具有不同的含义和作用，需要明确区分。 注意有效数字的个数：有效数字的个数决定了数的精确度，在进行科学计算时需要特别注意。 遵循运算规则：在使用科学记数法进行运算时，需要遵循先乘除后加减、同底数幂相乘除等运算法则。 考点讲练01：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·期末）的结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了用代数式表示数，有理数幂等知识，先得出m个3相加表示为，n个2相乘表示为，然后相加即可得出答案． 【完整解答】解：m个3相加表示为：，n个2相乘表示为， 故的结果可表示为， 故选：D． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断. 【完整解答】解：没有平方得的数，①正确； 时，，不是负数，②错误； 时，，不是正数，③错误； ，，④错误． 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 【训练2】（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【完整解答】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 【训练3】（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，一元一次方程的解，体现了数形结合思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．根据有理数的乘法法则判断①；根据方程的解得定义判断②；根据判断③；分两种情况，根据绝对值的性质判断④；根据绝对值的几何意义判断⑤． 【完整解答】解：，且， ， ，故①符合题意； 将代入得：， ， ，故②符合题意； ， ， ， ，故③符合题意； 若，原式； 若，原式； ∴原式的值为2，故④不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤符合题意； 综上所述，符合题意的有4个， 故选：C． 考点讲练02：有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加减法与乘方、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再根据数轴、有理数的加减法与乘方、绝对值的性质逐项判断即可得． 【完整解答】解：由数轴可知，． A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【训练1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列8个数填入相应的大括号内：，2.4，0，，，，，． 正数集合：{                          } 负数集合：{                          } 负整数集合：{                        } 正分数集合：{                        } 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类．根据有理数的分类直接得答案．解题的关键是掌握有理数的概念． 【完整解答】解：，， 正数集合：{，，，}； 负数集合：{，，}； 负整数集合：{，}； 正分数集合：{，，}． 【训练2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【思路引导】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【完整解答】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 【训练3】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路引导】（1）根据绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简整理各数，再利用有理数与数轴对应的关系在数轴上表示各有理数； （2）根据各有理数在数轴上的位置比较大小，即可解题． 【完整解答】解：（1）因为，，， 则在数轴上表示有理数如下图所示： （2）由数轴可知：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查化简绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简，在数轴上表示有理数，以及利用数轴比较大小，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 考点讲练03：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆南岸·期末）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．小聪根据典型例题：，；，．得到“互为相反数的两个数的绝对值相等”，“互为相反数的两个数的2次方相等”．请根据小聪的发现完成：若已知，则 ；若，，且，则的值为 ． 【答案】 或 【思路引导】本题考查的是绝对值的应用，乘方运算的逆运算的含义，求解代数式的值，根据绝对值的含义与乘方运算的逆运算先求解的值，从而可得答案. 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴时，， ∴或； 故答案为：；或； 【训练1】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，我们定义求b的运算，记为，例如：，则，，则． (1)根据定义，填空：，； (2)若有如下运算性质：，．根据运算性质填空，若，则，； (3)在（2）的运算性质下，下表中与数x对应的f（x）有且只有两个是错误的． x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 请找出错误的两个f（x）并说明理由，再求出的值（用含a，b，c的式子表示即可）． 【答案】(1)2，4 (2)0.602，1.398 (3)表中只有和的对应值是错误的， 【思路引导】本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算． （1）根据定义可得：，即可求得结论； （2）根据运算性质：，进行计算； （3）通过，，可以判断，，是否正确，同样依据，假设正确，可以求得的值，可以判断，，是否正确，进而可对，作出判断，再结合（2）的性质即可求． 【完整解答】（1）解：由题意可知，， ∴，， 故答案为：2，4； （2）∵，， ∴， ， 故答案为：0.602，1.398； （3）若，则， ， 从而表中有三个对应的是错误的，与题设矛盾， ∴； 若，则， ∴， ， 表中也有三个对应的是错误的，与题设矛盾， ∴，， ∴表中只有和的对应值是错误的， ． 【训练2】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 【答案】(1)9 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的计算： （1）先计算出，再根据乘方的逆运算法则求解即可； （2）观察可知等式左边第一个乘数为序号，第二个乘数为序号加2，加数为1，等式右边为序号加1的平方，据此规律求解即可； （3）先把括号内的式子通分，再根据（2）的规律求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：； ； ； ； ……， 以此类推可知，第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ， ． 【训练3】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【思路引导】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【完整解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 考点讲练04：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（24-25七年级上·山东德州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则；先去括号，合并同类项化简整式，再根据绝对值和平方的非负性求出x，y的值，再代入求值即可． 【完整解答】解：原式 ， ， ，， 原式 ． 【训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【思路引导】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，非负数的性质，先去括号，再合并同类项得到化简的结果，根据非负数的性质可得，再代入计算即可． 【完整解答】解： ； ∵， ∴， ∴． 当时， 原式． 【训练2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数） ， ． 【答案】 （或） 【思路引导】本题考查数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，由此即可求解题． 【完整解答】解：∵，，，，，… ∴第n个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 故答案为：；． 【训练3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简再求值： (1) 其中． (2)，其中 ． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，非负性，熟练掌握整式的加减运算法则，绝对值的非法性，偶次方的非负性是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项，先化简整式，再根据非负性求出a，b的值，再代入求值即可； （2）根据去括号，合并同类项，先化简整式，再代入求值即可． 【完整解答】（1）解：原式 ， ， ， ， 原式； （2）解：原式 ， 当时，原式 ． 考点讲练05：乘方的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【完整解答】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 【训练1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【思路引导】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【完整解答】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【考点评析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 【训练2】（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【答案】（1）①121，；②，；（2）①两；②三；（3）； 【思路引导】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据有理数的乘方运算得出结论即可； （2）通过观察底数的小数点移动的位数与结果的小数点移动的位数得出规律即可求出结果； （3）根据上面总结的规律求解即可． 【完整解答】解：（1）①已知，那么，； ②已知，那么，． （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位． （3）①； ②． 【训练3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】本题是对数字变化规律的考查，有理数乘方的应用； （1）观察可得，后一个数是前一个数字的倍解答即可； （2）观察可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，即可求解； （3）根据各行的第个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【完整解答】（1）第①行数的第个数是：， 故答案为； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是， 故答案为：，； （3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于， 令， ∴ 解得，， 即取每行的第个数，这三个数的和能等于． 考点讲练06：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)克 (2)千克 (3)元 【思路引导】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． （1）用500粒大米的总重量除以500 ，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【完整解答】（1）解：（克）， 答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． 【训练1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）年元月，合肥市财政收入为亿元，请将亿用科学记数法表示为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【思路引导】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数，将数表示成，其中，为整数，即可得到答案． 【完整解答】解：亿用科学记数法表示为， 故选A． 【训练2】（2020·四川眉山·模拟预测）预计到年我国高铁运营里程将达到，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【完整解答】解：， 故选：B． 【训练3】（24-25七年级上·四川成都·期末）文化和旅游部发布数据显示，2024年国庆节假期，全国文化和旅游市场平稳有序，假日7天，国内游客出游总花费约7008亿元．将数据7008亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示成，其中，为整数，即可得到答案． 【完整解答】解：7008亿用科学记数法表示为， 故选C． 考点讲练07：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期末）2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（   ） A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000 【答案】C 【思路引导】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 【完整解答】解：． 故选C． 【训练1】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【答案】47000 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【完整解答】解：． 故答案为：47000． 【训练2】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【完整解答】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 【训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，今年“五一”假期全省共接待游客人次，同口径比去年“五一”假期增长了，数据的位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【完整解答】解：∵， ∴数据的位数是8， 故选：C． 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）今年 月 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约 ．将 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【完整解答】解： 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【完整解答】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【完整解答】解：A、，，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，所以，故此选项符合题意； D、，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）目前全球的海洋总面积约为，这一数据用科学记数法表示是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【完整解答】解：将361 000 000用科学记数法表示为． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【完整解答】解：， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：13；． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【完整解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 7．（24-25七年级上·广东珠海·期中）把下列各数的序号填在相应的横线内： ①；②；③；④；⑤；⑥0；⑦ 负数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 有理数集合：{ ⋯}； 【答案】③④；③⑤⑥；①③④⑤⑥⑦ 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，有理数的乘方计算和求绝对值，先计算绝对值和乘方，再根据负数，整数和有理数的定义求解即可． 【完整解答】解：， ∴负数集合：{③④}； 整数集合：{③⑤⑥}； 有理数集合：{①③④⑤⑥⑦}； 8．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）已知有理数：，0，，，，．回答下列问题： (1)上述六个有理数中，互为相反数的一组是______； (2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上； (3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)与 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． （1）先化简双重符号，求解绝对值，再利用相反数的定义可得答案； （2）在数轴上的点表示各有理数即可； （3）利用数轴右边点表示的数大于左边点表示的数，从而可得答案． 【完整解答】（1）解：∵，，， ∴互为相反数的一组数是与； 故答案为：与； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）数轴可知： ． 9．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【思路引导】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【完整解答】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 10．（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【答案】(1)；2；9 (2)G；或11 (3)秒或秒或秒． 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求得和的值，再利用两点之间的距离求解即可； （2）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化； （3）根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况，分情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 11．（23-24七年级上·青海西宁·期中）年，全国夏粮播种面积保持稳定，产量达亿斤．将亿用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据科学记数法的表示方法即可求解； 【完整解答】解：根据题意，可得：亿； 故选：C． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数、相反数、科学记数法，根据有理数、相反数、科学记数法的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【完整解答】解：（）最大的负整数是，该选项说法错误； （）数轴原点两旁且绝对值相等的两个数互为相反数，该选项说法错误； （）如果两个不为的数互为相反数，那么它们的商为，该选项说法错误； （）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，该选项说法正确； ∴正确的说法只有个， 故选：． 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查数轴上的数的运算，乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点在线段上和线段上，以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，然后代入求值计算即可． 【完整解答】解：点在线段上， ∴， ∵； ∴ 点在线段上， ∴， ∵； ∴ 综上： ∴点到三点的距离之和的最大值为，最小值为， ∴ 故选：D． 14．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据题意，得到，再根据绝对值的意义和有理数的乘法运算，求出，再利用减法法则进行计算即可． 【完整解答】解：∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或． 15．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的值是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了绝对值，相反数，倒数，有理数加减，乘方运算，根据题意得出，，，进而分类讨论得出答案，解题的关键是掌握知识点的应用． 【完整解答】解：∵互为相反数，互为倒数，， ∴，，， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故的值为或． 故答案为：或． 16．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【完整解答】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”将各数连接起来． ，，， 【答案】图见解析， 【思路引导】本题考查数轴与有理数，先化简各数，然后在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，判断大小即可． 【完整解答】解：，，，，数轴表示如图： 由图可知：． 18．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【思路引导】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【完整解答】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 20．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足，点O为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①运动过程中，t为何值时，动点P、Q与原点的距离相等，求出此时t的值； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴上两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可． 【完整解答】（1）解：解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， ∴当时，， ∴或 解得或； ② 当点Q在线段上运动时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，点Q表示的数为 ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， ∴中点F表示的数是， ∴， ∴； 综上所述，． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$