精品解析：福建省永春第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考检测数学试题

永春一中2025年5月高二年月考检测 数学科试卷 （2025.5） 考试时间：120分钟，试卷总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数 B. 数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差 C. 在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱 D. 已知随机变量X服从正态分布且，则 10. 中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点P在椭圆C上，点Q是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说明正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 圆E过点的切线斜率为 C. 若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则_____. 13. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为_____． 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2），，D为AC的中点，求. 16. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 17. 已知双曲线C：过点，且离心率为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线，于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 18. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 19. 给定实数，对于正整数设数列满足每一项取1的概率为p，取0的概率为，且各项取值相互独立.如果数列中的0将数列分成（项、项、…、项）全为1的连续段，则记，特别地，定义例如，时，. （1）时，记随机变量，求的概率； （2）对于数列，定义为：若，则它是最大的正整数，使；若则它为0，例如，时，. （i）时，求随机变量的分布及数学期望； （ii）求随机变量的数学期望. （3）当时，求随机变量的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中2025年5月高二年月考检测 数学科试卷 （2025.5） 考试时间：120分钟，试卷总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】因为,所以, 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等式求出复数，然后即可求出对应的共轭复数. 【详解】由得， 则，故． 故选：D. 3. 已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离即可求解. 【详解】由题意可得，圆心，半径， 因为直角三角形，则点到直线的距离， 得. 故选：C 4. 已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和等比中项公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则由题，即或（舍去）， 所以. 故选：B 5. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】圆台的上底圆直径为3，下底圆直径为4.6，高为0.6， 过点作，垂足分别为， 故，故， 故该圆台部分的侧面积为. 故选：B 6. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑五名同学选修四门课程的所有情况种数，然后对选修数独、几何画板的人数进行分类讨论，结合分类、分步计数原理与古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将五名同学分为四组，每组人数分别为、、、，分组方法种数为种， 所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修， 不同的报名种数为种， 考虑数独的报名人数， ①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有种情况， 若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有种情况， 最后将剩余人分为两组，再分配给另外两门课程， 此时不同的选择情况种数为种； 若选修几何画板有两人，有种情况，剩余两人选修剩余两门课程， 此时不同的选择方法种数为种； ②若数独有两人报名（乙和丙）， 则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况. 剩余两人报名剩余两名课程， 此时不同的选择方法种数为种. 综上所述，所求概率为. 故选：D. 7. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，，进而得，再根据结合向量垂直关系的表示解得，进而得，再根据平移变换得，最后求函数值即可. 【详解】由题知，函数的最小正周期满足，解得， 所以， 则， 由图象与轴的交点为得，则， 因为，所以，即，则， 所以图象与轴的交点为， 则，， 因为，所以，解得（负舍），所以， 所以， 所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为， 则， 所以. 故选：D 8. 已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，使，依题意可得共线，则是等边三角形，取的中点，求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则， 所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数 B. 数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差 C. 在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱 D. 已知随机变量X服从正态分布且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：求数据中位数和平均数即可得；对于B：求数据方差和标准差即可判断；对于C：根据相关系数的性质分析判断；对于D：根据正态分布的对称性分析判断. 【详解】对于A：数据1，2，3，5，8，9的中位数为， 平均数为， 因为，所以中位数小于平均数，故A正确； 对于B：因为数据的平均数为， 则方差为， 则标准差，即标准差大于方差，故B正确； 对于C：样本相关系数r的绝对值越小，线性相关程度越弱，故C错误； 对于D：因为且， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数的 即可判断A；根据正弦定理、两角和与差的正弦公式即可判断B；利用余弦定理计算即可判断C；利用三角恒等变换的化简计算即可判断D. 【详解】A：，且，则， 若为锐角，则且， 此时，即； 若为钝角，则且， 此时，即； 综上，为直角三角形或钝角三角形，故A不满足题意； B：，由正弦定理得， 即，得， 由，解得，又，所以， 即为直角三角形，故B符合题意； C：由，得， 整理得，所以或， 即为等腰三角形或直角三角形，故C不符合题意； D：， ， 即，由，得， 即， ， 得，所以或，解得或， 即为直角三角形，故D符合题意. 故选：BD 11. 已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点P在椭圆C上，点Q是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说明正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 圆E过点的切线斜率为 C. 若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由圆的性质结合给定的最小值求出c判断A；设出切线方程结合点到直线的距离计算判断B；利用斜率坐标公式结合椭圆方程计算判断C；利用圆的性质及椭圆的定义计算判断D作答. 【详解】对于A，圆圆心，半径，圆与椭圆相离，而点在椭圆上， 点在圆上，则， 当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，因此， 解得，则椭圆的焦距为2，且椭圆的方程为，A错误； 对于B，过的圆切线的斜率存在，设此切线方程为，于是，解得，B正确； 对于C，设，有，且，即， 直线的斜率分别为，因此，C错误； 对于D， ，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据残差计算公式计算即可. 【详解】根据题意得，解得. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得，则抛物线， 直线的方程为，由， 则，显然， 所以，故， 所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 14. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由极值点的意义分离参数，构造函数转化成直线与函数图象在上有两个交点求解. 【详解】因为，所以， 依题意，函数在上有两个变号零点，由，得， 令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点， 而，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减，又， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2），，D为AC的中点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角及辅助角公式即可求解. （2）根据余弦定理即可求得的长，再利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得. 因为，所以，所以， 整理得，即. 因为，所以，所以，即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 即，解得或. 若，则，则为钝角，舍去， 所以，，因为，根据正弦定理，角最大，所以为锐角三角形，符合题意. 因为为的中点，所以， 所以，在中，， 所以. 在中，. 16. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，设，， 所以， 则， 则， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则， 则， 则， 又，平面， 所以平面， 故为平面的一个法向量， 又平面的法向量为， 则平面与平面的夹角的余弦值为 ， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故. 17. 已知双曲线C：过点，且离心率为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线，于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用已知条件可列方程组求解即可； （2）利用直线与双曲线相切，借助方程组判别式为0来找到参数相等关系，然后计算面积可求得是定值. 【小问1详解】 由题意可得，解得：， 故双曲线C的标准方程为 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，易知此时，直线， 不妨设，得； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线的方程联立，可得， 由直线与双曲线的右支相切，可得，故 设直线与轴交于，则． 又双曲线的渐近线方程为， 联立，可得，同理可得， 综上，面积为2． 18. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若，求出解析式，求导，求出切线方程； （2）根据定义域为，求导，分类讨论，，，满足是的极大值点，求出的取值范围； （3）由（2）可知，且时，，由恒成立，构造，进行求解. 【小问1详解】 若，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意，得的定义域为，，所以. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减，又， 所以，所以在区间上单调递减. 又，所以的取值范围是. 19. 给定实数，对于正整数设数列满足每一项取1的概率为p，取0的概率为，且各项取值相互独立.如果数列中的0将数列分成（项、项、…、项）全为1的连续段，则记，特别地，定义例如，时，. （1）时，记随机变量，求的概率； （2）对于数列，定义为：若，则它是最大的正整数，使；若则它为0，例如，时，. （i）时，求随机变量的分布及数学期望； （ii）求随机变量的数学期望. （3）当时，求随机变量的数学期望. 【答案】（1） （2）（i）分布列见解析，；（ii） （3） 【解析】 【分析】（1）通过枚举法可列出四种情况，进而求出概率； （2）（i），可以取的值有0，1，2，3，求出对应的概率，进而可根据数学期望公式求出期望的值；对于（2）中的（ii），先列出的求和表达式，然后利用错位相减求出和，进而得出； （3）根据和，结合已知得出的递推关系，通过累加法求出，进而计算可得结果. 【小问1详解】 时，，，，或者，，，， 或者，，，，此时. 【小问2详解】 （i）枚举共8种情况，得的可能取值为0，1，2，3，可求得的分布列如下： 0 1 2 3 故. （ii）法1：有， 对，若，则，. 故 因此 . 法2：若，则； 若，则， 因此，若记表示，，则满足 ， 从而， ，所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故， 则，故. 【小问3详解】 记，，，则，由（2）（ii）知. 若,则； 若则. 因此. 得， 因此对， ， 代入，得， 当时，也满足该式，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $