精品解析：2025届吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学高三高考考前适应性考试数学试题

延边第二中学2025届考前适应性考试 高三数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，再利用集合运算性质求解即可. 【详解】， ， 所以. 故选：A 2. 设a，b，c是实数，命题“a＞b＞c＞0”是命题“a＋b＞c”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得； 【详解】解：由题，即，反之，由推不出，例如， 故是的充分不必要条件； 故选：A． 3. 已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的求法即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为. 故选：C. 4. 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式和古典概型的概率公式计算可得. 【详解】的展开式共11项，通项公式为， 当时该项的系数为负数， 所以在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为负数的概率是. 故选：C. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可. 【详解】令，，得，则， 即，整理得，且， 那么，则. 故选：C. 6. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 7. 已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项. 【详解】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得：. 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B 8. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义分别求得和，再构造函数，根据导数确定零点的取值范围即可求解． 【详解】，则，即， ，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9. 已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（ ） A. 函数为偶函数 B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对称中心完全相同得到，计算，得到函数解析式，，A正确，，B正确，代入验证知C错误D正确，得到答案. 【详解】对称中心完全相同，则周期相同，，则， ，是的一个对称中心， 故，，即， 又，故当，时满足条件，故， 对选项A：，函数定义域为，为偶函数，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：当时，不是的对称轴，错误； 对选项D：当时，，,故是的对称中心，正确. 故选：ABD 10. 一系列复数满足是公比为i的等比数列，，则（ ） A. 是周期数列 B. 的前8项和为24 C. 存在实数k，使得为实数 D. 存在实数，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，由，可判定A正确；由的前8项和，可判定B不正确；由，可得判定C正确；分类讨论，求得的值，可得判定D正确. 【详解】由复数，且，则， 因为数列是公比为的等比数列，所以， 所以， 对于A中，由，可得， 即，可得，所以数列是周期数列，所以A正确； 对于B中，由， 所以的前8项和，所以B不正确； 对于C中，由，当，可得， 所以存在实数k，使得为实数，所以C正确； 对于D中，由复数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 例如：当，可得，此时满足， 所以存在实数，使得，所以D正确. 故选：ACD. 11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ） A. 点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B. 曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C. 若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程． 【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB， 则，， 则， 当位于椭圆的下顶点时取等号， 所以△OAB面积的最大值为6，故A正确； 对于B，半圆上的点到点的距离都是， 半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为， 所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确； 对于C，是椭圆的两个焦点， 在△PAB中，，由余弦定理知： ， 当且仅当时取等号， 所以cos∠APB的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为， 该点在蒙日圆上，半径为 此时蒙日圆方程为：，故D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】对函数求导，代入，可得对应的导数值为0，由此可建立关于的方程，从而得解. 【详解】对函数求导得，， 因为曲线在处的切线与轴垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】化简直线为，得到恒过定点，根据题意，得到点落在以为直径的圆上，其中半径为，结合，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 由方程组，解得，可得直线恒过定点， 则， 因为在动直线上的投影为点，即， 所以点落在以为直径的圆上，其中圆的半径为， 设的中点为，可得， 又因为，可得，所以的最大值为. 故答案为：. 14. 已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆的半径为1，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过O点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系， 其中，其中， 由， 即，整理得， 解得， 则， 所以. 方法二：设，如图，当位于点或点时，三点共线，所以； 当点运动到的中点时，，所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， ． （1）证明： ； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面垂直的性质可得平面，得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式求解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）平面， 如下图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）和； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，令，即可求出的单调递增区间； （2）分，，三种情况讨论在上的单调性，借助导数及单调性分别求出在上的最小值，令，即可求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为． 当时，， ， 令，解得或， 所以的单调递增区间为和； 【小问2详解】 ，， 令，解得或， 当时， 当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以， 即，移项可得， 因为，所以满足条件； 当时， 当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以， 即， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 又因为，且，所以． 综上，实数a的取值范围为． 17. 已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离公式求得，再将点代入双曲线方程得，即可解答； （2）设直线，与双曲线方程联立，韦达定理，结合二次方程根的分布得，根据面积公式建立方程求得，即可求解直线方程. 【小问1详解】 双曲线左焦点到渐近线的距离为， ，则， 双曲线过点， ，解得， 的标准方程为； 【小问2详解】 过左焦点作直线交C的左支于两点， 直线斜率不为0，设直线，联立得： 得， 由对称性，四边形的面积等于的面积的4倍， ， 则 ， 整理得，解得或（舍）， 直线的方程为或. 18. “三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【小问1详解】 如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，故：应该换门. 【小问2详解】 假设山羊门数为（），如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门比不换门中奖概率更高. 【小问3详解】 不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元时值得的，须有：. 整理得：. 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 19. 在数列中，，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，数列的前项和为，证明：； （3）证明：. 【答案】（1） 已知，即及，， 化简得，又 所以数列是首项为公差为的等差数列. （2） 由（1）可知， 所以，. 又，所以，， . 所以 于是， ， 因为，所以，即. （3） 定义，原不等式即 下面证明，即， 即证（*）， 设，则， 于是在区间上是增函数. 因为，有，不等式（*）成立. 故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）由已知等式得出，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）可求得，，利用裂项求和法求出，然后利用裂项求和法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立； （3）利用分析法可知，要证所证不等式成立，即证，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合函数的单调性即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2025届考前适应性考试 高三数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设a，b，c是实数，命题“a＞b＞c＞0”是命题“a＋b＞c”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 8. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9. 已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（ ） A. 函数为偶函数 B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 10. 一系列复数满足是公比为i的等比数列，，则（ ） A. 是周期数列 B. 的前8项和为24 C. 存在实数k，使得为实数 D. 存在实数，使得 11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ） A. 点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B. 曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C. 若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为_____. 13. 已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为______． 14. 已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， ． （1）证明： ； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若，对恒成立，求实数a的取值范围． 17. 已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程. 18. “三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 19. 在数列中，，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，数列的前项和为，证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $