精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年第二学期高二6月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得到数列的周期为4，应用周期性求项. 【详解】由题设，，，，， 所以数列的周期为4，且， 所以. 故选：C 2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出 【详解】设等比数列的公比为（）， 由题意得，且，即， ， 因为，所以，， 故选：D 3. 要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 720种 B. 1800种 C. 3600种 D. 1200种 【答案】B 【解析】 【分析】将6名学生分成5组，再安排到5个乡村，利用分步乘法原理列式求解. 【详解】依题意，将6名学生分成5组有种方法，再把分成的5组安排到5个乡村有种方法， 所以不同的安排方法共有种. 故选：B 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性与导数的关系可得对任意的恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在上单调递增，则对任意恒成立， 则对任意恒成立，则. 故选：C. 5. 随机变量的分布列如表，则方差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出的值，可求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由分布列的性质可得，解得，所以， 故. 故选：C. 6. 已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，利用判断出在上递增，由此化简不等式并求得不等式的解集. 【详解】令，有，得函数在上单调递增，又由不等式可化为，有， ，. 故选：B 7. 若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）． a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a≠0时，△＝16﹣12a． 由△≤0，解得，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． 由△＞0，解得a（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1，x2． 当时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． 当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f′（x1）＝0，∴12，a＜0． 解得：a． 综上可得：a． 故选：C． 点睛：极值转化为最值的性质： 1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值； 2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值； 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，随机变量和满足，且，则，A错； 对于B选项，随机变量，， 则，B对； 对于C选项，因随机变量，则，C对； 对于D选项，在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为， 所以，D错. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数关于点对称 B. 过点作函数的切线切线方程为 C. 函数有2个极值点 D. 存在无数多个a值，使得方程有两个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的对称中心所满足条件检验即可判断A，由过点切线的求法，求出切线判断B，利用导数判断函数的单调性即可得出极值点个数判断C，转化为有两个零点后，利用导数分析函数的图象大致变化规律，确定的取值个数，判断D. 【详解】因为 ， 所以函数关于点对称，故A正确； 设切点为，由，切线斜率为， 所以切线方程为，代入点， 可得，又，化简可得， 解得或，所以切线方程为，，故B错误； 由可知，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极值点，故C正确； 令，原问题转化为存在无数多个a值，使有两个不同根，，当时，恒成立，函数单调递增，故至多一解，当时，设的两根为，则或时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取极大值，在处取极小值，所以有两个解时，极大值或极小值为0，即或， 因为，所以，当时，解得，此时； 同理若，解得， 综上，存在使得方程有两个不同的解，不存在无数个，方程有两个解，故D错误. 故选：AC 11. 计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为，该计算结果的大小代表图像对比度的强弱． 已知某像素点规模为1行列的图像第列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案： ①；②，则（ ）． A. 使用方案①调整，当，时，调整后的对比度比原对比度更强 B. 使用方案②调整，当时，调整后的对比度是原对比度的 C. 使用方案①调整，当时， D. 使用方案②调整，当，时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象对比度公式，以及对数运算公式，结合选项，即可判断. 【详解】使用方案①调整：当，时，又则， ，， 又，故，所以调整后的对比度比原对比度更强，A正确； ，， 当，即且，又，可得，C正确； 使用方案②调整：当时， 对比度公式为非线性变换， 所以调整后的对比度不一定是原对比度的， 例如：时， ，， 此时，即 B错误； ，而，则，故， 又，则，， 所以， 所以， 设，， 则， 所以函数在上单调递减， 所以，即若，则， 又， 所以 所以， 所以， 又，，所以，D正确． 故答案为：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 14. 一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析某次在点则下次在或不在点，某次不在点，则下次在或不在的概率，再按照分步乘法计算、、，进而利用概率的乘法公式得、，最后利用贝叶斯公式计算即可. 【详解】我们将三个点看作一个整体， 如果某次在点，则下次一定不在点的概率为； 如果某次不在点，则下次在与不在的概率分别为、， 因，， 则， 因，， 则， 则根据贝叶斯公式可得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式 （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式的第5项的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和为计算可得； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【小问1详解】 对于二项式，则展开式中所有二项式系数的和为； 【小问2详解】 因为二项式展开式的通项为（且）， 所以，所以展开式的第5项的系数为. 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 17. 如图，该几何体由两个相同的正四棱台组合而成 （1）证明：. （2）已知M，N，O分别是棱，，的中点，过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，求棱的长度. （3）已知，该几何体的体积，平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据P，E，G，Q四点共面，四边形为菱形，即可得出； （2）根据正六边形边长计算求解得出； （3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再应用二面角余弦计算得出，最后结合四棱台体积公式计算求解. 【小问1详解】 如图，分别延长两个正四棱台的侧棱，得到正四棱锥及正四棱锥， 所以. 连接，，记，连接，. 在正四棱锥及正四棱锥中，平面，平面， 所以直线与是同一条直线. 因为，所以P，E，G，Q四点共面，所以四边形为菱形，所以. 【小问2详解】 解：连接，. 因为过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形， 所以，. 故. 【小问3详解】 解：记正方形的中心为，连接，. 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，， 所以，. 记平面的法向量为， 则即 取，则. 同理可得平面的一个法向量为. ， 解得， 所以正四棱锥的体积. 因为该几何体的体积为，所以正四棱台的体积， 则正四棱锥的体积. .设，则. 因为，所以，所以， 则，解得. 18. 已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”. （1）若函数是上的“好函数”，求整数的值. （2）已知函数. （i）讨论的零点个数； （ii）已知是的零点，证明：是上的“好函数”. 【答案】（1）. （2）（i）答案见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将问题转换为在上恒成立，即在上恒成立，故只需由函数单调性即可得解； （2）（i）将问题转换为在上的零点个数，求导分类讨论函数单调性，结合零点存在定理即可求解；（ii）当时，只需证明，当，只需证明，结合两种情形即可得证. 【小问1详解】 易知在上单调递增，且，则是唯一的零点. 因为是上的“好函数”，且， 所以在上恒成立，即. 因为在上单调递增，且， 所以整数. 【小问2详解】 （i）因为，且，所以的零点个数等价于函数在上的零点个数. 当时，没有零点. 当时，，令，则， 所以当时，单调递减，当时，单调递增. 又，所以当时，，此时没有零点； 当时，，此时有一个零点； 当时，，又， 所以结合的单调性可知，在和上各恰有一个零点， 即在上存在一个零点，在上存在一个零点. 综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点. （ii）证明：①若，由（i）可知，在上没有零点，且， 则在上单调递增，，且. 因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，故. 故当时，. ②若，由（i）可知，在上存在一个零点， 即在上存在唯一的极大值点，故当时，. 由（i）可知，，且， 则当时，. 又因，且在上单调递增， 所以存在唯一的零点，且满足. 设函数， 则. 由上可知，在上单调递减，且， 则，此时. 综上，由①②可知，当时，，故是上的“好函数”. 19. 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. （1）求集合的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； （3）已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】（1）12； （2）672； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可. 【小问1详解】 集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. 【小问2详解】 集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. 【小问3详解】 集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2024-2025学年第二学期高二6月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，则（ ） A B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同安排方法共有（ ） A. 720种 B. 1800种 C. 3600种 D. 1200种 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 随机变量的分布列如表，则方差（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则 10. 已知函数，则（ ） A. 函数关于点对称 B. 过点作函数的切线切线方程为 C. 函数有2个极值点 D. 存在无数多个a值，使得方程有两个不同的解 11. 计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为，该计算结果的大小代表图像对比度的强弱． 已知某像素点规模为1行列的图像第列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案： ①；②，则（ ）． A. 使用方案①调整，当，时，调整后的对比度比原对比度更强 B. 使用方案②调整，当时，调整后的对比度是原对比度的 C. 使用方案①调整，当时， D. 使用方案②调整，当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为__________． 13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 14. 一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式 （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式的第5项的系数. 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，该几何体由两个相同的正四棱台组合而成 （1）证明：. （2）已知M，N，O分别是棱，，的中点，过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，求棱的长度. （3）已知，该几何体的体积，平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 18. 已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”. （1）若函数是上的“好函数”，求整数的值. （2）已知函数. （i）讨论零点个数； （ii）已知是的零点，证明：是上的“好函数”. 19. 对于含有有限个元素非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. （1）求集合的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； （3）已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $