精品解析：辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性随堂练习 八年级数学 （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中是二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子称为二次根式，需判断各选项是否符合此定义． 【详解】解：选项A：，被开方数为正数3，且根指数为2，符合二次根式的定义，符合题意； 选项B：为分式，不含根号，显然不是二次根式，不符合题意； 选项C：为代数式的平方，不含根号，不符合二次根式形式，不符合题意； 选项D：包含二次根式，但根据教材定义，二次根式特指形如的式子，而非其系数乘积形式，因此，属于含有二次根式的代数式，但本身不单独归类为二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：选项A、B、D中的数学符号都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的数学符号能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 3. 如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是（ ） A. 32 B. 23 C. 21 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=AC=4，BO=DO=BD=7，然后可得△AOD的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=AC=4，BO=DO=BD=7， ∴△AOD的周长是：AD+AO+DO=10+4+7=21， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分． 4. 下列线段的长度，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．逐项判断是否满足勾股定理逆定理． 【详解】解：A选项：，， ， 、、不能构成直角三角形， 故A选项不符合题意； B选项：， 、、能构成直角三角形， 故B选项符合题意； C选项：，， ， 、、不能构成直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：，， ， 、、不能构成直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数是整数，且不含能开得尽方的因数；②分母不含根号，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、的被开方数为分数，分母是完全平方数，可化简为，故该选项不符合题意； C、的被开方数不含平方因子，且系数为整数，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意； D、的被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 四边形各顶点坐标分别为，，，，它们关于原点对称的点，，，的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是．关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：四边形各顶点坐标分别为，，，，它们关于原点对称的点，，，的坐标分别为：，，，． 故选：B． 7. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质化简即可．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是， 故选：B． 9. 我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 10. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，由等边三角形的性质得，，由四边形是平行四边形，则，，从而得，证明四边形是矩形，然后通过勾股定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义， ，解得， 故答案为：． 12. 如图，以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转得性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．先利用旋转的性质得出，，判定是等边三角形，即可得出． 【详解】解：∵以点为中心，把顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平行直角坐标系中有两点，则A、B两点之间的距离为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先根据A、B两点的坐标求出及的长，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， 即A、B两点之间的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 14. 如图，在正方形中，点E在上，，，，垂足为F，延长交于点G，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，证明得到，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了求绕原点旋转90度的点的坐标，分点A绕原点O顺时针和逆时针旋转 两种情况讨论，然后画出图形，数形结合求解即可． 【详解】解：点A绕原点O顺时针旋转，如图， ∴； 点A绕原点O逆时针旋转，如图， ∴ ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式加减混合运算法则和二次根式性质进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的图形，并直接写出各顶点的坐标，__________，__________，__________； （2）若内任意一点的坐标为，则点在内的对应点的坐标为__________．（用含和的式子表示） 【答案】（1）图见解析，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称，熟练掌握中心对称的性质，是解题的关键. （1）根据中心对称的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知：，，； 【小问2详解】 由题意，可知：点在内的对应点的坐标为； 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，根据勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出，分割法求四边形的面积即可．熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，． ，， ，． ， ， ． ，． ． 19. 如图，在中，平分且交于点E，且交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形性质，得到，由，进而得到，根据角平分线的定义，得到，由，得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ． 平分， ． ， ． ， ， ． 20. 做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体． （1）求这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）若这个长方体的表面积是，则它的长是__________，宽是__________，高是__________． 【答案】（1）这个长方体的长为，宽为，高为 （2），， 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，掌握长方体的底面积和表面积计算方法是解决问题的关键． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的表面积等于列方程求得答案即可． 【小问1详解】 解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则，， ∴长方体的长为，宽为，高为． 【小问2详解】 解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则，， 长方体的长为，宽为，高为， 故答案为：，，． 21. 【提出问题】 某校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多了一段，但这条绳子的长度未知．其中旗杆与地面垂直，绳子拉直后的末端C与旗杆底端B之间用线段表示，绳子垂到地面，比旗杆多的一段用a表示． 【设计方案】 第一小组提出运用八上学过的含有角的直角三角形的性质，可以设计一种解决问题的特殊方案： 步骤一，将绳子拉直，使其与地面的夹角恰好为； 步骤二，测量线段的长度； 步骤三，通过计算，得到旗杆的高度． （1）如图1，在中，，，． 请直接写出__________；（用含a，b的式子表示） 【质疑探究】 第二小组认为第一小组的方案没有解决一般情况．他们根据勾股定理提出了新的方案：先测量a的长度，再将绳子拉直后测量线段的长度；并进行了实地测量，得到了如下数据： （2）如图2，在中，，，，求旗杆的高度； 【类比迁移】 （3）如图3，若绳子比旗杆短，下垂后比旗杆少的一段用n表示，拉直绳子后，过其末端C作于点D，于点E，若，，设旗杆，为求出旗杆的高度，根据勾股定理可列出方程为__________．（用含m，n，c，x的式子表示） 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为；（3） 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键： （1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，得到，再根据，表示出即可； （2）利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （3）易得四边形为矩形，得到，进而表示出的长，在中，利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴； 答：旗杆的高度为； （3）∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 22. 【理解定义】 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 例如：如图1，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【初步应用】 （1）若黄金矩形的长，请直接写出它的宽__________． 【操作探究】 小明通过下面的折纸操作，折叠出了黄金矩形： 第一步：如图2，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图3，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图4，连接，再将矩形沿过点N的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图5，过点E作于点D，得到矩形． （2）已知，在矩形中，． ①求的长； ②请找出图5中的黄金矩形，并证明． 【迁移拓展】 小明查找资料进一步学习了黄金分割的知识： 黄金分割点是指把一条线段分割为两条线段，较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，其比值是． （3）小明用一张宽为n的矩形纸片，按照（2）的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点E恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长长度__________ 【答案】（1）2；（2）①，②矩形和矩形为黄金矩形，见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）①由矩形的性质得到，由折叠的性质可得，，据此利用勾股定理求解即可； ②由矩形的性质得到，由平行线的性质和折叠的性质可得，则，据此可得，证明四边形是矩形，得到，，则，，再证明四边形是矩形，即可得到结论； （3）由（2）可得，则，根据点E是线段的黄金分割点，得到或，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）①∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ②矩形和矩形都是黄金矩形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是黄金矩形； （3）由题意得，， 由（2）可得， ∴， ∵点E是线段的黄金分割点， ∴或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 23. 【教材再现】 人教版八年级数学下册69页复习题14题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． 教材中给出提示：如图2，取的中点，连接，先证明，进而证得． （1）请你根据教材提示，完成证明． 【类比分析】 （2）如图3，四边形是正方形，点E是边的上的一点，连接，作，且，连接．求的值． 【学以致用】 （3）如图4，四边形是菱形，，点E是边的上的一点，连接，作，且，，连接，交于点G，若，求证：点E是边的中点． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据提示，结合正方形的性质，证明，即可得证； （2）截取，连接，证明，得到，证明，勾股定理得到，进而得到即可； （3）截取，连接，过点作于，过点作，交延长线于点，证明，得到，，推出，得到，推出是含30度角的直角三角形，进而得到，设，证明，得到，勾股定理求出，得到，含30度角的直角三角形的性质，得到，勾股定理求出，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，． 点E，G分别是边的中点， ． ，， ，， ． ，， ， ． ，平分的外角， ． ． ， ． （2）证明：如图，截取，连接， 四边形为正方形， ，． ， ． ，， ． ，， ， ． ，， ．即． 在中，， 根据勾股定理得，． ， ． （3）证明：如图，截取，连接， 过点作于，过点作，交延长线于点， ， 四边形为菱形， ，，． ． ，， ，， ，， ． ，， ， ，． ，， ，即． ， ． ， ， ． ， ， ． ， 设， ，． ． ． ， ， ． 在中，， 根据勾股定理得，， ． ，， ． 在中，， ． 根据勾股定理得，，即：， （负值舍去）． 即， 点是边的中点． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性随堂练习 八年级数学 （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中是二次根式的为（ ） A. B. C. D. 2. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是（ ） A. 32 B. 23 C. 21 D. 20 4. 下列线段的长度，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 四边形各顶点坐标分别为，，，，它们关于原点对称的点，，，的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 12. 如图，以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，则__________． 13. 如图，在平行直角坐标系中有两点，则A、B两点之间的距离为_____ 14. 如图，在正方形中，点E在上，，，，垂足为F，延长交于点G，则__________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的图形，并直接写出各顶点的坐标，__________，__________，__________； （2）若内任意一点的坐标为，则点在内的对应点的坐标为__________．（用含和的式子表示） 18. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 19. 如图，在中，平分且交于点E，且交于点F．求证：． 20. 做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体． （1）求这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）若这个长方体的表面积是，则它的长是__________，宽是__________，高是__________． 21. 【提出问题】 某校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多了一段，但这条绳子的长度未知．其中旗杆与地面垂直，绳子拉直后的末端C与旗杆底端B之间用线段表示，绳子垂到地面，比旗杆多的一段用a表示． 【设计方案】 第一小组提出运用八上学过的含有角的直角三角形的性质，可以设计一种解决问题的特殊方案： 步骤一，将绳子拉直，使其与地面的夹角恰好为； 步骤二，测量线段的长度； 步骤三，通过计算，得到旗杆的高度． （1）如图1，在中，，，． 请直接写出__________；（用含a，b的式子表示） 【质疑探究】 第二小组认为第一小组的方案没有解决一般情况．他们根据勾股定理提出了新的方案：先测量a的长度，再将绳子拉直后测量线段的长度；并进行了实地测量，得到了如下数据： （2）如图2，在中，，，，求旗杆的高度； 【类比迁移】 （3）如图3，若绳子比旗杆短，下垂后比旗杆少的一段用n表示，拉直绳子后，过其末端C作于点D，于点E，若，，设旗杆，为求出旗杆的高度，根据勾股定理可列出方程为__________．（用含m，n，c，x的式子表示） 22. 【理解定义】 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 例如：如图1，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【初步应用】 （1）若黄金矩形的长，请直接写出它的宽__________． 【操作探究】 小明通过下面的折纸操作，折叠出了黄金矩形： 第一步：如图2，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图3，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图4，连接，再将矩形沿过点N的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图5，过点E作于点D，得到矩形． （2）已知，在矩形中，． ①求的长； ②请找出图5中的黄金矩形，并证明． 【迁移拓展】 小明查找资料进一步学习了黄金分割的知识： 黄金分割点是指把一条线段分割为两条线段，较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，其比值是． （3）小明用一张宽为n的矩形纸片，按照（2）的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点E恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长长度__________ 23. 【教材再现】 人教版八年级数学下册69页复习题14题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． 教材中给出提示：如图2，取的中点，连接，先证明，进而证得． （1）请你根据教材提示，完成证明． 【类比分析】 （2）如图3，四边形是正方形，点E是边的上的一点，连接，作，且，连接．求的值． 【学以致用】 （3）如图4，四边形是菱形，，点E是边的上的一点，连接，作，且，，连接，交于点G，若，求证：点E是边的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $