精品解析：广东省佛山市顺德区容桂街道 2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期期中学科素养展示 八年级数学 说明：l．本卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．解答过程写在答题卡上，监考教师只收答题卡． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答;画图时用2B铅笔并描清晰． 一．选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：如果将一个图形绕着某个点旋转180度后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A. 是中心对称图形，故该选项符合题意； B. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．在数轴上实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左．根据在数轴上表示不等式解集的方法即可解答． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集，正确的是， 故选：B． 3. 用不等式表示“是非负数”，为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了非负数，“非负数”指不小于0的数，包括正数和0． 根据非负数的概念即可得到答案． 【详解】解：是非负数， ， 故选：C． 4. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的乘积形式，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 ，是整式乘法运算，而非分解为乘积形式，不符合定义，不是因式分解，故不符合题意； B、，利用平方差公式，将二次多项式分解为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解，故符合题意； C、，右边为乘积与常数相加的形式，未完全转化为乘积，不符合定义，不是因式分解，故不符合题意； D、是单项式与多项式的乘法展开，属于整式乘法运算，而非因式分解，故不符合题意； 故选：B． 5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据不等式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴，，，， 故选B； 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握若，则，，，，． 6. 如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，继而得出，从而根据得解． 【详解】解：根据平移的性质可得：， 则 又，， ； 故选：C 7. 在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 两边分别相等的两个直角三角形全等 C. 如果，，那么 D. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、有理数的乘法法则逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、根据平行线性质定理，两直线平行时，同旁内角互补，故A为真命题，不符合题意； B、两边分别相等的直角三角形不一定全等，例如，若一个三角形的两条直角边为3和4（斜边5），另一个三角形的一条直角边为3，斜边为4（另一条直角边为），此时两边相等但三角形不全等，因此B为假命题，符合题意； C、若且，则显然成立，故C为真命题，不符合题意； D、斜边及一锐角对应相等的直角三角形，可通过“AAS”或“ASA”判定全等，故D为真命题，不符合题意； 故选：B． 9. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 10. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集的过程叫解不等式组．先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集是，然后根据同大取大得到的范围． 【详解】解：， 解①得， 不等式组的解集是， ． 故选：C． 二．填空题（5个题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 12. 将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移．点平移的规律“左减右加，上加下减”，由此即可求解． 【详解】解：点向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴， 故答案为：． 13. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：4． 14. 如图，中，是的垂直平分线，，若的周长为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，进而由的周长为可得，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别平分，连接．在不增加字母和线段的情况下，写出由上述条件得到的三个不同类型的结论______． 【答案】①，②平分，③ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，平行线的判定等，由等腰三角形的性质可得，由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离， 进而得到点在的平分线上，即得平分，再根据三角形外角性质和角平分线的定义可得，即得，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴点到的距离等于点到的距离，点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点在的平分线上， 即平分， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴由上述条件得到的三个不同类型的结论为①，②平分，③， 故答案为：①，②平分，③． 三．解答题（8个题，共75分） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．分别求出各个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可求解． 【详解】解：， 由①得：，即：， 由②得：，即：， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以点O为旋转中心，将按顺时针旋转，得到． （1）写出点B的坐标______； （2）可以由经过一次平移得到，则平移的距离是______； （3）连接，证明：． 【答案】（1） （2）2 （3） 解：连接， 绕点顺时针旋转了， ， ， 是等边三角形， ， ， 则． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据是边长为2的等边三角形，得出，在中，，，得出，根据勾股定理得：，即可得点的坐标为：． （2）根据平移的性质即可求解． （3）连接，根据旋转可得，根据三角形内角和定理得出，根据是等边三角形，得出，则，则． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， 是边长为2的等边三角形， ， 在中，， ， ， 根据勾股定理得：， 点的坐标为：． 【小问2详解】 解：， 平移距离为：2． 【小问3详解】 略 【点睛】该题考查了旋转的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，平移的性质，等边三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 如图，在中，，D为延长线上一点，且交于点F． （1）求证：是等腰三角形， （2）若，F为中点，求的长． 【答案】（1） 证明： ∴∠B=∠C 又 ∴∠B+∠BFE=90° ∠C+∠D=90° ∴∠BFE=∠D ∠BFE=∠AFD ∴∠D=∠AFD ∴是等腰三角形 （2）8 【解析】 【分析】（1）通过已知条件证明AFD和D相等就能证明是等腰三角形； （2）因为AC=AB，F是AB的中点所以AF=AD=5，再根据勾股定理求出EF，过A点作AGDE，再通过证明三角形全等得出DF=2EF． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过A作AG⊥DE，交DE于点G． ∴∠AGF=∠BEF ，，F为中点 ∴BF=AF=5 又在RtBEF中，BE=3, ∴EF=＝＝4 在AGF和BEF中 ∴AGF≌BEF ∴EF=GF AG⊥DE，AD=AF ∴GF=DG ∴DF=2EF ∴DF=8 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． 19. 代数推理是一种数学推理方法，它主要是基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． （1）用“”“”或“”填空： ______； ______； ______； ______； （2）观察以上各式，请用含有字母a，b的式子表示上述规律； （3）运用你所学习的知识证明上述规律的正确性． 【答案】（1），，， （2）如果是两个实数，则有，当且仅当时，等号成立 （3） 证明：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，等号成立． 【解析】 【分析】本题考查数字类的变化规律，有理数的混合运算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则分别计算比较即可； （2）由（1）的例子即可总结结论； （3）根据完全平方的计算结果是非负数证明即可． 【小问1详解】 解：； ； ； ， 故答案为：，，， 【小问2详解】 解：由上述例子可得到：如果是两个实数，则有，当且仅当时，等号成立； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：过D点作，垂足为点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明； （3）若，求点D到直线的距离． 【答案】（1） 如图，为所作， （2） 解：∵， ∵， ∴， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，超过这两点线段长度的一半为半径画弧，得到两个交点，连接这两个交点点即可； （2）根据以及角平分线的定义可证明，即可得解； （3）设，则，根据题意可推出为等腰直角三角形，再根据勾股定理得到，从而表示出，结合，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 由（2）得，， ，， 在中，，， ， ， ， ， ，且， ， ，即， 点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 22. 已知一次函数，． （1）若，求x的取值范围； （2）若关于x的不等式组的解集为，求的值； （3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b，求该三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据不等式组的解集求参数，三线合一定理，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （2）把原不等式组变形为，求出不等式组的解集即可求出a、b的值，进而可得答案； （3）假设，过点作，垂足为点，则，再讨论腰长为5和腰长为6，两种情况分别计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：关于的不等式组可化为， 解得：， 关于的不等式组的解集为， 解得：， ； 【小问3详解】 解：如图，， 过点作，垂足为点 ，且， ， 由于和分别为等腰三角形的两边 ①当时，此时， ②当时，此时，． 综上所述，的面积为或． 23. 如图，长方形中，，．将长方形绕点B按顺时针方向运动，其旋转角为，点A、C、D的对应点分别是点、、． （1）如图1，当时，连接，，，求的长； （2）当点落在边上时，请在图2中画出旋转后的图形，此时的度数是______； （3）当的延长线恰好经过点D，此时与交于点E，连接，求的面积； （4）当点在射线上时，在直线上找一点P，使得△为等腰三角形，直接写出此时的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）5或或16 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得出的值，可证得，从而，进一步得出结果； （2）取的中点，连接，根据直角三角形的性质得出，进而得出，从而，进一步得出结果； （3）可证得，从而，进而推出，设，则，在 中根据勾股定理列出方程，求得的值，进一步得出结果； （4）分为当时，当时，根据等腰三角形的性质得出；当时，根据（ 3 ）的结论求得的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ， ， ∵长方形绕点按顺时针得长方形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，取的中点，连接， ∵四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：， ， ， 是长方形， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【小问4详解】 解：如图2，当时，（图中和）， ∵， ∴， 当时，（图形）， ∵， ∴， 当时，（图中）， 根据旋转可得是长方形且与长方形全等， ， 设，则， 在中，， ， ， ∴， 综上所述：或 16 或 5 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和分类，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中学科素养展示 八年级数学 说明：l．本卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．解答过程写在答题卡上，监考教师只收答题卡． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答;画图时用2B铅笔并描清晰． 一．选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用不等式表示“是非负数”，为（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 两边分别相等的两个直角三角形全等 C. 如果，，那么 D. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 9. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（5个题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是______． 13. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 14. 如图，中，是的垂直平分线，，若的周长为，则______． 15. 如图，在中，，分别平分，连接．在不增加字母和线段的情况下，写出由上述条件得到的三个不同类型的结论______． 三．解答题（8个题，共75分） 16. 解不等式组： 17. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以点O为旋转中心，将按顺时针旋转，得到． （1）写出点B的坐标______； （2）可以由经过一次平移得到，则平移的距离是______； （3）连接，证明：． 18. 如图，在中，，D为延长线上一点，且交于点F． （1）求证：是等腰三角形， （2）若，F为中点，求的长． 19. 代数推理是一种数学推理方法，它主要是基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． （1）用“”“”或“”填空： ______； ______； ______； ______； （2）观察以上各式，请用含有字母a，b的式子表示上述规律； （3）运用你所学习的知识证明上述规律的正确性． 20. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：过D点作，垂足为点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明； （3）若，求点D到直线的距离． 21. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 22. 已知一次函数，． （1）若，求x的取值范围； （2）若关于x的不等式组的解集为，求的值； （3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b，求该三角形的面积． 23. 如图，长方形中，，．将长方形绕点B按顺时针方向运动，其旋转角为，点A、C、D的对应点分别是点、、． （1）如图1，当时，连接，，，求的长； （2）当点落在边上时，请在图2中画出旋转后的图形，此时的度数是______； （3）当的延长线恰好经过点D，此时与交于点E，连接，求的面积； （4）当点在射线上时，在直线上找一点P，使得△为等腰三角形，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $