2025年中考数学真题完全解读（江苏连云港卷）

2025年中考数学真题完全解读（江苏连云港卷） 本套试卷属于2025年江苏省连云港市的中考数学试题，整体结构与往年相比既保持了稳定性，又有所创新。全卷分为三个大题，分别为选择题8题、填空题8题、解答题11题，共计27题，总分150分，考试时间为120分钟。题型涵盖了基础知识运用、综合能力考查以及实践与探索等多种层次，符合《义务教育数学课程标准》中对初中毕业生数学素养与能力的综合要求。 本卷在题型设置和题量安排上，与连云港市以往中考试题大体一致：第Ⅰ大题选择题数量适中，考查范围包括数与代数、函数与方程、图形与几何基础知识；第Ⅱ大题填空题强调对关键概念和运算技能的掌握，比如涉及到合并同类项、因式分解的简单应用、反比例函数和二次函数的实际应用、勾股定理的实际应用、圆中弧长问题、几何的最值问题等，第Ⅲ解答题主要涉及到实数的综合计算、不等式组的计算与实际应用、概率与统计综合，函数的图像与性质、几何（如三角形、四边形、圆等）的核心内容，并与实际生活场景相结合，充分体现数学应用价值。 从难度分布来看，本卷遵循“易、中、难”相结合的原则，约的试题难度较低，适合基础水平学生掌握；约的试题难度为中等，要求学生对基础知识灵活运用；剩余约的试题具有一定综合与创新性，能区分不同层次的学生。整卷试题计算量适中，如第题仅需理解绝对值的概念即可快速求解；部分几何题则需要运用勾股定理、角平分线定理、垂直平分线等理论，考查学生对几何图形的综合推理；函数题要求对一次函数、反比例函数及二次函数的图像与性质有深刻认识，兼顾数形结合的思想。 结合本地区学情与教情，该试卷在考查形式上侧重基础知识够用与数学思维拓展并举，针对重点概念（如三角形判定、二次函数开口方向、正方形与矩形性质等）反复考量，注重学生运算能力与逻辑推理能力的培养；同时，透过统计与概率、实际应用题等试题形式，引导学生关注数学生活化与实践性，契合课程改革中“基于真实情境，提高综合素养”的理念。 总体而言，本卷紧扣课程标准对“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的要求，覆盖面广而重点突出，难度梯度合理，能有效检验学生对初中数学知识的掌握与思维品。对于今后教学而言，该试卷既能为教师诊断学情、调整教学策略提供参考，也能为学生查漏补缺、全面提升数学素养指明方向。 与年相比，年整体题型（选择、填空、解答三大类）与题量均保持不变：选择题题、填空题题、解答题题。表面上题型结构未变，但在出题侧重与命题方式上有所调整。 命题更注重将数学知识与现实情境、学科前沿融合，材料选自科技探索如“嫦娥5号”、古代数学典籍等，题目背景更丰富，考查学生运用数学方法解决实际问题的能力。 多个解答题综合数形结合、函数思想及几何图形性质，知识点覆盖的深度与广度更高，鼓励学生多角度思考。 在保留基础运算、几何推理等传统稳定考点的同时，新增对数据信息抽象、科学记数法应用、函数模型构建等能力的考查。 对学生的阅读理解、逻辑推理及语言表达能力提出更高要求，如需要充分运用“相似”“对称”“函数”等多种数学思想完成解题。 通过上述变化可见，年的题目在保持原有题型与数量基础上，打破简单知识点分割，强调知识综合与思想方法运用；学生需在高效掌握基础的同时，更注重多元信息整合与灵活应用，提升综合思维与深入探究的学习能力。 本套试卷满分共 150 分，分为三大题： ❆选择题（第 1～8 题），共 8 小题，每题 3 分，总计 24 分； ❆填空题（第 9～16 题），共 8 小题，每题 3 分，总计 24 分； ❆解答题（第 17～27 题），共 11 小题，总计 102 分。 整体来看，试卷覆盖初中数学中的数与代数、函数与方程、空间与图形、统计与概率等核心板块，题目形式包括选择、填空与综合解答，注重对学生基础运算、几何推理、函数应用、数据分析等综合能力的考查。 下面的表格按照题号顺序，列出每道题的分值、题型、考查内容以及难易分析。请注意，表中“难度”划分为“容易”“中等”“较难”“难”四个层次，以便更直观地了解试题的分布。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 选择题 绝对值 容易 2 3 选择题 科学记数法 容易 3 3 选择题 二次根式中取值范围 容易 4 3 选择题 三角形三边关系 容易 5 3 选择题 线段垂直平分线性质 中等 6 3 选择题 相遇问题（一元一次方程应用） 容易 7 3 选择题 正比例函数与反比例函数的图像与不等式 中等 8 3 选择题 含 的直角三角形、角平分线 中等 9 3 填空题 整式加减（合并同类项） 容易 10 3 填空题 因式分解（平方差公式） 容易 11 3 填空题 平行线性质、邻补角 容易 12 3 填空题 直角三角形中的勾股定理 容易 13 3 填空题 圆周角定理与弧长计算 中等 14 3 填空题 反比例函数及其应用 中等 15 3 填空题 二次函数（抛物线）应用 中等 16 3 填空题 菱形与平行四边形中的最值问题 中等 17 6 解答题 实数运算（混合运算、零指数幂等） 容易 18 6 解答题 分式方程 容易 19 6 解答题 一元一次不等式组 容易 20 6 解答题 树状图法求概率 容易 21 8 解答题 扇形统计图、样本估计总体 中等 22 10 解答题 二元一次方程组与一次函数的应用 中等 23 10 解答题 解直角三角形（航海方位应用） 中等 24 10 解答题 二次函数图像与 轴的交点问题 中等 25 10 解答题 直角三角形拼接正方形、长方形（几何综合） 较难 26 12 解答题 三角形外接圆、相似三角形、切线性质 难 27 18 解答题 正方形综合与实践，几何变换、最值问题 难 从题目数量统计来看，全卷共 27 小题（包含选择 8 题，填空 8 题，解答 11 题）。其中难度情况可大致分为： ❆容易题：约 14 题（占比约 52%） ❆中等题：约 10 题（占比约 37%） ❆较难/难题：约 3 题（占比约 11%） 从分值上看，容易题大多分散在选择题和填空题前半部分、以及解答题的前几道小题上；中等难度题主要集中在几何性质、函数应用和统计类问题；最后 2～3 道综合题（如第 26、27 题）难度较大，通常作为拉分题。 ①容易题（如第 题、第题、或第 题） 这类题往往直接考查基础概念或基本运算技能，涉及到的知识点相对单一，解题过程较为直接。例如，第 题考查绝对值概念，第 题涉及简单的相遇应用题，学生只要熟练掌握对应公式或性质，就能较快拿分。 ②中等题（如第 题、第题、第 题） 此类题型通常需要两步以上的推理或运算，涉及到几何与代数的结合或函数与统计的综合。虽然仍属于常规知识点，但对分析能力和识图能力有更高要求。例如，第 题需要结合扇形统计图计算或分析比例，还需要运用样本推断总体的思想；第 题则关注二次函数与直线或 轴的交点关系，体现函数思想与一元二次方程联系。 ③较难/难题（如第 题、第 题、第 题） 这几道压轴题往往融合了多个知识板块，需要学生具备良好的逻辑推理能力与综合运用能力。比如第 题结合了正方形、几何变换、作图及最值问题；第 题则需要将三角形外接圆、切线性质和相似几何综合在一起，解题需要较强的空间想象力与多步骤的严谨推证。这些题目较好地区分了不同程度的学生。 本套试卷整体难易度分配合理，容易题和中等题占据了主要部分，确保大多数学生能在基础和中档题目上稳定得分；较难题和难题则设置在后面，拉开中高分差距，具有较强的区分度。学生要想在此类试卷中取得高分，需要既夯实基础，又注重对综合题型的思路训练与方法熟练度。 在本次“2025年江苏省连云港市中考数学试题”中，试卷涵盖了数与代数、几何与测量、函数与方程、统计与概率等板块，并通过多种题型（包括选择题、填空题、解答题等）全面考查同学们对初中数学知识的综合理解与运用能力。针对这些特点，结合学生在备考过程中常见的问题，现给出以下复习与备考建议，帮助大家扎实掌握重难点、提升解题技巧并保持良好心态。 1.数与代数部分 ❆重点关注整式运算、分式方程以及一元一次不等式组的解与应用。要继续熟练掌握合并同类项、去分母、检验增根等基础操作。例如，在解分式方程时，要牢牢记得乘去共同分母并检验分母不为零。 ❆在学习科学记数法时，着重理解将原数转化为形式的过程，小数点移动几位对应指数就加几或减几。 ❆绝对值与相反数等有关概念，务必将数轴上“距离为非负”这一核心思想内化于心。通过数轴的直观观察可以避免错把负号舍去后出错。 2.函数与方程部分 ❆正比例函数与反比例函数的综合考查较为常见，例如题目会给出两个函数图像相交于、两点，要求比较函数大小或求交点坐标，需熟练掌握“数形结合”的思想。 ❆对于抛物线的图像与轴的交点、与直线的交点等问题，要熟悉“方程的根与图像交点”的对应关系。当题目涉及最值时，可通过顶点坐标或配方法、判别式等来分析。 ❆一元一次方程应用题中，“相遇问题”(如七日到、九日到)常见于古典数学背景，要弄清楚“速度×时间=路程”的要领，正确求解。 3.几何与测量部分 ❆直角三角形中的30°、45°、60°特殊值是高频考点。要熟悉若则对边与斜边间的关系为，也要掌握角平分线、垂线与中线等性质结合面积或相似三角形来解题的思路。 ❆对线段垂直平分线、菱形与矩形、平行四边形与三角形的综合考查往往出现在较高分值的几何题或压轴题；要利用“相对运动”与“将军饮马”这类思想简化几何作图和证明。 ❆当该题型结合圆时，常使用圆周角定理、切线性质及相似三角形等理论来推导弧长、切线长度或相交点坐标等，须保证辅助线作法的严谨性。 4.统计与概率部分 ❆树状图法或列表法是解决多次摸球、抽签或掷硬币问题的常用手段，关键在于把所有等可能结果列全。常见失误是漏解或把不可能事件当作等可能事件处理。 ❆审题时，先看清楚是“放回”还是“不放回”，概率会随之发生变化。 ❆对样本估计总体的试题，要学会利用样本频数、频率及扇形图对总体进行推断，这是中考统计题的常规考查方式。 1.选择题 ❆尝试“排除法”与“特值法”。遇到函数、方程或几何题时，可选取特殊数值（如、 等）或简单图形（如特殊直角三角形）试探，以快速排除不合理选项。 ❆可通过“估算”来判断正确选项，如几何题中边长或角度若有明显不等，可先排除范围不合适的选项。 2.填空题 ❆对字母及数学符号，一定要保持准确和完整书写。例如：若答案是 ，切勿误写成 或漏写字母部分。 ❆如果题目需要简化，最后结果务必化到最简形式，包括约分、展开与合并同类项等操作均不能草率。 3.解答题 ❆书写步骤要符合“先写已知条件，后写推理步骤，再作结论”的逻辑顺序。几何证明题中，“边、角、线段”关键定理要标注清楚，如“两直线平行，内错角相等”等。 ❆若遇到涉及方程组或不等式组的综合题，要有条理地给出每步推理，并在最后验根，确保结论有效。 ❆注意运算细节：对勾股定理、三角函数求值、扇形面积或圆弧长度计算时，千万不要在数字运算上出差错。可适度估算检查是否合理。 1.阶段性复习规划 ❆第一阶段（夯实基础）：针对教材上的例题与考试常见考点逐一梳理，包括有理数计算、一次函数与不等式、相似三角形、圆周角定理、概率与统计等，再配合适量基础题巩固。 ❆第二阶段（综合提升）：结合历年的中考真题和本次模拟试卷，整合相似题型做专题训练，如“函数与几何融合”“统计与概率”等综合创新题，提高对信息的提取与多步推理的掌握。 ❆第三阶段（模拟实战）：限定时间做整卷模拟，感受考试节奏，培养紧张环境下完整作答的习惯；然后及时订正与反思，梳理易错题并“回炉”再练。 2.心理调适与应考策略 ❆在临近考试前，注意劳逸结合，确保充足的睡眠时间。通过适度的体育锻炼或兴趣活动来释放压力； ❆考试时，先快速浏览整卷，合理分配时间：容易题先保证准确率，再处理难题；对一时卡壳的题可先跳过，完成其他题后再回来看。 1.命题趋势 ❆近年中考数学试题更加强调对数学思想方法的考查，如数形结合、方程思想、分类讨论和转化思想等。 ❆结合实际情境（如运动轨迹、生产生活中的数据统计、科学原理等）已成为常态，考题更注重阅读理解与数学表达能力的融合。 2.后续需重点关注的潜在考点 ❆更综合的几何题：将平行四边形、菱形、圆等图形结合，考查学生的综合推理与辅助线作图能力； ❆统计与概率可能结合更真实的数据场景，涉及样本估计与方差或极差等更深层次指标的讨论。 同学们在备考过程中，只要不断“查漏补缺”，在做题时保持严谨推理，及时总结错题并回顾考点，逐步熟悉各类题型的解题思路，中考数学的攻关就会更加顺利。祝大家在接下来的复习中稳步前行、取得理想成绩！ 2025年江苏省连云港市中考数学试题数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数． 【详解】解：， 因此，的绝对值为5， 故选：A． 2. 2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在年前仍存在岩浆活动．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故选：C． 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 4. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在△ABC中，，垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C 或 D. 或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，取值范围是或， 故选：C． 8. 如图，在△ABC中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：_______． 【答案】2a 【分析】根据合并同类项原理：系数相加减字母不变即可解题. 【详解】解：. 【点睛】本题考查了整式的加减,属于简单题,熟悉合并同类项的原理是解题关键. 10. 分解因式：_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，，直线与射线相交于点．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质得出，再利用邻补角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 13. 如图，△ABC是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【答案】16000 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算． 【答案】6 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 解不等式组 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 20. 一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，共有个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中摸到红球的情况只有1种， ∴摸到红球的概率是； 【小问2详解】 根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图： 由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， 所以2次都摸到白球的概率为． 21. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表． 体重情况统计表 组别 体重 频数（人数） 类 类 类 类 根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，________； （2）在扇形统计图中，类所对应的圆心角度数是_______°； （3）若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人? 【答案】（1）， （2） （3）人 【分析】本题考查扇形统计图，频数统计表，样本估计总体，熟练掌握利用扇形统计图和频数统计表得出相关数据是解题的关键． （1）利用类的频数和占总体百分比求出被抽取的总人数，再利用类占总体百分比求出类的频数，最后即可求出类的频数； （2）利用类占总体百分比乘以即可； （3）利用样本估计总体即可求出． 【小问1详解】 解：由题意得被抽取的总人数为（人）， ∴类的频数为（人）， ∴类的频数为（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：类所对应的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计体重在及以上的学生有（人）． 22. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】（1）恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 （2）至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【小问1详解】 解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． 【小问2详解】 解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 23. 如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． （1）求岛与港口之间的距离； （2）求． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 24. 已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【小问1详解】 解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． 【小问2详解】 解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． 【小问3详解】 证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 25. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】（1）图1的正方形面积较大 （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵，面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 26. 已知是△ABC的高，是△ABC的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 【小问3详解】 如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 27. 综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$